Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Feladatok a nemzetközi matematikaversenyekről

Feladatok a nemzetközi matematikaversenyekről

  1. Bizonyítsuk be, hogy ha természetes szám, akkor összetett szám!

  2. Mely pozitív prímszámokra lesz , , , mindegyike prímszám?

  3. Legfeljebb hány oldalú az a konvex sokszög, amely feldarabolható olyan derékszögű háromszögekre, amelyek hegyesszögei 30 és 60 fokosak? (A feldarabolás során csak ilyen háromszög keletkezhet, másféle sokszög nem).

  4. Hány olyan egyenlőszárú trapéz létezik, amelynek a kerülete 2011 és az oldalak mérőszáma egész szám?

  5. Létezik-e olyan négyzetszám, amelynek a számjegyeinek összege ?

  6. Határozzuk meg az összes olyan párt, ahol egész számok, amelyekre , amelyekhez létezik végtelen sok olyan pozitív egész szám, amire

    egész szám.

  7. Egy konvex sokszög mindegyik oldalához hozzárendeljük a legnagyobb területű olyan háromszög területét, aminek egyik oldala és ami benne van -ben. Bizonyítsuk be, hogy a oldalaihoz rendelt területek összege legfeljebb a háromszorosa területének.

  8. Határozzuk meg az összes olyan függvényt, ami a valós számok halmazát önmagába képezi és amelyre

    teljesül minden esetén.

  9. Egy pozitív egész számot alternálónak nevezünk, ha a tízes számrendszerbeli felírásában a szomszédos számjegyek mindig különböző paritásúak.

    Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amire igaz az, hogy -nek van olyan többszöröse, ami alternáló szám.

  10. Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós polinomot, amely kielégíti a

    egyenlőséget, valahányszor olyan valós számok, amelyekre teljesül