Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A feladatok megoldásai

A feladatok megoldásai

  1. Alakítsuk át -et teljes négyzetes alakra!

    Innen már látható, hogy akkor és csak akkor lesz minden -re nagyobb -nál, ha

    azaz

    Ebből:

    elso-feladat.html

  2. Ha minden -re , akkor függvény minden -re nem negatív, és

    I. Ha , akkor , ez minden -re pozitív.

    II. Ha , akkor annak a szükséges és elegendő feltétele, hogy a másodfokú függvény minden -re nem negatív legyen az, hogy együtthatója pozitív és a diszkriminánsa nem pozitív.

    a) szerint az első tényező negatív, ezért , ebből . Az a) és b) feltételből .

    Az I. és II. feltételt figyelembe véve esetén vesz fel minden valós -re legalább 1-gyel nagyobb értéket, mint .

    masodik-feladat.html

  3. Írjuk fel a kétféle sorrendű összetett függvényeket:

    Így az egyenlőtlenség:

    Egy szorzat pontosan akkor negatív, ha tényezői ellenkező előjelűek. Mivel minden -re pozitív, így az előzőek szerint -nek negatívnak kell lennie, amiből adódik.

    Mivel a függvény szigorúan monoton növekvő és az helyen 1 az értéke, így pontosan akkor lesz 1-nél kisebb, ha . Tehát a megoldás: .

  4. Megmutatjuk, hogy ha és , akkor . Ebből következik a feladat állítása, hiszen tudjuk, hogy , így a intervallumot megfelezve, majd a kapott intervallumokat tovább felezve és ezt folytatva a felezőpontok mind zérushelyek lesznek.

    Tegyük fel tehát, hogy . Ekkor a feltétel szerint:

    Tegyük fel, hogy . A feltételt ismét felhasználva:

    és

    Ezeket összeadva:

    A feltétel szerint is becsülhetjük a bal oldalt. Így a következőt kapjuk:

    Ez pedig ellentmond annak, hogy , hiszen egy negatív szám kétszerese kisebb a számnál. Tehát

    A függvénynek nem feltétlenül kell mindenhol zérusnak lennie.

  5. Felírhatjuk esetén, hogy , amiből

    esetén

    Az -re kapott eredményt ez utóbbiba helyettesítve

    innen .

  6. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög -edik sorában vesszük az egymást követő és elemeket, akkor

    Ezért ha a Pascal-háromszög n-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája .

  7. A postaköltség 150 Ft, amit a végén, vagy egy másik folyószámláról vonnak le. Ezért akkor éri meg a lekötés, ha a kapott kamat mértéke meghaladja a postaköltséget, azaz

    Így , így legalább -ot érdemes lekötni.

  8. Mindkét oldalt -vel szorozva, majd a tagokat alakítva kapjuk, hogy:

    Ez akkor 0, ha , vagy . Mivel , és egy számtani sorozat három különböző eleme, ezért mindhárom esetben a két tag egyenlőségéből következik, hogy a differencia 0.

  9. Jelöljük a sorozat negyedik tagját -val, hatodik tagját -vel! A feladat feltételei szerint:

    és

    Ezekből

  10. Legyen a sarkon álló ház házszáma . Tudjuk, hogy , ahol . A számtani sorozat összegképlete alapján ebből

    és

    Mivel , ezért , 13, 26, 39 vagy 78. Mivel , ezért az utolsó négy esetben értéke túl nagy lesz. Az első esetben , , és így a negyedik ház házszáma .

  11. Az , helyettesítéssel , vagyis az jelöléssel . Ha , akkor a feltétel szerint , . Ha tehát létezik ilyen függvény, arra szükségképpen . Ekkor tetszőleges valós szám esetén az helyettesítéssel adódik, vagyis teljesül minden -re. Mivel ez a függvény minden , valós számpárra ki is elégíti az egyenletet, a feladat egyetlen megoldása az függvény.

  12. Az f függvény értelmezési tartománya a intervallum.

    A számtani és négyzetes közepek között fennálló egyenlőtlenség értelmében minden ilyen -re

    ahol egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

    Minthogy ennek pontosan az szám tesz eleget, az függvény maximuma , amit az helyen vesz fel.

  13. Minden pozitív egész számra , vagyis . Legyen tetszőleges pozitív egész, ekkor alkalmas pozitív egész számmal . Tegyük fel, hogy . Ekkor , vagyis , ami nem lehetséges. Ezért minden pozitív egész számra .

  14. A számtani sorozat tagjára vonatkozó képlet alapján , ahonnan , , illetve ebből azonnal látható, hogy , és a eredmény miatt is nyilvánvalóan racionális szám. Felhasználva, hogy

    ebből

    Ha irracionális szám lenne, akkor is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát racionális, így is az: , ahol , vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha , tehát egész. Mivel és legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és valóban 81.

    Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig esetén, ekkor és .

  15. Legyen .

    Legyen ,

    Ez egy másodfokú függvény, maximumát -ben veszi fel. Ekkor , vagyis . Tehát értéke

    esetén lesz a legnagyobb (ez az érték ).

  16. 10 hosszú sorozatra jó példa az 5, -7, 5, -7, 5, 5, -7, 5, -7, 5 sorozat, és ennek bármely néhány egymást követő tagja is jó sorozatot alkot, vagyis esetén létezik ilyen sorozat. Megmutatjuk, hogy 11 hosszú sorozat már nem adható meg a kívánt módon, ebből következik, hogy esetén nincsen megfelelő n hosszúságú sorozat. Tegyük fel, hogy mégiscsak létezik ilyen 11 hosszú sorozat. Ebben bármely két egymást követő tag valamelyik irányban kiegészíthető a sorozat 7 egymást követő tagjává, melyek összege negatív, de a hozzávett 5 tag összege pozitív. Ebből következik, hogy a sorozat bármely két egymást követő tagjának összege negatív. Ekkor azonban az első 10 tag összege egyszerre pozitív és negatív is kell, hogy legyen, ami nem lehetséges.

    1. Az néhány értékének kipróbálása után azt a sejtést fogalmazhatjuk meg, hogy . Ez esetén így van, ha pedig valamely természetes számra , akkor

      állításunk helyessége tehát következik a teljes indukció elvéből.

    2. Írjuk fel a megadott feltételek alapján az

      különbségeket. A különbségek összeadása után azt kapjuk, hogy

      és így alapján .

  17. Az függvény pozitív értékeket vesz csak fel, ezért pontosan ott van a maximuma és a minimuma, ahol a négyzetének:

    Ennek (és -nek is) legkisebb értéke 1, amit és esetén vesznek fel. A legnagyobb értéket pedig esetén veszik fel, ekkor .