Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Tesztfeladatok 9-10. osztályosoknak

Tesztfeladatok 9-10. osztályosoknak

Könnyebb feladatok (3 pontosak):

  1. Péter azt mondta, hogy a könyveinek 25%-a regény, -ed része pedig verseskötet. Elárulta még, hogy 50-nél több, de 100-nál kevesebb könyve van. Hány könyve van Péternek?

  2. A városi kutyapecér választásokon 5 jelölt indult. Semelyik két jelölt nem kapott ugyanannyi szavazatot, a győztesre 10-en szavaztak. Legfeljebb hány voksot gyűjthetett a legkutyaütőbb kutyapecérjelölt?

  3. Egy étteremben egy főételért 2250 forinttal többet kell fizetni, mint egy desszertért. A főétel és a desszert együtt 12-szer annyiba kerül, mint a desszert. Mit mondhatunk a desszert áráról forintban?

  4. Egy digitális órán egy nap során 00:00-tól 23:59-ig hány percen át láthatók a 2, 0, 0, 6 számjegyek egyszerre valamilyen sorrendben?

  5. Rakd a következő négy számot növekvő sorrendbe: ,  !

  6. Egy szem meggy húsa ugyanolyan vastag rétegben borítja a magot, mint amilyen vastag maga a mag. (Tekintsük a meggyet is, a magot is gömbnek.) Hányszorosa az ehető rész térfogata a mag térfogatának?

  7. Mennyi a számjegy értéke, ha , ahol kétjegyű számot jelöl?

  8. Az alábbi számok közül melyik lesz minden természetes szám értékére páratlan?

  9. Mi a legnagyobb kitevő, melyre a osztója a -nek?

  10. Az ábrán látható mindegyik kör területe , a négyzeté pedig (I). Mekkora a három kört körülvevő görbével határolt síkidom (II) területe?

Megjegyzés: Ezek a feladatok még inkább az általános iskolai tananyagra építenek, mint a csak középiskolában tanultakra, de megoldásukhoz alapos tudás szükséges. A különböző nehézségi szinteken megfigyelhetjük, a matematika minél több területéről válogatnak feladatokat: geometriai, számelméleti, algebrai jellegű feladatok egyaránt szerepelnek. Itt még több a gyakorlati jellegű feladat, a későbbiekben (közepes és nehezebb feladatok) már több matematikai formalizmus szerepel a feladatok szövegezésében.

Közepes nehézségű feladatok (4 pontosak):

  1. Egy udvariatlan férfi megkérdezte Ágnes asszonytól, hány éves. A hölgy így válaszolt: „Ha 100 évig fogok élni, akkor mostani életkorom háromnegyede egyenlő a hátralévő éveim számának felével." Hány éves Ágnes asszony?

  2. Mi az alább vázolt függvény hozzárendelési szabálya?

  3. Milyen vektor lesz a téglatest egyik csúcsából kiinduló három oldalvektor és három lapátlóvektor összege?

  4. Az háromszög csúcsából induló félegyenes az oldalt a pontban metszi. Az így keletkezett szög egyenlő a háromszög szögével. Mekkora a szakasz hossza, ha és ?

  5. Ha a 24009-et és a 41982-t ugyanazzal a négyjegyű számmal elosztjuk, mindkétszer ugyanazt a maradékot kapjuk. Mi ez a maradék?

  6. Hány olyan természetes szám van, amely 5-ös és 6-os számrendszerben egyaránt négyjegyű?

  7. Hány pozitív osztója van a számnak?

  8. Két egybevágó, 18 cm kerületű szabályos háromszöget az ábrán látható módon úgy helyezünk egymásra, hogy megfelelő oldalaik párhuzamosak legyenek. Hány cm a közös részként kialakult hatszög kerülete?

  9. Az háromszögnek a csúcsnál derékszöge van, a és csúcsból induló súlyvonalak pedig merőlegesek egymásra. Ha a oldal 12 egység hosszú, akkor az oldal hossza:

  10. Hány természetes számpár megoldása van az alábbi egyenletnek: ?

Megjegyzés: A feladatok ezen a szinten már mélyebb középiskolai ismereteket igényelnek. Itt már megjelennek azok az új tartalmak (hatványozás azonosságai, algebrai kifejezések, függvények, geometriai számítások, stb.), amelyekkel a tanulók általános iskolában nem találkoztak. Több feladat ezek közül a magasabb évfolyamon ugyancsak meg szokott jelenni. A nehezebb feladatok már igazi problémamegoldó gondolkodást igényelnek, az ismeretek újszerű alkalmazását. Ezen a szinten a feladatok többsége már elszakad a gyakorlati élettől, és inkább a hagyományos matematika versenyek feladataihoz hasonlít.

Nehezebb feladatok (5 pontosak):

  1. Minden egész percben megmérjük a nagymutató és a kismutató szögét 12:01 és 23:59 között. Hány fokos lesz a legkisebb mért hajlásszög?

  2. Egy másodfokú függvényről tudjuk, hogy , és . Mennyi az értéke?

  3. Az 1, 2, 3 számokat felírtuk egy körvonal mentén. Következő lépésben a szomszédos számok közé odaírtuk az összegüket, így a következő hat szám szerepel a körvonal mentén: 1, 3, 2, 5, 3, 4. Ezt a műveletet még négyszer megismételjük. Mennyi lesz ekkor a körvonal mentén elhelyezkedő 96 szám összege?

  4. Hányféleképpen lehet összeállítani egy vasúti szerelvényt az I, II, III, IV és V jelű kocsikból úgy, hogy az I jelű vagon közelebb legyen a mozdonyhoz, mint a II jelű?

  5. Legalább hány számot kell törölni az halmaz elemei közül, hogy a megmaradó számok közül semelyik kettőnek az összege ne legyen négyzetszám?

  6. Egy focilabdát fehér és fekete bőrdarabokból varrtak össze. A fekete darabok szabályos ötszögek, a fehérek szabályos hatszögek. Minden ötszöget öt darab hatszög határol, a hatszögek mindegyikét pedig három darab ötszög és három darab hatszög veszi körül. A labdán 12 fekete ötszög található. Mennyi a fehér hatszögek száma?

  7. Mennyi a számjegyek összege a legkisebb olyan természetes számban, amely 6-ra végződik, és ha ezt a 6-ost a szám végéről töröljük, és átírjuk a szám elejére, akkor az eredeti szám 4-szeresét kapjuk?

  8. Egy 7-re végződő pozitív egész számnak 100 pozitív osztója van. Hány pozitív osztója van a szám tízszeresének?

  9. Felírjuk a pozitív egész számokat a következő elrendezésben:

    Mennyi lesz a számok összege a táblázat 100-adik sorában?

  10. Legyenek és különböző pozitív egész számok, továbbá S(a,b) értékét mindig számoljuk ki úgy, hogy a két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének összegéből kivonjuk a két szám összegét. Hány olyan számpár van, amelyre igaz, hogy és ?

Könnyebb feladatok (3 pontosak):

  1. Egy akváriumban 200 hal úszkál. 1%-uk kék, a többi sárga. Hány darab sárga halat kell kivenni az akváriumból, hogy a benne maradt halaknak a 2%-a legyen kék?

  2. Az alábbi számok közül melyik a legkisebb?

  3. Hány olyan pozitív egész szám van, amelyre prímszám?

  4. Mi a legnagyobb kitevő, melyre a osztója a -nek?

  5. Milyen vektor lesz a téglatest egyik csúcsából kiinduló három oldalvektor és három lapátlóvektor összege?

  6. A paraméter mely értéke mellett érinti az egyenletű egyenes az egyenletű parabolát?

    metszespont.html

  7. Az háromszög csúcsából induló félegyenes az oldalt a pontban metszi. Az így keletkezett szög egyenlő a háromszög szögével. Mekkora a szakasz hossza, ha és ?

  8. Legyen . Hány olyan valós számpár van, amelyre és ?

  9. Egy matematika versenyen 4 feladatot tűztek ki. A 100 induló közül az első feladatot 90-en, a másodikat 85-en, a harmadikat 80-an, a negyediket 70-en oldották meg. Legalább hányan oldották meg mind a négy feladatot?

  10. Egy 13 és egy 15 cm sugarú kör metszéspontjainak távolsága 24 cm. Hány cm lehet a két kör középpontjának távolsága az alábbiak közül?

Megjegyzés: Ezek a feladatok hasonlítanak leginkább a középszintű érettségi első részében szereplő feladatokhoz: általában egy definíció, tétel közvetlen alkalmazásával, rövid számolással megoldhatók. Itt és a későbbiekben is a teljes középiskolai tananyagon alapul a feladatsor, látható, hogy milyen sokféle területet felölel, nagyon jól alkalmazható a tanulók ismereteinek és képességeinek felméréséhez.

Közepes nehézségű feladatok (4 pontosak):

  1. A 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok közül hány olyan van, amely lehet egy egész szám négyzetének utolsó két számjegye?

  2. Hány pozitív osztója van a számnak?

  3. Kiszámítottuk az kifejezés értékét, elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket is. Mennyi az így kapott tört számlálójának és nevezőjének az összege?

  4. Minden egész percben megmérjük a nagymutató és a kismutató szögét 12:01 és 23:59 között. Hány fokos lesz a legkisebb mért hajlásszög?

  5. Az négyzet 4 cm hosszú oldalára befelé az szabályos háromszöget rajzoltuk. Hány cm a háromszög köré írható kör sugara?

      V I D E Ó  

  6. Egy másodfokú függvényről tudjuk, hogy , és . Mennyi az értéke?

  7. Mennyi az egyenlet egész megoldásainak összege?

  8. Egy szigeten kétféle kenguru él: világos és sötét. Az összesen 2009 kenguru között semelyik kettő nem ugyanolyan magas. A világos kengurukat nagyság szerint sorba állítottuk, majd a legkisebbtől kezdve mindegyiktől megkérdeztük, hogy hány sötét kengurunál magasabbak. A következő válaszokat adták: 8, 9, 10, 11, 12, és így tovább, egyesével. Hány világos kenguru él a szigeten, ha közülük a legmagasabb az összes sötét kengurunál magasabb?

  9. Hány olyan egész szám van, amelyre a kifejezés értéke is egész szám?

  10. Egy 1 cm sugarú kör és egy 3 cm oldalú szabályos háromszög középpontja egybe esik. Hány cm hosszú a két alakzat egyesítésével kapott alakzat kerülete?

Nehezebb feladatok (5 pontosak):

  1. Mennyi az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek ismétlés nélküli permutációival képezhető ötjegyű számok összege?

  2. Az ábrán az és a négyszögek paralelogrammák, ahol egység. Hány egység hosszú a szakasz?

  3. Egy hosszú folyosón 1000 terem van, az elsőben 1000 ember szorong, a többi üres. Minden percben sípszóra minden olyan teremből, ahol egynél több ember van, egy ember átmegy a következő terembe. Egy óra elteltével hány terem lesz üres?

  4. Hány olyan háromjegyű szám van, amely 12-szerese a számjegyei összegének?

  5. Az alábbi értékek közül melyik a legjobb közelítés egy egység sugarú gömbbe írt szabályos tetraéder élhosszára?

  6. Egy derékszögű háromszög befogói és egész számok. Mekkora a háromszög kerülete, ha is egész szám?

  7. Hány olyan legfeljebb négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye 1, 2 vagy 3, és van legalább egy darab 1-es és egy darab 2-es számjegye?

  8. Hányféleképpen lehet kivágni 8 mezőt egy sakktáblából, hogy semelyik sorból, illetve oszlopból nem vághatunk ki egynél több mezőt és semelyik sarokmezőt sem vághatjuk ki?

  9. Hány olyan egész szám van, amelyre létezik olyan konvex (minden szöge kisebb -nál) oldalú sokszög, melynek belső szögeinek aránya 1:2:3::n?

  10. Egy matekversenyen 10 versenyző jutott a döntőbe. Minden feladatot pontosan 7-en oldottak meg. A névsorban első 9 versenyző mindegyike 4 feladattal boldogult. Mennyit sikerült megoldania a tizedik versenyzőnek?

Feladat: Oldja meg a fenti teszteket!