Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

34 §. A viriáltétel

34 §. A viriáltétel

Mivel az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorának átlósösszege nulla, a kölcsönható részecskék tetszőleges rendszerét tekintve, a Tii összeg mindig a részecskék energia-impulzus-tenzorának átlósösszegét adja meg. Ezért a (33.5) kifejezés felhasználásával azt kapjuk, hogy

T i i = T i ( r ) i = μ c u i u i d s d t = μ c d s d t = μ c 2 1 v 2 c 2 .

Átírjuk az eredményt, visszatérve a részecskékre való összegezésre, azaz μ helyett a (33.4) összeget használjuk. Ekkor

4.68. egyenlet - (34.1)

T i i = a m a c 2 1 v a 2 c 2 δ ( r r a ) .

Megjegyezzük, hogy a fenti képlet szerint minden rendszerre fennáll, hogy

4.69. egyenlet - (34.2)

T i i 0 ,

az egyenlőség csak a töltés nélküli elektromágneses tér esetében érvényes.

Vizsgáljuk a véges mozgást végző töltött részecskék olyan zárt rendszerét, amelyben az anyagi rendszert jellemző minden mennyiség (koordináták, impulzusok) véges intervallumon belül változik.[37]

Átlagoljuk az

1 c T α 0 t + T α β x β = 0

egyenletet [lásd a (32.12) egyenlőséget] az idő szerint. Ekkor a ∂Tαβ∕∂t differenciálhányadosnak, mint általában minden véges tartományban változó mennyiség differenciálhányadosának, átlagértéke nulla.[38] Így

x β T ¯ α β = 0 .

Szorozzuk az egyenletet xα-val, és integráljuk a teljes térre. Az integrált a Gauss-tétel segítségével átalakítjuk; mivel a végtelenben Tαβ=0, a felületi integrál eltűnik:

x α T ¯ α β x β d V = x α x β T ¯ α β d V = δ β α T ¯ α β d V = 0 ,

vagy végső alakban:

4.70. egyenlet - (34.3)

T ¯ α α d V = 0 .

Ennek alapján T¯ii=T¯αα+T¯00integráljára a következőt írhatjuk:

T¯iidV=T¯00dV=,

ahol ℰ a rendszer teljes energiája.

Végül (34.1) helyettesítésével az

4.71. egyenlet - (34.4)

= a m a c 2 1 v a 2 c 2 ¯

egyenletre jutunk. Ez a klasszikus mechanika viriáltételének (lásd az I. kötet 10. § -át) relativisztikus általánosítása. Kis sebességeknél ez az

amac2=amava2¯2

egyenlőségbe megy át, azaz az anyagi rendszer teljes energiája (a részecskék nyugalmi energiáit nem számítva) a kinetikus energia átlagértékének –1-szerese. Ezt az eredményt kapjuk a töltött (egymással Coulomb-törvény szerint kölcsönható) részecskék rendszerére vonatkozó klasszikus viriáltételből is.



[37] Feltesszük még azt is, hogy az elektromágneses tér a végtelenben eltűnik. Ez azt jelenti, hogy ha az anyagi rendszer elektromágneses hullámokat sugároz ki, akkor speciális „tükröző lemezek” megakadályozzák, hogy a hullámok a végtelenbe kifussanak.

[38] Legyen f ilyen mennyiség. A df∕dt differenciálhányados átlagértéke valamilyen T intervallumra (df¯/dt)=(1/T)∫0T(df/dt)dt=(f(T)–f(0)/T).f(t) csak véges határok között változik, ezért ha T végtelenhez tart, akkor az átlagérték valóban zérus.