Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

6. fejezet - A számelmélet megjelenése a matematika versenyekben

6. fejezet - A számelmélet megjelenése a matematika versenyekben

Feladatok

  1. Legyen páratlan prímszám, pedig pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy -nek legfeljebb egy olyan pozitív osztója van, amelyikre négyzetszám.

  2. Legyen és két pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy legfeljebb véges sok egész szám esetén lehet és a egyaránt négyzetszám.

  3. Létezik-e pozitív egészekből álló végtelen sorozat, melyben semelyik szám sem osztója egyetlen másiknak sem, bármely két számnak van 1-nél nagyobb közös osztója, ugyanakkor nincs olyan 1-nél nagyobb szám, amely a sorozat minden elemének osztója?

  4. Adjuk össze az természetes számok pozitív páros osztóinak számát, majd végezzük el ugyanezt a páratlan osztókkal is. Mutassuk meg, hogy a két összeg eltérése nem nagyobb -nél.

  5. Legyen nemnegatív egész szám, és tegyük fel, hogy az egész számok legalább különböző maradékot adnak -val osztva. Bizonyítandó, hogy a számok között van néhány, amelyek összege osztható -val.

  6. Az számok közül úgy akarok kiválasztani hármasokat, hogy , továbbá hogy bármely két kiválasztott , hármasra az egyenlőségek közül legfeljebb egy teljesüljön. Maximálisan hány ilyen számhármast választhatunk ki?

  7. Egy különböző számjegyekből álló hatjegyű szám számjegyei (valamilyen sorrendben) . Az első két számjegyből álló kétjegyű szám osztható -vel, az első három számjegyből álló háromjegyű szám osztható -mal és így tovább, maga a szám osztható -tal. Melyik ez a szám?

  8. Igazoljuk, hogy minden olyan derékszögű háromszögben, amelyben az oldalak hosszának mérőszáma egész, valamelyik befogó hosszának mérőszáma osztható -mal!

  9. Melyek azok a kétjegyű természetes számok, amelyekre igaz, hogy maga a szám -tel nagyobb, mint számjegyeinek szorzata?

  10. Legyen természetes szám, s legyen osztója -nek. Bizonyítandó, hogy nem négyzetszám.