Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása

  1. Legyen az átlók metszéspontja , az , , , szakaszok hossza rendre , , , . Ismeretes, hogy egy négyszög átlói akkor és csak akkor merőlegesek, ha a szemközti oldalpárok négyzetének az összege egyenlő. Fennáll tehát a következő egyenlőség:

    Átrendezve és teljes négyzetté kiegészítve ebből az

    egyenlőség adódik. Azt kell tehát megmutatnunk, hogy a bal oldal nemnegatív. Ehhez kiegészítjük az ábrát. Hosszabbítsuk meg a oldalt -n túl az szakasszal, továbbá jelöljük tükörképét -re -vel. Ekkor paralelogramma, a deltoidban pedig és . Így szimmetrikus trapéz, tehát .

    Trapéz az 1. feladathoz

    A háromszögből a háromszögegyenlőtlenség szerint

    tehát a fenti kifejezés bal oldala valóban nemnegatív. Egyenlőség akkor áll fenn, ha -ba esik, vagyis a trapéz átlói felezik egymást, továbbá feltétel szerint merőlegesek, tehát a négyszög rombusz.

  2. A háromszög csúcsait jelölje , és , a pont vetületei a , , oldalakra pedig legyenek rendre , és . pontosan akkor súlypontja az háromszögnek, ha a , , egyenesek rendre felezik az , , szakaszokat. Vizsgáljuk meg, mit jelent az, hogy a egyenes felezi az szakaszt. Ha a és egyenesek metszéspontját -vel, az és pontok egyenesre eső vetületeit pedig -vel és -vel jelöljük, úgy akkor és csak akkor teljesül, ha , vagyis ha .

    Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az szakasz belső pontja. Ekkor az ábráról, az és húrnégyszögeket figyelembe véve, leolvasható, hogy

    és

    Ez akkor is igaz, ha a pont esetleg egybeesik az szakasz valamelyik végpontjával, vagy azon kívül helyezkedik el.

    A szinusztétel alapján tehát a egyenes pontosan akkor felezi az szakaszt, ha

    vagyis ha . Azon pontok, amelyekre ez az összefüggés teljesül, egy -n áthaladó egyenesre illeszkednek, amelyet megszerkeszthetünk úgy, hogy az és egyenesekkel, azoknak a háromszöget tartalmazó oldalán, azoktól , illetve távolságban párhuzamosokat húzunk, és ezek metszéspontját összekötjük a ponttal.

    Hasonlóképpen, a egyenes pontosan akkor felezi az szakaszt, ha . Világos, hogy a három feltétel közül bármely kettő teljesülése maga után vonja a harmadik teljesülését is.

    Ha az háromszög súlypontja, akkor szükségképpen illeszkedik az egyenesre, és arra az egyenesre is, amelyet úgy szerkeszthetünk meg, hogy az és egyenesekkel párhuzamosokat húzunk, azoknak a háromszöget tartalmazó oldalán, tőlük , illetve távolságban, és ezen párhuzamosok metszéspontját az csúccsal összekötjük. Az és egyenesek az háromszög belsejében metszik egymást. A keresett pont nem lehet más, mint ez a metszéspont, és ez valóban jó is.

  3. darab egységnyi oldalú négyzetből kirakandó téglalapot az oldalak hosszával határozhatjuk meg, melyek pozitív egész számok, szorzatuk pedig . Mivel , ezért a következő táblázat foglalja össze a lehetséges eseteket.

    a

    1

    2

    3

    4

    6

    8

    b

    72

    36

    24

    18

    12

    9

  4. lehet a négyzet középpontja, ekkor mind a négy háromszög egybevágó, az alapok a négyzet oldalai. A háromszögek kétféleképpen lehetnek egyenlő szárúak:

    • a négyzetoldal az alap, pedig az oldalak felezőmerőlegesein van

    • egyik száruk a négyzet oldala: ekkor a megfelelő csúcstól oldalnyi távolságra van.

    Ezért a csúcsok körüli oldalnyi sugarú körökön lehet.

  5. és derékszögű háromszögek hasonlóak:

    , amiből .

    Ugyanígy és háromszögek hasonlóak:

    , amiből .

    A kimetszett húrok valóban egyenlő hosszúak.

  6. egyenlőszárú háromszögek, és mivel csúcsszögük mellékszöge , ezért az alapon fekvő szögeik -osak.

    és háromszögek egyenlőszárúak, csúcsuk az pont.

    ,

    ,

    .

    Tehát , és .

  7. Az négyszög téglalap, ezért az átlóira igaz, hogy egyenlő hosszúak: . Így a talppontok távolsága akkor lesz a legkisebb, ha a legközelebb van az átfogóhoz, azaz a -ből induló magasságvonal talppontja.