Ugrás a tartalomhoz

Komputergrafika -- Matematikai alapok

Dr. Kovács Emőd

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

2. fejezet - Mátrixok (Matrices)

2. fejezet - Mátrixok (Matrices)

[92] A matematikában – de általában az életben is – gyakoriak az olyan rendszerek, amelynek „jellemzéséhez” több szám kell. (Például egy tetraéder jellemezhető az éleinek hosszával, egy elektromos hálózat a csomópontok közötti részek ellenállásának nagyságával, stb.)

Ezekben az esetekben természetesen nem csak az számít, hogy milyen adatok szerepelnek, hanem az is, hogy ezek az adatok egymáshoz képest hogyan helyezkednek el. Ezzel lehet meghatározni, hogy egy-egy adat mit jellemez. Ilyen esetekben a szóban forgó alakzathoz tartozó mátrixról beszélünk.

A mátrixoknak különböző alakjuk lehet annak megfelelően, hogy a benne szereplő számokat hogyan helyeztük el. A leggyakrabban téglalap alakú mátrixokat használunk.

Mátrixaknak tekintjük tehát adatoknak téglalap alakban való elrendezését. E téglalapokról feltesszük, hogy véges sok soruk és véges sok oszlopuk van. A mátrixban szereplő adatokat a mátrix elemeinek nevezzük. Ezek az adatok általában számok, de más adatok is előfordulhatnak, például függvények, vagy újabb mátrixok. Az elemeket azzal határozzuk meg, hogy egy-egy elemről megmondjuk, melyik sorban és melyik oszlopban áll. Az itt lévő sor- és oszlopszámot az elemhez írjuk kettős indexként. Az valamely mátrixnak az i-edik sorában és j-edik oszlopában lévő elemet jelöli. Tekintsünk egy általános -es mátrixot, amelynek sora és oszlopa van:

A mátrixokat rendszerint zárójelbe tesszük, jelölve hogy a táblázatot egyetlen egységként kezeljük. Az matematikai irodalomban általában kerek zárójelet használnak, ebben a könyvben a komputergrafikában szokásos szögletes zárójeles jelölést alkalmazzuk.

Tehát a mátrixot azzal tudjuk meghatározni, ha megadjuk a sorainak és oszlopainak számát, valamint azt, hogy egy-egy előírt helyen milyen szám áll. Ez a szám tehát egy helynek a függvénye. A hely pedig nem más, mint egy számpár. Így a mátrixot egy olyan függvénynek tekintjük, amely egy természetes számokból álló számpárhoz egy számot rendel hozzá. A számpárban szereplő első számnak a sorok számánál, a második számnak pedig az oszlopok számánál kell kisebb vagy egyenlőnek lennie. Vegyük figyelembe, hogy számos programnyelvben nullától kezdődik a számozás, ekkor érteleszerűen 1-et le kell vonni minden indexelésből. Speciálisan egyetlen sort vagy egyetlen oszlopot, sőt egyetlen elemet is mátrixnak tekinthetünk.

Két mátrixot akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van, és a megfelelő helyeken álló elemek megegyeznek. Viszont nem kell megkövetelnünk az értékkészletek megegyezését, vagyis, ha például egy valós elemű mátrix minden eleme racionális, akkor nem tekintjük különbözőnek attól a mátrixtól, amelyik „ugyanez”, csak éppen racionális elemű mátrixnak értelmeztük.

Nevezetes mátrixok

  • Ha a mátrixnak egy sora vagy egy oszlopa van, azaz -es vagy -es, akkor sor-, illetve oszlopvektornak nevezzük.

  • Amennyiben a mátrix sorainak száma megegyezik az oszlopainak számával, a mátrix négyzetes.

  • A diagonálmátrix olyan négyzetes mátrix, melynek csak főátlójában vannak 0-tól eltérő elemek.

  • Az egységmátrix olyan diagonálmátrix, melynek főátlóbeli elemei egységek, jele: .

  • Nullmátrix minden eleme 0.

  • Egy mátrix transzponáltja a sorok és oszlopok felcserélésével nyert mátrix.

    Pl:

    továbbá érvényesek az alábbi szabályok:

  • Egy A négyzetes mátrixnak akkor létezik inverze, ha az mátrix kielégíti az és egyenleteket, ekkor az inverzmátrix. Egy mátrixnak csak abban az esetben lehet inverze, ha a determinánsa nem nulla, . Érvényesek az alábbi szabályok:

  • -es mátrix inverze:

  • Az ortogonális mátrix olyan négyzetes mátrix, melynek transzponáltja egyben az inverze is. A térben minden tengely körüli elforgatás olyan ortogonális mátrixszal írható fel, melynek determinánsa 1. A tengely körüli elforgatás és síkra vonatkozó tükrözés szorzata pedig -1 determinánsú ortogonális mátrix.