Ugrás a tartalomhoz

Komputergrafika -- Matematikai alapok

Dr. Kovács Emőd

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Térbeli homogén koordináták

Térbeli homogén koordináták

definíció: Térbeli homogén koordináták: A tér pontjait olyan rendezett számnégyesekkel reprezentáljuk, amelyek arányosság erejéig vannak meghatározva, és mind a négy egyszerre nem lehet nulla.

A definíció értelmezése:

  • rendezett számnégyes: ,

  • arányosság: az ugyanazt a pontot jelöli, mint a

    , ahol egy 0-tól különböző valós szám.

    Pl: ugyanazt a pontot jelöli, mint a ,

  • homogén koordinátájú pont nem létezik.

Áttérés hagyományos Descartes koordinátákról homogén koordinátákra.

Legyen egy térbeli pont hagyományos valós koordinátája , a homogén koordinátás alak lesz. Tehát az megfeleltetést használjuk. Mivel a homogén koordináták csak arányosság erejéig vannak meghatározva, ezért most már szorozhatjuk a koordinátákat, egy tetszőleges nem nulla valós számmal.

Visszatérés homogén koordinátákról Descartes koordinátákra.

Ha csak affin transzformációkkal foglakozunk, akkor a negyedik koordináta egy lesz, ezért a visszatérésnél egyszerűen elhagyjuk. Általánosan ha egy pont homogén koordinátája , és nem nulla, akkor az első három koordinátát eloszthatjuk a definícióban foglalt arányossági tulajdonság miatt a negyedik koordinátával:

Ebben az esetben láthatjuk, hogy valójában az és az megfeleltetést használtuk. Ha , akkor nincs hagyományos valós megfelelője a pontnak, ez csak a nem affin transzformációknál fordul elő.

Három ponton átmenő sík egyenletének megadása.

A síkot határozza meg három nem egy egyenesre 8 nem kollineáris) normált alakú pontja: , a , valamint a . Egy sík általános egyenlete , melyből -gyel való szorzás után következik az egyenlőség. Végezzük el az általánosan a két dimenzióban alkalmazott két ponton átmenő egyenes egyenletére alkalmazott eljárást, amiből azt kapjuk, hogy:

Tehát az a, b, c és d értékeket előállíthatjuk a megfelelő -as részmátrixok determinánsaként.

A homogén koordináták előnye az, hogy az ideális pontokhoz is tudunk megfelelő koordinátákat rendelni. Hátránya, hogy egyazon pont homogén koordinátákkal való meghatározása nem egyértelmű, mivel az így megadott pontok koordinátái csak arányosság erejével meghatározottak.

A módszer lényege, hogy a térbeli pontokat három koordináta helyett négy koordinátával azonosítjuk, azaz valamely P pont koordinátahármasa helyett a koordinátanégyest használjuk, ahol w egy tetszőleges, nullától különböző valós szám (skalár). Ebből az írásmódból bármikor visszatérhetünk a háromdimenziós koordinátákra, ha a vektor első három rendezőjét elosztjuk a negyedikkel. Látható, hogy egy számnégyeshez pontosan egy pont tartozik, de egy ponthoz végtelen számnégyes, melyek egymástól csak nullától különböző konstansszorzóban térnek el. A közönséges pont legegyszerűbb felírása az alábbi: , ebben az esetben a koordináta normált alakú.

Speciális esetet jelent, ha a negyedik koordináta 0, ebben az esetben ez végtelen távoli pontot jelöl, aminek nincs megfelelője az euklideszi térben. Az ideális pontok homogén alakjának összetevői közül az utolsót, a nullát elhagyva, a többiek az illető ideális pontra illeszkedő egyenesek irányvektorának összetevői. Az nem fordulhat elő, hogy mind a négy koordinátája egyszerre legyen nulla.

A transzformáció leírására szolgáló mátrixokat homogén koordinátákból építjük fel. A homogén koordináták segítségével a perspektivikus transzformációk is leírhatók. E koordináták bevezetésével minden transzformáció önálló matematikai egységként kezelhető, s egyben biztosítható az egymás után következő transzformációk összekapcsolása (konkatenációja).

Néhány nevezetes pont homogén koordinátája (tetszőleges, nullától különböző valós számmal):

  • az origó homogén alakja:

  • az x, y, illetve a z tengely végtelen távoli pontja: , , .