Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

4. fejezet - A teszt-versenyek feladattípusai

4. fejezet - A teszt-versenyek feladattípusai

A hazai matematikaversenyek sorában a legkésőbb – csak az 1990-es évektől kezdődően – honosodtak meg a teszt jellegű matematikaversenyek. Elsőként a Zrínyi Ilona Matematikaverseny indult el, majd azt követte a Gordiusz és a Nemzetközi Kenguru Matematika Verseny. Ma már egyre több helyi, vagy megyei szintű versenyt is teszt formájában bonyolítanak le (pl. Hajnal Imre Matematikai Tesztverseny). A tesztversenyeken előfordulnak nyílt végű kérdések és eldöntendő kérdések egyaránt, általában 4-5 adott válasz közül kell a helyeset kiválasztani. A feladatok jellemzően játékos formában vannak megfogalmazva, gyakran ábrákkal kiegészítve, és nehézségi szintjük is különböző, versenyenként általában fokozatosan nehezednek (nehezebb feladatok természetesen több pontot érnek). Kezdetben bizonyos ellenállás volt tapasztalható a tanárok részéről a tesztversenyekkel szemben, mert a gondolkodási folyamatot és a feladatok részletes kidolgozását ezeken nem lehet nyomon követni, ami a hagyományos versenyeknél pedig a legfontosabb szempont. A tesztversenyek más típusú készségeket, képességeket igényelnek, mint a hagyományos versenyek. A matematika tananyag ismeretén kívül itt szükség van a tanuló döntési képességére, logikai készségére, gyors gondolkodásra, kreativitásra, viszont kevésbé van szükség a pontos matematikai szimbolizmus és szaknyelv használatára. Mivel ezek a feladatok sokszor gyakorlatiasak, ezért az ilyen gondolkodású, gyakorlati problémák iránt érzékenyebb, de esetleg kevésbé precíz matematikai tudással rendelkező tanulók sokszor eredményesek az ilyen típusú feladatok megoldásában. A problémamegoldó gondolkodást a tesztfeladatok ugyanolyan jól fejlesztik, mint a kidolgozandó feladatok, de az a tény, hogy a részletes kifejtést nem kell leírni, sokkal több tanuló számára teszi elérhetővé a versenyen való részvételt, és így több tanulónak nyújt sikerélményt a matematikával kapcsolatban, mint a hagyományos versenyek. A Kenguru versenynek kimondott célja, hogy a matematikát közelebb hozza a tanulók minél szélesebb rétegeihez, és lehetőséget biztosítson egy-egy iskolából a diákok nagy tömegének a versenyen való indulásra – akár a matematikából gyengébb eredménnyel rendelkezőknek is. A matematika órákon való eredményesség sokszor nem a készségeken, képességeken múlik, hanem a szorgalom, hozzáállás, matematikával szembeni attitűdök, iskolatípus, stb. is befolyásolja. A tesztversenyeken való részvétellel éppen ezeket a hiányosságokat lehet áthidalni, és nagyobb motivációt nyújtani a tanulóknak. Az egyik ellenérv az ilyen típusú versenyekkel szemben az volt az első időkben, hogy a matematika oktatásában a számonkérésben nem szoktunk tesztfeladatokat adni, mert hagyományosan azt kérjük számon a tanulóktól, hogy minden lényeges momentumot, gondolati egységet írjanak le, ami módszertani szempontból nagyon helyes. Ma már ez a kritika nem tűnik helyénvalónak, mert a középszintű érettségi I. részében pontosan ilyen jellegű rövid feladatok szerepelnek (bár többségük nem feleletválasztós, hanem nyílt végű). Ez a fajta gondolkodási mód, melyben a döntésnek, a biztosan hibás válasz kiszűrésének lényeges szerepe lehet, a gyakorlati élet sok területén hasznosítható képességek elsajátítását segíti. Egy másik ellenérv, hogy nem hozza ki a úgy a matematika tudásbeli különbségeket a tanulók között, hiszen „véletlenül" is eltalálhatja a jó választ valaki akkor is, ha nem tudja a pontos eredményt kiszámolni. A tapasztalat azt mutatja, hogy a hagyományos versenyeken jól szereplő tanulók a tesztversenyeken is jó eredményeket érnek el, és emellett azoknak is sikerélményt nyújthatunk, akik ezt a hagyományos feladatmegoldó versenyeken nem tudnák elérni.

A feladatsorok összeállítói nagy gondossággal választják ki a feladatokat, a nehézségi szinteket is be kell állítaniuk. A feladatok nemzetközi szinten is megállják a helyüket. A tesztversenyek egyik pozitívumaként szokták felhozni, hogy a javítás, a tesztlapok feldolgozása gyorsabb és egyértelműbb, ma már gyakorlatilag számítógép végzi. Ezáltal biztosítva van a teljes objektivitás is. Egy másik pozitív vonás, hogy míg a hagyományos versenyeken 4-6 feladat van átlagosan, addig tesztfeladatból 20-30, ami azt jelenti, hogy a matematika sokkal több területét felölelhetik a feladatok, ezáltal a tanulók tudásáról szélesebb spektrumban tájékozódhatunk. Ma már több olyan honlap is található, amelyen ilyen tesztfeladatok szerepelnek, akár érettségire, akár versenyre felkészítés céljából (pl. www.microprof.hu), valamint évente több kiadvány is megjelenik a lezajlott versenyek feladataival, melyek mind a felkészülést segítik. Mivel manapság a matematika tanításának egyik kritikus pontja a motiváció, a tanulói érdeklődés felkeltése, a tesztversenyek kitalálói és lebonyolítói úttörő munkát végeznek ezen a téren, ami méltánylandó teljesítmény, és nem kis segítség a tanároknak a mindennapi munkában.

A továbbiakban a 7-12 évfolyam számára készített tesztversenyek feladataiból mutatunk be néhányat, egyszerűbb és nehezebb feladatokat egyaránt, és néhány didaktikai megjegyzést fűzünk hozzájuk. A tesztek megoldását az olvasóra bízzuk.

Tesztfeladatok 7-8. osztályosoknak

Könnyebb feladatok (3 pontosak):

  1. Az alábbi kifejezések közül melyiknek legnagyobb az értéke?

  2. A parkban 64 pad van, melyek közül 18-cal több padon ülnek, mint ahány üres. Minden padon, amin ülnek, két ember pihen. Hányan üldögélnek a parkban?

  3. Mekkora a legnagyobb szám azon 11 szomszédos egész szám közül, melyek összege 0?

  4. Krisztián 17 g vízhez 3 g sót kevert. Hány százalékos sóoldatot kapott?

  5. Afrika a maga 30 millió négyzetkilométeres területével a harmadik legnagyobb földrész Ázsia és Amerika után. Afrika területének részét sivatag vagy szavanna borítja. Hány millió négyzetkilométer sivatag és szavanna található összesen Afrikában?

  6. A virágnektár 70% vizet tartalmaz, és 17% méz készül belőle. Hány kg nektárt kell gyűjteni a méheknek 1 kg mézhez?

  7. Az Óperenciás-tenger mindkét partján van egy-egy kikötő. Mindkettőből minden reggel 7 órakor indul egy-egy hajó a másik kikötőbe. Az út 170 óráig tart. Egy hajón utazva hány hajóval találkozunk szembe?

  8. Ha , akkor ?

  9. Egy háromszögnek van két 7 cm hosszú oldala. A harmadik oldal hossza cm-ben mérve egész szám. Legfeljebb hány cm lehet a háromszög kerülete?

  10. Egy osztályba 21 tanuló jár. Az osztályba járó lányok között nincs két olyan, aki fiú osztálytársai közül ugyanannyinak tetszik. Legfeljebb hány lány jár ebbe az osztályba?

Megjegyzés: Ezek a feladatok alapvető ismeretekre épülnek, általában egy kulcsgondolat kell a válasz megadásához, vagy egy rövid számolás. Legtöbbször közvetlenül egy tanult definíció, tétel vagy szabály felismerésén alapulnak.

Közepes nehézségű feladatok (4 pontosak):

  1. Mely számjegyeket töröljük az 592647 számból, hogy a legnagyobb háromjegyű, páros számot kapjuk?

  2. Kriszta kertjének alaprajzát látod az ábrán. A távolságok méterben vannak megadva. Hány m a kert területe?

  3. Egy régi típusú kenyérpirító egy perc alatt 4 szelet kenyér egyik oldalát tudja megpirítani. Minimum hány perc kell 9 szelet kenyér mindkét oldalának a megpirításához?

  4. Az elmúlt öt évben és idén nagypapa életkora osztható volt unokájáéval. Hány éves lehet a nagypapa?

  5. Jani, Feri és Józsi egy almásban dolgoznak. Jani 30 perc, Feri 45 perc, Józsi 36 perc alatt szed tele egyedül egy ládát almával. Mennyi idő alatt szednek 3 láda almát együtt?

  6. Egy sakkmester szimultánt ad. Az első órában a befejezett játszmák 90%-át nyeri meg, és 1 partit veszít el. A szimultán befejezésekor a mester az első órában be nem fejezett játszmáknak csak a 20%-át nyeri meg, 2 partit elveszít és 2 parti döntetlenül végződik. Hány partit nem fejezett be az első órában?

  7. Mennyi a tört értéke, ha a különböző betűk különböző, az azonos betűk azonos számjegyeket jelölnek, és a számlálóban és a nevezőben is ezen számjegyek szorzata szerepel?

  8. Öt év múlva Karcsi háromszor annyi idős lesz, mint 3 éve volt. Hány éves most Karcsi?

  9. Ha a 24009-et és a 41982-t ugyanazzal a négyjegyű számmal elosztjuk, mind a kétszer ugyanazt a maradékot kapjuk. Mi ez a maradék?

  10. Egy 5 cm 7 cm -es téglalapot 1 cm 1 cm -es négyzetekre osztunk. Hány négyzeten halad át a téglalap egyik átlója?

      V I D E Ó  

Megjegyzés: A közepes nehézségű feladatok már több gondolkodást igényelnek, de általános iskolai ismeretekkel mind megoldhatók. A logikus gondolkodásra, az ismeretek új, alkotó módon való alkalmazására ezeknél már nagyobb szükség van.

Nehezebb feladatok (5 pontosak):

  1. Egy hajó hosszának, árbocmagasságának, a hajókapitány és kisfia életkorának szorzata 303335. A számok pozitív egészek. Hány éves a kapitány?

  2. A válaszokban szereplő rajzok közül melyik ábrázolja azt a kockát, amelyet az ábrán látható testhálóból készíthetünk?

  3. Hét rabló a zsákmányolt aranyat úgy osztja el, hogy névsor szerint vesznek annyit, amennyi az ott lévő aranyak számának a számjegyeinek az összege. Két teljes kör után az aranyak elfogynak. Mindenkinek ugyanannyi jutott, csak a vezérnek lett több. Hányadik a vezér a névsorban?

  4. Timi és Tomi ugyanabban az évben születtek, mindketten vasárnap. Timi április -adikán, Tomi pedig május -adikán. Hányadikán született Tomi?

  5. Mennyi a számjegyek összege a legkisebb olyan természetes számban, amely 6-ra végződik, és ha ezt a 6-ost a szám végéről töröljük, és átírjuk a szám elejére, akkor az eredeti szám 4-szeresét kapjuk?

  6. Hány olyan pozitív egész szám van, amelynek legnagyobb valódi osztója éppen 15-szöröse a legkisebbnek (egy számnak 1 és önmaga nem valódi osztója)?

  7. Hány olyan 10-nél nagyobb, 1000-nél kisebb természetes szám van, amelyben a számjegyek növekvő sorrendben követik egymást? (Például a 469 ilyen, mert .)

  8. Péter állandó sebességgel kerékpározott el otthonról a nagymamájához. Ha 3 -mal nagyobb sebességgel haladt volna, akkor háromszor olyan gyorsan odaért volna. Hányszor olyan gyorsan ért volna oda, ha 6 -mal növelte volna meg a sebességét?

  9. Egy számítógépes játékban a képernyőn található piros és kék körökkel egy lépés során az a változás történik, hogy 3 egyforma színű kör helyett 2 másik színű kör jelenik meg. Ha kezdetben 5 piros és 7 kék kör volt a képen, akkor az alábbi esetek közül hányat kaphatunk meg néhány lépés után: 1 piros és 1 kék, 9 piros és 1 kék, 1 piros és 9 kék, 2 kék?

  10. Hányféleképpen lehet elhelyezni 4 lila és 4 zöld korongot egy egy 44-es táblán úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban egy lila és egy zöld korong legyen (egy mezőre csak egy korong tehető, és az elforgatással vagy tükrözéssel kapott állásokat különbözőknek tekintjük)?

Megjegyzés: A nehezebb feladatok akár 9-10 évfolyamos tanulók számára is nehézséget jelenthetnek, ezért a versenyeken gyakori, hogy átfedés van a feladatok között: néhány a nehezebb 7-8.-os feladatok közül megjelenik a felsőbb évfolyam feladatai között is.