Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

10. fejezet - Kombinatorika és valószínűség a versenyfeladatokban

10. fejezet - Kombinatorika és valószínűség a versenyfeladatokban

Feladatok

  1. Egy sakkbajnokságon mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Ha a részvevők számát felére csökkentenék, akkor 145-tel kevesebb lenne a mérkőzések száma. Mennyivel csökkenne a mérkőzések száma, ha a résztvevők eredeti számát nem felére, hanem negyedére csökkentenénk?

  2. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Két versenyző lemondta a részvételét, ezért a tervezettnél 17-tel kevesebb mérkőzésre kerül sor. Hány résztvevő lesz így a lemondás után?

    1. Hány olyan háromjegyű természetes szám van, melynek az első vagy az utolsó számjegye 3?

    2. Hány 10 jegyű számot képezhetünk 5 db 2-es, 2 db 1-es és 3 db 0 számjegyből?

    3. A b) feladatban szereplő 10 jegyű számok közül hány lesz négyzetszám?

  3. Egy 9 tagú társaságból mindenki társának küld karácsonyi üdvözlőlapot. Milyen esetén lesz biztosan olyan pár, akik kölcsönösen üdvözölték egymást?

  4. Van 12 számkártyánk, amelyekből 4 kártyán 1-es, 4 kártyán 2-es és 4 kártyán a 0 számjegy szerepel.

    1. Hány különböző, 12 jegyű számot lehet összeállítani ezekből a kártyákból?

    2. Hány különböző, 4-gyel osztható 12 jegyű számot lehet összeállítani?

    3. Hány különböző, 12 jegyű négyzetszámot lehet összeállítani a kártyákból?

  5. Egy dobozban 2000 golyó van. Tömegük rendre 1 g, 2 g, 3 g, , 1999 g, 2000 g.

    1. Valaki kivett a dobozból 500 golyót. Biztosan ki tudunk-e még 500-at venni úgy, hogy a kivett 1000 golyó tömegének összege megegyezzen a dobozban maradt 1000 golyó tömegének összegével?

    2. És ha 501-et vett ki valaki, akkor biztosan ki tudunk-e még 499-et venni úgy, hogy a kivett 1000 golyó tömegének összege megegyezzen a dobozban maradt 1000 golyó tömegének összegével?

  6. Egy társaságban házaspárok jöttek össze, és mindenki mindenkivel kezet fogott, kivéve a saját házastársával. Így 200-nál több kézfogás történt. Másnap eggyel kevesebb házaspár jelent meg, ezért ezen a napon 200-nál kevesebb volt a kézfogások száma. Hány házaspár jelent meg a társaságban a két napon?

  7. Számítógépünkre írtunk egy programot, amely véletlenszerűen kiír egy háromjegyű számot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy abban páros és páratlan számjegy is szerepel?

      V I D E Ó  

  8. Adott a síkban 10 általános helyzetű egyenes. (Nincs köztük két párhuzamos, és bármely metszésponton csak két egyenes halad át.)

    1. Hány metszéspontja van a 10 egyenesnek?

    2. Hány egymást nem fedő szakaszt, és hány félegyenest számolhatunk össze a 10 egyenesen?

      V I D E Ó  

  9. Hány olyan háromjegyű szám van, amelynek

    1. minden jegye páratlan,

    2. minden jegye páros?

    3. Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a jegyek nem növekvő sorrendben követik egymást, azaz egyik jegy sem nagyobb az előtte állónál?

  10. Hány olyan 11-gyel osztható 9-jegyű szám van a tízes számrendszerben, amelyben a nulla kivételével minden számjegy előfordul?

  11. A G gráfnak egy S feszített részgráfját „dominánsnak” nevezzük, ha G minden S-en kívüli csúcsának van szomszédja S-ben. Létezik-e olyan gráf, aminek páros számú számú domináns részgráfja van?

  12. 11 000 űrhajósból álló csoportot készítettek fel a Mars-utazásra. Tudjuk, hogy bármely 4 űrhajós közül kiválasztható 3 olyan, akik megfelelő személyzetet alkotnak a leszálló modulhoz. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható 5 űrhajós úgy, hogy közülük bármelyik 3 megfelelő személyzet legyen.