Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása

  1. Meg kell határoznunk a test alakját. Egy négyszöglap éleihez csatlakozik mind a négy további lap. Mivel a test konvex, így a testet a négyszöglapok síkjai által határolt egyik konvex térrészből a háromszöglapok síkjai metszik ki.

    Ez a térrész egy triéder (háromoldalú testszöglet, amelyiknek a lapszögei -nál kisebbek), vagy végtelen, háromoldalú hasáb. Ennek a határlapjain a további két metsző sík között négyszögeknek kell keletkezniük, tehát a két sík metszésvonalának a térrészen kívül kell lennie, vagy párhuzamos a két sík. A háromszöglapoknak tehát nincs közös pontja.

    Legyenek ezek a lapok és , a további élek pedig , , . Jelöljük a , , lapok átlóinak a metszéspontját rendre , , -mal, és nézzük az , , egyeneseket.

    Az síkmetszet oldalának belső pontja , -nek pedig , így és metszi egymást a háromszög belsejének egy pontjában. Hasonlóan látható, hogy is metszi -at is, -at is.

    Az síknak egyik oldalára esik , a másikra és , tehát és is ellenkező oldalára esik. -nak tehát egy közös pontja van a síkkal, és így csak akkor metszheti -at is, -at is, ha ez a pont . A három egyenes tehát egy ponton megy keresztül, és ezt kellett bizonyítanunk.

  2. A tetraéder csúcsból induló élei páronként merőlegesek egymásra, ezért , és derékszögű háromszögek. Az a megfelelő derékszögű háromszögek középvonalai, tehát , , és az egyenlő szakaszok párhuzamosak is. Ezért a pontok egy téglatest nyolc csúcsa közül kerülnek ki, a szakaszok pedig a téglatest testátlói, tehát egyenlő hosszúak.

  3. Jelölje a szabályos tetraéder lapjainak területét és a magasságát (bármelyik csúcsból a szemközti lapra állított merőleges szakasz hosszát). Legyen továbbá a tetraéder egy tetszőleges belső pontja. A tetraéder térfogata egyenlő annak a négy tetraédernek a térfogatösszegével, amelyre a -t a csúcsokkal összekötő szakaszok felbontják az eredeti tetraédert. Ha most a távolságát az egyes lapoktól rendre így jelöljük: , ezek az egyes résztetraéderek megfelelő magasságok, tehát

    Ebből következik, hogy

    ami éppen a bizonyítandó állítás.

  4. Tekintsük a testnek egy leghosszabb húrját. E húron átfektetett sík a testet körben metszi, s a húr ennek a körnek átmérője, hiszen különben ennek a körnek, tehát magának a testnek is volna a kiszemeltnél hosszabb húrja. Ebből azonban az következik, hogy a test azonos azzal a gömbbel, amelynek egyik átmérője a kiszemelt húr. Ez az okoskodás hiányos, mert nem bizonyítja, hogy van leghosszabb húr. Okoskodásunk bizonyítássá válnék, ha ezt is bizonyítanánk, ehhez azonban a felsőbb matematika eszközeinek használatára volna szükség.

  5. Feltehetjük, hogy nincs a oldaléleken, mert ha pl. a élnek -től különböző pontja, akkor .

    Elég megmutatnunk, hogy az háromszögek valamelyike -nél derékszögű vagy tompaszögű. Ha ugyanis pl. az ilyen, akkor a legnagyobb oldala, s ezért .

    A -ből induló, -vel hegyesszöget bezáró félegyenesek annak a féltérnek a belsejében haladnak, amelyet a -ben -re merőlegesen állított sík határol, s amely tartalmazza a pontot. Ha tehát az előbb említett háromszögek -nél mindannyian hegyesszögűek, akkor a gúla minden csúcsa a mondott féltér belsejében van, tehát maga a gúla is, s ez ellentmond annak, hogy a féltér határsíkján helyezkedik el. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy háromszögeink között valóban van olyan, amely -nél nem hegyesszögű.