Ugrás a tartalomhoz

Matematikai módszertani példatár

Vásárhelyi Éva (2013)

ELTE-TTK

4 Függvények, sorozatok

4 Függvények, sorozatok

A kerettantervben Összefüggések, függvények, sorozatok’’ címszó alatt található ez a témakör.

4.1. Feladat: Keresse ki a NAT2012-ből a Függvények, sorozatok témáit és hasonlítsa össze a következő vázlatos összefoglalóval. Egyetért ezzel a tömörítéssel? Vannak olyan elemek, amelyekkel szívesen kibővítené ezt a vázlatot?

4.1 Alapfeladatok és kompetenciák

4.1.1 A kerettanterv elvárásai

Alsó tagozat

  • Növekvő és csökkenő számsorozatok szabályának felismerése, a sorozat folytatása.

  • Számpárok közötti kapcsolatok felismerése.

  • Szabályfelismerés, szabálykövetés. Növekvő és csökkenő számsorozatok felismerése, készítése.

  • Összefüggések keresése az egyszerű sorozatok elemei között.

  • A szabály megfogalmazása egyszerű formában, a hiányzó elemek pótlása.

Felső tagozat

  • Tájékozódás a koordinátarendszerben: pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak a leolvasása.

  • Egyszerűbb grafikonok, elemzése.

  • Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint, szabályok felismerése, megfogalmazása néhány tagjával elkezdett sorozat esetén.

  • Megadott sorozatok folytatása adott szabály szerint.

  • Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése, a lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is.

  • Grafikonok elemzései a tanult szempontok szerint, grafikonok készítése, grafikonokról adatokat leolvasása. Táblázatok adatainak kiolvasása, értelmezése, ábrázolása különböző típusú grafikonon.

Középiskola

  • A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete.

  • A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon).

  • Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása.

  • Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján.

  • Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség.

  • A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is.

  • Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása.

  • Függvénytranszformációk végrehajtása.

  • Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete.

  • Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése.

  • A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások.

  • Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

4.1.2 Az analízis elemei az iskolai tananyagban. (9. tétel)

A függvényfogalom fejlesztési folyamata a kezdő foktól az érettségiig. Elemi függvényvizsgálat. Szélsőérték-feladatok megoldásának módszerei. Végtelen sorozatok, sorok. A határérték szemléletes fogalma.

A tételhez a többi fejezet anyagát is gondolja át, hiszen ezek tartalmi és módszertani szempontból is számos szállal kötődnek az analízishez (fogalomépítés, bizonyítás, reprezentáció, stb.).

  1. A függvények és sorozatok a tantervekbenA sorozatokat kisiskolás korban akkor is célszerű önállóan kezelni, ha később speciális függvényként gondoljuk felderíteni a tulajdonságaikat.

  2. Folyamatosan épülő fogalmak a sorozatokkal és a függvényekkel kapcsolatban Sorozatok, képzési szabályok, tulajdonságok Nevezetes sorozatok A függvény, mint kapcsolat, összefüggés. A függvény, mint objektum, amivel műveletek végezhetők. A függvény menete, speciális tulajdonságok A függvény zérushelyének és az egyenletek megoldásának kapcsolata A függvény menetének az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásával való kapcsolata Határérték, folytonosság, pl. a határértékfogalom szemléletes előkészítése. A szélsőérték-vizsgálat módszerei (elemi módszerek, szemléletes megoldások, deriválás)

  3. Ismeretek átadása és a képességfejlesztésa) A matematikai tudatosság fejlesztése a megsejthető és bizonyítható állítások által: függvények megadási módjai (pl. szabadon választható-e az értelmezési tartomány; a Dirichlet függvény formulával egyszerűen definiálható, de csak utalásszerűen ábrázolható, stb.) a függvény megadási módjai és a függvény tulajdonságainak kapcsolatab) Az analízis a problémamegoldás eszközeként gyakorlati problémák matematikai modellezésére (újságcikkek grafikonjainak elemzése, adatgyűjtés, az adatok ábrázolása a különböző szakmákban) matematikán belüli és matematikán kívüli problémák megfogalmazása és megoldásac) Az analízis problémamegoldás tárgyaként bonyolultabb függvények ábrázolása; a lehető legtágabb értelmezési tartomány megkeresése; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása, közelítő megoldások a függvénytranszformációk hatása az egyes tulajdonságokra (párosság, periodikusság, stb.)

  4. Egy téma részletes kidolgozásaA NAT és a kerettantervek alapján gondolja át egy kiválasztott iskolatípusban tanítandó analízisbeli ismereteket és azok kapcsolatrendszerét a matematika többi területével.A logaritmusfüggvény példáján az előbbiekben megmutattuk, hogy milyen sokrétű feladat az analízis elemeinek a tanítása.Próbáljon hasonlóan feldolgozni egy saját területet.Az a), b) és c) szempontokon túl gondoljon a választott anyagrész legalább egy órájának megtervezésére, a lokális és globális célok kapcsolatára, preferenciákra, a továbbhaladás feltételeire és azok ellenőrzésére.További szempontok lehetnek: A téma legfontosabb fogalmai; Bizonyítás iránti igény mélyítése; Matematikatörténeti vonatkozások megismerése; Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése; Az önellenőrzés igényének fejlesztése; A matematikai versenyek szerepe a fogalmak építésében, a problémamegoldó gondolkodás fejlesztésében; Néhány, a témához illeszkedő szép feladat; A középiskolai és az egyetemi tananyag kapcsolatának kérdései.

Irodalom

Peller József Megyesi László: Függvények elemi vizsgálata. Vektortér. []

Peller József: Exponenciális és logaritmusfüggvény, differenciálszámítás. []

Pálfalvi Józsefné: Matematika didaktikusan. [] 62-87.

Deák Ervin: Végtelen sorok az iskolai matematikában. [] 119-130.

4.1.3 Sorozatokkal vagy függvényekkel kezdjünk?

4.2. Feladat:Elemezze a Folytasd a sorozatot: 2, 5, 8, 11, ..., ill. Fogalmazd meg a szabályt: 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... típusú feladatok szerepét az alsó tagozaton.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A sorozatok folytatása gyakori és kedvelt feladat, holott matematikailag nem korrekt, mert egy sorozat néhány, de akár végtelen sok eleme sem határozza meg egyértelműen a sorozatot.

Lehet-e és hogyan ennek ellenére alkalmazni az ilyen feladatokat?

A tanulók könnyen elfogadják, hogy a végtelen sok folytatási lehetőség és szabály’’ ellenére van ezeknek a feladatoknak egy kitüntetett megoldása, és mi azt keressük.

4.3. Feladat: A sorozatok között a középiskolai tanításban a számtani és a mértani sorozatoknak kiemelt szerepe van. Mi ennek az oka? Milyen más szempontok szerint csoportosíthatók a sorozatok?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Igen sok szép feladat oldható meg a számtani, mértani sorozatok témában. Kár elfeledkezni a más sorozattípusokkal való játékról (1, -12, 1, -13, 1, -14, ... ), a matematika különböző területeit összekötő Fibonacci sorozatról (aranymetszés).

A sorozatok tanítása során hozzájárulhatunk sok olyan fogalom szemléletes előkészítéséhez (prematematikai fogalmak, matematikai fogalmak előképei, csírái), amelyek újabb, vagy első definiálása később a függvényekkel kapcsolatban történik meg, pl. korlátosság, monotonitás. Erről bővebben lehet olvasni Víghné dr. Lencsés Ágnes (2013 []) írásában.

A sorozatok szerepe a matematikai analízisben nagyon jelentős és sokféle, még akkor is, ha a matematikatanulás kezdetén nagyon erősen felépítésfüggő. A függvényfogalomra építők speciális függvényekként tekintenek a sorozatokra. A sorozatpártiak a függvény határértékét és folytonosságát a sorozatok konvergenciájára építik. Nagyon lényeges, hogy tisztában legyünk azzal, hogy az éppen használt tankönyv szerzője milyen felépítést tartott szem előtt. A felépítések tervszerűtlen váltogatása fogalomzavart okozhat.

4.1.4 Függvények és grafikonok

4.4. Feladat:Miben látja a koordinátarendszerben való tájékozódás kezdeti nehézségét?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A pontábrázolásnál a lépések precíz leszámolásával kevés probléma szokott adódni. A negatív és tört koordináták esetében előfordulnak (elsősorban rendezési) tévesztések, ami nem a koordinátageometriai ismeretekkel kapcsolatos probléma, de a tisztázásra mindig, így most is nagy figyelmet kell fordítani.

A tengelyek szerepének felcserélését elkerülhetjük, ha a két tengelynek lényegesen különböző szerepet adunk, pl. az x koordináták a vízszintes mozgásra, vagy az idő múlására, az y koordináták pedig a függőleges mozgásra utalnak.

Példa: Mutasd meg, hogy melyik pontba jutott a szöcske, ha az origótól kettőt ugrott vízszintesen pozitív irányba és onnan hármat felfelé, és ott megkapaszkodott! Jelöljük rövidítve’’ a helyét, (2;3)! Hol van most a szöcske, ha röviden’’ kifejezve ezt az információt tudjuk: (8;3).

4.5. Feladat:A matematikai órákon ábrázolt grafikonok és a hétköznapi életben szokásos grafikonok között jelentős különbségek vannak. Melyek ezek? Milyen következményei vannak a tanításra nézve?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A kereskedelmi és egyéb grafikonokban a tengelyeken különböző egységeket használnak, sokszor más-más mennyiséget ábrázolnak.

A tengelyek metszéspontja nem mindig a (0;0) koordinátájú pont.

A tengelyeken gyakran nem számok, hanem egyéb jelek szerepelnek, pl. fiú-lány, a hét napjai, az iskolai osztályzatok.

Érdemes megmutatni, hogy ezek a változatok általában a könnyebb olvashatóságot szolgálják, de az is előfordulhat, hogy manipulálni akarják az olvasót.

4.6. Feladat: Miért fontos a számpárok vizsgálata a függvényfogalom kialakítása során?

Miért fontos a hozzárendelés egyértelműségét vizsgálni?

Miért kérdezzünk rá középiskolában az invertálhatóságra is?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

4.7. Példa:Számpárok halmazait adjuk meg. Válasszuk ki ezek közül azokat, amelyek függvényeket adnak meg! A számpárok megadhatók grafikusan is.

a) Felső tagozaton

(Sok hasonló feladat található a Mathbridge ([]) programban, lásd a 95. ábra)

95. ábra. Grafikusan megadott számpárok

b) Középiskolában

Függvények és az (x; ±(x)) reláció kapcsolatának vizsgálata a grafikus ábrázolás alapján.

Adott függvények közül válasszuk ki az invertálhatókat!

Szempontok a válaszhoz:

A dolgok párosítása alapvető emberi-gyermeki gondolat, tehát erre építünk. A függvénykapcsolat irányított kapcsolat, az A halmaz elemeihez rendeljük hozzá a B elemeit. Mivel a szóba jöhető függvények nagy része invertálható, illetve egyszerűen leszűkíthető invertálható függvénnyé, az irányítottságot lényegében az fejezi ki, hogy teljesül-e, hogy, a szokásos jelölésnek megfelelően, minden a-hoz egy és csak egy b van rendelve. Tehát rendezett számpárok egy adott halmazáról kell eldönteni, hogy függvény-e, annak megvizsgálásával, hogy kölcsönösen egyértelmű-e a hozzárendelés.

A függvények ábrázolásához, a legegyszerűbb függvényvizsgálathoz nélkülözhetetlen a szokásos jelölésnek megfelelően, x és y szerepének világos megkülönböztetése.

4.8. Feladat:Adjon meg olyan köznyelvi kifejezéseket különböző szituációkban, amelyek a jelenséget leíró függvény növekedésére és csökkenésére, illetve maximumára és minimumára vonatkoznak.

Állítsa párhuzamba a függvény és a grafikonja tulajdonságait leíró kifejezéseket! (pl. a grafikon emelkedik, a függvény nő)

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Példák:

- Lázgörbe elemzése;

- Egyenes vonalú egyenletes mozgás grafikonjának elemzése (irányváltás és pihenő is);

- Tetszőleges egyenes vonalú mozgás;

- Egyéb függvények grafikonjai.

4.1.5 Elemi függvények és transzformációik

4.9. Feladat:A függvénytranszformációk végrehajtása sokszor még a felsőoktatásba bekerült tanulók számára is gondot okoz. Mi lehet ennek az oka?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Előfordulhat, hogy a pontok ábrázolásában lép fel bizonytalanság, illetve lehet az alapfüggvények ismerete hiányos.

E problémák kiküszöbölése után a függvények transzformációival közvetlenül összefüggő hibalehetőséget érdemes keresni.

A túl gyorsan megismert és betanult algoritmusok hibákat okozhatnak.

Szükséges, hogy a tanulók pontok koordinátájának behelyettesítésével ellenőrizni tudják megoldásaikat, képesek legyenek a görbék jellegzetes pontjait illetve természetesen maguknak a függvényeknek a jellegzetes tulajdonságait vizsgálni. Az algoritmus ebben az esetben is a már elsajátított ismeret összefoglalása legyen.

4.10. Feladat: Azt tapasztalta, hogy a diákjai közül sokan nem tudnak logaritmikus alakban megadott valós számokat nagyság szerint rendezni.

Például lg1000, log121 és log319.

Szeretné javítani a diákok eredményét. Hogyan oldja meg ezt a feladatot?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Lehetséges hibaforrások

  • A tanulmányok kezdetén a lg1000 még nem egy számot, hanem egy elvégzendő műveletet jelent.

  • Alapvető probléma lehet, hogy vagy a jelölést, vagy magát a fogalmat sem értik még az egyes diákok. Ebben az esetben a logaritmus fogalmának építését újra kell kezdeni, valószínűleg vissza kell térni a hatványozás fogalmának vizsgálatához.

  • Előfordulhat, hogy a logaritmus fogalmát már értik a tanulók, de tudásuk még kevés ahhoz, hogy alkalmazhassák azt, ebben az esetben érdemes a logaritmus függvényt különböző, 1-nél nagyobb, majd kisebb alapokkal megvizsgálni.

4.11. Feladat: Azt tapasztalta, hogy a diákjai közül sokan a gyöktényezős alakban megadott másodfokú egyenlet gyökeit nem leolvassák, hanem elvégzik a szorzást, majd a megoldóképlet alkalmazásával helyesen megoldják azt. Van-e ilyenkor teendője?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Módszertani szempontból nem elfogadható a diákok védekezése, hogy hiszen helyesen számoltak.

Nem pusztán az a baj, hogy felesleges lépéseket végeznek el a tanulók, bár az is időveszteség egy dolgozat, vagy egy házi feladat megírása közben, hanem az, hogy alapvetően nem értik mit jelent az egyenlet gyökeinek megkeresése. A mindenható megoldóképlet bűvöletében elfelejtik, hogy egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

Érdemes még egyszerűbb, akár elsőfokú egyenlet gyökét keresni, ami fejben is könnyen kiszámolható. Érdemes ábrázolni az y=(x-x1)(x-x2) függvényt konkrét x1,x2 számokkal jól megválasztott x értékek segítségével. (Például az x1,x2 helyen, a számtani közepüknél, tőlük jobbra és balra.)

4.12. Feladat: A tanulók számolással (négyzetre emeléssel, ...) keresik a sin2x=3 egyenlet gyökét. Mi a probléma ezzel? Mi állhat a hiba hátterében?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A tanulóknak feltehetőleg nem jut eszébe, hogy sinx értékei nem lehetnek 1-nél nagyobbak.

Érdemes újból megvizsgálni a szög szinuszának jelentését, a függvény értelmezési tartományát, értékkészletét.

Előfordulhat, hogy a 3 közelítő értét nem ismerik, illetve nem tudják, mekkora számok az egynél nagyobb számok gyökei. Az is lehet, hogy a sin2x helyett 2sinx-re gondolnak.

4.1.6 A függvényfogalom építésének szakaszai

4.13. Feladat:Ismertesse a függvényfogalom építésének szakaszait az általános iskola alsó tagozatától a gimnázium végéig a tankönyvek alapján.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

  • alsó tagozat: gépes játék’’, számokkal, a logikai készlet elemeivel.

  • felső tagozat: lineáris függvények, fordított arányosság, geometriai transzformációk, koordinátarendszer, növekedés-csökkenés.

  • gimnázium: a függvények többféle megadása, ábrázolása, elemi függvényvizsgálat, elemi függvények és néhány más függvény.

4.14. Feladat: Ismertesse a függvényfogalom építésének hátterében álló reprezentációs elméleteket, mutassa meg konkrét példákon.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

  • Tárgyi reprezentáció:

    • alsó tagozaton: elempárok alkotása pl. zoknikból, játékokból,

    • felső tagozaton: a tanulók által mért, számolt mennyiségek ábrázolása grafikonon,

    • gimnáziumban: pl. henger térfogata változásának mérése, számítása, ábrázolása rögzített sugár, illetve magasság esetén.

  • Képi reprezentáció:

    • alsó tagozaton: elempárok képi ábrázolása,

    • felső tagozaton és középiskolában: különböző diagramok (kör, oszlop, stb. átalakítása).

  • Szimbolikus reprezentáció:

    • alsó és felső tagozaton: szavakkal megadott hozzárendelési szabályok megértése,

    • gimnáziumban: bizonyos matematikai szimbólumok használata, függvények menetének leírása a grafikonjuk használata nélkül.

4.15. Feladat:Vizsgálja a függvényfogalom fejlődését az absztrakt gondolkodás szempontjából.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Gondoljon olyan aspektusokra, hogy a függvény kezdetben a kapcsolat, összefüggés leírása, nem önálló (matematikai) objektum.

A fogalomépülés következő szintjén a függvény már objektum (is), amellyel műveletek végezhetők.

Javasoljuk, hogy olvassa el a Matematikadidaktikai szemelvénygyűjtemények közül Varga Tamás: A függvényfogalom előkészítése I. című gondolatébresztő írását (1.4.10. oldal).

4.16. Feladat:A határértékfogalom előkészítésének lehetőségei az általános iskola felső tagozatán.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A határértékfogalom szemléletes előkészítését is szolgálja, ha nem megyünk el szót nélkül az 13 tizedes tört alakjának kérdése mellett, hiszen egyrészt a későbbiekben a sorokhoz, az improprius integrálhoz vezet ez az út, másrészt a szigorúan növekedő, a határértékét soha el nem érő sorozat a kezdők számára a legjellegzetesebb határérték.

A kerekítés szabályainak vizsgálata, Mi a legkisebb és mi a legnagyobb valós szám, amit 5-re kerekítünk? Van legkisebb? Van legnagyobb?

Javasoljuk, hogy olvassa el a Matematikadidaktikai szemelvénygyűjtemények közül Péter Rózsa két gondolatébresztő írását (1.4.2,1.4.3).

4.17. Feladat:Ismertesse a szélsőérték-vizsgálat módszereit (elemi módszerek, szemléletes megoldások, deriválás).

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Véges elemszámú halmaz legkisebb és legnagyobb eleme

Végtelen halmazok legkisebb és legnagyobb eleme

A legfeljebb másodfokú függvények menetének vizsgálata

Polinomfüggvények vizsgálata elemi módszerekkel

Exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények megismert tulajdonságainak összefoglalása

Grafikusan adott (formulával csak közelíthető) függvények tulajdonságainak megállapítása

Lokális és globális szélsőérték fogalma

A deriváláson alapuló szélsőérték vizsgálat, a deriválhatóság feltételének vizsgálata

A függvény menete és a derivált függvény viselkedése közötti kapcsolat

Többváltozós függvények szélsőértéke szemléletes úton

4.18. Feladat:Hogyan valósítható meg a függvények, sorozatok téma tanítása során az ismeretszerzés és a képességfejlesztésnek az egysége?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Az analízis is hozzájárul a matematikai tudatosság fejlesztéséhez a megsejthető és bizonyítható állítások által:

függvények megadási módjai (pl. szabadon választható-e az értelmezési tartomány; a Dirichlet függvény formulával egyszerűen definiálható, de csak utalásszerűen ábrázolható, stb.)

a függvény és a függvény grafikonjának kapcsolata (a függvénytranszformációk hatása az egyes tulajdonságokra páros-páratlan függvény, periodicitás, stb.)

4.19. Feladat: Milyen elvek szerint lehet csoportosítani az egymásra épülő feladatokból álló feladatsorozatokat? Elemezze a következő feladatsorozat részletet. (Forrás: Pósa, L. 1999. [] 65. o.)

Van-e olyan függvény, aminek pontosan egy felső korlátja van?

Ki tudnál-e emelni egy felülről korlátos függvény végtelen sok felső korlátja közül egy olyat, amely valahogy más, mint a többi? Amilyenből csak egy van?

Vizsgáld meg alulról korlátosság, felülről korlátosság, valamint korlátosság szempontjából az alábbi függvényeket! (egyszerű polinom függvények és trigonometrikus függvények vannak felsorolva.) Ahol képes vagy rá, keresd meg a legkisebb felső korlátot és a legnagyobb alsó korlátot is!

Adj meg egy olyan függvényt ... (Korlátosságra, értelmezési tartományra, a maximum létezésre vonatkozó adatok)

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Ebben a feladatsorozatban a korlátosság, felső korlát és a legkisebb felső korlát fogalmával ismerkedhetnek a tanulók úgy, hogy a fogalom tartalmának egyre több részletére kell figyelniük.

A feladatsorozatok szerkesztésére vonatkozó módszertani tudnivalók olvashatók az ellenőrzés, értékelés fejezetben is.

4.20. Feladat:Milyen speciális lehetőségek vannak az analízis tanítása során a problémamegoldás képességének fejlesztésére?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Az emelt szintű gimnáziumi képzésen kívül a közoktatásban viszonylag kevés lehetőség van olyan gondolkodtató példák feladására, mint pl. bonyolultabb függvények ábrázolása;

a lehető legtágabb értelmezési tartomány megkeresése;

egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása, közelítő megoldások.

Jellemzőbb, hogy a fogalmak megértése, azok elképzelése jelent feladatot a diákoknak. Itt a feladatmegoldás mellett igen nagy szerepe van a beszélgetésnek.

4.21. Feladat:Milyen bizonyítási feladatok adhatók a függvények, sorozatok témakörben?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

4.22. Példa:Vizsgáljuk a bizonyítás folyamatát egy konkrét példán: Az x2 függvény páros.

Az elvégzendő feladatok vázlatosan

  • az állítás értelmezése, szemléltetése,

  • az állításban szereplő fogalmak definiálása,

  • az x2 fv eleget tesz-e a párosság követelményeinek az értelmezési tartományt illetőn? Ha nem adunk meg értelmezési tartományt, akkor a lehető legbővebb halmazt tekintjük értelmezési tartománynak.’’ konvenció jelentése,

  • az x2 fv eleget tesz-e a párosság követelményeinek a hozzárendelési szabályt illetően,

  • az állítást beláttuk, általánosítás x2n, analógiás gondolkodás, x3 és általában a páratlan kitevők esete.

A feldolgozást segítő kérdések:

- Elhiszitek az állítást? Miért is kell bizonyítani?

- Nehéz ez a bizonyítás?

- Milyen lépésekből áll?

- Milyen definíciókat kellett felidézni?

Bár ennek az állításnak az igazolása technikailag nagyon egyszerű, alkalmas arra, hogy végiggondolják a tanulók az állítások igazolásának lépéseit, azt, hogy először meg kell ismerniük az állítás tartalmát, hipotézist kell felállítaniuk, amely szerint vagy elfogadják, vagy elvetik az állítást, el kell végezni a technikai lépéseket, majd elemezni kell a tapasztalatokat.

4.23. Feladat:A következőkben egy téma részletes kidolgozását olvashatja el. Figyelje meg, milyen szempontokra szükséges kitérni az elemzés során.

4.24. Példa:A logaritmusfüggvény

A logaritmus a gimnáziumi kerettanterv szerint (pl. olvasható a NTK honlapján) a 11. osztály tananyaga. Két fő terület részeként szerepel a tantervben:

a) algebra: a hatványozás kiterjesztése, és a hatványozás másik’’ inverze, a logaritmus

b) függvények, sorozatok: exponenciális és logaritmus függvények

Mivel a tanterv feladatokat, követelményeket jelöl ki, a témák sorrendjét viszont nem köti meg, ezért az adott iskola hagyományain, az egyes tanárok döntésén múlik, hogy ezt a két részt időben közelítik egymáshoz, vagy más, e témarészeket elkülönítő logikát követnek. Ettől függetlenül szükséges a logaritmus fogalmát a tanárnak is, és később a diáknak is egységben látnia.

  1. A logaritmus tanításának céljai:

    • Az egyenletmegoldó és a függvényvizsgáló képességek fejlesztése szempontjából is nagy jelentőségű, hogy a tanulók változatos, a tapasztalati bázisukat szélesítő, a tanult fogalmakat (pl. egyenletmegoldás és a logikai műveletek, nyitott mondatok; a függvények értékkészlete és értelmezési tartománya, invertálás) sokoldalúan megjelenítő ismereteket szerezzenek

    • A matematikai és a matematikán kívüli alkalmazás miatt az egyetemeknek már az első éves anyagában a függvényeknek, ezen belül a logaritmus függvénynek kiemelkedő jelentősége van.

  2. A logaritmus tanításának előzményei:

    • a negatív számokkal és a közönséges törtekkel végzendő műveletek, az egyenletmegoldási technikákból származó, általánosítható tapasztalatok a megoldáshalmazról, a koordináta-rendszer alkalmazáskész ismerete, a függvény és grafikonja, szoros kapcsolatuk és lényegi különbségük; az állítások és a definíciók világos megkülönböztetésének képessége;

    • a hatványozás, a geometriai vonatkozások miatt ezen belül a négyzetre emelés és a köbre emelés;

    • a magasabb kitevőjű hatványok a polinomok tanulása során, valamint a kombinatorikai alkalmazás miatt;

    • a négyzetgyök és köbgyökvonás;

    • a számelméleten belül elsősorban a tényezőkre bontás, a tanulók additív szemléletének elmozdítása abba az irányba, hogy a multiplikatív jelenségeket is képesek legyenek észrevenni.

  3. A logaritmus tanításának történeteHagyományosan e témának lényegesen nagyobb szerepe volt. A számítógépek elterjedése előtt a logaritmusra nagy szükség volt a műszaki és tudományos életben a számítások elvégzéséhez, emiatt természetesebbnek tűnt, hogy a tanulók sok, a gyakorlati életben közvetlenül szükségesnél mélyebb ismeretet sajátítottak el. Ma már lényegében senki sem használ logarlécet és logaritmus táblázatot, ezzel szemben a különböző tudományterületeken a logaritmus nagyon gyakran előfordul és egyre több diáknak lesz szüksége rá későbbi tanulmányai során.

  4. A témához tartozó ismeretek: A NAT a tananyag tartalmi elemeit és a fejlesztési feladatokat egységben tárgyalja.

    96. ábra. Feladatok a NAT alapján

    A felépítés arra a téves következtetésre enged jutni, hogy a logaritmus fogalmára csak a matematika belső fejlődése miatt van szükség. Ezzel szemben fontos hangsúlyozni, hogy a gyakorlatban igen sokszor fordul elő, hogy egy mennyiség exponenciálisan függ egy másiktól.Például a biztosan telitalálatos totó-szelvényhez szükséges szelvények száma a mérkőzések számának 3n exponenciális függvénye, ha pedig azt kérdezzük, hogy egy adott összeg hány meccs esetén elég a szükséges összes szelvény megvásárlásához, máris a logaritmus fogalmánál vagyunk. Hasonlóan szemléletes megközelítés, ha a sakkjáték feltalálójának jutalmára gondolunk: a mezők számától (exponenciálisan) függ a jutalom, és ha azt kérdezzük, hogy a jutalom adott értékét hányadik mezőnél érhetjük el, újra a logaritmus fogalmához érkezünk.A valóban gyakorlati példák már sokkal bonyolultabb összefüggésben jelentkeznek, például a valószínűségszámításban.

  5. Megjegyzések a téma legfontosabb fogalmainak tanításához

    • A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A logaritmus értelmezéseA szöveges feladatok lehetővé teszik, hogy a logaritmus fogalmát a tanulók számukra könnyen érthető szituációkban ismerjék meg, és a definíció és a jelölés már csak a tudottak összefoglalása.

    • A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverzeÉrdemes az inverz képzést a táblázatos megadással, a sorok felcserélésével és a függvény grafikonjának az y=x egyenesre tükrözésével is megvizsgálni.

  6. Értékelés a NAT szerintAz egyéni értékelés összegzésének összetevői:

    • Különféle tevékenységi formákban mutatott aktivitás, a társakkal való együttműködés képessége alapján.

    • Előre kiadott témák közül tetszés szerint választott kérdéskör feldolgozása (képi, írásbeli, szóbeli) és ennek értékelése.

    • Vitaszituációkban való részvétel, vitakultúra, argumentációs képesség szintjének írásbeli, szóbeli értékelése.

    • Projektmunkában való részvétel (egyéni vagy csoportos) szóbeli, írásbeli értékelése.

  7. Példák az egyes helyzetekhez illő feladatokra:

    • Képes-e a tanuló a felkínált tevékenységformák közül kiválasztani azokat, ahol ő különösen jó, pl. a grafikonok szép ábrázolása, és ahol azért kell aktívnak lennie, mert intenzív fejlődésre van szüksége, pl. a szöveges feladatok adatainak megjegyzése

    • A logaritmus felfedezése, a sok értékes jegyű számítások elvégzésére szolgáló régi algoritmusok

    • Más területről: A határérték-fogalom önálló definiálása, ellenpéldák keresése a kezdetleges definíciókra

    • Projekt-munka: valós adatok gyűjtése a különböző konstrukcióban felvett hitelek törlesztésére, a valódi adatok és az egyszerű matematikai modellek eltérésének elemzése

  8. A matematikai versenyek szerepe a fogalmak építésében, a problémamegoldó gondolkodás fejlesztésébenNéhány, a témához illeszkedő szép feladatA középiskolai és az egyetemi tananyag kapcsolatának eddig nem érintett kérdései.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Egy-egy témakör feldolgozásának fő szempontjai:

A téma helye a kerettantervekben

Egy választott anyagrész egy órájának megtervezése

lokális és globális célok kapcsolata, preferenciák

ellenőrző dolgozat feladatainak összeállítása, az értékelés fő szempontjainak bemutatása.

4.2 Vertikális és horizontális kapcsolatok

4.2.1 Tapasztalatgyűjtés a környező világból

4.25. Feladat: A mértékegységváltás sok tanulónak komoly gondot okoz. Mutassa meg az absztrakt gondolkodási szinttel összefüggő nehézségeket!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A mértékegységek változatos elnevezése még a szabályos, tizedes átváltásokat is nehézzé teszi, a témakörben az egyéb számrendszerhez kapcsolódó feladatok tovább növelik a tanulók nehézségeit. Hagyományosan a különböző termékek tömegét (vagy a különböző textíliák hosszát) más-más mértékegységgel mérték. Lassan vált általánossá az egységes metrikus rendszer, hasonlóan lassú folyamat, amíg az egyes tanulóknál is lezajlik ez az absztrakciós folyamat.

4.26. Feladat: A mérés, mértékegységek téma az iskolai tantervekben általában a geometriához kapcsolódik. Mutassa meg az analízishez való kapcsolódási pontokat!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Alsó tagozat: Megkérhetjük a tanulókat, hogy ismerjék meg, mutassák be az óra, a méterrúd, szabó-centi, a mérleg használatát. Végezzenek méréseket, a mérések eredményét ábrázolják grafikonon. Például 1 db, 2 db, 5 db, 10 db egyforma könyv (tankönyv) tömege, vagy a csoport egyes tagjai mennyi idő alatt lépkednek el a szemközti falig.

Felső tagozat: Megkérhetjük a tanulókat, hogy keressenek mérőeszközöket a lakásban és tágabb környezetükben: hőmérő, sebességmérő, gázóra, villanyóra. Végezzenek méréseket és számításokat, a kapott adatokat ábrázolják grafikonon, keressenek összefüggéseket az egyes mennyiségek között, adjanak meg függvényeket formulával, ábrázolják a formulával megadott függvényeket, hasonlítsák össze a tapasztalati és az elméleti’’ adatokat. A tíz nevezőjű részekkel való közelítő mérés segíti a tizedes törtek, racionális számok fogalmának megalapozását.

Középiskola: Sok lehetőség van tapasztalati adatok gyűjtésére, azok elemzésére. Jó kapcsolódási lehetőségek vannak a statisztikai témákhoz és a méretes geometriai feladatokhoz. Például a henger térfogatának ábrázolása a sugár, illetve a magasság függvényében.

Emelt szint, illetve felsőoktatás: Az integrálszámítás alkalmazási lehetőségei a terület és a térfogatszámításban, kitekintés egyéb gyakorlati számítási-mérési feladatokra.

4.27. Feladat:Gyűjtsön ötleteket iskolai körülmények között is megvalósítható projektekre különböző évfolyamok számára.

Milyen új feladatot jelent a tanulóknak a papír-ceruza matematikáról áttérni a szabadtéri feladatokra? Hogyan oldható meg ilyen keretek között a tanulók munkájának ellenőrzése és értékelése?

Mutassa meg, hogy a szabadtéri feladatok hogyan kapcsolódnak a földrajz és a fizika tantárgyakhoz!

Elemezzen néhány szokásos tankönyvi szöveges feladatot! Mely esetekben segítheti, és mely esetekben gazdagíthatja tovább a tanulók feladatait, ha a problémát szabadtéri körülmények között kell megoldaniuk?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ Az analízis néhány nehéz fogalmának jobb megértését segíti, ha léptéket váltunk, és néhány problémát a valóságba ágyazva, a szabadban, az iskola környékén, vagy kirándulás keretében adódó szituációba helyezzük.

  • Az exponenciális függvény (a>1) gyors növekedését jobban láthatják a tanulók, ha valamely exponenciális függvény néhány helyettesítési értékét a szabadban, egy egyenes út mentén kell kijelölniük.

  • A függvények menetének megfigyelését, az értelmezési tartomány megadásának jelentőségét kínálja, ha épületek sziluettjét függvényként kell a tanulóknak megadniuk. Egy-egy jellegzetes épületrész, tetőmegoldás látványáról vázlatot készítve, majd azt néhány vonallá leegyszerűsítve kereshetnek olyan egyszerű, sokszor csak lineáris függvényeket, amelyeket az értelmezési tartomány tekintetbe vételével közös koordinátarendszerben ábrázolva lekottázhatják a valóságot.

  • A klasszikus trigonometriai feladatok is érdekesebbé válhatnak, ha torony magasságának meghatározása valódi torony adatait kéri, ahol a számításokhoz szükséges méréseket maguk a tanulók végezhetik el, és ahol a kapott eredményt több forrásból szerzett adatok segítségével (lelógatott kötél, műszaki adatok stb.) ellenőrizhetik.

4.28. Feladat: A tanulók a függvényt gyakran a formulával azonosítják. Mutassa meg az alábbi grafikonok segítségével, hogy a függvények formula nélkül is igen sok információt tartalmazhatnak, amelyek a függvény grafikonjáról leolvashatók.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

  1. Tűréstartomány:

    97. ábra

    Minden környezeti tényezőnek van egy minimum (alsó) és egy maximum (felső) értéke. A két érték közti szakasz a tűréstartomány. Ezen belül az élőlények számára legkedvezőbb szakaszt optimumnak nevezzük. Ettől távolodva mindkét irányba egyre kedvezőtlenebb a környezeti tényezők hatása. A minimum és a maximumpont közelében a tűréshatároknál az élőlények már nem szaporodnak, fejlődésük visszamarad, vegetálnak.

  2. A Föld népessége

    98. ábra

    Jelen pillanatban a világ népessége naponta 250 000 fővel nő, ami nagyjából egy Debrecen méretű városnak felel meg. Ezt a gyors növekedést már nagyon korán észrevette egy kivételes angol tudós Robert Malthus. 1798-ban kiadott Esszé a népességről című tanulmányában arra a következtetésre jutott, hogy a népesség exponenciálisan (mértani haladvány szerint) nő, míg az élelemtermelés csak egyenletesen (számtani haladvány szerint) növekszik, a 99. ábrán ennek a grafikus ábrázolása látható.

    99. ábra

  3. Herringek (Clupea harengus) norvégiai populációjának összeomlásaAz állomány 1970-ben drámaian lecsökkent, majd az óvintézkedések hatására rendkívül szépen visszanyerte korábbi méretét. A fiatalok lehalászását megtiltották, a legkisebb kifogható hal 25 cm-es.

    100. ábra

4.2.2 Függvény-show

Fried Katalin készített egy függvény-show nevű programot. Egy rövidített változat az animációk közöt is megtekinthető: 7.11 A program az http://dl.dropbox.com/u/100162898/modjegyzet/fv-show.pdf címen érhető el.

Megtekintéséhez néhány szempontra hívjuk fel a figyelmet.

Tudjuk, hogy a függvényeket sokféleképpen lehet ábrázolni. Egyik-másik függvény grafikonjában hosszan gyönyörködünk.

Három függvényábrázolási módot választottunk:

a derékszögű koordináta-rendszert;

a párhuzamos koordináta-rendszert

és a polár koordináta-rendszert.

Minden választott függvényt mind a három ábrázolási módban (ebben a sorrendben) megnézzük.

Minden függvénynek lesz olyan ábrázolási módja, amely érdekes lehet, de az is előfordulhat, hogy a három közül csak az egyik ilyen. Mégis izgalmas mindet megnézni.

Egy apró, a megértést segítő technikai információ:

A polár koordináta-rendszerben a negatív értékekhez tartozó pontokat a pozitív értékekhez tartozó pontok kirajzolásakor halvány szürkére változtattuk, hogy jobban elkülönüljenek egymástól.

1. A derékszögű koordináta-rendszerben történő ábrázolást jól ismerjük.

2. A párhuzamos koordináta-rendszerben a párhuzamosan felvett tengelyek egyikének pontjaiból vonalat húzunk a másik tengelyen a neki megfeleltetett ponthoz.

3. A polár koordináta-rendszerben az x változó értéke az origó körüli elfordulás mértékét, az f(x) függvényérték az origótól mért távolságot adja meg.

A jobb élvezhetőség kedvéért nem feltétlenül ugyanazt az egységet használtuk az egyes ábrákhoz.

Az ábrázolt függvények, és néhány megjegyzés hozzájuk:

1. f(x)=3

A polár koordináta-rendszerben láthatjuk: mindegyik függvényérték ugyanannyi, 3, minden pontnak az origótól mért távolsága 3.

2. f(x)=x

3. f(x)=2x

4. f(x)=x2

5. f(x)=x3

6. f(x)=1x

7. f(x)=1x2

8. f(x)=11+x2

9. f(x)=ex

10. lnx

11. sinx

12. cosx

13. 1+cosx

Ennek függvény polárkoordinátás ábrája az ismert szívgörbe’’ (cardiois vagy cardioid).

14. cos4x

15. sin10x

4.3 Problémamegoldás

4.29. Feladat:Keressen szituációt, ahol az analízis eszközeivel tudja megoldani, vagy kényelmesebben tudja megoldani a problémát, mint egyéb, például algebrai módszerekkel! Gondolja meg, hogy a szituációt befolyásoló tényezők közül melyiket milyen egyszerűsítésekkel kell kezelni a különböző korú tanulók esetében?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Gondolatébresztőnek felsorolunk néhány kiindulási szituációt.

  1. Befér-e a bűvész botja a bőröndjébe?

  2. Be tud-e a hajó kanyarodni a szűk csatornába?

  3. Mennyit fusson a homokban és mennyit ússzon (ami pl. lassabb), ha a vízparttól bizonyos távolságra állva észrevesz a vízben egy fuldoklót?

  4. Hova tegyük a megállót, ha azt két falu akarja használni, mind a két faluból meg kell építeni a bekötő utat, és ennek hosszát szeretnénk minimumra csökkenteni?

  5. Milyen legyen a téglalap formájú ketrec oldalainak aránya, aminek egyik oldala a már meglévő épület fala, és szeretnénk a legkevesebb kerítéssel megoldani a feladatot?

4.30. Feladat:Az általánosan megfogalmazott problémák megoldásához nem elég a szituációt ismerni, hanem gyakran mély matematikai háttérismeretre is szükség van. A feltételrendszer alkalmas megválasztásával a tanulók aktuális ismereteivel, pl. elemi úton is megoldható a probléma változata. Elemezze ebből a szempontból a következő feladatokat!

  1. Egy fogadósnak vannak foglalt és szabad szobái. Az egyszerűség kedvéért mindegyik szobának azonos az ára, és az ár nem függ a bentlakó személyek számától és az ott töltött éjszakák számától sem. Tapasztalati tény, ha n%-kal emelkedik az ár, akkor m foglalást lemondanak. Mennyivel érdemes az árat növelni, ha csak a pillanatnyi bevétel optimalizálására törekszünk?

  2. Egy fogadóban 20 szoba van és egyenként 30 Euro az ára. Ha 5 Euroval növeli az árakat, 2 vendég lemondja a foglalást. Érdemes így változtatni?

  3. Mikor éri el a sakkjáték feltalálójának fizetendő búzaszemek száma az 1 millió darabot (az ismert feltételek szerint)?

  4. Tippeljük meg, hogy a 20. mezőn hány búzaszemnek kellene állnia?

4.3.1 Mit tudunk és mit tudhatunk meg egy függvényról?

Egy fontos függvényosztályra, a valós együtthatós polinomokra vonatkozik a következő probléma.

4.31. Feladat: Legyen f olyan nemkonstans valós együtthatós polinom, amely minden x,y valós számra kielégíti az

f ( x ) f ( y ) f 2 ( x + y 2 )

egyenlőtlenséget.

Van-e a függvénynek valós gyöke? Ha van, akkor hány darab?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Jól megmozgatjuk a polinomok viselkedésével kapcsolatos ismereteinket, hogy még többet megtudjunk erről a függvényről. Bár mi úgy írjuk le a megoldást, hogy ne legyen szükség ábrára, de az olvasáskor és tanítás közben is segít a gondolat szemléltetése egy-egy kis vázlaton.

  • Tapasztalatból tudjuk, hogy a páros és páratlan fokú polinomok viselkedése nagyon eltérő.Lehet-e páros fokú polinomról szó? Jól választott speciális értékekhez folyamodunk, nézzük az x=-y helyettesítést! Az

    f ( x ) f ( - x ) f 2 ( 0 )

    egyenlőtlenség páros fokra nem teljesül, mert páros fokú polinomra a bal oldal végtelenben vett határértéke végtelen.f tehát csak páratlan fokú polinom lehet. A páratlan fokú polinomnak van legalább egy valós gyöke, így már csak azt kell megnézni, hogy lehet-e több.

  • f és -f gyökeinek száma megegyezik, ezért a pozitív főegyütthatójú páratlan fokú polinomokat vizsgáljuk.

  • Feltesszük, hogy az f függvénynek több gyöke van, ezek közül c a legkisebb és d a legnagyobb. A pozitív főegyütthatójú páratlan fokú polinom a legkisebb gyök előtt negatív, a legnagyobb után pozitív:f(x)<0, ha x<c és f(x)>0, ha x>d

  • Megpróbáljuk megállapítani f előjelét egy c és d közötti olyan u helyen, amely nem gyök. Ha azt tesszük fel, hogy f az u-ban pozitív, akkor az x=u értékhez úgy választunk d-nél nagyobb y értéket (ahol f pozitív, hogy d az xy szakasz felezópontja legyen, azaz tükrözzük u-t d-re: y=2d-u. Ekkor

    0 < f ( x ) f ( y ) f 2 ( d ) = 0

    adódik, ami ellentmondás.Ha pedig azt tesszük fel, hogy f az u-ban negatív, akkor az y=u értékhez úgy választunk c-nél kisebb x értéket (ahol f negatív, hogy c az xy szakasz felezópontja legyen, azaz tükrözzük u-t c-re: x=2c-u. Ekkor

    0 < f ( x ) f ( y ) f 2 ( c ) = 0

    adódik, ami ugyancsak ellentmondás.Abból a feltevésből jutottunk ellentmondásra, hogy c és d két különböző gyöke f-nek.Tehát f-nek egyetlen valós gyöke van.

4.3.2 Egy szélsőértékfeladat megoldásainak összehasonlítása

4.32. Feladat: Gondolja át, hogy melyik megoldáshoz milyen előzetes tudás szükséges és mikor várható ez el a tanulóktól.

Feladat: Valaki 100 méter drótkerítéssel egy téglalap alakú tyúkudvart akar elkeríteni. Hogyan válassza meg az oldalakat, hogy a alapterületű legyen a tyúkudvar? Mekkora ez a terület?

A feladat a BürgerFischerMalle féle osztrák tankönyvsorozatban a differenciálszámítás alkalmazásának mintapéldája. A magyar matematikatanítás folklórjában a probléma számos változata, valamint sokféle elemi függvényvizsgálatra, elemi geometriai meggondolásokra alapuló megoldás ismert. Mondanivalónk kifejtéséhez alkalmas ez a legegyszerűbb változat is. Az elemzésben támaszkodunk Hortobágyi István cikkére (Hortobágyi, 1997. []). Az elemzés célja a szélsőértékkeresési stratégiák demonstrálása.

I. elemi geometriai megoldások Az első megoldás elve az, hogy egy (sejtés által) kitüntetett elemet a szóbajövő összes elemmel összehasonlítjuk. Ha a kiválasztott elem legalább akkora, mint a vetélytársak, akkor találtunk maximumot. A második és harmadik megoldásban olyan (konstans) felső korlátot keresünk, amely elérhető.

1. megoldás: Konkrét esetek vizsgálatával megsejtjük, hogy az adott kerületű téglalapok között a négyzetnek van legnagyobb területe.

A sejtés igazolásához összehasonlítjuk a négyzet területét a téglalapok területével. Veszünk egy négyzetet és egy ugyanolyan kerületű téglalapot és az ábrának megfelelően ráhelyezzük. A két alakzat közös részét, a téglalapot az összehasonlításnál el is hagyhatjuk, csak a satírozott részeket kell vizsgálni.

Ha a téglalap egyik oldala a-val hosszabb, akkor a másik éppen a-val rövidebb, mint a négyzet oldala, hiszen az összeg egyenlő. Ebből következik, hogy az ábra szerinti elrendezés lehetséges és a téglalap lefedetlen részének T1 területe kisebb, mint a négyzet kilógó részének T2 területe.

2. megoldás: Egy tanulótól származik az ábrán vázolt megoldás.

A megoldás ötlete, hogy négy téglalap összterületét felülről becsüljük a négyszeres területű nagy négyzettel. A négy téglalap akkor tölti ki a nagy négyzetet, ha oldalai egyenlők.

3. megoldás: A feladat egy változata 1996-ban az Arany Dániel verseny kezdő kategóriájában szerepelt:

Legyen adott egy egyenlőszárú derékszögű háromszög. A háromszögbe téglalapot írunk úgy, hogy egy-egy oldala a befogókra illeszkedik. Bizonyítandó, hogy a téglalap területe nem nagyobb a háromszög területének felénél.

Átdarabolással bizonyítható az állítás. Az átfogó egy P pontján át párhuzamost húzunk a befogókkal. Ezzel egy T területű téglalapra és két (T1, illetve T2 területű) háromszögre bontottuk a kiindulási háromszöget. Az ábra azt az estet mutatja, amikor P a felezőpontnál alacsonyabban van. Ekkor a T1 területű háromszög fér bele a téglalapba és a T2 területű háromszögnek meg van túllógó része. Ha P a felezőpont, akkor négyzetet kapunk, amelynek a területe pont a háromszög területének fele. Ha P a felezőpontnál magasabban van, akkor a T2 területű háromszög fér bele a téglalapba és a T1 területű háromszögnek meg van túllógó része. Ismét egy felső becslést adunk, ezúttal a téglalap területének kétszeresére. Ez egyben egy feladat átfogalmazására és általánosítására is példa. (A versenyfeladat szempontjából se az egyenlőszárúság, se a derékszög nem lényeges.)

II. Megoldások egyenlőtlenséggel

Legyenek a téglalap oldalai a és b, ekkor a K kerületét és a T területét a K=2(a+b), T=ab képletekkel írják le. A példa adataival a T=a(50-a) szorzat legnagyobb értékét keressük. Ha megsejtettük a maximumot, akkor az a(50-a)625

  • egyenlőtlenséget ekvivalens átalakítással (x-25)20 alakra hozzuk, amiből a megoldás kiolvasható,

  • a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséggel igazoljuk (a számtani közép konstans).

II. Megoldások függvénytulajdonságok felhasználásával

Az f(x)=x(50-x) másodfokú függvény maximumát keressük 0 és 50 közötti x értékekre.

  • Teljes négyzetté alakítással f(x)=-(x-25)2+625 alakra hozzuk. Ezen látszik, hogy akkor veszi fel a maximumát, ha a négyzetes tag 0, és ez az értelmezési tartományba esik. (Vagy grafikonra gondolva kiolvassuk a parabola tengelypontjának koordinátáit: (25;625).)

  • Az f(x)=x(50-x) függvény zérushelyei x1=0 és x2=50, a tengelypont x koordinátája a zérushelyek számtani közepe.

  • Az első derivált x=25 zérushelye benne van az értelmezési tartományban, a második derivált negatív, tehát az x=25 helyen maximum van.