Ugrás a tartalomhoz

Matematikai módszertani példatár

Vásárhelyi Éva (2013)

ELTE-TTK

3 Számtan, algebra

3 Számtan, algebra

A számfogalom kialakítása, számlálás, számok neve, műveletek értelmezése tárgyi tevékenységgel és szöveg alapján. Számolás (az éppen aktuális számkörben) fejben és írásban. Az alsó tagozaton nagyon fontos, hogy a szám- és műveletfogalom tapasztalati úton alakuljon ki.

3.1 Alapfeladatok és kompetenciák

3.1.1 A kerettanterv elvárásai

Alsó tagozat

  • Számok írása, olvasása (100-as számkör). Helyi érték ismerete.

  • Római számok írása, olvasása (I,V,X).

  • Számok helye a számegyenesen. Számszomszédok értése. Természetes számok nagyság szerinti összehasonlítása.

  • Számok képzése, bontása helyi érték szerint.

  • Matematikai jelek: +,-,,:,=,<,>,() ismerete, használata.

  • Összeadás, kivonás, szorzás, osztás szóban és írásban.

  • Szorzótábla ismerete a százas számkörben.

  • A műveletek sorrendjének ismerete.

  • Szöveges feladat értelmezése, megjelenítése rajz segítségével, leírása számokkal.

  • Páros és páratlan számok megkülönböztetése.

  • Szimbólumok használata matematikai szöveg leírására, az ismeretlen szimbólum kiszámítása.

  • Számtan, algebra

  • Számok írása, olvasása. Helyi érték, alaki érték, valódi érték fogalma 10000 számkörben.

  • Negatív számok a mindennapi életben (hőmérséklet, adósság).

  • Törtek a mindennapi életben: 2,3,4,10,100 nevezőjű törtek megnevezése, lejegyzése szöveggel, előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel.

  • Természetes számok nagyság szerinti összehasonlítása tízezres számkörben.

  • Mennyiségek közötti összefüggések észrevétele tevékenységekben.

  • A matematika különböző területein az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása.

  • Fejben számolás százas számkörben.

  • A szorzótábla biztos ismerete százas számkörben.

  • Összeg, különbség, szorzat, hányados fogalmának ismerete. Műveletek tulajdonságainak, tagok, illetve tényezők felcserélhetőségének alkalmazása. Műveleti sorrend ismerete, alkalmazása.

  • Négyjegyű számok összeadása, kivonása, szorzás és osztás egy- és kétjegyű, számmal írásban.

  • Műveletek ellenőrzése.

  • Szöveges feladat: a szöveg értelmezése, adatok kigyűjtése, megoldási terv, becslés, ellenőrzés, az eredmény realitásának vizsgálata.

  • Többszörös, osztó, maradék fogalmának ismerete.

Felső tagozat

  • Racionális számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen.

  • Ellentett, abszolút érték, reciprok felírása.

  • Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben.

  • A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel, az egyenes arányosság értése, használata.

  • Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása.

  • Szöveges feladatok megoldása következtetéssel, (szimbólumok segítségével összefüggések felírása a szöveges feladatok adatai között).

  • Becslés, ellenőrzés segítségével a kapott eredmények helyességének megítélése.

  • A százalék fogalmának ismerete, a százalékérték kiszámítása.

  • Számok osztóinak, többszöröseinek felírása. Közös osztók, közös többszörösök kiválasztása. Oszthatósági szabályok (2,3,5,9,10,100) ismerete, alkalmazása.

  • A hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg szabványmértékegységeinek ismerete. Mértékegységek egyszerűbb átváltásai gyakorlati feladatokban. Algebrai kifejezések gyakorlati használata a terület, kerület, felszín és térfogat számítása során.

  • Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása szabadon választott módszerrel.

  • Biztos számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. Az eredmény becslése, ellenőrzése., helyes és értelmes kerekítése.

  • Mérés, mértékegység használata, átváltás. Egyenes arányosság, fordított arányosság.

  • A százalékszámítás alapfogalmainak ismerete, a tanult összefüggések alkalmazása feladatmegoldás során.

  • A legnagyobb közös osztó kiválasztása az összes osztóból, a legkisebb pozitív közös többszörös kiválasztása a többszörösök közül.

  • Prímszám, összetett szám. Prímtényezős felbontás.

  • Egyszerű algebrai egész kifejezések helyettesítési értéke. Összevonás. Többtagú kifejezés szorzása egytagúval.

  • Négyzetre emelés, négyzetgyökvonás, hatványozás pozitív egész kitevők esetén.

  • Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek. A matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlettel. Ellenőrzés. A megoldás ábrázolása számegyenesen.

  • A betűkifejezések és az azokkal végzett műveletek alkalmazása matematikai, természettudományos és hétköznapi feladatok megoldásában.

  • Számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére.

Középiskola

  • Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok, azonosságok.

  • Elsőfokú, másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.

  • Elsőfokú és másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.

  • Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása.

  • Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása.

  • A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére.

  • A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete.

  • A logaritmus fogalmának ismerete.

  • A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából.

  • Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése.

  • A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával.

  • Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban.

3.1.2 A számfogalom fejlesztése (6. tétel)

Műveleti modellek az egész számok körében, számkörbővítés, permanenciaelv.

Természetesen nem ismételjük meg a más tételekben már feldolgozott gondolatokat, csak utalunk rájuk.

A téma összetettségét jól kiemeli a Surányi Jánostól származó idézet: ha valakit megkérdezünk mekkora a kerülete egy 1 cm oldalú négyzet csúcsain átmenő körnek, hamar megadja a választ: π2 cm. Ha viszont azt kérdezzük mi az értelme ennek a szorzatnak, mit értünk azon, hogy a π-t és a 2-t összeszorozni, akkor általában csak egy definíció merül fel, ami azonban itt semmire sem használható: a szorzandót annyiszor veszem összeadandóul, ahányszor a szorzó mutatja’’. Mit jelent a π számú vagy a 2 számú összeadandó? Ennek bizony semmi értelme sincs.’’

I. A téma helye és szerepe az iskolai matematikában.

A számfogalom fejlesztése végighúzódik egész iskolai tanításunkon az alsó tagozattól az érettségiig. Az egymásra épüléssel egyidejűleg szerteágazó kapcsolódásokkal köti össze a különböző iskolai témaköröket. A tanítás különböző szintjein egyaránt fontos szempont, hogy támaszkodjunk a korábbi szinteken szerzett tapasztalatokra: a felső tagozaton építsünk az alsó tagozatból hozott ismeretekre, a középiskolában az általános iskolai ismeretekre. Az intuitív benyomásokat és a konkrét tevékenységek tapasztalatait felhasználva kell a fogalmi szintet felépíteni. (A 11. tervezés tétel alapján)

II. A számkör felépítésének elvi menete, kulcsfogalmai.

Pozitív egész számok, egész számok, racionális számok, valós számok értelmezése. Műveletek értelmezése, tulajdonságaik.

A pozitív egész számok bevezetése halmazokkal és axiómákkal. Számkörbővítés, műveletek értelmezése a bővített számkörökben (egész számok, racionális számok) a permanencia elv alapján. (Kapcsolódó témák: ellentett, abszolút érték, relációk, függvények, egyenlőtlenségek, oszthatóság, teljes indukció, algebrai struktúrák.)

Módszertani szempontok: a definíciók és tételek tartalmának szemléletes, konkrét tevékenységen alapuló modelljeinek ismerete.(1. definíciók és 2. bizonyítások tételek)

III. Bő vázlat 1. A pozitív egész számok

Értelmezés: Absztrakció ekvivalens véges halmazok közös tulajdonságából. Számlálás: véges halmazok elemeit összepárosítjuk sorra a tőszámnevekkel. Mérések, mérőszámok. Pozitív egész számok írása, olvasása, számrendszerek.

Peano axiómák. Módszertani megjegyzés: alsó tagozatos tevékenységekből tapasztalatgyűjtés halmazokkal, továbbszámlálással. Műveletek.

Módszertani megjegyzés: az összeadás és a szorzás többféle modellel, konkrét példákban a megfelelő számkörben, már a legelejétől kezdve a tanult számkörben. (Összeadás: összesítés, hozzátevés, stb.; szorzás: rendezett elempárok pl. színezések, azonos tagokból álló összeg).

Összeadás: A + jel már az alsó tagozaton is többféle jelentéssel bír (hozzáadás, összeadás, előjel, ...). Az összeadás értelmezése és tulajdonságai a halmazok egyesítésének tulajdonságaira vezethetők vissza. A hozzáadás matematikai leírása a Peano axiómákra épül.

Szorzás: Az ismételt összeadásként és halmazok direkt szorzatával is értelmezhető és levezethetők a szorzás alaptulajdonságai is.

Összekapcsolva: a+b=b+a, ab=ba, (a+b)+c=a+(b+c) és (ab)c=a(bc) és (a+b)c=ac+bc, a(b+c)=ab+ac mindkét irányban.

Kiterjesztés, teljes indukció: azonosságok kiterjeszthetők több tagra, illetve több tényezőre. Megállapodások: zárójelek használata, műveleti sorrend, egytagú’’ összeg, egytényezős’’ szorzat, ... Pozitív egész kitevőjű hatványozás értelmezése, az alapazonosságok igazolása az összeadás és a szorzás azonosságainak alkalmazásával, kezdetben konkrét példákon. A hatványozás nem kommutatív, nem asszociatív, de például (ab)c=acbc.

2. A kivonás, mint a hozzáadás inverze

Az a+x=b vagy a b+y=a egyenletek megoldhatóságának vizsgálata a pozitív egész számok körében. Ha létezik ilyen x pozitív egész szám, akkor a b-a szám a b és az a számok különbsége, ha létezik ilyen y pozitív egész szám, akkor az a-b az a és b különbsége. A kettő közül legfeljebb az egyik létezik. Ha a=b, nem létezik, egyébként pontosan egy. A kivonás azonosságai konkrét tapasztalatok alapján.

Módszertani megjegyzés: konkrét példák, pl. mennyivel egészítettük ki, mennyivel több?, stb. kérdések felvetése a tanult számkörökben, szemléletes példák, játékok a kivonás azonosságaira a megfelelő számkörben, már a legelejétől kezdve.

3. Egyenlőtlenségek

A kivonás elvégezhetősége alapján bevezetjük az egyenlőtlenségeket.

Az a<b, vagy b>a, ha létezik olyan c pozitív egész szám, hogy a+c=b.

Az a<b, a=b, a>b relációk tulajdonságai, trichotómia. (Kisebb egyenlő, nagyobb egyenlő, rendezés)

Monotonitás a pozitív egészek körében: a<ba+c<b+c és a<bac<bc.

4. A maradékos osztás, ismételt kivonás

Az osztás elvégezhetősége elvezet az oszthatósági relációhoz. Ha létezik olyan x pozitív egész szám, hogy ax=b, akkor azt mondjuk, hogy a osztója b-nek és x=b:a a hányados.

Az osztás műveleti tulajdonságai. Számelméleti alapfogalmak (osztó, többszörös, oszthatósági szabályok, euklideszi algoritmus, lnko, lkkt, prím, ... , a prímekkel kapcsolatos érdekes kérdések). A négy alapművelet a pozitív egész számok körében, számolás fejben, írásban és géppel.

Módszertani megjegyzés: konkrét kérdésekkel, szemléletes példákkal a megfelelő számkörben, már a legelejétől kezdve.

5. Egész számok, számkörbővítés

A 0 és az additív inverz bevezetése, az a+x=a egyenlet megoldása legyen a 0, minden a pozitív egészre és legyen minden a-hoz a-, amelyre a+a-=0.

Módszertani megjegyzés: a negatív szám bevezetése konkrét modellekkel, hőmérő, mélység,-magasság, adósság-vagyon, ellentett fogalma, abszolút érték fogalma. Minden egész számnak van ellentettje és abszolút értéke, a 0 ellentettje önmaga. Az x-x függvényt minden egészre értelmezzük.

Példa a permanencia-elv alkalmazására

A pozitív egészek körében szerepelt: ha a b=a+c, akkor c=b-a. Itt megmutatjuk, hogy b+a-=a+c+a-=c+a+a-=c+0=c. Tehát b-a=b+a-.

Módszertani megjegyzés: a tanításban hosszú ez az út. Jelölési problémák: előjel és műveleti jel használata. Az egész számok körében az összeadás és kivonás lehetséges eseteit konkrét példákon modellekkel tárgyalják. Az adósság-vagyon modell lényege, hogy minden egész szám sokféleképpen rakható ki adósságcédulák’’ és pénzérmék’’ együttesével, így az összeadás és kivonás művelete mindig elvégezhető hozzátevéssel és elvétellel. Ez az egész számok pozitív egész számpárokkal történő felépítését modellezi. Egyéb modellek, pl. kisautós modell’’, lépkedés a számegyenesen, stb.

Szorzás az egész számok körében

Az előjelszabályok a permanencia elv alapján értelmezhetők. A tanításban modellekkel, pl.: adósság vagyon modellel; vagy pl. úgy, hogy a cx függvény értelmezését kiterjesztjük minden egészre. A bővített számkörben a műveletek értelmezése az azonosságok érvénybe maradása alapján egy-két eset megmutatható.

Például megmutathatjuk, hogy a0=0, minden egész a-ra. A nulla a+0=a minden a-ra’’ definíciójából a disztributivitás felhasználásával következik, hogy a0=0 minden egész a-ra. A szorzás előjel szabályai is megmutathatók az azonosságok értelmezési körének az egészekre történő kiterjesztésével. Például: ab-=(ab)-, mert ab-+ab=a(b-+b)=a0=0. (Itt már felhasználtuk a 0 előzőleg megmutatott tulajdonságát.)

6. A törtek bevezetése, (a multiplikatív inverz értelmezése)

Az osztás elvégezhetősége érdekében új halmazzal bővítjük az egészek halmazát, egész számpárokból: Az (a:b) számpárt vezetjük be, mint a bx=a egyenlet megoldásának, x=a:b, akkor is, ha nincs ilyen x egész szám, de kizárva, hogy a számpár második eleme 0 legyen.

Módszertani megjegyzés: Jelölések, törtek szemléletes értelmezése többféleképpen (egyenlő részekre osztás, a szorzás különböző értelmezésének megfordításai.) Egyszerűsítés, bővítés, reciprok, műveletek törtekkel. Műveletek értelmezése a permanencia elv alapján. Az elvégezhető osztások eredményét azonosítjuk az egész számokkal.

7. A racionális számok értelmezése a törtek ekvivalenciaosztályaiként

Tizedestörtek, műveletek tizedestörtekkel, becslés, kerekítés, közelítés, számolás írásban és géppel. Véges és végtelen tizedes törtek. A végtelen szakaszos tizedes törtek (beleértve a végeseket is) és a racionális számok halmazának ekvivalenciája.

8. A valós számok

A valós számok értelmezése közelítések, határértékek segítségével, analízisbeli fogalmak alkalmazásával. Jelölések, elnevezések. Az alapazonosságok értelmezési körének kiterjesztése a műveletek monotonitásának megtartásával. Intervallumok. Gyakori előfordulások: függvények értelmezési tartománya és értékkészlete, egyenletek, geometriai mértékek, stb.

Módszertani megjegyzés: példák racionális és irracionális számokra nemcsak a 2 vagy a π tizedestörtekkel is. A műveletek elvégezhetősége, műveletek a racionális és irracionális számok között.

9. Számossági kérdések A számosság fogalma. A természetes számok halmazának számossága, mint a megszámlálhatóan végtelen számosság. Sorbarendezhetőség. A racionális számok halmaza megszámlálható. Az irracionális számok halmaza nem megszámlálható. A valós számok halmaza nem megszámlálható. Számosságok rendezése (hatványhalmaz).

Irodalom Peller József: A számfogalom fejlesztésének szintjei az oktatási gyakorlatban. []

Kitekintő irodalom Surányi János: A számkör felépítése. []

3.1.3 Az algebrai struktúrák az iskolai tananyagban (7. tétel)

Természetes számok, egész számok gyűrűje, maradékosztályok, racionális számok, valós számok teste, szimmetriacsoportok, vektorterek.

Struktúrákról általában Művelet, műveleti tulajdonságok, asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás, egység, egységelem, inverz fogalma. Példákkal illusztrálva hol és milyen körülmények között bukkannak fel illetve szilárdulnak meg ezek a fogalmak az alap- és középfokú oktatásban. Félcsoport, csoport, gyűrű, test. A részstruktúra fogalma. Példa nem kommutatív struktúrára.

Természetes számok

A természetes számok axiomatikus rendszere Peano-aritmetika. A természetes számok algebrai struktúrája. Műveletek a természetes számok körében. Hogyan bővül és szilárdul meg a természetes számok fogalma az alap- és középfokú oktatásban. Néhány szó a természetes számokról, mint számosságról. Példák arra, hogy milyen aritmetikai állítások általánosítása vezetnek strukturális tételekhez (pl. Euler-Fermat tétel és ciklikus csoportok elemeinek a rendje).

Egész számok gyűrűje

Műveletek és tulajdonságaik az egészek körében. Az egészek algebrai tulajdonsága. A természetes számok, az egész számok részstruktúrája. Szöveges feladat típusok, melyek segítik motiválni a negatív számok fogalmát. Egyenletekről, melyeknek megoldásai az egész számok halmazának a részhalmazai. Néhány szó az egész számokról, mint számosságról. Az egész számok ábrázolása a számegyenesen, didaktikai kérdések a nem korlátos halmazok megjelenítéséről. Az egész számok néhány nevezetes azonossága; pl. mely algebrai tulajdonságból következik a (-1)(-1)=1?

Racionális számok teste

Műveletek és azok tulajdonságai a racionális számok körében. Testaxiómák teljesülése. A rendezett test fogalma és néhány következménye. A racionális számok mindenütt sűrű halmazt alkotnak. Didaktikai kérdések, amelyek e halmaz számegyenesen való megjelenítéséből fakadnak. A racionális számok ekvivalens megfogalmazásai; (a,b) rendezett elempárokból álló halmaz, (ahol a és b egész számok és b különbözik nullától) és ezen a halmazon definiált műveletek.

Egyenletek, melyeknek megoldásainak a halmaza a racionális számok halmaza.

A racionális számok iskolai bevezetésének a fokozatai. Feladatok, melyek motiválják a racionális számok bevezetését.

A valós számok teste

Műveletek és azok tulajdonságai a valós számok körében. A valós test axiómái testaxiómák. A valós számok halmaza az adott axiómákra rendezett testet alkotnak és ennek néhány következménye. Irracionális számok. Példa néhány irracionális számra az iskolai matematikában (pl. 2; log23, irracionalitása). Az irracionális számok halmaza mindenütt sűrű halmazt alkot. Racionális és irracionális számok összegének és szorzatának eredményének racionalitása, ill. irracionalitása. Valós számok megjelenítése végtelen tizedes tört alakban. E decimális törtek egyértelműsége. A racionális és irracionális számok karakterizációja a decimális törtek segítségével. Decimális törtek és végtelen sorok kapcsolata. A decimális törtekkel kapcsolatos didaktikai kérdések. A valós számok megjelenítése és a kontinuum fogalmának motiválása az iskolában. Egyenletek és megoldáshalmazaik; példa egyenletekre, melyek megoldásai nem valós számok. Mely testaxióma következménye ez?

Maradékosztályok

Maradékos osztás. Kongruencia reláció az egészek körében. Műveletek maradékosztályokban. Kongruenciák és velük való műveletek. Milyen struktúrát alkotnak, a modulus értékétől függően. Nevezetes tételek a kongruenciák körében. Ezek kapcsolata az iskolai számelmélet feladatokkal. Példa véges testre. Néhány feladat, amelyeknek megfogalmazása egyszerűbb a maradékosztályok nyelvén megfogalmazva.

Szimmetrikus csoportok

Egy n-elemű halmaz önmagára való leképezései. Permutációk, és ezek száma. A permutációk megjelenítése. Permutációk szorzata. Az n-edrendű szimmetrikus csoport. Inverzió fogalma. Páros, páratlan permutációk. Transzpozíció. Bármely permutáció transzpozíciók szorzata. Néhány iskolai-szakköri feladat, ahol ilyen típusú kérdés felmerül (pl. tizenötös játék; megoldhatatlan pozíciók a játékban).

Szabályos sokszögek szimmetriái. A sík kongruens leképezései és azok egymás utáni alkalmazásai. A síknak egy négyzetet fixen hagyó leképezéseinek a csoportja. A szabályos háromszöget fixen hagyó leképezései csoportjának a szorzótáblája. Példa nem kommutáló elemekre e csoportban. Milyen iskolai (pl. geometriai) feladatok kapcsolódnak e fenti csoportokhoz?

Vektorterek

A vektortér fogalmának geometriai háttere. Műveletek vektortérben. Példa vektorterekre (pl. valós test felett, a polinomok összeadására és skalárral való szorzására nézve, korlátos intervallumon Riemann integrálható valós függvények halmaza).

Alapvető fogalmak; lineáris kombináció, lineáris függetlenség, összefüggőség, generátorrendszer, bázis, véges dimenzió, vektortér altere. Véges dimenziós vektorterek izomorfiája. Lineáris leképezések és mátrix reprezentációjuk. Néhány geometriai transzformáció, mint lineáris leképezés. Euklidészi terek; skalárszorzat, a norma, távolság, és vektorok által bezárt szög meghatározása magasabb dimenzióban.

Geometriai feladatok vektorgeometriai megoldása a középiskolában; néhány egyszerűbb példa. Koordinátageometria feladatok és euklidészi terek (egyenesek hajlásszöge, pont és egyenes távolsága stb.)

Irodalom Korándi József Török Judit: Számelmélet és algebra III. [] 1-49; 87-96; 113-116.

Peller József Megyesi László: Függvények elemi vizsgálata. Vektortér. []

Kitekintő irodalom a matematikai tartalom felelevenítéséhez

C. D. Bennett: Topspin és a szimmetrikus csoport. []

Cut the knot! természetes, egész, racionális és valós számokkal, szimmetria csoporttal foglalkozó oldalai. [] Freud Róbert: Lineáris algebra. [] Fried Ervin: Algebra I., Elemi és lineáris algebra. []

Fried K. Korándi J. Török J. Bevezetés a modern algebrába. []

Fuchs László: Algebra []

Gyarmati E.-Freud Róbert: Számelmélet. []

Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. []

Laczkovich M. T.Sós Vera: Analízis. []

Sárközy A.: Számelmélet. []

Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. []

Szabó Endre: Csoportelmélet. []

Szendrei János: Algebra és számelmélet. []

3.1.4 A rendezés fogalmához

3.1. Feladat: Két gyerek kavicsokkal játszik. Minden gyerek kap négy kártyát és 20 kavicsot. A kavicsokat ráteszik a kártyákra, majd összehasonlítják a készletüket. Egyik gyerek minden egyes kártyáját összehasonlítják a másik gyerek minden egyes kártyájával. Az a kártya kap egy pontot, amelyiken több kavics található. Ha két kártyára ugyanannyi kavicsot tettek, akkor az nulla pontot ér. Amennyiben egy kártyán kevesebb kavics van mint egy másikon, akkor az -1 pontot kap. Hogyan kell szétosztani a kavicsokat, hogy a legnagyobb nyerési esélyünk legyen?

Létezik-e legjobb készlet?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Egy kártyára nem lehet túl sokat rakni, mert a következőkre túl kevés jutna. Ezért gyakran az 5,5,5,5 készletet választják. (Egy kártyát a kavicsok számával jellemzünk.) Nem nehéz ennél jobb készletet találni: a 6,6,6,2 például ilyen. Ennél a készletnél is tudunk jobbat: 7,7,4,2 jobb, mint 6,6,6,2, ....

Itt a tanulók rendszerint tovább javítanak. Kiinduláskor azt sejtik, hogy 5,5,5,5 a legjobb készlet, de amint az A és a B táblázat mutatja, a legjobb készlet folyamatos javításával a legjobb készlethez jutunk vissza’’, amit a diákok meglepetéssel tapasztalnak.

Ez a feladat választási problémaként is megfogalmazható. Létezik olyan választási modell, amelyben mindig két preferenciasorrendet hasonlítunk össze. Az A táblázat egyes készletei tekinthetők például 2 jelöltre 4 funkció szerint leadott szavazatoknak. Minden jelölt 20 szavazatot kap más-más megoszlásban. A kieséses kiértékelésnél kapott pontok alapján az egyik jobb, mint másik, a harmadik ennél (is?) jobb, a negyedik jobb, mint a harmadik. Itt meg szoktak állni: a negyedik a győztes.

A készletek halmazán értelmeztünk egy matematizálás’’ relációt. Ez nagyon emlékeztet a >,=,< rendezési relációra, két reláció közötti analógia alapján ellenőrizetlenül megelőlegezik az új relációnak a tranzitív tulajdonságot. Ennek a feltételezésnek a cáfolata a két példa az A és a B táblázatban.

3.1.5 Az algebrai azonosságok tanításához

3.2. Feladat:Gondolja meg, hogy melyik reprezentációs szinten oldjuk meg az alábbi feladatokat:

  • 632410 632413 - 632411 2

  • 2 1 5 2 2 1 8 1 1

  • l g 0 , 01

  • 16 1 , 75

  • 3 l o g 9 16 - 1 (Pósa L. Összefoglalás, Calibra, 1999. [] alapján)

Számpéldák, szemléltető modellek segítségével vezetjük be az azonosságokat.

Amikor már az ismert összefüggések rövidített megfogalmazását jelentik a képletek, akkor azok segítségével látszólag megoldhatatlan feladatok is egyszerűvé válnak. (Érdemes esetleg versenyt szervezni a zsebszámológépesek és az ésszel dolgozók között.)

3.1.6 Műveletek és műveleti azonosságok rokonsága

A műveletek között sok és sokféle rokonság van. A következő feladat az

  • ismételt továbbszámlálás 1-gyel,

  • ismételt hozzáadása ugyanannak a számnak,

  • ismételt megszorzás ugyanazzal a számmal

fontos műveletekre vonatkozik. Ezek a műveletek fokozatosan épülnek egymásra, és így egy hierarchikus rendszert alkotnak. Legyen n egy pozitív egész szám.

22. táblázat. Művelet ismételt eljárással

A kivonás, az osztás és a gyökvonás között hasonló kapcsolatok vannak, hiszen ezek az összeadás, szorzás és hatványozás inverz műveletei. Várható, hogy a műveleti azonosságok között is sokféle párhuzam mutatható ki egy olyan struktúrában, amelyben a következő műveletet a megelőzőből hasonló módon hozzuk létre.

3.3. Feladat:Rokon azonosságok.

  • Milyen összefüggés sejthető meg az a3b3=(ab)3 azonosságból, ha minden egyes szorzást összeadásra cserélünk?

  • Bizonyítsa be az eredeti és a rokon azonosságot. Hasonlítsa össze a két bizonyítást.

  • Keressen más rokon azonosságokat.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Az a3b3=(ab)3 azonosság csupa szorzással (aaa)(bbb)=(ab)(ab)(ab) alakba írható. Ha ebben a szorzásokat összeadásra cseréljük, akkor (a+a+a)+(b+b+b)=(a+b)+(a+b)+(a+b) adódik, ami 3a+3b=3(a+b) alakba írható.

Ugyanezt közvetlenül is megkaphatjuk, ha az eredeti azonosságban minden műveletet az őt megelőző művelettel’’, a harmadik hatványra emelést hárommal való szorzással, a szorzásokat összeadással helyettesítjük.

Mindkét bizonyítás azon múlik, hogy az azonosságokat vissza lehet vezetni csupán szorzást, illetve csupán összeadást tartalmazó alakra, majd felhasználjuk, hogy az összeadás is, meg a szorzás is kommutatív és asszociatív.

Az alábbi műveletek bizonyos értelemben inverz műveletnek tekinthetők.

23. táblázat. Inverz művelet az eljárás inverzének ismétlésével

3.4. Feladat:A rokon műveletek inverzei és azok rokonsága

  • Próbálja meg az előbb felírt hierarchikus felépítést az inverz műveletekre is alkalmazni.

  • Milyen nevet adna a következő műveletnek: b-vel való ismételt osztás?

  • Hogyan lehet pontosan definiálni egy ilyen műveletet?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A válasz előtt gondoljuk meg, hogyan is lehet a maradékos osztást ismételt kivonásként definiálni: Például 50-et 8-cal maradékosan eloszthatunk úgy, hogy addig vonogatjuk ki belőle a 8-at, ameddig 8-nál kisebb pozitív maradékot nem kapunk. Ezt 6-szor tudjuk megtenni. Az 50:8 osztás pontos eredménye 6.125. A 6 ennek az eredménynek az egészrésze.

Ennek mintájára osszuk el 50-et 2-vel: 50:2=25; 25:2=12.5; 12.5:2=6.25; 6.25:2=3.125, 3.125:2=1.0625. Ez utóbbi már 2-nél kisebb. 50-et 2-vel ismételten osztva az 5-ödik osztásnál lett a maradék 2-nél kisebb.

Ezzel 50-nek a 2-es alapú logaritmusának egészrészét kerestük meg.

3.5. Feladat:A következő képen egy 7. osztályosoknak szóló matematika tankönyvből mutatunk egy táblázatot. Készítsen a táblázat felhasználásával gyakorló feladatokat a műveletek rokonságának tudatosítására.

94. ábra. Rokonságok. \citeszeredi2003 51. o.

3.2 Vertikális és horizontális kapcsolatok

3.2.1 Egyenlőtlenségek igazolása

A matematikában és a gyakorlati életben is gyakran alkalmazzuk a középértékeket. Pl.: Két sorba kapcsolt ellenállás a számtani közepüknek megfelelő két egyforma ellenállással helyettesíthető.

A harmonikus közepet az átlagsebesség kiszámítására használhatjuk, ha az adott sebességekkel ugyanakkora utakat tettünk meg. Az átlagos üzemanyagfelhasználást is harmonikus középpel számoljuk.

Az 1+12+13+14+15+... harmonikus sorban a másodiktól kezdve minden tag a két szomszédjának harmonikus közepe. (Ez a sor nem csupán a divergens sor prototípusa, hanem a pl. a zenében is fontos.)

Emlékeztető: Legyen a és b két valós szám, amelyekre 0<ab. A két szám számtani közepe A(a,b)=a+b2, mértani közepe G(a,b)=ab és harmonikus közepe H(a,b)=21a+1b.

A számtani és a mértani közép viszonya

3.6. Feladat: Igazolandó a G(a,b)A(a,b) egyenlőtlenség.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A geometriai bizonyítás leolvasható az ábráról. Gyakori kijelentés. Ebben a formában azt jelentheti, hogy az olvasóra bízzuk a bizonyítást.

De általában nem az ábráról kell leolvasni a bizonyítást, hanem olvasás, gondolkodás közben ábrával szemléltetjük a kijelentéseket. Tankönyvi és osztálytermi körülmények között egyértelművé kell tenni, hogy pontosan mit is kell az ábráról leolvasni.

X Z = a , ZY=b, így XO=OY=OQ=A(a,b).

Mivel P a körvonal egy pontja és PZ merőleges XY-ra, ezért XYP egy PZ magasságú derékszögű háromszög.

A magasságtétel alapján PZ=G(a,b).

Q O egy sugár, PZ pedig az egyik húr fele, így PZQO teljesül és ez éppen a G(a,b)A(a,b) egyenlőtlenség.

A harmonikus közép összehasonlítása a számtani és mértani középpel

3.7. Feladat: Hova illeszthető be a harmonikus közép a G(a,b)A(a,b) egyenlőtlenségbe?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Szavakkal is érdemes megfogalmazni a definíciót: a reciprokok számtani közepének reciproka.

Ha a=b, akkor az értékek egyenlők. Ha a<b, akkor elemi geometriai úton bizonyítunk: Egy O kezdőpontú félegyenesen OX=a és OY=b távolságra kijelöljük az X és az Y pontokat.

Jelölje A az XY szakasz felezőpontját, ekkor OA=a+b2 (ezért nevezzük A-nak a pontot).

Az A középpontú, b-a2 sugarú körívre illeszkednek az X és az Y pontok.

Pitagorasz tétele szerint az OP érintő hossza ab=G(a,b).

Ezt a szakaszt az O középpontú, OP sugarú kör segítségével felmérjük a félegyenesre. Az így kapott metszéspont joggal nevezhető G-nek. A H pont a P pontnak a félegyenesre eső merőleges vetülete. A H elnevezés jogossága az OAP és az OPH háromszögek hasonlóságából következik:

O H = O P O P O A = G ( a , b ) G ( a , b ) A ( a , b ) = a b a + b 2 = 2 a b a + b = 2 1 a + 1 b = H ( a , b ) .

Be kell még látni, hogy a pontok ábra szerinti sorrendje helyes. Az OAP háromszögben OAaz átfogó, OP pedig befogó. Tehát: OG=OP<OA.

Az OPH háromszögre ugyanilyen meggondolásból kapjuk: OH<OP=OG.

A konstrukcióból következően X az OH szakasz egy belső pontja és Y az OA-n kívül van. Az OXHGAY sorrendet és az

a < H ( a , b ) < G ( a , b ) < A ( a , b ) < b

egyenlőtlenségláncot kapjuk.

Megjegyzés:

Mellékeredményként a közepek között a következő összefüggést kaptuk:

G ( a , b ) G ( a , b ) A ( a , b ) = H ( a , b ) .

Hogyan lehet ezt szavakban kifejezni? Két pozitív szám mértani közepe egyben a harmonikus és a számtani közép mértani közepe:

G ( a , b ) = G ( H ( a , b ) , A ( a , b ) ) .

3.8. Feladat: Gondolja végig az egyenlőtlenséglánc algebrai bizonyítását.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Az egyenlőtlenséglánc balról jobbra haladva lépésről lépésre ekvivalens átalakításokkal igazolható.

1. Állítás: a<ba<H(a,b)

Bizonyítás: a<b mindkét oldalához b-t adunk: a+b<2b, majd mindkét oldalt aa+b-vel szorozzuk:

a < 2 a b a + b = H ( a , b )

2. Állítás: abH(a,b)G(a,b).

Bizonyítás: Mivel H(a,b)=2aba+b, ezért bizonyítandó, hogy 2aba+bab. Mindkét oldal pozitív, ezért az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha a négyzetekre is teljesül. A négyzetreemelés után mindkét oldalt a2+2ab+b2ab-vel szorozva majd mindkét oldalból 4ab-t kivonva a nyilvánvalóan igaz 0(a-b)2 egyenlőtlenséghez jutunk.

3. Állítás: abG(a,b)A(a,b).

Bizonyítás: A aba+b2 egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha a négyzetekre is teljesül. Négyzetreemelés után 4-gyel szorozva és 4ab-t kivonva a nyilvánvalóan igaz 0(a-b)2 egyenlőtlenséghez jutunk.

4. Állítás: abA(a,b)b. Bizonyítás: Mindkét oldalt 2-vel osztva és mindkét oldalhoz b2-t adva adódik az

3.9. Feladat: Alkalmazzuk mindezt egy másik egyenlőtlenség igazolásakor!

Az elemi geometriából tudjuk, hogy egy hegyesszög ívmértéke a szinusz és a tangens értéke közé esik. Ha az x értékét el akarjuk helyezni a [sinx;tgx] intervallumban, akkor tudnunk kell, hogy az intervallum felezőpontjától balra vagy jobbra van-e.

Mit gondol?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Vázlatot készítünk:

O A B körcikk az egységkörben, OCB egy sinx, OAD pedig egy tgx befogójú derékszögű háromszög. Mivel BC párhuzamos DA-val, ezért CADB egy derékszögű trapéz. A trapéz középvonala sinx+tgx2 hosszúságú.

A szép ábrázolás nem sokat segít, mivel az M1M2 szakasz hossza az AB körív nagyságával optikailag nem összehasonlítható. Megpróbáljuk számolással igazolni, hogy x a [sinx;tgx] intervallum bal felében található, azaz a

x < sin x + t g x 2 .

I. Algebrai megoldás

Egyenlőtlenségek megoldásakor nemcsak ekvivalens átalakításokat hajthatunk végre, hanem becsléseket is végezhetünk: Ha az

x < sin x + t g x 2

egyenlőtlenséget sem igazolni, sem megcáfolni nem tudjuk, megpróbálhatunk valamennyivel többet’’ bebizonyítani. Ehhez egy ismert egyenlőtlenséget szeretnénk felhasználni.

Mivel sinx és tgx harmonikus és mértani középe is legfeljebb akkora, mint a számtani közepük, megpróbálunk ezek közül az egyikkel dolgozni. Az

x < sin x t g x sin x + t g x 2

egyenlőtlenség sem tűnik kellemesebbnek. Ha még nem vesztettük el a bátorságunkat, akkor megpróbálkozhatunk a harmonikus közép alkalmazásával. Ekvivalens átalakításokkal igazoljuk az

x < H ( sin x , t g x ) 0 < x < 90

egyenlőtlenséget többszöri ekvivalens átalakítással:

H ( sin x , t g x ) = 2 1 sin x + cos x sin x = 2 sin x 1 + cos x .

A jobb oldalon álló kifejezés a félszögekre vonatkozó összefüggés alapján 2tgx2, ezzel egy új összefüggést kaptunk a harmonikus középre:

H ( sin x , t g x ) = 2 1 sin x + 1 t g x = 2 t g x 2 .

Ezt az összefüggést az egyenlőtlenségbe behelyettesítve kapjuk az x<2tgx2 egyenlőtlenséget, amelyet úgy olvashatunk, hogy x2<tgx2, és ez hegyesszögekre igaz. Mi következik ebből a kiindulási egyenlőtlenségre? Tudjuk, hogy a H(sinx,tgx)A(sinx,tgx) egyenlőtlenség minden hegyesszögre fennáll. Ebből következik, hogy

x < 2 t g x 2 = H ( sin x , t g x ) A ( sin x , t g x ) = sin x + t g x 2 ,

és ez éppen azt jelenti, hogy x a [sinx;tgx] intervallum felezőpontjától balra fekszik.

II. Geometriai megoldás

Megrajzoljuk a körív B-beli érintőjét, ez az A pontbeli érintőt S1 pontban metszi. Az AS1B töröttvonal felső becslést ad az AB körívre. Meg akarjuk mutatni, hogy azM1M2 (a CADB trapéz középvonala) hosszabb, mint az AS1B töröttvonal. Az S1 ponton át párhuzamost húzunk AC-vel. Ez a párhuzamos egyenes az M1M2 szakaszt az S2 pontban metszi. Mivel AS1 és S2M1 egy téglalap szemközti oldalai, ezért AS1=S2M1. Azért, hogy az S2M2 és az S1M2 szakaszokat könnyebben összehasonlíthassuk, vizsgáljuk az egész ábrát egy geometriai konstrukcióként.

Mivel BS1 érintő, ezért M2BS háromszög derékszögű és az S1S2 szakasz merőleges az M1M2 szakaszra.

Tapasztalatok:

az S1M2 szakasz a B és az S2 pontokból 90 alatt látszik. Összehasonlítjuk az M2BS1 és az M2S2S1 háromszögeket. (Ebben segít S1M2 szakasz Thalesz-köre.) S2S1 feleakkora, mint CA, BM2 feleakkora, mint BD és BD nagyobb, mint CA. Tehát az S2S1 befogó kisebb a BM2 befogónál; az M2S2 és az S1B befogókra ennek az ellenkezője teljesül. Összefoglalva: A középvonal hosszabb a töröttvonalnál, a töröttvonal pedig hosszabb az ívnél, tehát a középvonal hosszabb az ívnél.

Következtetés:

Mivel sinx és tgx harmonikus közepe a középértékek egyenlőtlenségláncában az első helyen áll, így sinx és tgx minden közepére beláttuk, hogy nagyobb x-nél. III. A megoldási utak összehasonlítása

Az első bizonyításban a harmonikus középpel becsültünk, a másodikban az AS1B töröttvonallal. Az első bizonyításban mellékeredményként egy új formulát kaptunk a harmonikus középre:

H ( sin x , t g x ) = 2 t g x 2 .

A második bizonyításban a töröttvonal hossza 2tgx2. Ez azt jelenti, hogy tulajdonképpen ugyanazt a bizonyítást hajtottuk végre különböző módokon. Az utak összehasonlítása segített megérteni, hogy mi történt, és ahhoz az új felismeréshez vezetett, hogy a töröttvonal a kiindulási sinx és tgx szakaszok harmonikus közepe.

3.3 Problémamegoldás

3.3.1 A problémamegoldó gondolkodás fejlesztése, feladatorientált matematikaoktatás. (4. tétel)

Problémamegoldási stratégiák, heurisztikus elvek, algoritmikus gondolkodás. Feladattípusok, problémavariációk. (vázlat)

A probléma fogalmának többféle meghatározása; alapjai: ismert eszközök kombinációja ismeretlen kimenetelű kérdések megválaszolására, gondolkodás; eszközei a motiváció, szakismeret, kíváncsiság, szellemi rugalmasság, tudatosság, pontosság.

A problémamegoldási képesség fejlesztésének alapfeltételei Claus szerint: ismeretszerzés, divergens gondolkodásra ösztönzés, rutinszerű gondolkodás visszaszorítása, kérdezés igényének kialakítása, problémafelvetés ösztönzése, szaknyelv fejlesztése, önálló gondolkodás igényének kialakítása, heurisztikus stratégiák kialakításának ösztönzése, reflexiók és diszkussziók ösztönzése.

A problémamegoldási folyamat modelljei (A Pólya-féle modell alapján): 1. a feladat megértése,

2. terv készítése,

3. a terv megvalósítása,

4. a megoldás vizsgálata.

(Pólya-modell, Pólya-modell kiegészítve, ismeretek, magatartási minták, Mason-féle modell, problémemegoldási séma)

A Pólya-féle modell finomítása, lépésekre bontása.

Problémamegoldási stratégiák, heurisztikus elvek, kontrollmódszerek, gyakorlati megvalósítás

Egy konkrét példán történő bemutatás:

(SAJÁT PÉLDA kell!)

Példa:

Oldjuk meg az

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 66

x + y + z = 11

egyenletrendszert!

Algebrai megoldás:

Vegyük észre, hogy a második egyenlet az elsőnek a 6-od része.

(Ismert eszköz, korábbi tapasztalat.)

Ebből kiindulva próbáljunk meg a két egyenlet alapján olyan szorzatalakot felírni, amely 0-val egyenlő így következtethetünk a megoldásokra.

x 2 - 6 x + 2 y 2 - 6 y + 3 y 2 - 6 z = 0 .

Innen

x ( x - 6 ) + 2 y ( y - 3 ) + 3 z ( z - 2 ) = 0 .

Több megoldási lehetőség is leolvasható ebből az alakból: x=6,y=3,z=2, ami valóban megoldás, illetve ezek valamelyikét a többi ismeretlen 0 értékével kombinálva vagy maga az x=y=z=0, amelyeknek viszont egyike sem megoldás.

(Heurisztikus gondolat, nincs rá garancia, hogy megoldást kapunk, illetve hogy minden megfelelő számhármas megoldás)

(Diszkusszió)

Van-e másik megoldás, és ha igen, azt hogyan kaphatjuk meg?

Mindegy, hogy mi az a másik (vagy több másik) megoldás, amit keresünk, felírhatjuk az ismeretleneket

6 + x 1 , 3 + y 1 , 2 + z 1

alakban. Ezekre a második egyenlet miatt

x 1 + y 1 + z 1 = 0 .

Az elsőbe behelyettesítve pedig:

36 + 12 x 1 + x 1 2 + 18 + 12 y 1 + 2 y 1 2 + 12 + 12 z 1 + 3 z 1 2 = 66 ,

amiből pedig felhasználva az eddigieket valóban következik, hogy nincs más megoldás.

Szisztematikus meggondolás, javítás:

Azt már láttuk, hogy arra kevés az esély, hogy egy szorzatot kapjunk a bal oldalon, míg a jobb oldalon nullát, de arra még lehet remény, hogy a bal oldalon valós kifejezések négyzetösszege (korábbi ismeretek), a jobb oldalon nulla szerepeljen. Ennek megfelelően csak akkor lehet nulla a bal oldali kifejezés, ha minden tag külön-külön nulla.

Mivel tudjuk, hogy a megoldás x=6,y=3,z=2, ezért az (x-6)2+(y-3)2+(z-2)2 kifejezés vagy ehhez hasonló lenne megfelelő. Hogyan érhető ez el? Mivel a konstans tagok összege itt 36+9+466, illetve a kétszeres szorzatok sem használhatók (-12x-6y-4z), jobb lenne, ha a négyzetek valamilyen pozitív szorzótényezővel szerepelnének.

(A pozitív együtthatókra azért lesz szükség, hogy valamely valós szám négyzeteként gondoljunk rá.)

Az a sejtésünk, hogy az 1, 2, 3 együtthatók alkalmasak lehetnek.

( x - 6 ) 2 + 2 ( y - 3 ) 2 + 3 ( z - 2 ) 2 = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 12 ( x + y + z ) + 36 + 18 + 12 ,

ami átalakítva

( x - 6 ) 2 + 2 ( y - 3 ) 2 + 3 ( z - 2 ) 2 = 66 - 132 + 66 = 0 ,

ahogy arra számítottunk.

Geometriai interpretáció:

Az első egy origó középpontú ellipszoid egyenlete, a második egy síké. A metszetük ellipszis (speciálisan kör, illetve elfajuló esetben pont) lehet. A sík a koordinátatengelyeket a (0,0,11), (0,11,0), (11,0,0) pontokban metszi.

Jelen példában az ellipszoidot érinti a sík a (6;3;2) pontban.

Irodalom

Ambrus András: Bevezetés a matematika didaktikába. 1995. [] 107-123. Pólya György: A gondolkodás iskolája. []

Pólya György: A problémamegoldás iskolája I-II. [],

A kidolgozás elsősorban a jegyzetre (Ambrus A. 1995 []) támaszkodik, mert a könyv alapként felhasználja a másik két említett irodalmat.

3.3.2 A tevékenységtől az általános megoldásig

Az algebra elemeinek tanításakor gyakori nehézség, hogy kevés kifejezési formát ismernek a tanulók. Több módszertani kutatás mutatta ki, hogy az érettségi dolgozatban elkövetett hibák hátterében meghúzódó hiányosságok az elemi algebra területére tartoznak. Megoldásként többen a mindhárom reprezentációs szintet használó, fokozatos absztrakciót javasolják.

Bemutatunk példaként egy sorozatot, amelynek feldolgozásával a szerény matematikai érdeklődésűek is problémamegoldási élményhez juthatnak. A vízöntögetés konkrét adatokkal könnyen végiggondolható és komoly eséllyel sikerhez vezet. Részmegoldás is lehetséges.

Ezek a tapasztalatok (analógiákon keresztül) egyfelől elvezetnek a matematikai modellhez (diofantikus egyenletek), másfelől a modell és a valóság kapcsolatának vizsgálatához is példaként szolgál (pl. negatív megoldások).

Mindez végezhető úgy, hogy a matematikai tartalomnak sem kell csorbát szenvednie. 7 problémát vizsgálunk, némelyiket több változatban.

3.10. Feladat:Alapszituáció: Egy kiránduláson a leveshez pontosan 5 liter vizet akarunk hozni a forrástól. Csak egy 4 literes és egy 7 literes edényünk van. Hogyan oldható meg a probléma?

Megoldási ötlet

A 4 literes edénnyel megtöltjük a 7 literes edényt. Ehhez kétszer megtöltjük a 4 literes edényt, másodszor 1 liter marad benne.

Kiürítjük a 7 literes edényt, beleöntjük az 1 liter maradékot és még 4 litert.

(Meg)lejegyezzük a sikeres eljárást: 4+4-7+4=5.

3.11. Feladat:Az alapszituáció gondosabb vizsgálata: Hány liter vizet tudunk egy 4 és egy 7 literes edény segítségével kimérni?

Megoldási ötlet

Az előző megoldási ötletet alkalmazzuk és eredményünket rögzítjük.

24. táblázat

3.12. Feladat:Az egybeesések és különbségek tisztázása: Hány liter vizet tudunk egy 3 és egy 9 literes edény segítségével kimérni?

Megoldási ötlet

Az előző megoldási ötletet vizsgálva észrevesszük, hogy az eredménytábla 4 és 7 összegeit és különbségeit tartalmazza. Ezt a felfedezést a (4,7 és 3,9) analógia szemszögéből átvisszük és azt sejtjük, hogy 3, 6 és 9 liter mérhető ki.

3.13. Feladat:Az alapszituáció általánosabb vizsgálata: Hány liter vizet tudunk egy a és egy b literes edény segítségével kimérni?

Megoldási ötlet

A (4,7 és 3,9) analógiával nyert felfedezést átvisszük az új szituációra. Azt sejtjük, hogy az összegek és különbségek (tehát a legnagyobb közös osztó többszörösei) mérhetők ki.

3.14. Feladat:Egy analóg szituáció: Hány vendéget tudunk egy 4+1 és egy 7+1 üléses autóval elszállítani, ha csak telekocsi’’ indulhat?

Megoldási ötlet

Szisztematikus próbálkozással az alábbi értékeket kapjuk

4 , 4 + 4 = 8 , 4 + 4 + 4 = 12 , 4 + 4 + 4 + 4 = 16 ,

7 , 7 + 7 = 14 , 7 + 7 + 7 = 21 ,

4 + 7 = 11 , 4 + 2 7 = 18 , 4 + 3 7 = 25 ,

2 4 + 7 = 15 , 2 4 + 2 7 = 22 , 2 4 + 3 7 = 29 ,

Ebből megsejthető a 4m+7n megoldásrendszer.

3.15. Feladat:Még általánosabban próbálkozunk: Melyek a 4x+7y=5 egyenlet egész megoldásai?

Megoldási ötlet

Valamilyen megoldásunk már van, 5 liter vizet 4- és 7-literes edénnyel úgy mértünk ki, hogy háromszor megtöltöttük a 4-literes edényt és ebből a 12 literből 7 litert kiborítottunk, azaz x=3,y=-1.

További megoldásokat keresve

25. táblázat

3.16. Feladat:Jó-e a sejtés?

Megoldási ötlet Végtelen sok x=3+7k és y=-1-4k, alakú megoldást találtunk, ahol k pozitív egész.

A kiindulási szituáció megoldása éppen a k=0 eset realizációja.

Negatív k értékekre behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a sejtést.

A megoldások alakja így: x=3+7k és y=-1-4k, k egész.

Megmutatandó még, hogy minden megoldást felsoroltunk. Legyen x*,y* egy tetszőleges, és x=3,y=-1 egy megtalált megoldás.

A 4x+7y-5=0 egyenletbe behelyettesítve, egyenlővé téve és átrendezve 4(x*-3)=7(-1-y*) adódik, tehát x*,y* is szerepel a felsoroltak között.

3.17. Feladat:Az alapszituáció még általánosabb vizsgálata: Milyen c értékre oldható meg az ax+by=c diofantikus egyenlet?

Megoldási ötlet

Az alapszituáció megoldásainak összevetésből nyerhetjük a sejtést: Az egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha a és b legnagyobb közös osztója osztja c-t.

A problémaközpontú tanítási módszer fontos állomása, hogy értékeljük a kapott eredményt, megnézzük, hogy mire jó, amit kaptunk.

3.18. Feladat:Egy 8 literes edény tele van vízzel. Hogyan lehet a vizet egy 3 és egy 5 literes edény segítségével megfelezni?

Megoldási ötlet

Úgy is értelmezhetjük a problémát, hogy egy 3 és egy 5 literes edény segítségével 4 liter vizet kell kimérni.