Ugrás a tartalomhoz

Komputergrafika -- Matematikai alapok

Dr. Kovács Emőd

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

7. fejezet - Tér leképezése a síkra

7. fejezet - Tér leképezése a síkra

Általában a vetítési ponttranszformáció alatt azt értjük, amikor n dimenziós koordináta-rendszer pontjait vetítjük n-nél kevesebb dimenziójú koordináta-rendszer pontjaiba. Leggyakrabban a 3 dimenziós tér pontjait vetítjük a 2 dimenziós síkra. A vetítéshez meg kell adnunk a vetítés centrumát, és amire vetítünk, azaz a képsíkot. A centrumból indított és a térbeli objektum pontjain át húzott vetítősugarak képsíkkal alkotott döféspontjai (metszéspontjai) határozzák meg az objektum képét. Csak olyan esetekkel foglakozunk, amit síkbeli geometria projekciónak (vetítés) nevezünk, azaz a vetítő sugarak egyenesek és nem görbék, illetve a képsík sík és nem görbült felület. A térképészetben használnak más eseteket is. hasonló az IMAX vagy Omnimax filmszínház esete.

7.1. ábra. Vetítések osztályozása

A síkra való vetítések osztályozását megtalálhatjuk a 7.1. ábrán, ami Foley könyve [23] alapján készült. A * megjegyzés azt jelenti, hogy figyelembe kell venni az axonometria estében Pohlke-tételét: Egy alakzat axonometrikus képe hasonló az alakzat párhuzamos projekciójához. Tehát az axonometria egy párhuzamos vetítés és egy hasonlósági transzformáció szorzata. A hasonlósági transzformációknak részhalmaza a helybenhagyás (a hasonlósági tényező 1), azaz létezik olyan axonometria, amely párhuzamos vetítés, de nem minden axonometria párhuzamos vetítés.

Párhuzamos vetítés

Ebben az esetben a vetítés centruma végtelen távoli pont, azaz homogén koordinátás alakban a negyedik koordinátája 0. A vetítősugarak amelyek illeszkednek erre a végtelen távoli pontra párhuzamosak lesznek egymással hagyományos (eukleidészi) értelemben. Ezért sok esetben csak a vetítés irányvektorát szokás megadni descartesi alakban:

7.2. ábra. Vetítések osztályozása

A képsíknak tekinthetjük az koordináta síkot. A képsíkon egy térbeli pont képét úgy kapjuk meg, hogy vesszük a vetítési iránnyal (-vel) párhuzamos egyenest a ponton keresztül, majd ennek az egyenesnek és a képsíknak a metszéspontját határozzuk meg. Legyen pont helyvektora , illetve a képpont helyvektora melynek kiszámítása a 7.2. ábra alapján a következőképpen történik:

Kibontva ezt az egyenletet, a következő három egyenlőséget kapjuk:

Ezek után meg kell határoznunk -t. Az koordináta sík egyenlete , azaz minden pontjának koordinátája nulla. Ebből az következik:

amiből -t kifejezhetjük

Az eredményt visszahelyettesítve az első két egyenletbe a következőket kapjuk:

A fenti összefüggést mátrix alakban is megadjuk

Az mátrix harmadik sora csupa nulla, ami jelzi, hogy a párhuzamos vetítés dimenzió vesztő transzformáció. A párhuzamos vetítés speciális esete a merőleges vetítésről, ha vetítés iránya merőleges a képsíkra. Ebben az esetben

Az előbbi eredményt behelyettesítve a fenti egyenletrendszerbe, akkor a következőt kapjuk:

Tehát a legegyszerűbb vetítés az, ha elhagyjuk a térbeli koordinátát.