Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

35 §. Makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzora

35 §. Makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzora

A pontszerű részecskék rendszerének (33.5) energia-impulzus-tenzora mellett a továbbiakban szükségünk lesz a tenzor kifejezésére folytonos szerkezetű makroszkopikus testek esetében is.

A test felületelemén átfolyó impulzusáram valójában az erre az elemre ható erő. Ezért σαβ a df felületelemre ható erő α-adik komponense. Tekintsük most azt a vonatkoztatási rendszert, amelyben a test adott térfogateleme nyugalomban van. Ebben a rendszerben érvényes Pascal törvénye, azaz a test kiválasztott részére ható p nyomás minden irányban azonos, nyírófeszültségek nincsenek.[39] Ezért írhatjuk, hogy σαβdfβ=pdfα, amiből a feszültségtenzor σαβ=pδαβ. Az impulzussűrűséget megadó Tα0 komponensek a test adott térfogatára nézve a vizsgált vonatkoztatási rendszerben eltűnnek. A T00 komponens, mint mindig, a test energiasűrűségével egyenlő, ezt most 𝜀-nal jelöljük; a tömegsűrűség, azaz az egységnyi térfogat tömege 𝜀∕c2. Hangsúlyozzuk, hogy egységnyi sajáttérfogatról van szó, tehát abban a vonatkoztatási rendszerben dolgozunk, amelyben a test adott része nyugszik.

Így a vizsgált koordináta-rendszerben a test kiszemelt részének energia-impulzus-tenzora a következő alakú:

4.72. egyenlet - (35.1)

T i k = 𝜀 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p .

Ezek után könnyű meghatározni az energia-impulzus-tenzor kifejezését tetszőleges vonatkoztatási rendszerben. Bevezetjük a térfogatelem makroszkopikus mozgásának ui négyessebességét. A térfogatelem nyugalmi rendszerében ui=(1,0). A Tik általános kifejezését úgy kell megválasztanunk, hogy ebben a rendszerben a (35.1) alakot adja vissza. Belátható, hogy ez a következő:

4.73. egyenlet - (35.2)

T i k = ( p + 𝜀 ) u i u k p g i k ,

vagy kevert komponensekben:

Tik=(p+𝜀)uiukpδik.

Ezzel meghatároztuk a makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzorát. Az energiasűrűség, az energiaáram-sűrűség és a feszültségtenzor megfelelő kifejezései:

4.74. egyenlet - (35.3)

W = 𝜀 + p v 2 c 2 1 v 2 c 2 , S = ( p + 𝜀 ) v 1 v 2 c 2 , σ α β = ( p + 𝜀 ) v α v β c 2 1 v 2 c 2 + p δ α β .

Ha a makroszkopikus mozgás v sebessége a fénysebességhez képest kicsi, akkor közelítőleg:

S=(p+𝜀)v.

Mivel S∕c2 az impulzussűrűség, a tömegsűrűség ebben az esetben (p+𝜀)∕c2.

T i k kifejezése egyszerűbb, ha a testet alkotó valamennyi részecske sebessége kicsi a fénysebességhez képest (a makroszkopikus mozgás sebessége tetszőleges lehet). Ekkor az 𝜀 energiasűrűségben minden olyan tag elhanyagolható, amely a nyugalmi energiához képest kicsi, azaz 𝜀 helyett μ0c2 írható, ahol μ0 a test egységnyi (saját) térfogatában levő részecskék összes tömege. (Hangsúlyozzuk, hogy általános esetben ez különbözik a pontos 𝜀∕c2 tömegsűrűségtől, mivel az utóbbi magában foglalja a részecskék mikroszkopikus mozgásának energiájától és kölcsönhatásuk energiájától származó tömeget is.) A molekulák mikroszkopikus mozgásának energiája által meghatározott nyomás a vizsgált esetben természetesen szintén kicsi a μ0c2 nyugalmi energiasűrűséghez képest. Így az adott esetben

4.75. egyenlet - (35.4)

T i k = μ 0 c 2 u i u k .

(35.2)-bőt:

4.76. egyenlet - (35.5)

T i i = 𝜀 3 p .

Az energia-impulzus-tenor tetszőleges rendszerre fennálló (34.2) tulajdonsága most abban mutatkozik, hogy a nyomás és a makroszkopikus test 𝜀 energiasűrűsége között mindig fennáll a

4.77. egyenlet - (35.6)

p < 𝜀 3

egyenlőtlenség.

Hasonlítsuk össze a (35.5) kifejezést a tetszőleges anyagi rendszerre érvényes (34.1) általános képlettel. Mivel most makroszkopikus testet vizsgálunk, a (34.1) kifejezést r szerint egységnyi térfogatra átlagolni kell. Az eredmény a következő:

4.78. egyenlet - (35.7)

𝜀 3 p = m a c 2 1 v a 2 c 2

(az egységnyi térfogatban levő részecskékre összegezünk). Extrém relativisztikus határesetben az egyenlőség jobb oldala nullához tart, így az anyag állapotegyenlete[40]

4.79. egyenlet - (35.8)

p = 𝜀 3 .

A kapott képleteket alkalmazzuk az ideális gázra, amelyről feltételezzük, hogy azonos részecskékből áll. Mivel az ideális gáz részecskéi nem hatnak kölcsön egymással, a (33.5) képletet alkalmazhatjuk. Ezt átlagolva kapjuk, hogy

T i k = n m c d x i d t d x k d s ¯ ,

ahol n az egységnyi térfogatban levő részecskék száma, a felülvonás pedig az összes részecskére való átlagolást jelenti. Ha a gázban semmiféle makroszkopikus mozgás nincs, akkor Tik-ra érvényes a (35.1) kifejezés is. összehasonlítva a kettőt, a következő egyenletekre jutunk:

4.80. egyenlet - (35.9)

𝜀 = n m c 2 1 v 2 c 2 ¯ , p = n m 3 v 2 1 v 2 c 2 ¯ .

Ezek meghatározzák a relativisztikus, ideális gáz sűrűségét és nyomását a részecskék sebességének függvényében; a második képlet a nemrelativisztikus, kinetikus gázelmélet p=nmv¯2∕3 ismert képletét helyettesíti.



[39] Pascal törvénye szigorúan véve csak folyadékokra és gázokra érvényes. Szilárd testekben azonban a különböző irányokban mért nyomások lehetséges maximális különbsége jelentéktelen ahhoz a nyomáshoz képest, ami a relativitáselméletben szerepet játszhat, így a különbségek elhanyagolhatók.

[40] Ebben a határesetben érvényes egyenlet a részecskék elektromágneses kölcsönhatásának feltételezésével nyerhető. A későbbiekben (amikor erre a XIV. fejezetben szükségünk lesz) úgy vesszük, hogy ez a részecskék között fellépő egyéb kölcsönhatás esetén is érvényes, bár ez a feltevés a mai napig nincs bizonyítva.