Ugrás a tartalomhoz

Matematikai módszertani példatár

Vásárhelyi Éva (2013)

ELTE-TTK

2 Gondolkodási módszerek

2 Gondolkodási módszerek

A kerettanterv a Gondolkodási és megismerési módszerek’’ témakörbe sorolja a halmazokkal, valamint a matematikai logika, a kombinatorika és a gráfok elemeivel való ismerkedést.

Ebben a példatárban (kerettantervtől eltérően) mi a gondolkodási módszerekhez soroljuk az analógiás gondolkodás megalapozását is.

Ezzel kifejezzük azt a nézetet, hogy a gondolkodási módszerek fejezetbe azok a tananyagrészek kerültek, amelyek a matematikatanítás eszközeivel hozzájárulhatnak bizonyos ismeretek, jártasságok, készségek, specifikus és nem specifikus kompetenciák fejlesztéséhez. A matematikai problémamegoldást tágabb környezetbe ágyazzuk.

78. ábra

2.1 Alapfeladatok és kompetenciák

2.1.1 A kerettanterv elvárásai

Alsó tagozat

  • Halmazok összehasonlítása az elemek száma szerint. Halmazalkotás.

  • Állítások igazságtartalmának eldöntése. Állítások megfogalmazása.

  • Összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés. Közös tulajdonság felismerése, megnevezése.

  • Több, kevesebb, ugyannyi fogalmának helyes használata.

  • Néhány elem sorba rendezése próbálgatással.

  • Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése.

  • Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése.

  • Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba.

  • A változás értelmezése egyszerű matematikai tartalmú szövegben.

  • Az összes eset megtalálása (próbálgatással).

Felső tagozat

  • Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése.

  • Két véges halmaz közös részének, két véges halmaz uniójának felírása, ábrázolása.

  • Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint.

  • Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel.

  • Állítások igazságának eldöntésére, igaz és hamis állítások megfogalmazása.

  • Összehasonlításhoz szükséges kifejezések helyes használata.

  • Néhány elem összes sorrendjének felsorolása.

  • Elemek halmazba rendezése több szempont alapján.

  • Egyszerű állítások igaz vagy hamis voltának eldöntése, állítások tagadása.

  • Állítások, feltételezések, választások világos, érthető közlésének képessége, szövegek értelmezése egyszerűbb esetekben.

  • Kombinatorikai feladatok megoldása az összes eset szisztematikus összeszámlálásával.

  • Fagráfok használata feladatmegoldások során.

Középiskola

  • Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete.

  • Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben.

  • Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.

  • Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.

  • Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására.

  • A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.

  • A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában.

  • Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.

  • Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.

  • A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából.

  • A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.

  • A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani

  • A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is.

2.2 Vertikális és horizontális kapcsolatok

Tárgyak, személyek, dolgok összehasonlítása, válogatása, rendezése, csoportosítása, halmazok képzése közös tulajdonságok alapján, összességek alkotása adott feltétel szerint, személyekkel vagy tárgyakkal kapcsolatos jellemzők azonosítása, összegyűjtése, csoportosítása a képzés teljes tartamában és minden tantárgyban lehetséges. Törekedni kell arra, hogy egyszerű matematikai szakkifejezések (több, kevesebb, ugyanannyi, kisebb, nagyobb, egyenlő) és jelölésük (=, <, >) a többi tárgy keretében is helyesen történjen. Környezetismeretben tárgyak, élőlények összehasonlítása, csoportosítása különböző tulajdonságok alapján, pl. élőhely, táplálkozási mód stb., természeti jelenségekről tett igaz-hamis állítások. Testnevelés órán csoportok alakítása, sorban állás különböző szempontok szerint. Magyar órán szavak csoportosítása szótagszám szerint, néhány elem sorba rendezése próbálgatással.

2.2.1 A becslésekhez

A becslések több szempontból is nagyon fontosak. Például ellenőrzési módszer, kapcsolatot teremthet a kiszámolt élettelen érték és a valóság között. Akinek a tiszta matematika túl távoli, de hajlandó gondolkodni, ezen az úton eljuthat a matematikához. A gyengébbeknek meg a szokásostól kicsit eltérő gyakorlási lehetőség.

2.1. Feladat: a) Szerkesszen feladatot a becslés gyakorlására a középiskola első éveiben!

b) Elemezze a mi példánkat!

2.2. Példa:Óravázlatrészlet

Rákérdezzünk, majd felírjuk a táblára az éppen aktuális váltószámot, váltószámokat.

A tanulók most még ennek felhasználásával dolgozzanak.

Először megbecsülik a végeredményt 2 értékes jegyre és nagyságrendre (számológép nélkül, 3 mp alatt), néhány tanulói véleményt felírunk a táblára, majd kiszámítják zsebszámológéppel. Pl.:

1 8 k g + 300 g r 23 k g =

6 , 27 c m 3 52 m 3 10 7 m m =

Kinek sikerült legjobban megközelíteni a helyes, két értékes jegyre kerekített végeredményt, beleértve a jó mértékegységet is, természetesen?

A számokat sorbarendezzük, ami maga is jó feladat, de a versenyt is könnyebb értékelni.

Ti is találjatok ki szöveget!

Pl. Milyen alakú lehet az a téglatest, aminek élei a második feladatban szerepelnek? Készítsetek vázlatot!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

A becslés rávezethet a feladat tartalmának alaposabb megértésére, a végén az ellenőrzést izgalmasabbá teszi, hiszen van mivel összehasonlítani a kiszámolt végeredményt.

A becslésnél szükségszerűek az eltérések, egészen nagy eltérések is adódhatnak. Remek alkalom a vitára, még a számítások előtt.

Kinek van igaza és miért? Hogyan lehetne ezt bizonyítani? Mi okozhatja a nagy eltéréseket?

Ez is egy lehetséges út a bizonyítások felé, módszer a bizonyítási igény felkeltésére.

2.2.2 A logikai feladatokhoz

2.3. Feladat: Keresse meg, próbálja ki a Macigát című animációt.

Fogalmazzon meg feladatokat és problémákat ezzel kapcsolatban.

Milyen változtatást javasolna a szerzőnek, hogy jobban tudja használni az animációt?

79. ábra. Gátak (Bontovics bontovics2011)

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ Melyik a nehezebb művelet, az ÉS vagy pedig a VAGY?

A mindennapi nyelvhasználathoz hogyan kapcsolódik a diszjunkció?

Soroljon fel olyan szituációkat, amelyekben érdemes vizsgálni a logikai műveleteket a tanulókkal!

Mi a logikai áramkörös tanítás előnye és hátránya?

Mire, hogyan használható a Macigát, ahol a logikai változók a folyóra épített gátak, pontosabban zsilipek?

Készítsen az ábra alapján logikai kifejezést!

Mikor és hogyan kezdené el tanítani a logikai műveletek jelölését, a logikai azonosságokat és átalakításokat?

2.2.3 Nyitott feladatok

A nyitott feladat vagy probléma elnevezést a szakirodalomban az úgynevezett zárt feladatok ellentéteként szokták gyakran említeni: azaz ha egy feladat nem zárt, akkor nyitott.

Egy feladat zárt, ha megadott kezdeti feltételek mellett keressük meghatározott kérdésekre a választ. Így a tankönyvekben, példatárakban szereplő feladatok többsége zártnak tekinthető. Egy feladat megoldása során valamilyen kezdeti állapotból (kiindulási feltételek) valamilyen végállapotba (a feltett kérdés megválaszolása) szeretnénk eljutni. Ha egy feladat esetében a kezdeti állapotból a végállapotba jutás módja nem adott közvetlenül, azaz nehézségbe ütközünk a megoldás során, akkor problémáról beszélünk. Egy feladat problémakarektere objektív és szubjektív tényezőktől is függ, hiszen ugyanaz a kérdésfelvetés lehet például a megoldó felkészültségétől függően nehéz probléma, vagy éppen rutinfeladat. A nyitott feladatok általában nem oldhatók meg rutinszerűen, így helyette a nyitott probléma’’ elnevezés gyakran helytálló lehet, és valószínűleg ezért is használják így gyakran (ld. például Pehkonen 1995 []).

A nyitott feladatokat osztályozhatjuk a kezdeti és a végállapot zárt vagy nyitott volta szerint. Egy ilyen osztályozást ad Pehkonen (1995 []):

17. táblázat. A nyitott feladatok osztályozása Pehkonen (1995 \citepehkonen1995) szerint

Nyitott feladatok és problémák részletesebb besorolását adja Blum, 1999 []. Ebben a besorolásban a feladat’’ az egyszerű gyakorlófeladatokat jelenti, a probléma’’ így nem feladat. Fontos különbség az előbbi értelmezéssel szemben, hogy Blum a kezdeti állapotból végállapotba jutás közötti folyamatot’’ (megoldás) is figyelembe veszi, és amennyiben ez többértelmű’’, szintén nyitott problémáról illetve feladatról van szó, még ha a kezdeti illetve végállapot zárt is. Nyitott feladatok osztályozásáról még számos további helyen lehet olvasni: Zimmermann 1991 [], Buth 1995, Zech 1996, Hortobágyi 1997 [], Ambrus G. 2004 [].

Látható, hogy az egyes nyitott feladat típusok között nincs éles különbség. Az előbbiek alapján a továbbiakban nyitott feladatnak tekintjük a kezdetük, végük és a többféle megoldási út miatt idesorolható feladatokat.

Példák nyitott és zárt feladatokra

  1. Adjunk meg öt olyan elsőfokú egyenletet amelynek gyöke 3! Ez egy nyitott kezdetű feladat, a kezdeti feltételek szabadon változtathatók, a végállapot adott.

  2. Olyan különböző természetes számokat keresünk, amelyek reciprokának összege 1.

    • Létezik-e kettő?

    • Létezik-e három?

    • Folytassuk!

Az utóbbi két példa Blum értelmezése szerinti nyitott probléma.

2.4. Feladat: A következő feladatok közül melyik nyitott és melyik zárt? Válaszát indokolja!

  • Orosházán 2008 augusztus 20-án huszonöt méter hosszú kenyeret sütöttek, amit kétezer szeletre vágtak fel. Milyen széles volt egy-egy szelet?

  • Egy akcióban kiderült, hogy az 1 literes tej és 1kg-os kenyér ára is 99-re végződik. Mennyi tej és kenyér ára lehet így összesen 595 Ft?

  • Egy vödörben kb. 6,5 kg narancs van, a vödör ajándék. Az ára 999 Ft, azaz kb. 153,69 Ft/kg’’ olvashattuk a hirdetésben 2009 januárjában. Mi a megjegyzése ezzel kapcsolatban?

  • Az egyik joghurtfajtát négyes csomagokban is árulják. Egy színes matrica hirdeti a csomagon az árát: dobozonként csak 56 Ft. Ha két csomagot veszünk, mennyi az ára?

Egy kis matematikatörténeti kitérő

A nyitott feladatok mélyrehatóbb elemzése akkor kezdődött meg, amikor a problémamegoldó gondolkodás a matematikatanításban hangsúlyosabbá vált. Ez az időszak a hatvanas évektől számítható, amikor az előző évtized végén megjelenő New Math’’ (Új Matek) irányzat hibái (pl. túlzott formalizmus, a műveletek oktatásának elhanyagolása) már kezdtek ismertté válni.

Az említett szélsőségek feloldására került előtérbe többek között a problémamegoldás’’ mint tanítási irányzat, ami a matematikai gondolkodás tanítását tűzte ki célul.

Az New Math’’ irányzatnak akárcsak általában a többi tanítási koncepciónak több változata létezik. Magyarországon a múlt század hatvanas éveiben kezdődött meg Varga Tamás vezetésével a Komplex Matematikatanítási Kísérlet’’, amelynek keretében kidolgozott tanítási módszert Varga Tamás több helyen Post New Math’’ néven emlegeti, de ez az elnevezés nem terjedt el. Varga Tamás feladatai között igen gyakoriak a nyitott feladatok. A következő nem szokványos feladata ( Varga, T. 1978) is ilyen:

Egy játékról van szó, amit Varga Tamás szerint 7 éves kortól kezdve lehet játszani. Négy helyre, véletlenszerűen megadott számjegyeket kell beírni úgy, hogy a két kétjegyű szám különbsége a lehető legnagyobb legyen. Az nyer, akié a legnagyobb ez a különbség. A számok egymás után jelennek meg, és sorban be is kell őket írni a választott helyre (négyzetbe).

80. ábra. A két kétjegyű szám

A számok előállíthatók például normál kocka vagy olyan kocka dobálásával, amelyen 0, 2, 4, 5, 7, 9 szerepelnek. A negyedik szám után a különbség dönti el, hogy ki nyert (többen is lehetnek).

A feladat könnyebb változata: kivonás helyett összeadás.

A feladat nehezebb változata: kettőnél többjegyű számokkal.

A gyerekek dolgozhatnak egyénileg, de csoportosan is: például egyvalaki előállítja a számokat, a többiek külön-külön beírják, vagy egyvalaki írja a saját csoportjának, amit a többiek együtt eldöntöttek, és a csoportok egymás között versenyeznek.

Varga Tamás szerint a játék túlmutat azon, hogy csupán a számolási készséget fejlessze, hiszen felhívja a figyelmet a helyiértékre, a kisebbítendő és a kivonandó eltérő szerepére a kivonásban, hozzájárul ezenkívül ahhoz is, hogy a tanulók gondolkodásuk fejlődése szempontjából fontos kérdésekkel foglalkozzanak, mint például:

Mi a stratégia, (ami itt a következő jegy helyének célszerű megadását jelenti)

Különbségtétel olyan lépések között, amelyeket később biztosan nem fognak megbánni (pl. a normál kockával előállított számok esetében a 6 beírása a kisebbítendőben a tízesek helyére) és amelyeket lehet, hogy később meg fogunk bánni (pl. az 5 beírása az előbbi helyre).

Különbségtétel olyan lépések között, amelyeket később valószínűleg meg fognak bánni és amelyeket valószínűleg nem fognak megbánni. (Mi a helyzet az 5-tel a tízesek helyén?)

Mit jelent a jobb és rosszabb stratégia? ...

Ez a néhány megjegyzés is ízelítőt ad abból, milyen sokrétűen felhasználhatók a nyitott feladatok a tanítás során.

A nyitott közelítés’’ tanítási módszerét, melynek lényege nyitott végű problémák alkalmazása a matematika órán a matematikai’’ vitakészség fejlesztése céljából, Japánban dolgozták ki a XX. század hetvenes éveiben. Ezzel egyidőben lettek népszerűek Angliában a kutatási, illetve matematikai vizsgálatokkal kapcsolatos feladatok a matematika tanításában. A nyolcvanas években már szerte a világon alkalmaztak különböző jellegű nyitott feladatokat. Néhány országban külön elnevezést is kapott az így kialakított tanítási módszer. Ilyen például Hollandiában a realisztikus matematika’’ módszer.

2.2.4 A nyitott feladatok szerepe a matematikatanításban

A nyitott feladat a matematikai tevékenység és a tanulói tevékenység szempontjából is nyitott. Nézzük meg mit jelent ez azon a példán, amikor az 1, 2, 3, 4 számjegyek felhasználásával kell az összes lehetséges háromjegyű számot képezni. Mit kérdeznél még ezzel a négy számjeggyel kapcsolatban? Próbáld megválaszolni kérdéseidet!) esetében.’’

Néhány lehetséges kérdés’’:

Állítsa elő az összes lehetséges egy, két ... jegyű számot!

Hány 4-gyel (3-mal, 5-tel stb.) osztható háromjegyű szám képezhető?

Az 1 2 3 4 számok közé tégy műveleti jeleket és zárójeleket. Hányféle megoldást találtál? Milyen különböző számokat tudtál előállítani?

Írjunk fel olyan egyenleteket, aminek 1234 a gyöke!

Mennyit ér az 1234 az ötös, ... számrendszerben?

A matematikai tevékenység szempontjából egyrészt fontos, hogy kérdéseket is kell megfogalmazni, feladatokat kell készíteni. Ha a feladatok készen érkeznének’’, nem kellene elgondolkodni azon, mi mindent lehet még kérdezni, mire elegendőek (és mire nem) az adatok, mozgósítva ezzel korábban megismert témaköröket, feladattípusokat, a szaknyelv helyes használatát . A nyitott feladatok révén tehát nemcsak matematikai ismereteket gyakorlunk, hanem más kompetenciákat is fejlesztünk. A matematika tanulása, a matematikához való viszony szempontjából fontos dolog történik: problémák, (lehetséges kérdések) felismerése, megfogalmazása, sejtések és megoldások készítése, esetleg problémakörök kifejtése. Azaz nemcsak megtanult és megértett tételek, összefüggések alkalmazásáról van szó, hanem az ismeretek rendszerezéséről, a matematika tudás építéséről, és ennek révén a matematikáról alkotott helyes kép alakításáról.

A tanulói tevékenység így a megoldáson kívül kiterjed a lehetséges kérdés(ek) észrevételére’’, megfogalmazására esetleges továbbgondolására is. Ez feltétlenül többet jelent, mint a zárt adott feladat megoldása’’ tevékenység, és elősegíti a tanulók aktívabb, és a tapasztalatok szerint általában lelkesebb, esetenként sikeresebb részvételét matematikai tevékenységekben.

A matematikaórán használatos’’ feladatok megoldása gyakran bizonyos sémák szerint történik. Az egyik leggyakrabban használt általános séma:

Ha szöveges feladatot kapunk, a megoldáshoz végezzünk valamilyen műveletsort a benne szereplő számokkal még akkor is, ha nem tudjuk, miért csináljuk; valamilyen eredményt csak kell kapnunk.’’

Az, hogy ez a séma egyes gyerekekben kialakul részben biztosan annak köszönhető, hogy a matematika órán leginkább típusfeladatok megoldása során nem (igazán) értett eljárásokat, tételeket alkalmaztak. Ilyen háttértudással nincs támpont mit is csináljanak a nemrutin feladatok esetében. Ennek kapcsán híresült el az ún. kapitányfeladat’’, melynek egyik változata a következő:

Egy hajón 17 kecske és 11 juh található, hány éves a kapitány?

A gyerekek gyakran adják azt a választ, hogy 28, és azzal indokolják, hogy össze kellett adni a számokat, hiszen kivonva túl fiatal lenne a kapitány. Az már nem mindig zavarja őket, hogy a végzett műveletnek semmi köze a kérdezett életkorhoz.

A nyitott feladatok esetén hangsúlyt kap az, hogy a gyerekek átgondolják, miből mit lehet kiszámolni, illetve, hogy amit kiszámoltak az helyes és lehetséges-e. Ez mindenképpen segíti az értelmes’’ feladatmegoldást.

2.2.5 Nyitott feladatok készítése

A téma jelenlegi aktualitását részben az adja, hogy a magyar tanulók nem voltak igazán eredményesek több hazai és nemzetközi felmérésben melyeken arról kellett számot adniuk, mennyire tudják alkalmazni a(z elvileg) megtanultakat. Az eredmények javítása céljából szükséges többek között a hagyományos feladatkultúra’’ továbbfejlesztése is hiszen a hagyományosan általában zárt feladatok csak részben készíthetnek fel ilyen jellegű megmérettetésre. A cél persze valójában nem a felméréseken való sikeres szereplés, hanem a kor és ezzel összefüggésben az egyéni igényeknek megfelelő képzés matematikából is.

A) Nyitott feladatok tankönyvekben tankönyvi feladatok nyitása

A mai magyar tankönyvekben is szerepelnek nyitott feladatok’’, ha egyelőre általában nem is túl nagy számban.

Példák tankönyvi nyitott feladatokra:

  1. Mely állítások igazak a következők közül?

    • Minden 6-tal osztható szám osztható 3-mal is.

    • Minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is.

    • Minden 12-vel osztható szám osztható 24-gyel is.

    • Minden 100-zal osztható szám osztható 50-nel is.

    • Minden 60-nal osztható szám osztható 10-zel is.

    • Minden 60-nal osztható szám osztható 24-gyel is.

  2. Három tyúk három nap alatt három tojást tojik. Mennyit tojik hat tyúk két nap alatt? Keressen többféle megoldást!

Az utóbbi feladat azonban más szempontból is érdekes. Gondoljuk meg, hogy a többféle megoldás’’ keresése kétféleképpen is felfogható.

Az egyik lehetőség, hogy hagyományos arányossági feladat szerint gondolkodunk és így keresünk többféle megoldási lehetőséget:

1. 3 tyúk 3 nap alatt 3 tojás, 3 tyúk 1 nap alatt 1 tojás, stb.

2. 3 tyúk 3 nap alatt 3 tojás, 1 tyúk 3 nap alatt 1 tojás, stb.

3. 3 tyúk 3 nap alatt 3 tojás, 3 tyúk 2 nap alatt 323 tojás, stb.

Ezekben az esetekben a tyúkoknál egyenletes, arányos tojástermelést’’ tételeztünk fel. Így a 6 tyúk 2 nap alatt 4 tojást tojik.

A másik lehetőség az, hogy figyelembe vesszük, a tyúkok a valóságban nem így szoktak tojni. A vidéki emberek megfigyelése szerint tavasszal általában naponta tojnak a tyúkok, egyébként két-három naponta. (A nagy meleg és a nagy hideg negatívan befolyásolja a tyúkokat.) Ebből következik, hogy a feladat szerinti esemény nem tavasszal játszódik, és az is, hogy nem lehet egyértelműen megadni, hány tojást tojtak a tyúkok a kérdéses két nap alatt. Lehetséges, hogy egyet sem, és lehet az is, hogy hatot. Tekintsük ehhez a táblázat szerint az egymás utáni két napokat. (Az pedig láthatóan mindig teljesült, hogy három tyúk három nap alatt három tojást tojt.)

18. táblázat. Az egyformán tojó tyúkok

A táblázat némi módosításával látható, hogy a hat tyúk két nap alatt 1 vagy öt tojást is tojhat.

19. táblázat. A nem egyformán tojó tyúkok

Hasonlóan látható, hogy 2 és 4 illetve 3 tojást is tojhatnak. Így a hat tyúk esetében összesen hétféle eredmény lehetséges. (Arról nem tudunk, hogy egy tyúk két tojást tojna egy nap.)

Egy feladat azonban nemcsak önmagában lehet nyitott, hanem azzá is tehető. Ez fontos, hiszen a tankönyvekben, példatárakban fellelhető feladatok többsége zárt. Az egyik gyakran adódó lehetőség a nyitásra a feladat továbbgondolása, általánosítása. Elvileg minden feladat nyitható, de ez egyes esetekben erőltetettnek is tűnhet. Vannak azonban olyan feladatok, és nem is kevesen, amelyek szinte kínálják a nyitás lehetőségét.

B) Példák zárt feladatok nyitására nyitott végű feladatok készítése adott feladatokból

  1. A * helyére írj összeadás vagy kivonás jelet úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen:

    • 6 * 5 * 3 = 4

    • 8 * 3 * 4 * 9 = 16

    • 34 * 21 * 56 = 69

    • 154 * 54 * 9 = 91

  2. Egy gyertya magassága 1 óra alatt átlagosan 0,4 cm-t csökkent. Az égés folyamatát a következő egyenlettel írhatjuk le:

    y = 24 - 2 5 x

    • Magyarázza meg, hogy a hozzárendelésben melyik betű mit jelent! Mit jelentenek a képletben szereplő számok?

    • Milyen hosszú még a gyertya 15 órai égetés után?

    • Mennyi idő múlva fogy el a gyertya 10 cm-nyire?

    • Mennyi idő múlva ég el teljesen a gyertya?

    • Ábrázolja a gyertya égését! Az x tengelyen 4 órának 1 cm, az y tengelyen pedig 2 cm gyertyahossznak 1 cm feleljen meg!

  3. Található-e olyan a, b különböző természetes szám, hogy 1a+1b=1?Hasonló a kérdés a, b, c esetében: 1a+1b+1c=1. Folytassuk a kérdezést! 1. Lehetséges megoldás és folytatás:Ilyen a és b számok nem adhatók meg. Ha valamelyik tört 12-nél kisebb lenne, a másiknak ennél nagyobbnak kellene lennie, ez utóbbi azonban nem lehetséges. Két egész szám reciprokának az összege csak úgy lehetne 1, ha mindkettő 2 lenne, de azt kizártuk, hogy egyformák legyenek.1a+1b+1c=1 esetében a megoldás: 12+13+16=1 más megoldás nincsen. (Miért?)1a+1b+1c+1d=1 megoldása megadható például az előbbi megoldás felhasználásával: 12+13+16=1 mindkét oldalát szorozzuk 12-del, így 14+16+112=12, amit az 12+12=1 azonosságban az egyik 12 helyére írunk. Egy megoldás tehát: 12+14+16+112=1Ezzel a módszerrel akárhánytagú összeg esetében is tudunk megoldást találni az eredeti feltételek mellett.Ennek alapján megállapíthatjuk, hogy legalább három tag esetén mindig létezik adott tulajdonságú összeg. 2. Lehetséges megoldás és folytatás:További kérdések lehetnek a három, illetve négytagú összeg esetében:

    • Hány megoldás van a pozitív egészek körében az 1a+1b+1c+1d=1 egyenletnek?A nevezőket nagyság szerint vizsgálva belátható, hogy a 14 lehetséges esetből 6 valóban megoldás, ezeket félkövér betűk jelzik a 20 táblázatban.

      20. táblázat. A lehetőségek és a megoldások

    • Van-e megoldás, ha az 1a+1b+1c=1 feladatnál ha az összeadás helyett kivonás is állhat’’?(1a+1b-1c=1 nincs megoldás, 1a-1b-1c=1 nincs megoldás. Miért?)

2.5. Feladat:Keressen példákat tankönyvekben nyitott feladatokra!

2.6. Feladat:Készítsen nyitott kezdetű feladatokat tankönyvi feladatokhoz!

2.7. Feladat:Készítsen nyitott végű feladatokat tankönyvi feladatokhoz!

C) Szituációs problémák nyitott szituációk

Mint már tudjuk, az olyan feladatok esetében, amelyeknél sem a kiindulási feltételek sem a kérdések nem meghatározottak (nyitott) szituációkról beszélünk. Ilyen szituáció lehet tiszta’’ matematikai, vagy valamilyen valóságközeli helyzet is. A szituáció feldolgozása jelenthet rövidebb, vagy hosszabb, más tantárgyakat is érintő feladatot. A nagyobb terjedelműek hosszabb időt igényelnek és más tantárgyak órái is bevonhatók. Rövidebb, főleg matematikai ismereteket igénylő ilyen jellegű feladatok a matematikaórán belül is kidolgozhatók. Példáink ilyenek.

A szituációs feladatoknak mindenképpen sajátja, hogy sokkal határozatlanabbak, mint félig nyitott’’ (kezdeti vagy végállapot) rokonaik. Így a tanulók számára is szokatlanabbak, hiszen kevesebb a támpont, amin elindulhatnak. Általában várható, hogy eleinte nehezebben születnek a kérdések, ezért érdemes az elején néhány kérdés megfogalmazásával, a válaszok megbeszélésével segíteni.

Az is lehet, hogy a tanulók leragadnak’’ egyfajta témánál, illetve kérdéstípusnál. Mindez arra figyelmeztet, szó sincs arról, hogy egy sereg adattal vagy egy számunkra érdekesnek tűnő kérdéskörrel a tanulókat magukra hagyhatjuk, várva a szép eredményeket. A gondos előkészítés, együttdolgozás és értékelés itt sem maradhat el.

D) Tiszta’’ matematikai szituáció feldolgozása

2.8. Példa: Egységnyi területű konvex négyszögek esetében vizsgáljuk meg:

  1. a szemközti oldalak felező pontjainak összekötésével keletkező négy négyszög tulajdonságait és adjuk meg területüket

  2. a szomszédos oldalak felező pontjainak összekötésével kapott (belső) négyszög tulajdonságait és adjuk meg a területét!

Egy lehetséges kidolgozás

  • Négyzet

    81. ábra. A négyzet vizsgálata

    1. A szemközti pontokat összekötő egyenesekre a négyzet tengelyesen szimmetrikus, négy egybevágó kis négyszög keletkezik, így területük 14.

    2. A szomszédos oldalfelező pontokat összekötő szakaszok a 4 kis négyzet átlói. Ezek az átlók egymással derékszöget zárnak be. A belső négyszög oldalai és szögei tehát egyenlőek, azaz négyzetet kapunk. Mivel a kis négyzetek átlói szimmetriatengelyek, felezik a kis négyzetek területét. A belső négyzet területe négy darab fél kis négyzet területével egyenlő azaz 12.

  • Téglalap

    82. ábra. A téglalap vizsgálata

    1. Mivel a téglalap is tengelyesen szimmetrikus a szemközti pontokat összekötő egyenesekre, így a keletkező négy négyszög egybevágó téglalap. Ezek hasonlóak az eredetihez, hiszen oldalaik feleakkorák. Ebből az is következik, hogy területük 14.

    2. A szomszédos oldalfelező pontokat összekötő szakaszok itt is a kapott kis téglalapok átlói, így egyenlő hosszúak. (Általában nem zárnak be derékszöget egymással, csak ha a kis téglalap négyzet.) A belső négyszög tehát rombusz. Ugyancsak a négyzet esetéhez hasonlóan indokolható, hogy ennek a területe 12.

  • Rombusz

    83. ábra. A rombusz vizsgálata

    1. A szemközti felezőpontokat összekötő szakaszok párhuzamosak a megfelelő rombuszoldalakkal (egy-egy ilyen szakasz két olyan paralelogrammára osztja a rombuszt, melynek oldalai 1:2 arányúak). Négy egybevágó kis rombusz keletkezik, így területük 14.

    2. A szomszédos felezőpontokat összekötő szakaszok a megfelelő háromszögekben olyan középvonalak, amelyek a rombusz átlóival párhuzamosak. Így a belső négyszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, azaz a négyszög paralelogramma. Mivel a rombusz átlói merőlegesek egymásra következik, hogy ez a paralelogramma téglalap. A téglalap oldalai az elmondottak miatt a rombusz átlóinak felével egyenlők, így a területe 12.

  • Deltoid

    84. ábra. A deltoid vizsgálata

    1. A szemközti oldalfelező pontokat összekötve, a tengelyes szimmetria miatt a keletkező négyszögek közül kettő egybevágó (rajzon jelölve), a másik kettő pedig deltoid. A két kisdeltoid területének összege egyenlő 12-del (miért?). A két jelölt egybevágó négyszög területe egyenként 14. Így a szemközti négyszögek területének összege 12.

    2. Hasonlóan a rombuszhoz: a szomszédos felezőpontokat összekötő szakaszok a megfelelő háromszögekben olyan középvonalak amelyek a deltoid átlóival párhuzamosak. Így a belső négyszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, azaz paralelogramma. Mivel a deltoid átlói merőlegesek egymásra következik, hogy ez a paralelogramma téglalap. A téglalap oldalai az elmondottak miatt a deltoid átlóinak felével egyenlők, így a területe 12.

    85. ábra. A konkáv deltoid vizsgálata

  • Paralelogramma

    86. ábra. A paralelogramma vizsgálata

    1. Hasonlóan a rombuszhoz: a szemközti pontokat összekötő szakaszok párhuzamosak a megfelelő paralelogrammaoldalakkal (egy-egy ilyen szakasz két olyan paralelogrammára osztja a paralelogrammát, melynek oldalai 1:2 arányúak). Ezért négy egybevágó kis paralelogramma keletkezik, így területük 14.

    2. Hasonlóan a rombusz és deltoid esetéhez: a szomszédos felezőpontokat összekötő szakaszok a megfelelő háromszögekben olyan középvonalak amelyek a paralelogramma átlóival párhuzamosak. Így a belső négyszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ezért paralelogramma. A belső paralelogramma oldalai az a) pontban szereplő kis paralelogrammák átlói, így a terület négy fél kis paralelogramma területével egyenlő, azaz 12.

  • Trapéz

    87. ábra. A trapéz vizsgálata

    1. A szárak felezőpontját összekötő szakasz párhuzamos az alapokkal, így a szemközti felezőpontok összekötésével kapott kis négyszögek trapézok. Ezek általában sem egymáshoz sem az eredeti trapézhoz nem hasonlóak. Az összekötő szakaszok metszéspontját a csúcsokkal összekötve keletkező négy háromszögben a megfelelő kistrapéz oldalak súlyvonalak, így területfelezők. Ebből következik, hogy a szemközti kistrapézok területösszege 12.

    2. Hasonlóan a rombusz, deltoid és paralelogramma esetéhez: a szomszédos felezőpontokat összekötő szakaszok a megfelelő háromszögekben olyan középvonalak amelyek a trapéz átlóival párhuzamosak. Így a belső négyszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ezért paralelogramma. A rajzon azonos színnel jelölt kis háromszögek területösszege a trapéz területének a negyede (miért?). Így a jelölt kisháromszögek területe 12, amiből következik, hogy a belső négyszög területe is 12.

Az előbbiek alapján megállapítható, hogy egy konvex négyszög szomszédos oldalfelezőpontjait összekötve paralelogrammát kapunk, amelynek területe fele a négyszög területének. A szemközti oldalfelezőpontokat összekötve az így keletkező négyszögek közül a csúcsukkal érintkező 2-2 kis négyszög területének összege fele a négyszög területének.

A közölt feldolgozáson kívül érdemes más utakat is átgondolni. Vizsgálhatjuk a probléma térbeli változatait is, amikor az oldalfelezőpont helyébe akár élfelező pont vagy lapközéppont kerülhet.

A feladat megoldása során a legspeciálisabb négyszögből kiindulva jutottunk el az általános esethez. Az egymásra épülő bizonyítások lehetővé tették, hogy végül olyan állításokat is megfogalmazzunk, amelyek minden (konvex) négyszög esetében teljesülnek.

Ennek a szituációs feladatnak a megoldása során a négyszögek tulajdonságait egymással összefüggésben alkalmaztuk, ami lényegesen több mintha különálló feladatokat oldottunk volna meg. Ez a módszer erősíti az összefüggő rendszerekben való gondolkodás illetve a rendszeres, szisztematikus vizsgálat módszerének képességét is. A matematikai ismeretek összefüggésekben való tanítása segíti ezeknek az ismereteknek más szituációkban való alkalmazását. Várható, hogy a négyzetből kiindulva a tanulók önállóan is hasonlóan sorra veszik a speciális négyszögeket.

Az általános megállapítás természetesen adódik az alkalmazott egymásra épülő vizsgálati módszerből.

E) Valóságközeli szituáció feldolgozása

A valóságközeli nyitott szituációkkal való munkát többféleképpen is lehet végezni. Egy lehetséges módszer az, hogy a tanár összeállít előre egy információkat tartalmazó lapot, és a tanulók ennek felhasználásával készítenek feladatokat egyénileg vagy csoportban, tanári segítséggel vagy anélkül.

2.9. Példa:Csokoládé’’

Jelen példánkban a Csokoládé’’ startlap adatainak felhasználásával kell feladatokat készíteni és megoldani azokat.

88. ábra. ,,Csokoládé’’ startlap

A megadott információk felhasználásával készíthetünk például feladatlapot:

89. ábra. ,,Csokoládé’’ feladatlap

Általában elmondható, hogy a nyitott feladatok

  • jó lehetőséget adnak matematikán belüli és kívüli ismeretek összekapcsolására, ezen belül pl. megfelelő gyakorlófeladatok, gyakorlati élettel kapcsolatos vonatkozások kidolgozására

  • elősegíthetik a tudatosabb feladatmegoldást

  • segítik a többszempontú, folyamatos ismétlést, az alapismeretek megszilárdítását

  • nyitott tanulói tevékenységet lehetővé tevő tanulási szituációk megteremtését

  • általában jól feldolgozhatók párban illetve csoportban

  • segítik az egyéni, csoportok közötti differenciálást

  • igényes, (általában) a tanulók számára is érdekes feladatokat jelentenek

  • segítik a matematikáról alkotott helyes kép (nem lezárt kész ismerethalmaz, gondolkodásfejlesztés, alkalmazhatóság...) kialakítását.

  • hatékonyan alkalmazhatók új témakör bevezetésénél, ismétlésnél.

Fontos megjegyezni, hogy nem a hagyományos feladatok helyettesítése a cél nyitott feladatok alkalmazásával, hanem a feladatkultúra gazdagítása.

Felvetődik természetesen az időhiány (tanári, tananyag elvégzése szempontjából) kérdése. A fejezetben szereplő példák, feladatok néhány ötletet adhatnak ahhoz, hogyan lehet nyitott feladatokat nem túl nagy időráfordítással, tanítási órákba, szakköri foglalkozásokba beépítve alkalmazni.

2.10. Feladat:Tegye nyitottá a következő feladatot: Egy 958m2 alapterületű téglalap alakú konyha padlóját szeretnénk 116m2-es járólapokkal lefedni. A járólap darabja az egyik üzletben 62 Ft-ba kerül. Egy másik helyen 1000 Ft-ba kerül belőle 1m2. Melyik ajánlat előnyösebb? Mennyibe kerül így a konyha padlója?

2.11. Feladat:Ossza fel az óra számlapját úgy, hogy minden részben az összeg 15 legyen! Milyen óraszámlapokat ismer? Melyiken oldható meg a feladat? Hogyan?

2.12. Feladat:Szituáció: Van egy tábla csokoládé, ami 3x6 kis kockából áll. Készítsen/keressen ehhez a csokihoz feladatokat!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ: néhány ötlet a megoldáshoz

  • A csokit kis kockákra akarjuk tördelni. Mi a szükséges tördelések minimális száma, ha nem szabad több, már letört csokidarabot egymásra helyezni és úgy együtt továbbtörni? Hogyan változik a válasz, ha változik a csokoládé mérete (kiskockák száma)?

  • Számítsuk ki csokoládétáblánk területét és kerületét abban az esetben, ha 3 illetve 6 egység oldalhosszúságú téglalapnak tekintjük.

  • Tegyük fel, hogy már feltördeltük a csokoládét és a kis kockákat visszatettük eredeti helyükre. Ketten a következő játékot játsszák: Egy lépésben egy vagy két egymásmelletti kockát szabad elvenni. (Egymásmellettinek azok számítanak, amelyeknek közös oldaluk van.) Az nyer, aki az utolsó ill. utolsó kettő kockát elveszi.Melyik játékosnak van nyerő stratégiája, és mi ez a stratégia?Hogyan változik a nyerőstratégia, ha változik a csokoládé oldalmérete?

  • Az eredeti tábla csokoládéból elvettünk két átellenes kis sarokkockát. Lefedhető-e a visszamaradó rész 2x1-es csokidominókkal’’?Hogyan változik a válasz, ha változnak a csoki méretei?

2.13. Feladat:Szituáció: Az idei évszám. Készítsen olyan feladatokat, amiben ez az évszám szerepel! (Ilyen tematikus feladatgyűjtésre jó segítség lehet Sztrókay, 1991, 1995.)

2.3 Problémamegoldás

2.3.1 Az egyik heurisztikus stratégia az analógia

A régi Középiskolai Matematikai Lapok, versenyek feladatait olvasgatva láthatjuk, hogy a matematikatanítás a konkrét ismeretek és készségek elsajátítása mellett heurisztikus gondolkodási, problémamegoldási stratégiák használatát is megcélozta. A heurisztikus stratégiák között központi szerepet játszik a különböző tudásterületek közötti transzfer, az analógiák felismerése, az analógiás következtetés. Ezek a gondolatmenetek, gondolkodási struktúrák igen gyakran (és nem mindig tudatosan) alkották a problémaorientált oktatás, a munkatankönyvek, feladatgyűjtemények, feladatsorozatok, a tanulóprogramok összeállításának bázisát. Pólya György az analógiák keresését, felismerését a matematikai gondolkodás igen értékes részének tartja. Beszél tisztázott és bizonytalan analógiáról, ahol tisztázott, vagy felderített analógián a következőt érti: Két rendszer analóg, ha megfelelő részeik világosan megfogalmazható kapcsolataikban megegyeznek.’’ Az analógiákkal kapcsolatosan Pólya a következőt tanácsolja: ne hanyagoljuk el a bizonytalan analógiákat! De ha igazán hasznukat akarjuk venni, akkor próbáljuk meg tisztázni őket!’’

Az analógiás gondolkodás nagyon közel áll a gyerekekhez (felnőttekhez is), hiszen az emberi megismerés alapvető építőköve. Ennek ellenére a matematikatanárok között nem ritka, hogy kerülik az analógiák direkt használatát a tanításban, mivel a gyerekek gondolkodásában inkább károsnak, mint hasznosnak érzik azt. Ennek oka feltehetőleg az, hogy a tisztázatlan analógiák sok esetben rossz következtetésekhez vezetnek. Például a következő nem ritka hibák mindegyike analógiás gondolkodás’’ eredménye:

2 ( a + b ) = 2 a + 2 b ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 a + b = a + b

Ezek a jelenségek állhatnak a hátterében annak is, hogy az analógiákat a tankönyvek és más módszertani segédanyagok is elég óvatosan kezelik. Pedig ezzel sokat veszít a tanítás. Például azt, hogy a lényegi analógiák megértése segítsen az álanalógiák’’ elkerülésében. Pólya tanácsának megfelelően, az orvosság ezeknek a problémáknak az elkerülésére nem az, hogy kerüljük az analógiák használatát, hanem az, hogy tisztázzuk őket. Például azáltal, hogy több tapasztalatot biztosítunk a szorzás, összeadás, hatványozás és ezek inverzeinek valódi kapcsolatáról (lásd a műveletek rokonságáról szóló részt).

Az analógiák felismerésében, alkalmazásában rejlő fejlesztési lehetőségeket szerintünk ezen a területen sem használja eléggé az iskola. Az analógiától való idegenkedés csak árt a növekvő ismeretanyag csökkenő idő küzdelemben, hiszen a saját ismeret strukturálásának ősi módszerét utasítja el. Igen sokszor csak nagyon alapos vizsgálat dönti el az intuitív szintű rokonságérzetról, hogy mélyebb törvényszerűség van-e a háttérben. A felszíni analógiára példa a lepke és a madár rokonsága, mert mindkettőnek van szárnya. A hagyományos kolomp vagy csengő rokonsága már erősebb, funkcionális analógiának mondjuk, mert mindkettő elláthatja a hangjelzés funkcióját. A Bohr féle atommodell és a bolygórendszer közötti párhuzamnál meg abban bízunk, hogy a bolygórendszert jól ismerjük, azt a keveset, amit az atomról tudunk ezzel összecsengőnek érezzük és a bolygók világából jósolunk, átvetítünk valamit az atomokra. Ez a valami lehet igaz, vagy hamis. Ha kiderül, hogy nem igaz a jóslat, az nem teszi hamissá, hibássá az analógiát. Hibát ott követnénk el, ha ellenőrzés nélkül elfogadnánk az atomokra egy analógiás következtetést, ami esetleg hamis állítás. Nem az analógiát kell tehát izolálni a gondolkodásunkból, mert nélküle számos kapcsolat lehetősége eszünkbe sem jutna, hanem azt a magatartást, hogy egy analógiás következtetést minden további nélkül hamisnak fogadunk el.

Van azonban az analógiát kerülőknek egy tanuláspszichológiai érve is:

A hibás összefüggések óhatatlanul megerősödnek a mutatós felszínes összerendezés által. A hibák magyarázata szépen megbújik a szövegben. A második, ... olvasás után már csak a hibás soron fut át a diák szeme, a szöveg rejtve marad. A táblára írt sorban bevésést segítő megkülönböztető szerepeltetés ajánlott. A fenti példánál maradva:

2 ( a + b ) = 2 a + 2 b  de  ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2  s  a + b  nem  bonthat  fel 

De vajon mit is értsünk analógián? 1991-ben az első osztrák-magyar matematika-didaktikai találkozón megalakult egy analógia munkacsoport. Osztrák, magyar és német tanárok, matematikusok, matematika-didaktikával foglalkozó kutatók és pszichológusok, oktatásszervezésben tevékenykedő szakemberek 9 fős csapata határozta el, hogy példákat gyűjt sikeresen és kevésbé sikeresen alkalmazható analógián alapuló következtetésekre, keresi az analógiaépítés tanuláspszichológiailag megalapozott magyarázatát.

Az ANALÓGIA fogalmának megközelítése Pólya György nyomán Pólya György két gondolkodási rendszert említ, amelyek a problémamegoldási folyamatban tudatosan alkalmazhatók a matematikai tartalom és matematikai gondolkodás közvetítésének eszközeként, az indukciót és az analógiát. Hatékonyságuk a matematikai modellalkotás és a matematika belső fejlődésével alátámasztható. Pólya György példái szépek, beleillenek a magyar matematikatanítás és tehetséggondozás hagyományaiba. A konkrét példákat olvasva mindenki úgy érzi, hogy érti mit takar például az analógia’’. A tanítási-tanulási folyamat tudatos tervezésekor azonban ennél szabatosabb fogalomalkotásra van szükség, különösen, ha a matematikán kívüli ismeretszerzésre, a jelenségek matematikai modellezésére is ki akarjuk terjeszteni ezt a gondolkodásmódot.

A) PÓLYA PÉLDÁJA EUKLIDESZI ÉRTELEMBEN

B) UGYANAZON PÉLDA PROJEKTÍV ÉRTELEMBEN

Az A és B példákban azt kívánjuk érzékeltetni, hogy két dolog analógiás’’ kapcsolata a szituációtól, tudásháttértől, az összevetés jellegétől, az összehasonlítás szempontjától függ. Az A) részben az összehasonlítás alaphalmaza az euklideszi tér. A háromszög analogonjai úgy keletkeznek, hogy hozzáveszünk egy, a háromszög síkján kívüli pontot, illetve a síkjával nem párhuzamos irányban eltoljuk. A két analogon a tetraéder és a háromszög alapú hasáb. Az analóg társ ugyan nem egyértelmű, de legalább világos’’, hogy mi a különbség az analogonkeresés, az általánosítás és a specializálás között. A B) pontban az ideális elemekkel bővített euklideszi tér (a projektív tér egy modellje) az alaphalmaz, a háromszög rokonait’’ úgy kapjuk, hogy a háromszöglemez minden pontját összekötjük egy a háromszöglemezen kívüli ponttal. Ezáltal az általánosítás beleolvad az analogonkeresésbe, a kétféle korábbi analogon közötti különbség projektív értelemben eltűnik.

Az analógiaépítés tanuláspszichológiai megközelítése

Az analógia alapvető szerepét senki nem vitatja az alkalmazkodásban, megismerésben, de a részletes fogalmi tisztázás hiányzik. Ennek részben a tanulási folyamatok összetettsége, részben a túlságosan tág értelmezés az oka. Mi az analógiát a problémamegoldási stratégiák, gondolkodási struktúrák szempontjából vizsgáljuk. Az analógia fogalmának pontos meghatározása nélkül azonnal nehézségekbe ütközünk, amint konkrét példák helyett a különböző tudásterületek, élményanyagok közötti keresztkapcsolatok elemzésére, tudatos serkentésére törekszünk. A tanár és diák ismeretei, a diák ismereteinek részterületei, stb. között sok-sok pozitív és negatív transzfert, analóg kapcsolatot lehet felfedezni. Az ismeretszerzés egyes szakaszaiban más és más lehet az egyezés mértéke az egyes tanulók, illetve a tanuló és a tanár számára. Gyakran alkalmazunk analóg meggondolásokat olyankor is, amikor egy (a tudomány, a tanár szempontjából) deduktív rendszer a tanulók számára analógiaként érzékeltethető. Beszélünk például a prototípus (pl. mintapélda) és a többi elem (pl.: gyakorló feladatok) közti analóg kapcsolatról. A prototípust a saját kategóriája jellegzetes képviselőjének tekintjük és a vizsgálatba bevont kör objektumain szerkezeti vagy funkcionális (esetleg részleges) egybeesést keresünk. A matematika tanulását biztosan segítik (és nem kell attól tartani, hogy zavart keltenek) a Pólya által javasolt rendszerek közötti analógiák. Ezen a leszűkített területen az analógiát úgy tekinthetjük, mint egy ismert rendszernek egy részben ismeretlen rendszerre való átültetését’’, leképezését. A felismert’’ kapcsolatokat kiterjesztjük (az ismertről az ismeretlenre vetítjük), ezáltal az ismeretlen rendszert helytálló’’ és nem helytálló’’ kapcsolatokkal ruházzuk fel. A részben ellenőrzött, részben rávetített kapcsolatok az ismeretlen rendszert heurisztikusan kezelhetővé teszik számunkra, hipotéziseket fogalmazhatunk meg, kidolgozhatjuk a célzott keresés és ellenőrzés stratégiáját.

Az itt célbavett analógiák alapja az A viszonya B-hez olyan, mint C viszonya D-hez’’ séma (elsőrendű analógia), jelölésére elterjedt az A:B = C:B és az A:B::C:D szimbólum. Ezen a tetszetős egyszerű sémán belül azonban az egyes jelek a különböző konkrét esetekben sokféle tényleges tartalmat takarhatnak. A és B sokrétű kapcsolatban állhat egymással, ebből az összetartozásból, összerendezésből a helyzetnek és a szándéknak megfelelően valami, vagy valamik fontosabbá válnak. A és B viszonya’’ egy halvány hasonlatosságérzettől egészen az összetartozás valamilyen elvont fogalmáig terjedhet.

A fejlődési és intelligenciatesztek számos olyan feladványt tartalmaznak, amelyeket analógiaépítési és felismerési feladatnak tekinthetünk, mint például a

NAP : NAPPAL = HOLD : ... (I) vagy NAPOS : NYÁR = HAVAS: ... (II)

sémák kiegészítése. Vajon milyen gondolkodási stratégiát, járulékos ismereteket tételez fel egy ilyen feladat kitűzése? Valóban egyértelmű-e a megoldásuk?

Ha az A:B = C:B kapcsolatot matematikai arányosságként fogjuk fel, (amint azt az analógia szó jelentése sugallja), akkor a NAP : NAPPAL = HOLD : ... az aránypár átrendezésével nyert NAP : HOLD = NAPPAL : ... feladvány ugyanazt a megoldást kell, hogy szolgáltassa. Ez azonban a hagyományosan analógiának tekintett kapcsolatnak csak egy szűk körére teljesül.

Az (I) és (II) rendszereket egymással analógnak tekinthetjük, azaz az összevetés tagjai maguk is lehetnek analóg rendszerek. Az ilyeneket másodrendű analógiának nevezzük.

Ha feloldjuk a (I) és (II) analóg rendszereket, formálisan újabb elsőrendű analógiákat’’ nyerhetünk azáltal, hogy a téglatest valamely élét (vagy lapátlóját) az egyik rendszernek, egy vele párhozamos élet (lapátlót) pedig a vele analóg rendszernek tekintünk. Azt persze nem tudhatjuk, hogy az így előálló analógiák értelmesek-e. A mi példánkon elvégzett próba mutatja, hogy a kiindulási rendszereinken belüli kapcsolatok nem egyenlő erősségűek. A kombinatorikus lehetőségek között adódnak értelmes analógiák’’ még olyan estekben is, amikor a feltételezett kapcsolatok az eredeti rendszerben nem is szerepeltek (lapátlókat vetünk össze). Ugyanakkor találunk olyan esteket is, amikor az eredeti élek semmilyen használható kapcsolatot nem képviselnek.

Az analógiaépítés matematikadidaktikai szempontból

Az összehasonlítás pontosabb leírását segíti, az analóg következtetés szerkezetét szemlélteti a következő diagram.

A, B és a köztük fennálló ϕ kapcsolatok(nak az összevetésnél számbavett része) alkotják az egyik rendszert; C, D és a részben ismeretlen ϕ* kapcsolatok a másik rendszert. A két rendszer alkotóelemei közötti kapcsolatokat, vagy azoknak az összehasonlítás szempontjából lényeges részét ψ, illetve ψ* jelzik. Az analóg következtetés a ψ és ψ* kapcsolatok egyenlőségének feltételezése. Az összevetés szempontjának megfogalmazása rendkívül fontos. Ennek hiányában igazából lehetetlen eldönteni, hogy egy analóg következtetés helyes, vagy helytelen. Vegyük például a 3 viszonya 6-hoz ugyanolyan, mint 4 viszonya x-hez’’ egyszerű feladatot. A 3:6=4:x írásmód azt sugallja, hogy matematikai értelemben vett aránypárról van szó, ahol a leképezések arányt, osztást jelentenek. Ekkor a megoldás a 6 a 3 duplája, 4 megduplázva 8’’ okoskodás alapján x=8.

A kérdés vonatkozhat az ábrán látható 3a,6b befogójú derékszögű háromszög nagyított képére, vagy annak a háromhatod értékű törtnek a nevezőjére, amelynek a számlálója 4.

A gondolatmenetet gyakran alkalmazzuk, de többnyire nem ilyen pontosan. A 3 viszonya 6-hoz ugyanolyan, mint 4 viszonya x-hez’’ szóbeli megjegyzés, vagy a 3:6::4:x alak nem egyértelműsíti a 3:6 kapcsolatot.

Teljesen jogos például a kapcsolat 6 hárommal több, mint 3’’ olvasata, amiből megoldásként 4 megnövelve 3-mal a 7 adódik. A tanítási gyakorlatban könnyű ilyen félreértéseket’’ előidézni, hiszen egy ilyen egyszerű következtetést általában csak egy ujjmozdulattal jelzünk a táblai ábrán és a füzetbe egy mukk sem kerül.

Egy ausztriai és egy magyarországi tanítási kísérlet során kiderült, hogy az A ugyanolyan viszonyban van B-vel, mint C a D-vel’’ analóg következtetés az egyértelműnek tekintett NAP : NAPPAL mint HOLD : ...’’ tesztkérdésben sem nyilvánvaló. Még azok a kísérleti személyek is eltérően indokolnak, akik a feladat kitűzőjének szándéka szerinti (ÉJJEL) választ adják. Gyakori jelenség, hogy a párokat automatikusan átrendezhetőnek tekintik és az indoklás az átrendezett alakra vonatkozik.

Néhány indoklást idézünk:

  • NAP és HOLD égitestek (ψ), NAPPAL és ÉJJEL napszakok (ψ*). A Nap csak nappal látható tapasztalat alapján megelőlegezzük azt a megállapítást, hogy a Hold csak éjjel látható. Egyidejűség (ψ és ψ* ugyanaz).

  • NAP-HOLD és NAPPAL-ÉJJEL ellentétpárok.

  • NAP és HOLD fényforrások NAPPAL, illetve ÉJJEL.

Az analóg következtetés eredményének értékelése ugyancsak szituációfüggő. (Vitatni akarjuk-e, hogy a Hold csak éjjel látható? Fényforrásnak akarjuk-e tekinteni a Holdat?)

A fogalomépítés és az analógia

Egy fogalom különböző reprezentációinak egységes fogalommá formálásánál, fogalmi rendszerek kialakításánál fontos szerepet játszanak az analógiák. Analógia útján tanulni azt jelenti, hogy egy új szituációban egy ismert, sikeresen megoldott rokon’’ szituációt próbálunk felidézni, hogy az eredményes megoldási stratégiát rekonstruáljuk és a jelen helyzetre alkalmazzuk (asszimiláció).

Ha az ismert stratégia nem vezet eredményre, akkor újabb forrás után kell kutatni és kreatív módon újra kell szervezni az elemeket, kapcsolatokat és struktúrákat (akkomodáció).

A matematikai fogalomalkotás szempontjából nem valamilyen metafora, utalás játszik hasznos szerepet, hanem a rendszerek közötti analógia.

Példa: Magyarország és Budapest viszonya olyan, mint Svájc és ... viszonya’’ Ebben az összehasonlításban az egyik ember azt tartja fontosnak, hogy Budapest Magyarország fővárosa, és Bernre gondol, a másik Budapestet Magyarország legnagyobb városaként ismeri és Zürich jut eszébe.

Az analógia a fogalomalkotás majd minden fázisában hasznos, néha nélkülözhetetlen:

  • Összehasonlítás, közös vonások felismerése

  • Ismert rendszerektől való elhatárolás, ellentétképzés (diszkrimináció)

  • A különböző reprezentációs síkok (enaktív, ikonikus, szimbolikus) közötti transzfer (a függvény tulajdonságainak viszonya a grafikon tulajdonságaihoz)

  • Asszimiláció, extenzív kategóriabővítés, ismert elemek azonos szinten való összekapcsolása, rendszerré szervezése.

  • Akkomodáció, intenzív rendszerbővítés a rendszer újrastrukturálása.

Vannak olyan analógiák, amelyek a dolog lényegi részét ragadják meg, majd a tudásháló fejlődésével erősebb kapcsolathoz, önálló felső fogalomhoz vezetnek (pl. vektor az irányított szakaszok ekvivalenciája alapján) és ezáltal el is vesztik az analógia jelleget. De vannak lényegi kapcsolatot jelző analógiák között olyanok is, amelyek az idők végezetéig különböző rendszerek strukturális kapcsolataira mutatnak rá és analógiák maradnak.

Mindegyik típusnak nagyon nagy a jelentősége a gyermeki megismerés szempontjából, mert az ismeretszerzés egy bizonyos fokán nincs a gyermeknek strukturált előismerete, hanem éppen az analógiák segítségével strukturálja. Nem axiomatikusan definiált, hanem lokálisan rendezett fogalmakkal dolgozik. Lehetne ugyan az iskolában is az euklideszi geometria szemléletes fogalmai helyett n 0-, 1-, 2-, 3-dimenziós lineáris altereiként definiálni pontot, az egyenest, a síkot, a teret, csak ez ellentétes számos tanuláspszichológiai és pedagógiai elvvel (meg is próbálták, csak kudarcba fulladt).

Analógiák az euklideszi geometriában

Pólya Györgytől idézzük a következő szép példákat:

... egy háromszög a síkban, és egy tetraéder a térben analóg. A síkban két egyenes nem zárhat be véges alakzatot, de három már igen, egy háromszöget. A térben három sík nem zárhat be korlátos alakzatot, de négy már igen, egy tetraédert. A háromszögnek a síkhoz és a tetraédernek a térhez való viszonya ugyanaz, amennyiben mindegyiket a legkevesebb számú megfelelő elem zárja be. (A síkbeli egyenes térbeli megfelelőjének a síkot tekintjük.) A görög eredetű analógia’’ szó egyik jelentése arány. És a 6 és 9 csakugyan analóg 10 és 15-höz, mert arányuk megegyezik:

6 : 9 = 10 : 15

Az arányosság, vagy a megfelelő részek arányainak megegyezése, amelyet geometriailag hasonló alakzatoknál tapasztalhatunk, az analógiának nagyon szuggesztív esete. Íme egy másik példa. Egy háromszöget és egy gúlát analóg alakzatnak tekinthetünk. Vegyünk egy egyenes szakaszt, illetve egy sokszöget. Kössük össze a szakasz minden pontját egy, a szakasz egyenesén kívül levő ponttal, így egy háromszöget kapunk. Ha pedig a sokszög síkján kívül rögzítünk egy pontot, és az adott sokszög minden pontját összekötjük ezzel a ponttal, akkor egy gúlát kapunk. Ugyanilyen módon vizsgálhatunk egy paralelogrammát és egy hasábot, mint analóg alakzatokat. Valóban, mozgassuk a szakaszt illetve a sokszöget önmagával párhuzamosan, olyan irányban természetesen, hogy a szakasz egyeneséből, illetve a sokszög síkjából kilépjünk, így egy paralelogrammát, illetve egy hasábot kapunk. Csábító gondolat, hogy az előbbi síkbeli és térbeli alakzatok közötti kapcsolatot aránnyal szemléltessük. Ha nem állunk ellen a csábításnak, a következő ábrát kapjuk. Itt a : és = jeleket nem a közönséges, megszökött értelemben kell tekinteni, a görög analógia szó eredei jelentése is változott az idők során: arányosságról’’ analógiára’’. Ez utóbbi példa még más szempontból is tanulságos. Az analógia, különösen a nem teljesen meghatározott analógia, nem feltétlen egyértelmű. Így például a sík- és térgeometriai alakzatokat összehasonlítva, előzőleg azt találtuk, hogy a háromszög és a tetraéder, majd a háromszög és a gúla analóg alakzatok. Mindkét analógia indokolt, a maga helyén értékes. Nincs egyetlen, kitüntetett analógia. A következő ábra azt szemlélteti, hogy egy háromszögből kiindulva általánosítással sokszöghöz, specializálással szabályos háromszöghöz, illetve analógiával különböző térbeli alakzatok juthatunk.’’

Saját példáinkat szisztematikusan elemezzük, hogy a kapcsolatok mélységére is rámutassunk. Először olyan analógiákat választunk, amelyek az egyenes, a sík és a tér közötti strukturális analógiára mutatnak rá. Ezek a geometriai térszemlélet fejlesztésében is segíthetnek. A példák általános és középiskolában egyaránt felhasználhatók. Némelyik olyan, hogy közvetlenül inkább tanári háttérismeretként fontos, többségük azonban közvetlenül bevihető a tanítási órákra.

A pont, az egyenes, a sík és a tér dimenziója

A geometria alapalakzatai (pont, egyenes, sík, tér; félegyenes, félsík, féltér) között sokféle analógiát találhatunk, amelyeket érdemes megfogalmazni, hiszen nem eseti párhuzamról van szó, hanem a geometria építkezésére mutatnak rá. Ezek alapja a szemléletes geometriai axiómákban fogalmazódnak meg (mi a Hajós-féle felépítés axiómáira támaszkodunk):

  • egy pontnak nincs kiterjedése 0 dimenziós

  • két különböző pont pontosan egy egyenest határoz meg, egy kiterjedése van 1 dimenziós;

  • három nem egy egyenesre illeszkedő pont egy síkot határoz meg, két kiterjedése van 2 dimenziós;

  • a térnek van négy nem egy síkra illeszkedő pontja, három kiterjedése van 3 dimenziós.

Az állítások struktúrája lényegében megegyezik, a különbség a kiemelt számokban van, amelyek a szóbanforgó alakzat kiterjedését, szabadsági fokát, dimenzióját adják meg. Az analógia abban írható le, hogy egy független pont hozzávétele eggyel növeli a dimenziót. Ezzel megnyitjuk az analógiás gondolkodást a 4., ... dimenzió felé, és kifejezzük azt a tényt is, hogy pl. az egyenes a síkban és a térben (is) van.

Pont, egyenes, sík, tér az elválasztási axiómákban

Az elválasztási axiómák képezik az alapját a határpont, határvonal, határfelület fogalmaknak. Ezekben fogalmazódik meg az alapalakzatok konvexitása is.

A síkra vonatkozó elválasztási axióma egy átfogalmazása:

  • Egy egyenes a síkot két félsíkra bontja. Ez a félsíkok határegyenese.

  • Két ugyanarra a félsíkra illeszkedő pont összekötő szakaszának minden pontja ugyanahhoz a félsíkhoz tartozik.

  • A határegyenes elválasztja a két félsík pontjait, mivel két nem ugyanarra a félsíkra illeszkedő pont összekötő szakasza metszi, azaz belső pontként tartalmazza a határalakzat valamely pontját.

2.14. Feladat: Fogalmazza meg az egyenesre illetve térre vonatkozó analóg axiómákat!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A következő mondatokban a félegyenes, félsík, féltér konvexitása fogalmazódik meg:

A következő mondatok a határ és az elválasztás fogalmakat alapozzák meg:

A ponttól mért távolság

Adott ponttól adott távolságnál nem messzebb levő pontok összessége

  • az egyenesen egy dimenzióban egy szakasz, amelynek az adott pont a felezőpontja. (Ez az 1- dimenziós kör éppen az analízisből jól ismert zárt intervallum, ϵ vagy δ ... sugarú zárt környezet.

  • a síkon két dimenzióban egy körlap, amelynek a középpontja az adott pont. (2-dimenziós zárt környezet)

  • a térben három dimenzióban egy gömb, amelynek a középpontja az adott pont. (3-dimenziós zárt környezet)

2.15. Feladat: Mi a határa a fenti alakzatoknak?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A fenti alakzatok határa a középponttól adott távolságra lévő pontok halmaza. Ez az egyenesen egy pontpár; a síkon egy körvonal; a térben egy gömbfelület.

Itt felvetődhet a dimenziószám nem egyszerű kérdése is, hiszen a gömbfelület térbeli alakzat, mégis 2 dimenziós. Hasonlóan a körvonal síkbeli alakzat, mégis 1 dimenziós, a pontpár pedig 0 dimenziós.

A szakasz, a kör és a gömb nagyon sok alapvető geometriai fogalom megalkotásában segít. Használhatjuk őket például a nem végtelenbe nyúló’’ tulajdonság a korlátosság prototípusaiként.

2.16. Feladat: Mi a határa a fenti alakzatoknak?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Egy egyenes egy alakzata korlátos, ha van olyan szakasz, ami tartalmazza.

Egy sík egy alakzata korlátos, ha van olyan kör, ami tartalmazza.

A tér egy alakzata korlátos, ha van olyan gömb, ami tartalmazza. (Gömbbel persze mérhetjük 1- és 2-dimenziós alakzat korlátosságát is.)

Egy adott pont körüli adott sugarú környezet egyszerre jelentheti a szakasz, kör, gömb bármelyikét. A környezet általános fogalma segíthet abban is, hogy a vonal és a felület szavak tartalmát jobban lássuk. Ehhez azonban először a határ és elválasztás fogalmának tisztázására van szükség.

A határ és az elválasztás általános fogalma

Középiskolában, jó osztályban, fakultáción érdemes foglalkozni azzal a kérdéskörrel, mit értsünk egy alakzat belső vagy határpontja alatt, mi az alakzatra nézve külső pont.

Ezekről a fogalmakról a tanulóknak elég határozott, szemléleten alapuló elképzelésük van, ami általában meglehetősen pontatlan, de az iskolai anyag megértésében ez nem okoz konfliktust. A kérdéskör tanári vezetéssel tisztázható és alkalmas annak megmutatására, átélésére is, hogy mit jelent egy definíció megalkotása.

2.17. Feladat: Adott egy síkbeli ponthalmaz, nevezzük A-nak. Mit tekintsünk az A alakzatra nézve határ-, belső, illetve külső pontnak?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A külső pont olyan pont, amelynek van olyan környezete, amelynek egyetlen pontja sem tartozik hozzá a ponthalmazhoz. (elválasztható az alakzattól)

A belső pont olyan pont, amelynek van olyan környezete, amelynek minden pontja hozzátartozik a ponthalmazhoz. (nem választható el az alakzattól)

A határpont olyan pont, amelynek minden környezetében vannak az alakzathoz tartozó, és az alakzathoz hozzá nem tartozó pontjai is. (nem választható el az alakzattól)

2.18. Feladat:Van-e olyan alakzat,

  • amelynek nincsenek határpontjai?

  • amely nem tartalmazza a határpontjait?

  • amelynek nincsenek belső pontjai?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

a)-hoz: Ilyen alakzatok például 1 dimenzióban az egyenes, 2 dimenzióban a sík, 3 dimenzióban a tér. A dimenzió nem tudálékosságból, vagy szószaporításból szerepel! Például az egyenesnek 2- és 3-dimenziós értelemben csak határpontjai vannak. b)-hez: Ilyen alakzat például az olyan pontok halmaza, amelyek egy adott ponttól egy adott távolságnál közelebb vannak. Ez lehet egy nyilt intervallum 1 dimenzióban, nyitott kör 2 dimenzióban, nyitott gömb 3 dimenzióban. Ezeknek vannak határpontjai, csak nem tartoznak hozzá az alakzathoz. Magasabb dimenzióban viszont mindegyik pontjuk határpont.

c)-hez: Ilyen alakzat például a síkon egy egyenes, vagy egy körvonal.

Az összefüggőség fogalmához

Az alakzatok egy másik fontos, és könnyen definiálható tulajdonsága az összefüggőség.

2.19. Feladat: Mint jelent az, hogy egy alakzat összefüggő?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Ha egy alakzat olyan, hogy bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza, akkor biztosan összefüggő, sőt konvex, hiszen konkáv alakzatokra ez nem teljesül. A konvex alakzatok speciális összefüggő alakzatok.

Azonban konkáv alakzat is lehet összefüggő, ezt jellemezhetjük úgy, hogy bármely pontjából bármely pontjába eljuthatunk szakaszok sorozatán keresztül, azaz, bármely két pontjához található őket összekötő töröttvonal, amely az alakzathoz tartozik.

A tartomány fogalmához

A tartomány szó többféle jelentésváltozáson ment át (közigazgatási és informatikai jelentés). Az iskolai matematika több területén is meghonosodott pl. értelmezési tartomány, szögtartomány, ... . A matematikában a topológia használja legtöbbet, ott összefüggő nyílt (minden pontja belső pont) halmazt jelent. Ebben az értelemben a szögvonal nem tartozik a szögtartományhoz és számos értelmezési tartománynak nevezett halmaz nem tartomány.

Mi tartomány alatt egy csupa belső pontokból álló összefüggő ponthalmazt értünk.

A belső pont, külső pont, határpont fogalmak hozzásegítenek a vonal és felület, síkidom vagy síkbeli tartomány és térbeli test vagy térbeli tartomány szemléletes fogalmának pontosításához.

Egy síkbeli tartomány tehát összefüggő és csupa belső pontokból álló, kétdimenziós ponthalmaz határvonalának nevezhetjük határpontjainak halmazát.

Egy térbeli tartomány határfelületének nevezhetjük határpontjainak halmazát.

Az alapalakzatokra az axiómákban megfogalmazott elválasztási tulajdonságot általánosíthatjuk az így definiált határvonalra, határfelületre:

Egy síkbeli tartomány határvonala a síkot két tartományra bontja. Ez a tartományok határa.

Egy síkbeli tartomány határvonala elválasztja a két tartomány pontjait, mivel bármely két nem ugyanarra a tartományra illeszkedő pontot összekötő szakasz metszi, azaz belső pontként tartalmazza a határvonal valamely pontját.

2.20. Feladat: Fogalmazza meg ezt a tulajdonságot felületekre is.

Különböző dimenziójú alakzatok tulajdonságai közötti analógiák

Pólya György klasszikus példája a síkon, illetve a térben keletkező tartományok analógia segítségével való összeszámolására: A síkon legalább 3, a térben legalább 4 általános helyzetű pont kell ahhoz, hogy az őket összekötő egyenesek, illetve síkok 2-, illetve 3-dimenziós tartományt határozzanak meg. De ha már előállt egy tartomány, akkor mindjárt több is keletkezik.

2.21. Feladat:Hány 2-dimenziós tartományt határoz meg 3 általános helyzetű pont a síkon és hány 3-dimenziós tartományt hoz létre 4 általános helyzetű sík a térben?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A síkon keletkező tartományokat összeszámolhatjuk aszerint, hogy hány dimenziós szomszédságban állnak a keletkező korlátos tartománnyal, a háromszöggel. Van 3 szomszéd az oldalak (az oldalegyenesen 1-dimenziós tartomány) mentén és három csúcsszomszéd (0 dimenziós). Összesen 1+3+3=7 tartomány. Ezek különbözőek, mert legalább egy egyenes elválasztja őket.

A térben is keletkezik egy korlátos tartomány (tetraéder), ennek 4 lap-, 6 él- és 4 csúcsmenti szomszédja van: 1+4+6+4=15. Ezek is különbözőek, mert legalább egy sík elválasztja őket.

Ha már az elválasztásnál vagyunk, közvetlenül ennek alapján is számolhatnánk. Egy síkbeli tartományt legfeljebb 2 egyenes választhat el a korlátos tartománytól:

  • egyenes választja el: 1 ilyen van, éppen a korlátos tartomány.

  • egyenes választja el: 3 ilyen van, az oldalszomszédok.

  • egyenes választja el: 3 ilyen van, a csúcsbeli szomszédok.

A térben

  • sík választja el: 1 ilyen van, éppen a korlátos tartomány a tetraéder.

  • sík választja el: 4 ilyen van, a lapmenti szomszédok.

  • sík választja el: 6 ilyen van, az élmenti szomszédok.

  • sík választja el: 4 ilyen van, a csúcsbeli szomszédok.

Innen már csak a fantáziánktól és a türelmünktől függ, hogy még hány dimenziót próbálunk az analógia segítségével felfedezni, felfedeztetni.

2.22. Feladat:Hány metszéspontja van maximálisan

a) n egyenesnek a síkon;

b) n síknak a térben?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A legtöbb metszéspontot akkor kapjuk, ha bármely két egyenes metszi egymást és ezek különböző pontok. A metszéspontok maximális száma tehát (n2) és ez meg is valósítható, illetve ha bármely három sík egy pontban (én nem egyenesben) metszi egymást és ezek különböző pontok. A metszéspontok maximális száma tehát (n3). Ez a maximális szám el is érhető, de ennek belátásához már a sík és a tér különbözőségét is figyelembe kell venni (pl. 3 különböző síknak nemcsak közös pontja, hanem közös egyenese is lehet). Ha konstruálni akarunk maximális számú pontot előállító síkokat, akkor a síkok párhuzamosságán kívül a metszésvonalak párhuzamosságát is el kell kerülni (ugyanarra a síkra merőleges három sík).

2.23. Feladat:Hány tartományra bontja maximálisan

a) n különböző pont az egyenest;

b) n egyenes a síkot;

c) n sík a teret?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Az a) feladathoz

Egy pont 2 tartományra bont, a következő pont valamelyik tartományba esik, amit felbont, így minden pont egy-egy újabb tartományt hoz be. 1 volt az elején, a végére n+1 keletkezik.

A b) feladathoz

Akkor keletkezik legtöbb tartomány, ha bármely két egyenes különböző pontban metszi egymást.

  • egyenes: Kezdetben van 1 tartomány, az egész sík: 1 tartomány van.

  • egyenes: Az 1. egyenes ezt a számot megnöveli 1-gyel: +1 tartomány keletkezett.

  • egyenes: Ha a 2. egyenes metszi az 1.-t, akkor két új tartományt hoz létre: max. + 2 tartomány keletkezhet.

  • (k>2) egyenes: A 3. egyenestől kezdve végig érvényes, hogy ha egy újabb egyenes hozzávételekor az új egyenes minden régit metsz és nem megy át egyik meglevő metszésponton sem, akkor a már letett mondjuk k-1 egyenes a k-adik egyenest maximálisan k-1 pontban metszi, ami az a) pont értelmében k darab 1-dimenziós tartományt hoz létre, amelyek mindegyike egy-egy 2-dimenziós tartományt vág ketté. A k-adik egyenes hozzávétele tehát k-val növeli a 2-dimenziós tartományok számát: max. + k darab tartomány keletkezett.

A 2-dimenziós tartományok száma maximálisan

0 darab egyenes esetén 1.

1 darab egyenes esetén 1 + 1 = 2. 2 darab egyenes esetén max. 1 + 1 + 2 = 4.

3 darab egyenes esetén max. 1 + 1 + 2 + 3 = 7.

n > 2 darab egyenes esetén a keletkező tartományok maximális száma

1 + ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) = 1 + n ( n + 1 ) 2 = 1 + ( n + 1 2 ) .

Nem csupán jó felső becslést adtunk, hanem azt is beláttuk, hogy elérhető.

A c) feladathoz

Már sejthető a stratégia, amely a darabszám és a dimenzió szerint is folytatható. Akkor keletkezik legtöbb tartomány, ha bármely 3 sík egyetlen, a többitől különböző pontban metszi egymást. Az előző feladatban beláttuk, hogy ez megvalósítható.

  • sík: Kezdetben van 1 tartomány, az egész tér: 1 tartomány van.

  • sík: Az 1. sík ezt a számot megnöveli 1-gyel: +1 tartomány keletkezik.

  • sík: Ha a 2. sík metszi az 1.-t, akkor 2 új tartományt hoz létre: max. + 2 tartomány keletkezik.

  • sík: Ha a 3. sík egyetlen pontban metszi az 1. és a 2. metszésvonalát, akkor 4 új tartományt hoz létre: max. + 4 tartomány keletkezik.

  • (k>3) sík: A 4. síktól kezdve végig érvényes, hogy ha egy újabb sík hozzávételekor az új sík a régiek közül bármely kettőt egyetlen pontban metsz és nem megy át egyik meglevő metszésponton sem, akkor a már elhelyezett mondjuk k-1 sík a k-adik síkot maximálisan k-1 egyenesben metszi, ami az b) pont értelmében 1+(k-1)(k)2 darab 2-dimenziós tartományt hoz létre, amelyek mindegyike egy-egy 3-dimenziós tartományt vág ketté. A k-adik sík hozzávétele tehát maximálisan 1+(k-1)(k)2-val növeli a 3-dimenziós tartományok számát.

A 3-dimenziós tartományok száma maximálisan

0 darab sík esetén 1.

1 darab sík esetén 1 + 1 = 2. 2 darab sík esetén max. 1 + 1 + 2 = 4.

3 darab sík esetén max. 1 + 1 + 2 + 4 = 8.

n > 3 darab sík esetén a keletkező tartományok maximális száma

1 + 1 + 2 + 4 + 1 + ( 4 - 1 ) ( 4 ) 2 + . . . + 1 + ( n - 1 ) ( n ) 2 .

Ezt az összeget is lehet szebb alakban írni, ha összegyűjtjük az n+1 darab 1-est és felhasználjuk, hogy a

1 2 + 2 3 + 3 4 + . . . + ( n - 1 ) n = 1 - 1 + 2 2 - 2 + 3 2 - 3 + . . . + n 2 - n =

= n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 - n ( n + 1 ) 2 = ( n + 1 ) n ( n - 1 ) 3 .

Nem csupán jó felső becslést adtunk, hanem azt is beláttuk, hogy n>3 esetén az

n + 1 + 1 2 ( n + 1 ) n ( n - 1 ) 3 = n + 1 + ( n + 1 3 )

maximum (elérhető).

A képleteinket kipróbálhatjuk 3 egyenes, illetve 4 sík esetére, hiszen azt az eredményt a mostani meggondolástól függetlenül nyertük.

A tanulókkal a feladat megoldását érdemes próbálgatással kezdeni, megszámolni a keletkezett részeket n=1,2, esetén. A kapott adatokat táblázatba foglalva összefüggéseket fedeztethetünk fel, amelyek hozzásegíthetnek az általános megoldáshoz és esetleg további általánosításhoz.

90. ábra

A táblázatban szereplő eredmények binomiális együtthatóval való felírása világosan mutatja a dimenzióval való kapcsolatot. Ezeket a számokat meg is vastagítottuk. Ezeket az eredmény értékelésekor is be lehet írni.

A feladat külön szépsége, hogy a megoldásban összekapcsolódik az indukció és az analógia. Az egyes részfeladatok megoldása indukciós. Magasabb dimenzióban felhasználjuk az alacsonyabb dimenzióban kapott eredményt és az 1-, 2-, illetve 3-dimenzióban alkalmazott indukció analóg egymással annyira, hogy megoldási stratégia válhat belőle (egyet hozzáveszek és azon belül már kiismerem magam). Az indukció hátterében kombinatorikai meggondolás áll, amelyben az esetek megkülönböztetésének háttere az adott dimenzióra vonatkozó elválasztási axióma.

Szögtartomány és síksáv térbeli analogonjai

A síkban keletkező nem korlátos tartományok a közül a szögtartományok mellett a sávokról is láttuk, hogy érdemes velük alaposabban foglalkozni az iskolában.

A térben, síkok által határolt részek még kevesebb időt és figyelmet kapnak. Ennek oka lehet a téma nehézsége, vagy a térgeometriára jutó kevés idő (amit inkább számítási feladatok megoldására használnak). Azt gondoljuk, hogy a térbeli fogalmak gondos megalapozására fordított idő megtérül, a geometriai számítások tanítása sikeresebb lesz tőle. Az időhiány ellen tudásszervezéssel lehet sikeresen küzdeni, és ebben a tér legalapvetőbb nem korlátos alakzatainak tanításakor is segít az analógia.

2.24. Feladat: Milyen alakzatokat kaphatunk két féltér metszeteként?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A metszetalakzatokat érdemes a féltereket határoló síkok helyzete szerint vizsgálni. Amennyiben a félterek határoló síkjai párhuzamosak, akkor két féltér metszete lehet üres, egy újabb féltér, vagy egy térbeli sáv.

Ha a féltereket határoló síkok metszik egymást, (de nem esnek egybe), akkor a két féltér metszete egy konvex lapszögtartományt határoz meg.

A következő táblázat jól mutatja a sík és a tér közötti analógiát a sávok és szögtartományok kapcsán.

91. ábra

A sík és a tér kapcsolatánál a különbségekre és azok kezelésére is érdemes kitérni. A térben egyszerre vannak jelen a 2-dimenziós és a 3-dimenziós szögtartományok. Attól, hogy egy 2-dimenziós alakzat valamilyen módon egy 3-dimenziós alakzathoz tartozik, még ugyanúgy kezeljük őket, mint a síkban, csak éppen a nevével is utalunk erre a beágyazott kapcsolatra: pl. egy poliéder síklapján vagy síkmetszetén levő kétdimenziós szögtartományt élszögnek nevezzük. A tér gazdagságát mutatja, hogy egy sík és egy egyenes hajlásszöge is fellép, beszélhetünk egy él és egy lap által bezárt szögről is, de két egyenes hajlásszöge is összetettebb, hiszen kitérő egyenesek is léteznek. Ezek fogalmilag az iskolai térgeometria legnehezebb részéhez tartoznak.

Találkoztunk már ilyesmivel, amikor alakzatok (pl. pont és kör) távolságát kellett definiálni.

Például egy sík és a sík egy pontjából induló félegyenes uniója valódi térbeli alakzat, jellemezni akarjuk a félegyenesnek a síkkal bezárt szögét. Olyan 3-dimenziós szögtartomány nincs, ami ezt jellemezné, 2-dimenziós meg nagyon is sok van. (Tekintsünk most el a merőleges állástól, mert azt a szöget könnyebb értelmezni.) A sík egyenesei és a félegyenes tartóegyenese között értelmeztük síkbeli értelemben hajlásszöget, csak ebből végtelen sok van. Ezek közül a távolság definiálásához hasonlóan a legkisebbet választjuk az egyenes és a sík hajlásszögének. Külön szépsége ennek az elvnek, hogy ezt a legkisebb szöget éppen a síkra vetett merőleges vetületével zárja be az egyenes.

A nem helytálló analógia, a túláltalánosítás elkerülése érdekében meg kell említeni, hogy két sík hajlásszögét nem a minimum-elv tünteti ki: míg két halmaz távolságánál az első halmaz minden pontjának a második halmaztól mért távolságai közül a legkisebbet választjuk, nem tehetjük, hogy az egyik sík összes egyenesének a másik síkkal bezárt hajlásszögei (minimumok a másik sík egyeneseivel bezárt szögekre nézve) a legkisebbet választjuk, mert ez nem a szöget, hanem a metszés tényét jellemezné minden metsző síkpár esetében. (A két sík metszésvonalának saját magával bezárt hajlásszöge 0.) A definíció szerint a két sík metszésvonalának tetszőleges pontjában a két sík mindegyikén belül merőlegest állítunk a metszésvonalra. Két metsző sík hajlásszögén az így kapott két egyenes hajlásszögét értjük. Ez azonban az egyenesenként definiált hajlásszögek maximuma: Ha két egymást metsző sík egyikében egy egyenest veszünk fel, akkor ennek a másik síkkal alkotott hajlásszöge a két sík hajlásszögénél nagyobb nem lehet, és azzal egyenlő is csak akkor, ha a metszésvonalra merőleges egyenest vettünk fel.’’

A síkbeli szögtartománynak más tartomány is megfelelhet a térben

Egy poliéder csúcsában (vagy általában három olyan féltér metszeteként, amelyek határsíkjai közös ponttal igen, de közös egyenessel nem rendelkeznek) keletkeznek olyan 3-dimenziós tartományok, amelyeket tekinthetünk a síkbeli szögtartományokkal analóg térbeli alakzatnak is, ezek a szöglettartományok (szögletek, térszögek). Ezeknek a mérésével az iskola egyáltalán nem foglalkozik, sőt sok esetben említés nélkül maradnak. Pedig nagyon is jelen vannak akkor, amikor például hasábokkal, gúlákkal kapcsolatos feladatokat oldunk meg az iskolában, és talán sok gyerekben felmerül, hogy az egyszerű poliéderek csúcsainál keletkező szöglettartományok nagyságával miért nem foglalkozunk?

A síkbeli szögtartományok analógiájára definiálhatjuk a háromoldalú térszögleteket is:

92. ábra

A szögtartományok és a szöglettartományok közötti analógiát a szögtartományok és lapszögek közötti analógiával összevetve azt látjuk, hogy itt nem csak az építkezéshez használt alapanyagokban van a különbség, hanem a felhasznált alakzatok számában is. A síkban 2, a térben 3 objektum kellett. (Ráadásul a térben 3-nál nagyobb oldalszámú szögleteket is értelmezhetnénk.)

2.25. Feladat: Lehet-e egy ilyen szöglet nagyságát mérni és hogyan érdemes?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A szöglettartományokkal való foglalkozásnak egy másik haszna az lehetne, hogy segíthetne a középiskolás diákoknak az ívhossz, általában a szögmérés megértésében.

A szöglet nagyságának a mérésére alkalmas módszer keresését indíthatjuk olyan szögletekkel, amelyeknek három, vagy legalább két határoló szöge 90.

Mivel itt nem áll rendelkezésünkre skálázott szögmérő, arra kell ráérezni, hogy amint a szög esetében azt mérjük, hogy egy, a csúcs körül rajzolt teljes körnek hányadrészét vágja ki a középponti szög, itt azt kell valami módon kitalálni, hogy egy, a szöglet csúcsa körül felvett gömbnek hányadrészét vágja ki a középponti szöglet.

Az ívhossz tanítása azért is nehéz lehet sok gyereknek, mert számára nem tisztázódik ez a gondolat. Addig amíg skálázott szögmérővel mérnek, az egy technika, ami elsajátítható. Az ívhossz esetében nehézséget okozhat az, hogy egy tartományt egy hosszúsággal mérünk. Nem tisztázódik eléggé, hogy itt egy arányszámról van szó, mégpedig területek arányáról, ami történetesen megegyezik a megfelelő ívek arányával, és ami, egységsugarú kört választva a kivágott ív hosszával egyértelműen mérhető. A három-derészögű szöglettartomány egy gömbnyolcadot vágja ki a gömbfelületből. Egy 45, 90, 90 fokos szöglet nagysága ennek a fele. Az egységgömb gömb felszíne 4π, ennek segítségével közvetlen mérőszámot rendelhetünk a háromélű térszögletekhez: 4π8=π2, illetve 4π16=π4.

A továbblépés többféle irányban is történhet. A kiindulási példa éppen az egységgömbbe írt szabályos oktaéder egyik (gömbi) lapja. Mivel a szabályos testek szabályos mozaikot hoznak létre a gömbfelületen, ezzel a módszerrel a 3-oldalúakon kívül más térszögleteket is mérhetünk, hiszen tudjuk, hogy az egy-egy lapot kivágó térszögletre a gömbfelület hányadrésze jut. A másik továbblépés a tetszőleges 3-oldalú konvex térszöglet mérése, a gömbháromszög területének kiszámítása.

Már a gömbi geometriáról szóló fejezetben is jeleztük, hogy a látókörbővítő analógia megmutatásának elsődleges célja, hogy az analógia visszafelé hasson, a térszöglet méréséhez használt gondolatmenet síkbeli őse jobban tudatosuljon, tisztázódjon:

A 3-oldalú szöglettartomány nagyságát az egységsugarú gömbből kivágott gömbfelület nagyságával mértük.

A szögtartomány nagyságát mérhetjük az egységsugarú körből kivágott körív nagyságával.

Sokszögek, körök és egyéb síkidomok megfelelői a térben

Az egyenesen a szakaszok, a síkon a sokszögek, a térben poliéderek belső ponttal rendelkező, korlátos alakzatok. Ezek rokonságát a definíciótól kezdve érdemes tudatosítani, A szakasz egy egyenes két pont által határolt része. A sokszögtartomány egy sík véges sok szakasz által határolt, korlátos része. A poliédertartományt a tér véges sok sokszögszögtartomány által határolt korlátos része.

Azt emeltük ki a definíciókból, hogy a struktúrájuk ugyanaz: a megelőző dimenzióban létrehozott elemeket használjuk az építkezésben. A 0-dimenziós alakzat alkotja az 1-dimenziós határát, az 1-dimenziós alakzatból a 2-dimenziós alakzat 1-dimenziós határa lesz, és a magával vitt 0-dimenziós határ a síkon is 0-dimenziós határ. (Ezt azzal biztosítjuk, hogy a sokszögvonal szakaszait nem csak úgy összedobáljuk és kész a sokszög, hanem olyan zárt töröttvonalat építünk belőlük, amelyeknek az előírt csatlakozási pontokon kívül nincs közös pontja (egyszerű sokszög). A sokszögtartományból lesznek a poliéder lapjai, a sokszögtartomány határalakzatai a poliédernek is megfelelő dimenziós határalakzatai (élei, csúcsai). Természetesen hozzátartoznak a definícióhoz a sokszögtartományok összerakási szabályai (teljes oldalban csatlakoznak, ...), de most arra szeretnénk a figyelmet irányítani, hogy ismét osztálybasorolást végeztünk 1-, 2- és 3-dimenzióban, az adott dimenzióban olyan korlátos tartományt definiáltunk, amelynek határalakzatát az előző dimenzió analóg alakzatai adják.

A síkban sokféle sokszög van, a térben sokféle poliéder van. A sokszögek és poliéderek között vannak olyanok, amelyek között az előzőeken túl is megállapíthatunk rokonságokat:

A négyzet közeli térbeli rokona a kocka.

A téglalap közeli térbeli rokona a téglatest.

A paralelogramma közeli térbeli rokona a paralelepipedon.

2.26. Feladat: Fogalmazzon meg minél több olyan tulajdonságot, melyekben rámutat ezen alakzatok megfelelő részei közötti azonos struktúrákra!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Felsorolunk néhány ilyen tulajdonságot, hátha gazdagodik a gyűjteménye.

93. ábra

A szabályos háromszögek és a szabályos tetraéder, a négyzet és a kocka, a szabályos ötszög és a dodekaéder kapcsolatsorban a négyzet és a kocka rokonsága más oldalról látszik. Itt azonban meg kell állnunk, mert egyrészt hatszögekkel határolt szabályos test nem létezik, szabályos háromszögekkel határolt szabályos test pedig több is van, az ikozaéder is ilyen. Ami ezeknek az analógiáknak a korlátait leginkább mutatja, az, hogy míg szabályos sokszög végtelen sok van, addig szabályos test mindössze öt. Az analógiák keresése itt éppen a tér és a sík alapvető különbségére világít rá.

Az eddig érintett analógiákra emlékeztetünk a következő táblázatokban:

A táblázatok több érdekes dologra is rávilágítanak:

  • Ugyanannak az alakzatnak többféle analógja lehet. Feltűnik, hogy egy alacsonyabb dimenziójú alakzatnak általában többféle analóg kiterjesztése is lehet egy magasabb dimenzióban.

  • Azon síkbeli alakzatok térbeli analógjai, amelyek például a síkban analóg módon származtathatók, a térben is gyakran megtartják ezt az analógiát. Például a sáv és a réteg analógiája: mindkettő analóg módon származtatható félsíkok, illetve félterek metszeteként, de mindkettőt megkaphatjuk egy egyenestől, illetve egy síktól adott távolságnál nem messzebb lévő pontok halmazaként is. Tehát nem csak az alakzatok, hanem a származtatási módok is párhuzamba állíthatók.

  • Fontos észrevétel, hogy a vonal és felület fogalmak hovatartozása dimenzió szempontjából nem egészen egyértelmű. A körvonal síkbeli alakzat, mégis egydimenziós. A gömbfelület térbeli alakzat, mégis kétdimenziós. Ezek nem könnyen definiálható fogalmak, de a sokszögvonal és a poliéderfelület analógiája segíthet. Ennél is fontosabb talán, hogy a vonal, felület és test fogalmak analógiájával kapcsolatban szerzett tapasztalatok hozzásegíthetnek a kerület, terület és térfogat fogalmak mélyebb megértéséhez.

Kerület, terület és térfogat

2.27. Feladat: Általános iskolás gyerekek körében igen gyakori, hogy keverik a téglalap kerületének és területének kiszámítására vonatkozó képleteket. Mi lehet ennek az oka?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A legkézenfekvőbb ok a szavak hasonló hangzása. Erre ráerősít az, hogy gyakran egymás mellett tűzik ki feladatként a téglalap kerületének és területének kiszámítását. Ezt még tovább nehezíti az, hogy, nézetünk szerint fölösleges, sőt káros módon, túl korán tanítanak képletet ezeknek a kiszámítására.

Zavaró lehet a köznapi szóhasználatból (még tanároknál, tankönyvíróknál is) átszivárgó jelentés, amelyben a szavakat nem a megfelelő mérőszámra, hanem arra a ponthalmazra használják, amelyet mérünk. Ha valóban a ponthalmazra gondolunk, akkor a kör kerületén helyett a körvonalon, a határvonalon, a peremen szerencsésebb szóhasználat, ugyanígy a kör területén helyett a körlemezen, a körben, a kör belsejében, a tartományban szerencsésebb szóhasználat.

A kör kerületének és területének képletét formálisan összekeverhetik azok, akiknek az algebrai kifejezések szerkezete és jelentése közötti kapcsolat (2r és r2 homályos. Az együtthatók és a kitevők keverése gyakori hiba a középiskolában is.

A következőkben felhívjuk a figyelmet néhány kulcsfontosságú gondolatra, amelyek ezen a területen hatékonyabb segítséget nyújthatnak, mint a képletekbe való behelyettesítés gyakorlása. Ez többek között azt jelenti, hogy kiemelünk néhány kulcsképletet’’, és néhány kulcsstratégiát’’, amelyek megkönnyítik a többi képlet megjegyzését, vagy akár feleslegessé is teszik.

Kerület

Tanács: a négyzet, a téglalap és általában a sokszögek kerületét ne képlettel tanítsuk!

Itt azt kell megérteni a tanulóknak, hogy a kerület a határvonal hossza, amely sokszögeknél a határvonalat alkotó szakaszok hosszának összege.

Éppen ezért nem is érdemes a téglalap kerületével a téglalap témaköréhez szigorúan kötődve foglalkozni. Mikor már tisztában vannak a téglalap alaptulajdonságaival, akkor sok egyéb kerületszámítási feladat között érdemes ennek a kerületét is kiszámolni.

A kör kerületének a képletét meg kell tanulni, de szükséges a képlet tanítását mérési tapasztalatokra alapozni.

Példa Osszunk ki korongokat, hengereket, amelyek körlapjának átmérőjét is, kerületét is (fonal segítségével) könnyen meg tudják mérni. A kapott adatokat gyűjtsük közös táblázatba, és elemezzük a táblázatot a tanulókkal. A munka folyhat egyéni, páros vagy kiscsoportos formában is.

3. táblázat

A tárgyakat úgy érdemes összeválogatni, hogy az átmérő kétszeres, háromszoros, másfélszeres … legyen, és adjunk időt arra, hogy a tanulók észrevegyék, hogy ezeknek a kerülete is körülbelül kétszeres, ....

Ezután, és csak ez után bíztassuk őket, hogy számolják ki kalkulátorral az összetartozó kerületek és átmérők arányát.

Beszéljünk a kapott eredményekről: mi lehet az oka, hogy a hányadosok olyan közel vannak egymáshoz, vajon, ha pontosan tudnánk mérni, akkor pontosan ugyanazt az arányszámot kapnánk-e?

Ezek a kérdések szépen előkészíthetik a π bevezetését.

Terület

A téglalap területének képlete a kerületképlettel ellentétben alapvető, megtanulandó tudáselem.

Nagyon fontos, hogy a képlet megismerése előtt sok-sok méréssel kapott tapasztalatot szerezzenek a tanulók. A képlet szemléletes tapasztalattal való megalapozottságát illetően nagyon nagy különbség lehet a képletet ismerő, jól alkalmazó tanulók között.

Mint a matematika sok más területére, a terület, térfogat tanítására is igaz, hogy akkor a leghatékonyabb, ha követi az absztrakt matematika felépítését, bizonyos részleteiben amennyire ez lehetséges meg is egyezik azzal. A következetesen és analóg módon bevezetett szakasz, terület és térfogatmérés egy-egy konkrét példa (tapasztalat) a mérték fogalmához.

A sokszögek területe témakör felépítése Hajós Györgynél és a magyar iskolai matematikában meglepően szoros a párhuzamot mutat:

Hajós György definíciója a sokszög területére

Minden sokszöghöz rendelhetünk egy valós számot, amelyet területnek nevezünk, s amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. Minden sokszög területe pozitív szám.

  2. Egybevágó sokszögek területe egyenlő.

  3. Ha egy sokszöget két sokszögre bontunk, e kettő területének összege az eredeti sokszög területével egyenlő.

  4. Az egységnégyzet területe 1.

Ezt a definíciót kiegészíti néhány fontos megjegyzéssel. (Ezeket a könnyebb hivatkozás kedvéért megbetűzve idézzük.)

  • Az utolsó megállapítás szerint a terület ismeretéhez a hosszegység ismeretére van szükség. Ha más hosszegységet, illetve területegységet választunk, akkor minden terület osztandó az újonnan területegységül választott sokszög területével.Ebből a megállapításból következik, hogy nem függ a területegység megválasztásától az olyan kijelentések helyessége, hogy két sokszög területe egyelő, hogy az egyik a másiknál kisebb vagy nagyobb, vagy hogy egy sokszög területe más sokszögek területének összege, különbsége, fele, kétszerese stb.

  • A 3. követelmény teljesüléséből nyomban következik, hogy ugyanaz akkor is áll, ha egy sokszöget n sokszögre bontunk fel, ahol n akármelyik természetes számot jelentheti.

  • Ha egy sokszög egy tőle különböző másikat tartalmaz, akkor területe a tartalmazotténál nagyobb, hiszen a tartalmazott sokszög területének , s a tartalmazott sokszög elhagyása után maradó sokszög területének összegével egyenlő.

Az iskolai felépítés

A területfogalom kialakítása az alsótagozaton a területek összehasonlításával kezdődik. Ha egy alakzat mozgatással, vagy mozgatással és darabolással egy másik alakzat belsejébe vihető, akkor a területe kisebb mint a másik alakzaté.

Eközben nem-verbálisanan (intuitív módon) építjük be a tanulók szemléletébe a területnek a definíció 2. és 3. pontjában megfogalmazott, valamint a b) és c) megjegyzésekben kifejtett tulajdonságait.

Az alsótagozatos területtanítás legfontosabb része a területek mérése, becslése egységnyi területekkel való lefedéssel. Ebben a munkában először olyan tapasztalatokhoz juttatjuk a gyerekeket, amelyek Hajós a) megjegyzésével kapcsolatosak. Tehát, hogy ugyanazzal az egységgel mérve egybevágó alakzatok területe egyenlő, kisebbé, kisebb; kétszer-, háromszor-, ...- akkora területegységgel mérve a kapott területérték fele, harmada, ... része az eredetinek.

Ezekhez az észrevételekhez nincsen szükség a 4. tulajdonságra, tehát mindegy, hogy milyen méretű és alakú alakzatot választunk területegységnek. Az egységnégyzetre akkor van szükségünk, ha számszerű összefüggést akarunk találni egy sokszög hosszúság mértékei és területmértéke között.

Amennyiben a téglalap oldalai a hosszegység egész számszorosai, akkor le tudjuk fedni egységnégyzetekkel a téglalapot. Az alsótagozatos gyerekeknek egyáltalán nem (sokszor a náluk idősebbeknek sem) magától értetődő, hogy egy n és k egység oldalú téglalap éppen nk darab egységnégyzettel fedhető le.

Ez az észrevétel az elvont gondolkodásnak egy viszonylag magas szintjét igényli, a téglalap területképletének szabatos bizonyítása hasonló gondolatmenettel történik. (Az igazi nehézségét az okozza, hogy irracionális oldalhosszakra is bizonyítani kell a szabályt.)

Esetleírás

Egy ötödikes osztályban a gyerekek azt a feladatot kapták, hogy állapítsák meg néhány, egy 67, egy 36 és egy 37 egység oldalú téglalap területét. A gyerekeknek elegendő egységnégyzet állt rendelkezésére, ha azt igényelték. Először minden gyerek kérte az egységnégyzeteket. Voltak olyan gyerekek, akik kiraktak az egyik oldal mentén egy sort, azután a szomszédos oldal mentén egy oszlopot, és ezután szorzással számolták ki az eredményt. Voltak olyanok, akik elkezdték a kitöltést. Kiraktak két-három sort azután rájöttek a trükkre’’ és szintén szorzással számoltak tovább. Az osztály maradék része kirakta az egész téglalapot, és összeszámolta a darabokat vagy hibátlanul, vagy hibásan. Miután megbeszélték a megoldási módszereket, a gyerekek egy része nem kért kis négyzetet, csak vonalzóval megmérte a következő téglalap oldalait. Azok közül, akik korábban részben, vagy egészen kitöltéssel dolgoztak, most már nagyon sokan csak az oldalak mentén raktak ki egy L alakot, és ezután rögtön szorzással állapították meg az eredményt. Minden egyes téglalap esetén egyre többen számoltak szorzással. Azonban még a foglalkozás végén is volt néhány olyan gyerek, akik kirakással próbálkoztak.

2.28. Feladat: Mi áll annak a hátterében, ha egy ötödikes gyerek többszöri kirakás után sem ismeri fel, hogy itt szorzással lehet számolni?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Felsorolunk néhány okot, amelyek a háttérben meghúzódhatnak. Ezek bármelyike, vagy ezek közül több együttese felelős lehet a problémáért.

Nem tűnik fel a gyereknek a szabályszerűség, hogy minden sorban ugyanannyi elem ismétlődik,

vagy azért, mert összevissza rakosgatja a négyzetlapocskákat,

vagy azért, mert egyáltalán nem foglalkoztatja a dolog,

vagy azért, mert a gondolkodása nem nyitott a szabályszerűségek észrevételére.

Nem érti, hogy a szorzás mire való.

Ebbe az utolsó, problémás kategóriába tartozó gyerekek meg tudják tanulni a téglalap területképletének használatát. Ha megelégszünk a képletek alkalmazásával és nem adunk ilyen feladatokat, talán nem is derül ki, hogy a terület vagy a szorzás alapvető tulajdonságaival nincsenek tisztában. A probléma nem a téglalap területének kiszámításában lesz, hanem például a terület-mértékegységek átváltásában, vagy nagyon sok esetben abban, hogy szöveges feladatokban nem ismerik fel, hogy mikor lehet, vagy kell szorozni.

A műveletek és kapcsolataik tapasztalati megalapozása történhet (bármelyik életkorban) egyre nehezedő szemléletes feladatokkal. Pl. Hány lába van 3 (7, 39, stb.) csirkének? Hány lapja (éle, csúcsa) van 2 kockának? Hány éle van 5 tetraédernek (egy focilabdának)?

A továbbiakban a sokszögek területképletének tanítása történhet az egyetemen tanult módon: téglalap területének kiszámítására vezetjük vissza a feladatot kiegészítésekkel és átdarabolásokkal.

Nagyon fontos, hogy a gyerekek az általános iskolában minél több olyan egyszerű területmeghatározási feladattal találkozzanak, amelyekben nem képletet kell használni, hanem visszavezethetik a téglalap területének kiszámítására. Alkalmazhatjuk a képletet nem egész egységnyi oldalú téglalapokra is; számíthatjuk téglalapokra szétbontható alakzatok területét, téglalap kettévágásával kapható alakzat, a derékszögű háromszög, vagy a derékszögű trapéz, mindenféle rácssokszögek területét, stb.

A téglalap területének ismeretében sok poliéder felszínét is ki tudjuk számolni. A téglatest felszínét, változatos, téglalapokkal határolt testek felszínét ilyeneket lehet építeni pl. gyufásdobozból, a színesrúd készlet elemeiből, stb.

Ezek a feladatok a területfogalomról eddig szerzett ismereteket mozgósítják, elmélyítik, és emellett a gyerekek rendszerező és kombinatív készségét is fejlesztik. Éppen ezért feleslegesnek, sőt inkább előnytelennek tarjuk a téglatest felszínképletének tanítását. Legyen az megoldandó, végiggondolandó feladat, a téglalap területére megismert szabály alkalmazása.

Ide kapcsoljuk a téglatest térfogatának tanítását is, amit szintén megkönnyít, ha a téglalap területéről szemléletes tapasztalataik vannak. Ott egyforma rétegekre lehet bontani a téglatestet, amelyeket ugyanannyi egységkockával lehet kirakni, mint amennyi az egyik oldallap területe, és annyi rétegünk lesz, amennyi a harmadik oldalél hossza. Itt is érvényes, hogy további képletek tanítása előtt sok olyan egyszerű, vagy összetettebb feladatot oldjanak meg, amelyeket a téglatest térfogatának kiszámítására tudnak visszavezetni.

Hetedik osztályban kerülhet sor a további területképletek tanítására. Ezt érdemes, akárcsak az egyetemi felépítésben, azzal kezdeni, hogy megmutatjuk, hogy a paralelogramma területe az egyik oldal és a hozzátartozó magasság hosszának a szorzatával egyenlő.

Ennek bizonyítása sokféleképpen történhet. Tetszetős és elterjedt módszer, hogy átdarabolással azonos alapú és magasságú téglalapot hozunk létre.

A bal oldali ábráról valóban jól leolvasható, hogy a sárga háromszöget levágjuk az egyik oldalról és átragasztjuk a másik oldalra és kész is a téglalap. Csakhogy ez nem működik (így) a jobb oldalon látható keskeny paralelogrammára. A szükséges hozzávétel, átdarabolás, elhagyás kombinációja már sokaknak nem olyan vonzó, és azt szokták javasolni, hogy akkor nézzük a másik oldalt, ott megy az előző eljárás.

2.29. Feladat: Mi a probléma a fenti okoskodással?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Az állítást bármely paralelogramma bármely oldalára és a hozzá tartozó magasságra akarjuk bizonyítani és nem a hosszabbik oldalra.

Hajós György olyan szemléletes bizonyítás adott, amely a hosszabbik oldal esetében ugyan kicsit összetettebb, mint az előző átdarabolásos bizonyítás, de egységesen alkalmazható minden paralelogrammára, és előkészíti a térbeli eset analógiás bizonyítását, amikor a papalelepipedonhoz konstruálunk vele egyenlő térfogatú téglatestet.

A paralelogramma kiválasztott szemközti oldalait meghosszabbítjuk és merőlegest állítunk rá úgy, hogy a merőlegesnek ne legyen közös pontja a paralelogrammával. A paralelogramma másik két oldalából az egyik és a merőlegesnek a sávba eső szakasza egy derékszögű trapézt vág ki a sávból (bal oldali ábra).

Ha ezt a trapézt egyesítjük a paralelogrammával, akkor is egy (nagyobb) derékszögű trapézt kapunk (jobb oldali ábra).

A nagyobbik trapézt eltoljuk párhuzamosan a paralelogramma kiválasztott oldalával (bal oldali ábra). A jobb oldali ábrán látható módon a két egybevágó nagy trapéz (eltoltak) egyike a paralelogrammából és a fehéren hagyott kis trapézból, a másik a kis trapézból és egy téglalapból áll. (A jobb oldali ábra két nagy trapézt ábrázol, de a kis trapézt mindkettő tartalmazza.)

2.30. Feladat: Bizonyítsa be a térbeli analóg tételt: a paralelepipedon térfogata megegyezik egy azonos alapterületű és magasságú téglatest térfogatával, tehát a térfogata alapterület*magasság.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A bizonyítás a síkbeli bizonyítás analógiájára elvégezhető, a következő ábráról olvasható le:

A kiindulási kék paralelepipedon dől jobbra is, meg hátra is. Most nem 2 párhuzamos oldalt, hanem 4 párhuzamos élt választunk ki és hosszabbítunk meg. Ezekre az élekre valahol ahol már nem metszünk bele a kiindulási (kék) paralelepipedonba merőleges síkot állítunk erre a négy élre és megkeressük a metszéspontokat. A metszetidom egy paralelogramma (két-két párhuzamos síkból metszettük ki). Ezt a paralelogrammát eltoljuk a bejelölt vektorral (a paralelepipedon ezen egyenesekre illeszkedő élével megegyező állású és hosszúságú, az irányítást úgy választjuk, hogy távolodjunk a paralelepipedontól).

Az is eltérés a síkbeli esethez képest, hogy most nem téglatest, hanem egy paralelogramma alapú egyenes hasáb keletkezett: A kék paralelepipedon és a hozzámetszett trapézokkal és paralelogrammákkal határolt test az eltolás miatt egybevágó ugyanezen test test és a zöld hasáb egyesítésével. A hozzávett test mindkettőben közös, így a paralelepipedon és a hasáb térfogata egyenlő.

Második lépésben az előzőt ismételjük, a hasáb alapparalelogrammájából csinálunk téglalapot. A hasábból az éppen most kapott 4 párhuzamos élt választjuk ki és hosszabbítjuk meg, mert ezek már merőlegesek az előbb választott irányra. A kiválasztott élekre valahol ahol már nem metszünk bele a hasábba merőleges síkot állítunk és megkeressük a metszéspontokat. A metszetidom egy téglalap (mert egy olyan végtelen hasábot metszünk az élekre merőlegesen, amelynek lapjai merőlegesek egymásra). Ezt a téglalapot eltoljuk a bejelölt vektorral (a hasáb ezen egyenesekre illeszkedő élének megfelelő állásban és hosszban, az irányítást úgy választjuk, hogy távolodjunk a hasábtól).

A hasáb és a hozzámetszett trapézokkal és téglalapokkal határolt test az eltolás miatt egybevágó az ugyanezen test és a piros téglatest egyesítésével, a kiegészítő test mindkettőben közös, így a hasáb és a téglatest térfogata egyenlő.

Két lépésben beláttuk a tétel állítását.

Ez a bizonyítás szemléletes módon, modellekkel vagy aktív táblán animálva középiskolás osztályokban is tanítható.

2.31. Feladat: Keressen analógiát a síkidomok és a testek magasságával kapcsolatban!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ: Egy hegyesszögű háromszögből kiindulva jó értelmezési tréning, ha a kiindulási háromszög magasságpontja és az egyik oldala által meghatározott (kis)háromszög magasságvonalaira és magasságpontjára kérdezünk rá. Dinamikus ábrán aztán elszakadhatunk a kiinduló feltételtől.

  • A háromszögnek van magasságpontja. A tetraédernek mi lenne? Mikor van? (Merőleges kitérő élpárok)

  • Adott párhuzamos egyenesek között egyenlő alapú háromszögekkel irányíthatjuk a figyelmet a magasságszakasz különböző elhelyezkedésére, de azonos hosszára.Adott párhuzamos rétegben egybevágó alapsokszögeket helyezni az egyik síkra és különböző csúcsokat választani a másik síkról.Pl.:Egy négyszögalapú gúla alaplapját a tanteremben a padló 4 sarka jelöli ki. Hol vegyük fel a plafonon az 5. csúcsot, hogy a gúla térfogata a legnagyobb legyen?

  • Mi marad változatlanula) az oldal hosszán és a magasságon, illetveb) az alaplap (vagy csak a területe) és a magasság megtartásán túl?Tapasztalatoktól függően kivágással, öntögetéssel, képlet átalakítással és a neki megfelelő átdarabolással, stb. sokoldalúan meg kell győződni a terület, illetve a térfogat állandóságáról.

2.32. Feladat: Keressen analógiát a területképletek és a térfogatképletek között!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Geometriai mértékek

  • egy a szakasz hossza a (kezdetben érdemes a szakaszt és a hosszát megkülönböztetni)

  • a oldalú négyzet területe a2 (a hosszúságegységgel összehangolva)

  • a oldalú kocka térfogata a3 (a hosszúságegységgel összehangolva)

A méréskor fontos szerepet kap

  • az egységszakaszegységszakaszokkal (és részeivel) fedjük le a mérendő szakaszt;

  • az egységnyi szélességű sáv megfelelő darabja (csík, szalag)egységnyi szélességű sávval (és kisebb szélességű részeivel) fedjük le a mérendő téglalapot (voltaképpen egységszakasszal és részeivel mérjük a másik oldalt);

  • az egységnyi vastagságú réteg megfelelő darabjaegységnyi vastagságú réteggel (és vékonyabb részeivel) fedjük le a mérendő téglatestet, hasábot, hengert (voltaképpen egységszakasszal és részeivel mérjük a magasságszakaszt).

Pólyát György dimenzióanalógiájának megfelelően előállított alakzatok megfelelő dimenziós mértéke is párhuzamot mutat.

  • a szakaszt leírja, bejárja egy pont, a szakasz hossza a

  • a szakasz tartóegyeneséről lelépve, attól m távolságra eltolt szakasz súrol egy paralelogrammát, amelynek területe am

  • egy t területű paralelogramma síkjából kilépve, attól m távolságra eltolt paralelogramma súrol egy paralelepipedont, amelynek térfogata tm.

2.33. Feladat: Keressen általánosítási lehetőséget a fenti példák mintájára.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

a) Hengerszerű testek térfogata alapterület x magasság

sokszög hasáb; kör henger, vagy általánosan valamilyen t területtel rendelkező síkidom a síkjából kilépő eltolás közben súrolja a hengerszerű testet

b) Kúpszerű testek térfogata (alapterület x magasság):3

háromszög tetraéder; sokszög gúla; kör kúp, vagy általánosan valamilyen t területtel rendelkező síkidom pontjainak egy, a síkján kívüli pont összekötésével kapjuk a kúpszerű testet

c) Adott pont és a tőle r távolságra levő pontok összekötésével kapott alakzat megfelelő dimenziós mértéke:

  • i hosszúságú, r sugarú ívhez tartozó körcikk területe: ir:2

  • r sugarú k kerületű kör (2rπ ívhosszhoz tartozó körcikk) területe ir:2 = r2π

  • r sugarú f felszínű gömbsüveghez tartozó gömbcikk térfogata: fr:3

  • r sugarú f felszínű gömb (4r2π felszínű gömbsüveghez tartozó gömbcikk) térfogata fr:3 = 4r3π:3; gömbsüveg felszíne

2.3.2 Egy OKTV feladat, ahol több problémamegoldási stratégia felbukkan

2.34. Feladat: Három hajótörött mindegyike egy-egy órát tölt (egyhuzamban) egy szigeten ma délután valamikor 5 és 9 óra között (véletlenszerűen). Ha hármuk közül pontosan kettő fél óránál hosszabb ideig egyszerre tartózkodik ott, akkor viszály tör ki. Mekkora a valószínűsége annak, hogy békében telik el a mai nap?

(1995-96-os OKTV III. kategória speciális matematika tantervű gimnáziumok számára, második (döntő) forduló 3. feladata)

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Mivel a feladat megoldása valóban nem nyilvánvaló, nagyon alkalmas arra, hogy a különböző reprezentációk és problémamegoldási stratégiák összjátékát megmutathassuk. A lépéseink

  1. A matematikai modell keresése

  2. A modellhez kötött vizsgálatok

    • Részekre bontás, részfeladat megoldása

    • A megoldás szemléltetése

    • A probléma megoldása

  3. Más megoldás keresése

  4. A megoldás elemzése, általánosítás

1. A matematikai modell keresése

2.35. Feladat:Próbálja jellemezni a H1, H2 vagy H3 hajótörött megjelenését a barlangban.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Ábrázolhatjuk a hajótörött jelenlétét a számegyenesen egy AB intervallummal. A feladatot nem változtatja meg, ha nem a 1721 óra közötti intervallumot ábrázoljuk, hanem a lehetséges megérkezéstől eltelt időt.

Geometriai valószínűséget akarunk használni, ezért az eseménytér olyan modelljét keressük, ahol minden kimenetelnek egyenlő az esélye. Ez nem teljesül az AB intervallum lehetséges pozícióira A=0-tól B=4-ig. Ha az AB intervallum helyett annak egy rögzített pontját (például az A kezdőpontot) használjuk a hajótörött pozíciójának jellemzésére, akkor a [0;3q] intervallum minden pontja egyenlő eséllyel jön szóba.

2.36. Feladat:Próbálja jellemezni a H1, H2 és H3 hajótöröttek együttes megjelenését a barlangban. Használjon geometriai szemléltetést.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ Legyenek a H1, H2 és H3 hajótöröttek érkezési időpontjai ebben a sorrendben egy pont koordinátái egy derékszögű koordinátarendszerben. Ekkor az eseménytér egy 3 egység oldalú kocka, amelynek egyik csúcsa az origó és egy-egy éle a koordinátatengelyek pozitív felére illeszkedik. Ennek a kockának minden pontja egyenlő eséllyel bekövetkező kimeneteleket reprezentál, tehát használhatjuk a térfogatot a valószínűség jellemzésére. 2. A modellhez kötött vizsgálatok

2.37. Feladat:Fogalmazza meg a békés nap esélyének vizsgálatát a kocka segítségével.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség arányos a békés naphoz tartozó pontok által alkotott alakzat térfogatával. Speciális helyzetek vizsgálatából az a sejtésünk támad, hogy könnyebb dolgunk lesz, ha a komplementer eseményt, a viszályhoz tartozó pontok által alkotott alakzatot vizsgáljuk.

2.38. Feladat:Válasszon ki kezelhetőnek látszó részproblémát és gondolja meg ennek viszonyát az egész problémával.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Két hajótörött között viszály támad, ha

  • elég időt töltenek együtt a kettejük jelenlétét leíró intervallumnak legalább 0,5 óra átfedése van;

  • nem oldja fel a feszültséget a harmadik hajótörött a kettejük jelenlétét leíró intervallumok metszetének nincs közös belső pontja a harmadik jelenlétét leíró intervallummal.

Az érkezés 6 különböző sorrendjének egyidejű vizsgálata helyett egy rögzített sorrendet vizsgálunk, azt a részproblémát választjuk, hogy H1 érkezik először, majd H2, és végül H3.

A részprobléma két hasonlóan kezelhető részből áll, meg kell határozni A) a H1 és H2, illetve B) a H2 és H3 közötti viszályhoz tartozó pontok halmazát.

A eset: H1 és H2 közötti viszály

2.39. Feladat: Jellemezze a H1 és H2 közötti viszályhoz tartozó pontok koordinátáit.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

Legyen P(x;y;z) igy ilyen pont. a) P egy 3 oldalhosszúságú kockában van, ezért a koordinátáira teljesülnek a

( 1 ) 0 x 3 , ( 2 ) 0 y 3 e ´ s ( 3 ) 0 z 3

egyenlőtlenségek. b) Az érkezési sorrendből következik, hogy

( 4 ) x y z .

A H1 és H2 jelenlétét kifejező intervallumoknak legalább 0,5 óra átfedése van, azaz H2 legfeljebb egy fél órával H1 után érkezhet:

( 5 ) y x + 0 , 5 .

H 3 legalább egy fél óráig nincs jelen, miközben H1 és H2 egyszerre vannak a barlangban, tehát legalább fél órával H2 után érkezik:

( 6 ) z > y + 0 , 5 .

2.40. Feladat: Szemléltesse az (1) ... (6) feltételek mindegyikének megfelelő pontokat.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

0 x 3 megoldása nem egy intervallum az x tengelyen, hanem egy párhuzamos sáv a térben. Így (1)-(3) megoldás egy 3 egység oldalú kocka.

(4) első fele xy, ezért elfelezzük a kockát az x=y síkkal (ez az xz és yz koordinátasíkok szimmetriasíkja), és a felső prizmát tartjuk meg.

(4) második fele yz egy félteret ír le, amelynek határsíkja az xy és yz koordinátasíkok szimmetriasíkja. Ha ezzel vesszük a kocka metszetét, akkor az origót tartalmazó alsó prizma marad. A két prizma metszete egy tetraéder.

Most ezt a tetraédert csonkoljuk tovább, vesszük az (5) egyenletű féltérrel alkotott metszetét. Ez az y=x síkkal párhuzamos metszést jelent, tehát csonka gúlát kapunk. A három új csúcs: (0;0,5;0,5), (0;0,5;3), (0,5;3;3).

Ennek a csonkagúlának a metszetét kell vennünk a (6) által leírt féltérrel. Most az y=z síkkal párhuzamosan metszünk, az eredmény ismét csonkagúla.

Az (1)-(6) feltételeket kielégítő CDEFGH háromszög alapú csonkagúla azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek H1 és H2 közötti viszályhoz tartoznak.

21. táblázat

2.41. Feladat: Határozza meg a CDEFGH test térfogatát elemi geometriai úton.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ

C G , DH és EF élek közös pontja S(0;2,5;3), a CDE és GHF lapok párhuzamosak egymással, ami azt jelenti, hogy SCDE és SGHF hasonló tetraéderek.

A hasonlóság aránya

S F : S E = 2 : 2 , 5 = 0 , 8

. A térfogatuk aránya

V S G H F : V S C D E = 0 , 8 3 .

Ezért

V C D E G H F = ( 1 - 0 , 8 3 ) V S C D E .

V S C D E meghatározásához tekintsük az E középpontú, 3:2,5 arányú hasonlóságot.

Az ECDS tetraéder képe ennél a hasonlóságnál ECDS. Az új pontok koordinátái C(3;3;3), D(0;0;0), S(0;3;3), azaz E,C,D,S a kocka csúcsai.

Ezért

V E C D S = 3 3 6 .

A hasonlóság alapján

V E C D S = ( 3 2 , 5 ) 3 V E C D S .

Az ECDS tetraéder térfogata

V E C D S = ( 2 , 5 3 ) 3 V E C D S = ( 2 , 5 3 ) 3 3 3 6 = 2 , 5 3 6 .

Ezt beírjuk a

V C D E G H F = ( 1 - 0 , 8 3 ) V S C D E

képletbe

V C D E G H F = ( 1 - 0 , 8 3 ) 2 , 5 3 6 = 61 48 .

2.42. Feladat: B) eset: Jellemezze a H2 és H3 közötti viszályhoz tartozó pontok koordinátáit.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ Az A esethez hasonló meggondolással kapjuk, hogy (1), (2), (3) és (4) most is érvényes, (5) és (8) helyébe pedig

( 7 ) y > x + 0 , 5 ( 8 ) z y + 0 , 5

lép.

2.43. Feladat: Gyakorlásképpen oldja meg a B) esetet és hasonlítsa össze az eredményt az A) eset eredményével.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ A CDEFGH csonkakúppal egybevágó alakzatot kapunk, az eredmény most is 6148.

Ráadásul az A és B esetben talált testeknek nincs közös belső pontja, hiszen (5) és (7), illetve (6) és (8) kizárják egymást, az z=y+0,5 sík elválasztja a két alakzat belső pontjait.

Ebből következik, hogy a rögzített xyz érkezési sorrendben a viszályhoz tartozó pontok térfogata 26148.

A probléma megoldása

Ahelyett, hogy a hiányzó 5 esetben megoldanánk a feladatot, generáljuk a feladat és a kocka szimmetriáinak segítségével a megoldásokat. A H1, H2, H3 hajótöröttek más érkezési sorrendjét szerepcserével valósítjuk meg. A 6 lehetséges érkezési sorrendet a P(x,y,z) pont koordinátáinak 6 különböző nagyság szerinti sorrendje fejezi ki. Minden sorrendhez egy-egy bizonyos tetraéder tartozik a kockában, amelyeknek nincs közös belső pontjuk. Egy rögzített Si,Sj,Sk esetére transzformálhatók az A) és B) esetben fellépő egyenlőtlenségek: az x helyére az i-edik, y helyére a j-edik, z helyére a k-adik koordináta kerül. Ezzel a kocka önmagára való leképezését állítjuk elő: 0, 120 vagy 230-os forgatás és síkra való tükrözés. (Az S3 csoport elemei.)

A békés nap esélye

A viszályhoz tartozó kockarészek térfogata:

6 2 61 48 = 61 4 .

A viszály esélye:

61 4 : 3 3 = 61 108 .

A békés nap esélye:

1 - 61 108 = 47 108 .

3. Egy másik megoldási út

Ez az út megtartja a geometriai valószínűséget és a szimmetriameggondolásokat, de a térfogat kiszámításához nem hasonlóságot, hanem integrálszámítást használ.

A a H1 és H2 közötti viszályhoz tartozó alakzat térfogatának kiszámítását vázoljuk. A feltételek most is

( 1 ) 0 x 3

( 2 ) 0 y 3

( 3 ) 0 z 3

( 4 ) x y z

( 5 ) y x + 0 , 5

( 6 ) z > y + 0 , 5

y a kitüntetett változó, e szerint integrálunk és ezzel fejezzük ki a másik két változót is.

Végigfuttatjuk y-t a [0;3] intervallumon, és megvizsgáljuk, milyen hosszúságú x, illetve z intervallumok tartoznak az egyes y értékekhez.

A zy+0,5 feltétel miatt szükségképpen y<2,5.

Ha 0y0,5, akkor 0<xy és y+0,5z3, azaz x egy y hosszúságú, z pedig egy 2,5-y hosszúságú intervallumban helyezkedhet el.

Ha pedig 0,5<y<2,5, akkor y-0,5<x<y és y+0,5<z<3, azaz x egy 0,5 hosszúságú, z pedig egy 2,5-y hosszúságú intervallumban helyezkedhet el. Így a viszály méretét az alábbi integrál szolgáltatja:

0 0 , 5 y ( 2 , 5 - y ) d y + 0 , 5 2 , 5 0 , 5 ( 2 , 5 - y ) d y = [ 5 u 2 4 - u 3 3 ] 0 0 , 5 + [ 5 u 4 - u 2 4 ] 0 , 5 2 , 5 = 61 48

A megoldás további része megegyezik az előző megoldással.

4. A megoldás értékelése, általánosítás Jelölje δ órában, hogy mennyi ideig tud két hajótörött viszály nélkül a barlangban maradni. A vizsgált feladatban δ=0,5 és ekkor 43,5% a békés nap esélye. Ha δ=1, akkor biztosan béke van. Az is megmutatható (a békés pontok vizsgálatával), hogy δ=0 esetén is van 127 esélye a békének.

Érdekes és megoldható feladat, hogy milyen δ esetén lesz 50% esélye a békének. (δ0,5476%.)

Az itt ismertetett technika alkalmas arra, hogy 12δ<1 értékekre paraméteresen meghatározzuk a béke esélyét. Ebből a képletből jött ki δ közelítő értéke a béke 50%-os esélyéhez.