Ugrás a tartalomhoz

Matematikai módszertani példatár

Vásárhelyi Éva (2013)

ELTE-TTK

8 Kislexikon

8 Kislexikon

8.1 Matematika módszertani záróvizsga tételek matematikatanári mesterszakos hallgatóknak

Egy-egy tétel feldolgozásában nélkülözhetetlen szempont az érintett matematikai tartalmak biztos ismerete és pontos alkalmazása. A tételek kifejtésében az iskolai gyakorlatot és a módszertani elméleti alapelveket egységben kell megjeleníteni. Kívánatos, hogy a jelölt az érintett matematikai tartalmakat konkrét példákkal, az életkori sajátosságokat tekintetbe vevő alapfeladatokkal illusztrálja és térjen ki a várható nehézségekre.

Röviden javaslatot teszünk a tartalomra és a felhasználandó irodalomra. A kitekintő, ajánlott forrásokat külön megjelöljük. A vizsgán a tételsort használhatják, az irodalomjegyzéket nem.

  1. Fogalmak tanításának alapkérdéseiA fogalmak tanításával kapcsolatos módszerek, eljárások, feladattípusok.

    Az 1. tétel vázlata

  2. Bizonyítások tanításának alapkérdéseiÉrvelési, indoklási, bizonyítási típusok. Tételek megsejtését szolgáló eljárások. Prematematikai indoklások, szemléletes utak és szemléletes bizonyítások, ezek átvezetése a precíz matematikai bizonyításba. Bizonyítási stratégiák.

    A 2. tétel vázlata

  3. A matematikatanulással kapcsolatos reprezentációs elméletekBruner reprezentációs elmélete, duálkód-elmélet, az emberi agy aszimmetriái. A belső és külső reprezentációk, ezek típusai, példák különböző matematikai területekről.

    A 3. tétel vázlata

  4. A problémamegoldó gondolkodás fejlesztése, feladatorientált matematikaoktatás Problémamegoldási stratégiák, heurisztikus elvek, algoritmikus gondolkodás. Feladattípusok, problémavariációk.

    A 4. tétel vázlata

  5. Matematikai modellalkotás az oktatásban, alkalmazásorientált matematikaoktatás Matematikán kívüli problémák matematikai modellezése, néhány alkalmazás ismerete.

    Az 5. tétel vázlata

  6. A számfogalom fejlesztése Műveleti modellek az egész számok körében, számkörbővítés, permanenciaelv.

    A 6. tétel vázlata

  7. Az algebrai struktúrák az iskolai tananyagbanTermészetes számok, egész számok gyűrűje, maradékosztályok, racionális számok, valós számok teste, szimmetriacsoportok, vektorterek.

    A 7 tétel vázlata

  8. Geometriai fogalmak kialakítása és a geometriai térszemlélet fejlesztéseA geometriai fogalmak fejlődésének szintjei. Szintetikus (elemi), koordináta- és vektorgeometria az általános és középiskolában. A térszemlélet fejlesztését szolgáló témakörök, módszerek és eszközök.

    A 8. tétel vázlata

  9. Az analízis elemei az iskolai tananyagbanA függvényfogalom fejlesztési folyamata a kezdő foktól az érettségiig. Elemi függvényvizsgálat. Szélsőérték-feladatok megoldásának módszerei. Végtelen sorozatok, sorok. A határérték szemléletes fogalma.

    A 9. tétel vázlata

  10. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika az iskolai tananyagbanA véletlen fogalma. Kombinatorikus és geometriai módszerek. Valószínűségszámítási szemléltetések (fa diagram, kettős fa diagram). Statisztika és valószínűségszámítás kapcsolata. Leíró statisztika alapvető céljai.

    A 10. tétel vázlata

  11. A tanítás tervezése Matematikai tantervek, pedagógiai alapelvek, óratípusok, különböző munkaformák (kooperatív módszerek, projektív módszerek). Differenciált foglalkozások tervezése.

    A 11. tétel vázlata

  12. Ellenőrzés, értékelés a matematikaoktatásbanMérőlapok (diagnosztikus, formatív és szummativ), kompetenciamérések, vizsgák. Hazai és nemzetközi mérések.

    A 12. tétel vázlata

8.2 Szómagyarázat

Néhány kifejezés matematikadidaktikai értelmezését gyújtjük össze

8.2.1 A mozgás axiómái

  • A mozgás két pont összekötő szakaszát a két elmozgatott pont összekötő szakaszába, az egyenest egyenesbe, a síkot síkba viszi.

  • Egy és csak egy olyan térmozgás van, amely egy adott félsíkot és ennek határán adott félegyenest megadott helyzetbe, egy adott félsíkba és annak határán adott félegyenesbe visz át. (Ha a térmozgás nem változtatja meg egy félsík és egy ennek határán elhelyezkedő félegyenes helyzetét, akkor nem változtatja meg a tér egyetlen pontjáét sem.)

A mérésről szóló axiómák azokra az osztályokra vonatkoznak, amelyeket a mozgással egymásba átvihető pontpárok alkotnak. Ezeknek az osztályoknak mindegyikéhez hozzárendelhető egy-egy pozitív valós szám, amelyet az osztályba tartozó pontpárok távolságának mondunk, s amely rendelkezik az axiómákban kimondott tulajdonságokkal.

  • Egy szakaszt bármely belső pontja két olyan szakaszra bont fel, amelyek hosszának összege az eredeti szakasz hossza. (Akkor is igaz, ha véges sok szakaszra való felbontásról van szó.)

  • Ha a hosszegység adott, akkor bármely A kezdőpontú félegyenesen egy és csak egy olyan B pont található, amelyre nézve az AB távolság egy adott pozitív valós szám.(Hajós 1971 [] 11. o.)

8.2.2 Kontraszthatás a tanuláspszichológiában

Azt a törvényszerűséget fejezi ki, hogy a fogalom tartalmát a még nem ismert példák számára nyitva hagyhatjuk, ha mutatunk a a fogalomhoz nem tartozó , de rokon, összetéveszthető példákat. A túláltalánosítás ellenszerének, diszkriminációnak is nevezik.

8.2.3 Geometriai térszemlélet

8.2.4 A munkamenória szerkezete

146. ábra. A munkamemória szerkezete Baddeley szerint

  • Központi szabályozó Kontrollált figyelemFunkciói: tervezési folyamatok, ellenőrző és döntési folyamatok megindítása és szabályozása, következtetések, nyelvi megértés, ismétlés segítségével az információk átvezetése a hosszú távú memóriába, kódolt információ megfejtése, áttérés egyik (rész)feladatról egy másikra.

  • Fonológiai tár belső beszéd Funkciói: Beszéd alapú információk tárolása (tárolás, fenntartás transzformálás), kiejtési eljárások, egységek ismétlése a közvetlen előhívása kimondás céljából.

  • Epizodikus tár Funkciói: Ez a komponens különböző helyről érkező információkat integrál. Feltételezhetően kapcsolatban áll a hosszú távú emlékezettel és a szemantikai rendszerrel. Integrálja a beszédalapú és (vagy) vizuális információkat.

  • Képi-téri tár belső szemFunkciói: Specializálódott a téri és (vagy) képi kódolásra vizuális-képi információk tárolása, fenntartása, transzformálása, vizuális képzeleti feladatokra, téri, vizuális kereső feladatokra.

8.2.5 Prototípus

A prototípus’’ szó egyszerre jelöli az (általános érvényű, tapasztalat- és kultúrafüggő) kritériumok, definiáló ill. karakterisztikus tulajdonságok és a tipikus képviselő, az ősminta (reprezentáns) által generált kognitív konstrukciót (fogalmat, koncepciót). Didaktikai jelentősége abban van, hogy

  • A mintapéldákon alapuló fogalomalkotás lehetővé teszi az adott területen szerzett individuális tapasztalatok differenciált mozgósítását, és így (legalábbis részben, alapszinten), megnyitja az absztrakció útját a csekélyebb absztrakciós készséggel rendelkező személyek számára is.

  • A mintapéldákon alapuló fogalomalkotás folyamán bizonyos (egyidejűleg több kategóriába besorolható) hídelemek’’ segítségével létrehozhatók a különböző kategóriák közötti keresztkapcsolatok, a tudásháló építőkövei. Ennek során az adott kategória és a hídelemek tulajdonságai jobban tudatosulnak (pl. a négyszögek klasszifikációjánál a téglalap és a rombusz hídelemek a paralelogramma és a négyzet között).

  • Egy adott kategória sokféle példán alapuló (külső) reprezentációján keresztül könnyebbé válik az egyéni (belső, akár emlékezetsegítő) reprezentáció kialakítása és a kapcsolatrendszer aktualizálása.

  • Az azonosító séma (definíció) és a mintapéldák alapján való fogalomalkotás a gyakorlatban keverten lépnek fel. A jó mintapéldák statisztikai értelemben gyakrabban fordulnak elő: a hattyú mindkét értelemben jobban képviseli a madarakat, mint a pingvin vagy a strucc.

A mintapéldákon alapuló fogalomalkotás motivációs előnyei (személyre szabott választási lehetőség, szubjektív élményekhez való kapcsolás) mellett meg kell említeni a fellépő nehézségeket is:

a) Az egységként’’ egymás mellé állított példákból létrehozandó kategória kiválasztási kritériumait, szervező szempontjait a fokozatos bővítése közben (analógia alapján) kell felfedezni. Kicsi gyerekeknél megfigyelhető, a négyzet’’ tulajdonságainak részekre bontása nélkül nem egyesíthető a téglalap és a négyzet közös fogalommá. A centrális elem ugyan jó képviselője a kategóriának, de egyedül (megbontatlan egységként) nem alkalmas a kategória példákon keresztüli azonosítására.

b) A mintapéldákon alapuló fogalom tartalma függ a példák összetételétől, sorrendjétől és az egyidejűleg hozzájuk kapcsolt információktól. Könnyen lehet, hogy előismeret és koncepció hiányában, téves vagy leegyszerűsítő elképzelés birtokában olyan példák válnak ősmintává, amelyek nem terjeszthetők ki a létrehozandó kategóriává (széteső kategória, egyedi példák, strukturálatlan ismeretmorzsák). A szimmetrikus négyszögek példáján látható a kiindulási elem hatása: bár a négyzet a szimmetrikus négyszögek centrális eleme, nem generálja a szimmetrikus négyszögek osztályát.

8.2.6 Reprezentációk

A gondolkodáshoz és a kommunikáláshoz szükséges, hogy reprezentáljuk a fogalmakat. A pszichológia megkülönböztet külső - belső, valamint tárgyi, vizuális és szimbolikus reprezentációs szinteket.

A külső reprezentációk közvetlenül megfigyelhetők, míg a belsők nem, így azok minőségére csak a külső reprezentációkból következtethetünk. Egy fogalom belső reprezentációi, valamint külső és belső reprezentációi között kölcsönhatás van, mely szimulálható a külső reprezentációk közötti megfelelő kapcsolatok létrehozásával.

A belső reprezentációk közötti kapcsolat az ismeretek egy hálózatát adja, és ezek a kapcsolatok teszik lehetővé az egyik ismeretről a másik ismeretre való áttérést. A fogalmak mentális képét a tárgyi, képi és a szimbolikus reprezentációk rendszere alkotja. Ezek nem a külső reprezentációk másolatai, hanem az egyén alakítja ki saját tudása és tapasztalata alapján.

Egy elvet, fogalmat akkor értünk meg, ha annak belső reprezentációja a reprezentációs hálózatunk részévé válik. A megértés fokát a kapcsolatok száma, erőssége, stabilitása jellemzi. Tehát a megértés nem más, mint a fogalmak, elvek közötti kapcsolatok létrejötte.

Az oktatásban mindhárom reprezentációs mód - tárgyi, képi, szimbolikus - szerepet játszik. A tárgyi és vizuális reprezentációk nem csak a lassúbbak, a fiatalabbak számára hasznosak, hanem mindenkinek, és a teljes tanulási folyamat során.

R. W. Sperry, D. H. Hubel és T. N. Wiesel 1981-ben Nobel-díjat kaptak a két agyfélteke működésében megnyilvánuló aszimmetriák felfedezéséért.

147. ábra. Bélyeg a Nobel-díjhoz

Ezen alapul a duál-kód elmélet is (Paivio), mely szerint az információfeldolgozás során két rendszer szerint kódolunk, képi és verbális rendszerben. Míg a képi kódoló-rendszer konkrét tartalmak feldolgozását végzi, addig a verbális az absztrakt információkra koncentrál. Minél konkrétabb az információ, annál több lehetőség van a duális kódolásra.

Ha tehát ugyanannak a fogalomnak különböző reprezentációit használjuk, más-más agyfunkciókat szólítunk meg. A kérgestest (corpus callosum) nevű híd’’ biztosítja összeköttetésüket.

8.2.7 Szemléletesség, szemléltetés

A szemlétesség elve A matematika tanításában kétféle irányzattal találkozunk: az elvonatkoztatásra törekvéssel amely megkísérli a sokféle anyagból a logikai szempontokat kimunkálni és azokat rendszeres összefüggésbe hozni , és a másik irányzattal, a szemléletesség elvével. A szemléletesség elve olyan oktatás követelményét fejezi ki, amely a lehetőségeknek megfelelően az érzéki észlelésre, a megfigyelésre támaszkodik, az ismeretek alapvető forrásául a valóság tárgyai és jelenségei, vagy azok ábrázolása szolgál. A szemléletesség elve ezek felhasználásának szükségességét és azt az elvárást fejezi ki, hogy az így elsajátított fogalmak megfeleljenek a valóságnak. A szemléletesség elvére támaszkodó ismeretszerzés fontos eszköze a tanulók megfigyelő-képessége és gondolkodása. A valódi tárgy, jelenség helyettesítése képekkel vagy szavakkal csak ekkor elegendő, ha van feleleveníthető élmény.

A szemléltetés A szemléletesség elvének a gyakorlatban történő érvényesítése a szemléltetés. A szemléltetés az oktatás folyamatában tudatosan alkalmazott eljárás, amely egyaránt vonatkozik a pedagógus és a tanulók tevékenységére. Az oktatás folyamatában felhasznált eszközök (a szemléltető eszközök), vagy a valóság tárgyainak és jelenségeinek megfigyelése teszi lehetővé az érzéki észlelést. Ennek folyamatában a pedagógus a gyermekek aktív részvétele mellett érzékszerveikre hat, s ezzel elősegíti:

  • a pontos és világos képzetek kialakítását a külvilág tárgyairól és jelenségeiről,

  • a tárgyak és jelenségek összefüggéseinek és törvényszerűségeinek feltárását,

  • a megalapozott általánosítást.

A szemléltetés biztosítja az érzéki megismerés és elvont gondolkodás szoros kapcsolatát, megkönnyíti a tanulók számára a tananyag mélyebb megértését, s ezáltal biztosítja az ismeretek tartós bevésését is. Már évekkel ezelőtt kísérletekkel igazolták, hogy a szemléltető eszközök alkalmazása fokozza az oktatás eredményességét, ha azok több érzékszerv számára hozzáférhetők. Éppen ezért törekszünk arra, hogy a szemléltetés során lehetőleg több érzékszervet foglalkoztassunk.

A szemléletes gondolkodásmód kialakításával lehetővé tudjuk tenni a matematika lényegébe való behatolást, annak egyszerűbb megértését. A szemléltetés ténye a közvetlen tanulási effektuson túl a tanulási kompetenciára is hat, legitimmé teszi a saját tapasztalat bevonását az ismeretszerzésbe.

8.2.8 Szerkesztési feladat

Egy szerkesztési feladat abban áll, hogy adott alakzatok (pontok, egyenesek, körök, ...) ismeretében, bizonyos előre rögzített eszközök felhasználásával és alkalmazási szabályok betartásával egy adott tulajdonságú alakzatot keresünk.

A szerkesztési feladat megoldása során el kell döntenünk, hogy az adott tulajdonságú célalakzat egyáltalán létezik-e, és pozitív válasz esetén ki kell dolgozni egy elméleti szerkesztési módot; meg kell vizsgálnunk, hogy a talált szerkesztés pontosan, vagy csak közelítő módon hajtható végre, és ténylegesen el kell végezni a szerkesztési eljárást.

A szerkesztési feladatok megoldásának vezérfonala: a vázlat elemzés, szerkesztés, szerkesztés leírása, szerkesztés helyességének igazolása, megoldhatóság feltételeinek, megoldások számának vizsgálata.