Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 8., A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

8.3 A szórás

8.3 A szórás

Definíció:

Legyen adott alapsokaság egy mintája metrikus skálán.

A szórás az egyes értékek számtani átlagtól vett eltéréseinek négyzetes átlaga, vagyis megmutatja, hogy az ismérvértékek mennyivel térnek el átlagosan az átlagtól.

A szórás a legfontosabb szóródási mérőszám.

Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.

Tapasztalati szórás:

Korrigált tapasztalati szórás:

Állítás:

a négyzetgyökvonás tulajdonságaiból triviálisan adódik.

, akkor és csak akkor áll fenn, ha valamennyi , ami pedig csak úgy lehetséges, ha , azaz minden adat ugyanakkora.

A szórás akkor és csak akkor 0, ha az összes ismérvérték egyenlő, hiszen ebben az esetben nincs szóródás.

Példa:

Öt diák lemérte, hogy mennyi idő alatt jutnak el az egyetemtől a Deák térre. Az alábbi eredményeket kapták:

Számítsuk ki a szórást!

Vagyis az egyes diákok időszükségletei átlagosan 2,65 perccel térnek el az átlagtól.

Tétel:

Steiner-képlet (variancia):

Bizonyítás:

8.3.1 A szórás meghatározása gyakorisági eloszlás esetén

Legyenek az xi értékekhez tartozó gyakorisági értékek fi, relatív gyakoriságok pedig gi (i=1,2,...,n).

Ekkor a szórás a következő összefüggésekből számolható:

ahol ; i=1,2,...k;

ahol ; i=1,2,...k; ;

Példa:

Egy újságosstandon 200 napon keresztül figyelték egy lap eladott példányszámait:

ahol xi: az elkelt példányszám-értékek

fi: azon napok száma, amikor a megadott példányszám kelt el

Számítsuk ki a szórásnégyzetet!

A Steiner-képlet alapján:

8.3.2 Osztályozott adatok szórása

Osztályozott adatok esetén a szórás értékét csak közelítőleg tudjuk meghatározni, hisz az adatokat csak korlátozott mértékben ismerjük.

Jelölje az osztályközepeket.

Ekkor a szórás:

ahol

Példa:

Számítsuk ki a keresetek szórását az alábbi táblázat alapján:

Tétel:

Sheppard-féle korrekció: unimodális (egycsúcsú) eloszlásoknál az osztályozott adatokból számolt szórás általában nagyobb, mint az eredeti adatokból számolt.

ahol :osztályszélesség

Példa:

Tétel:

Eltolási tétel: A közepes kvadratikus eltérést adja meg.

Tétel:

A számtani közép minimum tulajdonsága:

Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha .

8.3.3 A szórás tulajdonságai

1. Tétel:

Tekintsük az ( ) lineárisan transzformált adat-rendszert.

Ennek a szórása:

ahol

Speciális eset:

Ha , azaz a szórás változatlan marad, ha minden adott számhoz egy értéket hozzáadunk – vagy kivonunk.

Példa:

Legyen

Számítsuk ki a szórást!

Legyen most

2. Tétel:

Standardizált adatrendszer szórása:

Az adatokon végezzük el az alábbi lineáris transzformációt:

vagyis legyen ;

vagyis a standardizált adatok átlaga 0.

A szórás ebben az esetben:

Tehát a standardizált adatok szórása 1.

3. Tétel:

Két részsokaság egyesítésével nyert adatrendszer szórása:

Tekintsük a következő két adatrendszert: (elemek, átlag, elemszám, szórás)

S1

S2

A két adatrendszer átlaga:

A szórás:

Példa:

Tekintsük a korábbi átlagkeresetes példát:

Számítsuk ki ezek alapján a két részsokaság egyesítéséből kapott sokaság szórását!

S=3204,32 Ft