Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA I. - Mechanika

Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

2. fejezet - II. fejezet MEGMARADÁSI TÉTELEK

2. fejezet - II. fejezet MEGMARADÁSI TÉTELEK

6.§. Az energia

A mechanikai rendszer mozgásakor a rendszer állapotát meghatározó 2s számú qi és q˙i (i=1,2,…,s) mennyiség változik az időben. Léteznek azonban ezeknek olyan függvényei, amelyek állandó értékűek az egész mozgás folyamán, s csak a kezdeti feltételektől függnek. Ezeket a függvényeket [mozgásállandóknak] nevezzük.

Az s szabadsági fokú zárt mechanikai rendszer független mozgásállandóinak száma 2s–1. Ez nyilvánvaló a következő meggondolásokból. A mozgásegyenletek általános megoldása 2s tetszőleges állandót tartalmaz (lásd a 14. oldalt). Mivel a zárt rendszer mozgásegyenlete az időt expliciten nem tartalmazza, az időszámítás kezdőpontja tetszőlegesen választható meg, s a mozgásegyenletek konstansai közül egy mindig az időhöz hozzáadott t0 állandó alakjában vehető fel. A 2s számú

qi =qi(t+t0,C1,C2,…,C2s–1), q˙t =q˙i(t+t0,C1,C2…,C2s–1)

függvényből (t+t0)-t kiküszöbölve, a Cl,C2,…,C2s1 állandókat q és q˙ függvényeként fejezhetjük ki; ezek lesznek a rendszer mozgásállandói.

A mozgásállandók közül azonban nem mindegyik játszik egyformán fontos szerepet a mechanikában. Van közöttük néhány, amelynek állandó volta igen mély eredetű: az idő és a tér alapvető tulajdonságaival – a homogenitással és az izotropiával – kapcsolatos. Mindezeknek az úgynevezett megmaradó mennyiségeknek fontos általános tulajdonsága, hogy [additívak;] olyan rendszerre, amelynek egyes részei között a kölcsönhatás elhanyagolható, a mozgásállandók értéke megegyezik az egyes részekre vett értékek összegével.

Ezeknek a mennyiségeknek éppen az additivitás ad igen fontos szerepet a mechanikában. Tegyük fel például, hogy két test egymással bizonyos ideig kölcsönhat. Mivel a mozgásállandók mindegyike a kölcsönhatás előtt és után is egyenlő a testeken külön-külön felvett értékeinek összegével, ezeknek a mennyiségeknek a megmaradása azonnal egy sor feltételt szab a testeknek a kölcsönhatás utáni állapotára, ha állapotuk a kölcsönhatás előtt ismert.

Kezdjük az idő homogenitásából eredő megmaradási tétellel.

Az idő homogenitása miatt a zárt rendszer Lagrange-függvénye expliciten nem függ az időtől. Ezért a Lagrange-függvény teljes időderiváltját a következő alakban írhatjuk:

(dL/dt)=?i(?L/?qi)q˙i+?i(?L/?q˙i)q¨i.

(Ha a Lagrange-függvény az időt expliciten tartalmazná, akkor a jobb oldalon megjelenne a (?L/?t) tag is.) A (?L/?qi) deriváltat a Lagrange-egyenletből (d/dt)(?L/?qi)-tal helyettesítve

(dL/dt)=?iq˙i(d/dt)(?L/?q˙i)+?i(?L/?q˙i)q¨i=?i(d/dt)((?L/?q˙i)q˙i)

vagy

(d/dt)(?iq˙i(?L/?q˙i)–L)=0.

Ebből látható, hogy az

2.1. egyenlet - (6,1)

E=iq̇iLq̇iL


mennyiség változatlan a zárt rendszer mozgása során, azaz mozgásállandó. Ez a mennyiség a rendszer energiája. Az energia additivitása közvetlenül adódik a Lagrange-függvény additivitásából, mivel (6,1) szerint lineáris kapcsolat áll fenn a két függvény között.

Az energiamegmaradás nemcsak zárt rendszerekre igaz, hanem olyanokra is, amelyek állandó (vagyis időtől független) külső térben mozognak; a fenti levezetésben a Lagrange-függvényről egyedül azt tettük fel, hogy expliciten nem függ az időtől, s ez ebben az esetben is teljesül. Azokat a mechanikai rendszereket, amelyekben az energia megmarad, konzervatívnak nevezzük.

Mint az 5.§-ban láttuk, zárt (vagy állandó külső térben mozgó) rendszer Lagrange-függvénye

L=K(q,q˙)–U(q)

alakú, ahol K a sebességek kvadratikus alakja. A homogén függvényekre vonatkozó ismert Euler-tétel alkalmazásával:

?iq˙i(?L/?q˙i)=?iq˙i(?K/?q˙i)=2K.

Ezt (6,1)-be helyettesítve,

2.2. egyenlet - (6,2)

E=K(q,q̇)+U(q)


adódik; Descartes-koordinátákban:

2.3. egyenlet - (6,3)

E=amava22+U(r1,r2,,rn).


Így tehát a rendszer energiáját két lényegesen különböző tag összegeként lehet előállítani: az egyik a kinetikus energia, mely a sebességektől függ, a másik a potenciális energia, mely csak a koordináták függvénye.