Prev
Next 
2. Káosz és káoszelmélet
Tanulási célok
A káosz értelmezése, a káoszelmélet bemutatása

A káosz fogalma

A káosz szó használata megtévesztő lehet arra a jelenségre, amit a tudományos életben kaotikusnak nevezünk. A káosz mindennapi értelemben zűrzavart jelent, ami a tudományos értelmezésben félreértésre adhat okot. Ekkor a káosz jelenség merőben eltér a hétköznapi értelemben vett jelentésétől. Sőt, ha megnézzük a szó eredeti görög jelentését is, ami üresség vagy semmi, akkor fokozottan igaz ez. A tudományos közfelfogásban tárgyalt káosz jelentése merőben más, és nehezen is definiálható.
Általában úgy gondoljuk, hogy valamilyen matematikai, vagy fizikai jelenségről van szó. De a káosz sokkal több ennél, átszövi az életünk minden területét, ezáltal, a matematika, a fizika mellett, a közgazdaságtan, biológia, ökológia, szociológia tudományok szótárában is megtaláljuk. És bár a káosz természettudományos következményei alapvetően újak és fontosak, nem sajátíthatja ki emiatt egyetlen tudomány sem. A káosz minden természettudomány, sőt minden olyan tudomány sajátja, melyben a matematikai leírás hasznosnak bizonyul.
Ebből is következik, hogy a káosz fogalmára pontos definíció nem létezik, de a fogalom tisztázásának érdekében fontos annak értelmezése.

A legegyszerűbb, és a matematikusok által javasolt meghatározás így hangzik:

A káosz a determinisztikus rendszerekben előforduló sztochasztikus viselkedés.

Mint említettük a káosz fogalmára nem találunk egzakt definíciót. Nézzünk a sokféle meghatározásból néhány példát (Sadar-Abrams, 2003):
  • Egyfajta periodikusság nélküli rend.
  • Látszólag véletlenszerűen ismétlődő viselkedés egy egyszerű determinisztikus (óraműszerűen viselkedő) rendszeren belül.
  • A determinisztikus nemlineáris dinamikus rendszereken belüli instabil, aperiodikus viselkedés kvalitatív tanulmányozása.
  • Az egyszerű, beépített véletlenszerű vonások nélküli modellek azon képessége, hogy nagyon szabálytalan viselkedést tanúsítsanak.
Az alábbi ábrán nyomon követhetjük a káosz sokrétű értelmezését.
Összefoglalva a korábban definiált komplexitás, valamint most értelmezett káosz és az ismert rendezettség fogalmát, az alábbi logikai kapcsolatot értelmezzük közöttük:

A káoszelmélet

A káoszelmélet egy új, kialakulóban lévő tudomány, amelynek a fókuszában a nemlineáris rendszerek vannak. A káosz fogalom értelmezéséből is láthatjuk, hogy a káoszelmélet inerdiszciplináris tudomány. A káoszelmélet átlépi a tudományágak határait, s a rendszerek általános természetének tudománya lévén, közelebb hozza egymáshoz a korábban szigorúan elkülönült területek kutatóit. A káosz kutatása nagyon sok olyan kérdést vet fel, amely a tudomány szokásos kutatási módszereinek lehetőségeit meghaladja. Az elmélet jól csengő nevén túl számtalan új fogalommal gazdagította eddig is a képünket a világról.

A káoszelmélet megszületése előtt a mindenapjainkban megismert jelenségek, mint a folyadékok, gázok és műszaki rendszerek viselkedése annyira alapvetőnek látszott, hogy a tudósok úgy vélhették, hogy teljes mértékben ismerik és értik is őket. Természetesen valójában nem így állt a dolog.

Joggal állapíthatjuk meg, hogy a káosz tudományának művelői, eltérítették a tudományt redukcionista törekvésétől: attól, hogy a rendszereket csupán alkotórészeiken keresztül tanulmányozzák. Ők az egészet keresik. A káosz forradalma közvetlenül érinti a látható és tapintható, emberi léptékű dolgok világát.

A hetvenes évek elején azonban néhányan kutató mélyebben vizsgálta a rendhagyó eseteket. Matematikusok, fizikusok, biológusok, társadalomkutatók a szabálytalanság különböző fajtái között kerestek hasonlóságot, és közvetlen kapcsolatot tártak fel a felhők mozgása, a villámlás irányvonala, a vérerek mikroszkopikus összefonódása, a csillagok galaktikus tömörülése és a tőzsdei árfolyam-ingadozások között. Így, lassan egy egész tudomány fejlődött ki a kaotikus jelenségekből, mely a már ismert törvények, addig el sem képzelt bonyolultságú megnyilvánulását ismerte fel. (Gleick, 1999)

Gleick citált könyvének bevezetőjéből kiemelt többjelentésű mondat valóban sok mindent takar: „A káosz ott kezdődik, ahol a klasszikus tudomány véget ér.”

Természetéből adódóan a káosz dinamikus jelenség, akkor fordul elő, amikor valami megváltozik. A változásnak ebben az értelemben két formáját határozhatjuk meg egyrészt a klasszikus fizika és dinamika által vizsgált változásokat, másrészt a kaotikus változásokat. Azokat a dolgokat, amelyek egy adott szituációban megváltozhatnak a káoszelméletben is változóknak nevezzük.

Nagyon fontos kérdés annak megválaszolása, hogy miért fontos a modern tudomány számára a káoszelmélet. A választ az alábbi pontokban foglalhatjuk össze (Komor, 2005):
  • Az egyszerűség és komplexitás, illetve a rendezettség és rendezetlenség közötti mélyen rejlő összefüggések feltárása révén összekapcsolja mindennapos tapasztalatainkat a természet törvényeivel.
  • Olyan világegyetemet mutat be, ami egyszerre determinisztikus és a fizika alaptörvényeinek engedelmeskedik, ám ugyanakkor képes arra is, hogy rendezetlen, komplex és előrejelezhetetlen legyen.
  • Megmutatja, hogy az előrejelezhetőség ritka jelenség, s csak azokon a határokon belül működik, amelyeket a tudomány kiszűrt összetett világunk sokféleségéből.
  • Lehetőséget teremt arra, hogy leegyszerűsítsünk komplex jelenségeket.
  • Egyesíti a képzeletgazdag matematikát a modern számítógépek lenyűgöző számító kapacitásával.
  • Kétségbe vonja a tudomány hagyományos modellépítő eljárásait.
  • Megmutatja, hogy a megértésnek és a jövőbeli események előrejelzésének minden összetettségi szinten önmagukból fakadó korlátai vannak.
A káoszelmélet három tényező miatt vált ismertté a világban (Komor, 2005):
  1. A lélegzetelállító számítókapacitás, ami lehetővé teszi a kutatók számára, hogy másodpercek alatt akár több száz millió bonyolult számítást is elvégezzenek.
  2. A számítókapacitás növekedésével együtt megnőtt a tudományos érdeklődés az olyan rendhagyó jelenségek iránt, mint pl.:
    • az időjárás véletlenszerű változásai,
    • a járványok terjedése,
    • a sejtek anyagcseréje,
    • a rovarok és madarak számának ingadozása,
    • a civilizációk felemelkedése és bukása,
    • az impulzusok terjedése az idegek mentén stb.
  3. A káoszelmélet akkor született meg, amikor az említett fejlemények a geometriai matematika egy új ágában egyesültek, amely túllépett az euklideszi geometria ismert alakzatain és eljutott a fraktál geometria nem euklideszi struktúráiig.
Néhány mondatot hallhatunk a káoszelmélet tőzsdei felhasználásáról:
Tőzsdei kereskedés a káoszelmélet segítségével

Kaotikus rendszerek jellemzői

A kaotikus rendszer állapotaira jellemző, hogy
  • mozgásegyenletekkel, nem lineáris differenciál egyenletekkel írható le
  • mozgásegyenlet egyik állapotból egy másik állapotba viszi a rendszert
  • a rendszer viselkedését nyomon követjük bizonyos állapotfejlődési görbék, trajektóriák segítségével
  • a trajektóriák (idő utak, időösvények) viselkedéséből következtetni lehet arra, hogy a rendszer káoszmentes vagy kaotikus a viselkedése
Kaotikus viselkedés esetén a két trajektória a fázistérben gyorsan, exponenciálisan távolodik, divergál egymástól az idő múlásával. A kaotikus rendszerek erősen és gyengén kaotikus rendszerek lehetnek.

Az erősen kaotikus rendszerekben a trajektóriák exponenciális görbe mentén távolodnak egymástól, a kis hibák felerősödnek az exponenciális hibaerősítő mentén.

A gyengén kaotikus rendszerekben a trajektóriák parabolikus görbe mentén távolodnak egymástól. A káosz határát súrolják, de nem érik el. A gyengén kaotikus rendszerek nyílt rendszerek, amelyek kölcsönhatásban vannak a környezettel. Sohasem kerülnek egyensúlyi állapotba, hanem egyik metastabil állapotból jutnak a másikba. Ezek a rendszerek tulajdonképpen stabilak, mert fennmaradnak a változó körülmények mellett is, hiszen rugalmasan reagálnak a megváltozott feltételekre.

Kaotikus viselkedés esetén csak rövid távra lehet egzakt előrejelzést készíteni. Hosszú távon a trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól, s nehéz következtetni hol létükre. A távolodás sebessége 0-hoz konvergál. Hosszú távú előrejelzés csak a kezdeti feltételek végtelen pontosságú ismeretében lenne lehetséges.

Nem-kaotikus viselkedés esetén a jelenben egymáshoz közeli két trajektória nem távolodik egymástól, illetve a távolodás kicsiny mértéke hosszabb távon is lehetőséget ad az egzakt előrejelzéshez.

A kaotikus viselkedés oka a rendszer nemlineáris természete. Ez azt jelenti, hogy a rendszer valamely, input paraméterének megváltozására adott válasza nem arányos a szóban forgó változással. Nemlineáris természetű pl. az időjárás, a folyadékok turbulensáramlása. A nem-linearitással kapcsolatos problémák tehát a fizika, a kémia, sőt a biológia és a társadalomtudományok területén is megjelentek. Ezért e tudományok a nem-linearitást, mint a társadalom számos területén megjelenő, azonos jellemzőkkel leírható interdiszciplináris jelenséget kezdték vizsgálni. A nemlineáris rendszerek rendkívül érzékenyek a kezdőfeltételekre. A kezdőfeltételekre való érzékenység jól érzékelhető az ún. pillangóeffektussal. A pillangóeffektus kifejezéssel szimbolizált érzékenység úgy illusztrálható, hogy egy pillangó finom szárnycsapásai egy távolabbi régióban hatalmas szélviharokat, hurrikánokat idézhetnek elő. Azaz a mikroszkopikus méretű változások makroszkopikus méretűvé transzformálódnak. Ezt a jelenséget a kis okok (generálta) nagy hatások jelenségének is nevezik.

Bifurkáció

Kaotikus viselkedés esetén a jövőre vonatkozóan különböző pályák jelennek meg, vagyis bekövetkezik a bifurkáció jelensége, ami kettéágazást jelent. Ha a nemlineáris rendszerek viselkedését leíró differencia- és differenciálegyenletekben az egyensúlyi pont instabillá válik, akkor alakul ki a bifurkáció (lásd ábra).
Úgy is fogalmazhatjuk, hogy nemlineáris egyenletek esetén előálló, minőségileg eltérő megoldások együttese. Bifurkáció esetén tehát a periodikus kettőződés jelensége áll fenn, amit további perióduskettőződések sorozata követhet. A rendszer két, egymástól lényegesen eltérő állapotú viselkedési formát vehet fel. A periódus-kettőződés a káoszhoz vezető egyik út, aminek során egy oszcilláló rendszer periódusa ismétlődően megduplázódik valamely paraméterének megváltoztatása folytán.
A bifurkáció kialakulásakor egy dinamikus rendszer átalakulása megy végbe, általában stabilabb és egyszerűbb állapotából kevésbé stabil és komplexebb állapotába.
Szemléletesen is ábrázolható, hogy egy adott szervezettségi szinten stabil rendszert a felerősödő fluktuációk kibillentik stabil egyensúlyi állapotából, és kritikus instabil helyzetbe vezérelhetik. A kritikus instabil helyzetből többféle átmeneti út (bifurkációk) vezetheti el a rendszert általában magasabb szervezettségi szinten megjelenő új stabil állapotba.
A bifurkáció alábbi típusai különböztethetők meg:
  • finom hajszálnyi - sima és egyenletes átalakulás,
  • katasztrofális - hirtelen átalakulás,
  • explozív - hirtelen és nem-folytonos tényezők a rendszert egyik állapotból egy másikba transzformálják.
Bifurkáció esetén a periódus-kettőződés jelensége áll fenn, amit további perióduskettőződések sorozata követhet. A periódus-kettőződés a káoszhoz vezető egyik út, aminek során egy oszcilláló rendszer periódusa ismétlődően megduplázódik valamely paraméterének megváltoztatása folytán. A periódus-kettőződés révén kaotikussá váló periodikus rendszerek esetében a rendszer állapotának periódusa újra meg újra megduplázódik (amíg a periódus végtelen hosszúvá nem válik). Másként fogalmazva, ha egy rendszer egy vagy több paraméter megváltoztatásának hatására nem-periodikus időfüggésűvé válik, akkor a rendszer a káosz felé tart.

Attraktorok

Az attraktor a rendszer viselkedését hosszú távon mutató geometriai forma, a stabil fixpontok által alkotott ciklusok. Az attraktor - mint ponthalmaz - magához vonzza azokat, a különböző kiindulási feltételekhez tartozó trajektóriákat, amelyek pályája a rendszert érő enyhe zavar esetén végül visszatér az attraktorhoz. Egy rendszerhez több attraktor is tartozhat, hiszen különböző kiinduló feltételek eltérő attraktorokat hozhatnak létre.
A matematikai algoritmusokat a számítógépes programok transzformálják geometriai formákká.

Az attraktoroknak két fajtája ismeretes:
  • az egyszerű és
  • a különös attraktor.
Az egyszerű, nem-kaotikus attraktor kétféle formában jelenik meg:
  • csillapodó oszcilláció, másképpen fixpontú attraktor = stacionárius állapot,
  • periodikus oszcilláció = oszcilláció a stacionárius állapot körül.
A különös attraktor kaotikus attraktorként ismert. Ez esetben az explozív oszcilláció nem-stacionárius állapotot idéz elő a nem lineáris rendszerekben. A jól ismert Lorenz attraktor számítógépes rajzai szemléletesen mutatják, hogy a káosznak struktúrája van, ami elegendő számú számítógépes futással kimutatható.

Fraktálok

A fraktálok tört dimenziójú kaotikus attraktorok, nem egész dimenziójú matematikai struktúrát vagy görbét jelölnek. Tulajdonságuk, hogy önhasonlóak, struktúra-ismétlőek. Ez azt jelenti, hogy bármely apró részletük ugyanolyan felépítésű, mint az egész rendszer. A fraktálok adják a káosz építőköveit, blokkjait.
A fraktálok felfedezője B. Mandelbrot, litván származású matematikus. Az ún. Mandelbrot halmazok jól mutatják a fraktálok önhasonlóságát, ami egy fraktál ábra eredeti részletének több százszoros nagyításával teljesen nyilvánvalóvá válik (lásd az alábbi ábrán). A fraktálforma általában nagyon mutatós és szép. A természet által generált fraktálok között pl. különböző levélminták, hópehelyminták találhatók. Az emberi szervezetben a levegő- és a véráramlás útjai mutatnak érdekes fraktál hálózatot. Ezek olyan alakzatok, amelyek nem írhatók le az euklideszi geometria segítségével, mert túlzottan szabálytalanok. Íme egy példa:
A káosz geometriája a fraktálgeometria. Fontos, hogy egy fraktálkép, amit látunk az soha sem az egész kép. Soha sem lehet megjeleníteni az egészet, mert a műveletet mindig el lehet végezni újra. Ez azt jelenti, hogy valóban végtelen, és a végtelen nem fér bele az idő és a tér véges korlátai közé. A teljes kép kizárólag a művelettel írható le. Maga az utasítássorozat jelenti a teljes képet. Ez a tulajdonság jellemzi a fraktálokat.
Néhány további példa a természetből:
Összefoglalóan elmondhatjuk, hogy fraktálnak tekintünk egy halmazt, amely:
  • finom felépítésű, tetszőleges kicsi léptékre nézve további részleteket mutat,
  • túlságosan szabálytalan, hogy a hagyományos geometria nyelvén leírható legyen,
  • gyakran az önhasonlóság valamilyen formájával rendelkezik, esetleg közelítő vagy
  • statisztikus értelemben, általában (valamilyen módon definiált) “fraktál dimenziója” amely többnyire egy nem egész szám, eltér a szokásos értelemben vett térbeli dimenziójától,
  • a legtöbb érdeklődésre számot tartó esetben rendkívül egyszerűen előállítható, például rekurzíven, azaz minden új eleme a korábban meghatározottak segítségével felírható.
 Prev
Next