Ugrás a tartalomhoz

Matematikai módszertani példatár

Vásárhelyi Éva (2013)

ELTE-TTK

1 A matematika és a matematika tanítása

1 A matematika és a matematika tanítása

Az iskolában, az egyetemen, tanártovábbképzésen, baráti körben, a családon belül, szóval lépten-nyomon szembesülünk a következő kérdéssekkel.

  • Milyen a korszerű műveltség?

  • Mennyi a matematikai ismeretek, a matematikai gondolkodásmód részesedése a teljes kultúrkincsben?

  • Mit és hogyan használ a matematika tanulmányaiból az, aki esküszik rá, hogy semmit?

  • Hol húzódnak a matematika tanári szakma határai?

  • Mi az, amit csak a matematika, mi az, amit a matematika is (esetleg sajátosan) tud közvetíteni?

  • Ismereteket, ismeretrendszereket vagy az ismeretek elsajátításának, rendezésének fogásait kell-e tanítani?

  • A szakma elkülönülő jellegzetességeinek szakavatott közvetítésére, vagy inkább az egységes világkép kialakítására kell-e a hangsúlyt helyezni?

  • Mit és milyen szerkezetben tartalmazzon a tananyag?

  • Tanítható-e a problémamegoldás? Mikor térül meg? Mikor van erre idő? Mi lesz a tantervvel? Mit hagyjak ki?

Tanár, diák, szülő, mindenki a gazdaságos’’ tanulás fortélyait akarja megtalálni. Elődeink biztosan tudták a titkot, hiszen számos neves tudóst bocsájtottak útjára. A (sikeres) magyar matematikatanítási hagyományok tartalmi és módszertani elemeit kutatva az embernek az a benyomása támad, hogy a fentihez hasonló kérdések számukra nem választási kényszerrel, hanem súlypontválasztás, aránykijelölés formájában merültek fel. A mai tantervviták kizáró vagy’’ kérdései helyett az is’’ uralkodott, és talán ettől vált gazdagabbá, érdekesebbé és hatékonyabbá a matematika tanítása és tanulása. A matematikáról alkotott mindenféle elképzelés (kognitív és affektív komponensekkel) alkotja egy ember matematikai világképét (Törner, 2002 []). A matematika tanulását a személyes érdeklődésen túl erősen befolyásolja a társadalom, szűkebben a szülői ház és a kortársak véleménye a matematikáról és a matematikusokról.

A vélemény kialakulásához nagyban hozzájárulnak korunk különböző médiumai is (Korándi, J. 2012 []).

Az előbbieken kívül nagy hatással van a diákok szemléletére a tanár által a matematikáról közvetített kép, amit meghatároz a tanár saját matematikáról alkotott elképzelése. Ez utóbbival kapcsolatban sokféle vonatkozásban olvashatunk a módszertani szakirodalomban, ebből csak két fontos művet emelünk ki: Grigutsch, S., Raatz, U., Törner, G. 1997 [], Leder, G. C., Pehkonen, E., Törner, G. 2002 [].

A tanárok matematikai világképe elég hamar kialakul és később már nehezen változtatható (Schommer-Aikins, M. 2004 []). Fontos tehát, hogy ez a kép minél sokoldalúbb, teljesebb legyen mind a matematika, mind a matematika tanítása szempontjából.

Ezzel a fejezettel ehhez szeretnénk néhány vonatkozásban hozzájárulni.

1.1 Tendenciák a matematikában és a matematika tanításában

A matematika és a matematika tanításának kapcsolatáról matematikatudomány és a matematikatanítás történetének áttekintésével alkothatnak képet.

Ez persze sem terjedelme, sem interdiszciplinaritása miatt nem fér bele egy ilyen jegyzetbe. De nem is cél, hogy pl. a XVII. század német kereskedőinek számolási tudományát teljes részletességgel ismerjék.

Itt csupán felhívjuk a figyelmet néhány szempontra és megadunk néhány autentikus forrást.

1.1. Feladat:Tájékozódjon a tananyag és a matematika tudomány kapcsolatáról.

  • Gondolja át a matematika történetének fő szakaszait.

  • Keressen régi és új matematikai tartalmakat az aktuális matematika tananyagban.

  • Gyűjtsön össze nevezetes megoldatlan problémákat.

  • Ismerje neves magyar matematikusok nevét és fő eredményeit.

  • Ismerje neves kortárs magyar matematikusok nevét és fő eredményeit.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

a) Első ismerkedésként

b) Igényesebb olvasmány az interneten

Jó minőségű és érdekes videofelvételeket találhatnak a

http://mindentudas.hu/elodasok-cikkek/item/

címen, többek között a következőket:

  • Katona Gyula: Hogyan lett magyar matematika’’ a kombinatorika?

  • Laczkovich Miklós: Mi a matematika? - A matematikai igazságról

  • Lovász László: Mit kívánnak a számítógépek a matematikától és mit adnak neki?

  • Lovász László: Meddig nőnek a nagy hálózatok?

1. ábra

c) Tudományos igényű elmélyedésre is alkalmasak Deák Ervin: A matematikatudomány története tárgyhoz írott füzetei http://mathdid.elte.hu/html/mscmattudtoert.html

d) A magyar matematikatanítás jellemzőit emeli ki nemzetközi összehasonlításban például Ambrus A. [], Andrews P. [] Vásárhelyi É. [].

1.1.1 Matematikatanítási irányzatok

A tanár tanítási stílusát elsősorban adott tárggyal kapcsolatos, ebben az esetben a matematikáról és matematika tanításáról alkotott elképzelései és saját egyénisége határozzák meg. Fontos, hogy a matematika módszertani tanulmányok során többféle lehetséges tanítási módszer előkerüljön, mintegy lehetőséget teremtve arra, hogy különféle tanítási elképzelések beépüljenek az egyénileg kialakuló tanítási stílusba.

A tanítási stílusokban különféle főbb irányzatok érvényesülnek, amelyek egymástól elég jól elkülöníthetők. Ezek között leggyakrabban a következő irányzatokat említik a matematika tanításával kapcsolatban: hagyományos oktatás, problémamegoldó oktatás, gyakorlatorientált oktatás, realisztikus matematikaoktatás, projektorientált oktatás, New-Math vagy formalista-strukturalista irányzat (vö. Ambrus A. 1995 [], Zimmermann, B. 1981 [], Claus, H.J. 1989 []).

A hagyományos és problémamegoldó tanítási irányzat

Magyarországon leginkább elterjedt tanítási stílusok a hagyományos és a problémaorientált tanítási stílus. A hagyományos oktatás, ahogy a neve is mutatja inkább a hagyományokon, a lassan változó, jól bevált régi módszereken alapul. A problémamegoldó módszer Pólya György tanítási elképzelésén alapul, melynek fő gondolata a feladatok, témák problémacentrikus tárgyalása, nagy hangsúlyt helyezve a problémamegoldás folyamatára, a problémamegoldó gondolkodás fejlesztésére (vö. Pólya, Gy. 1967 [], Ambrus A. 1995 [], Schoenfeld, A.H. 1985 [], Zimmermann, B. 1981 []).

Az alábbiakban röviden összefoglaljuk azokat a főbb vonásokat, amelyek alapján összehasonlítható és el is különíthető e két alapvetően különböző oktatási elképzelés.

A hagyományos oktatás jellemzői:

Az ismeretelsajátítás a szokásos menet szerint történik: új anyag ismertetése, közvetlen alkalmazás, gyakorlás, további alkalmazások és összetettebb feladatok; A tanár elsődlegesen tanítja’’ a tanulókat, így elsősorban a bemutatott anyag utánzására ösztönzi őket, miközben a tantervi anyag elsajátítására koncentrál. Meg van győződve arról, hogy a tanulók (csak) azt tanulják meg matematikából, amit megtanítanak nekik. A feladatok a tananyag feldolgozásához illeszkednek, különböző, tananyaggal kapcsolatos célok elérését segítik elő, általában egymástól függetlenek és kis lépésekben vezetik a tanulót. A gyakorlás a későbbiekben számon kérendő ismeretekre helyezi a hangsúlyt. A feladatok megoldásait általában gyorsan lehet jó’’-nak vagy rossz’’-nak értékelni, mivel a tanulók egyéni elgondolásai, esetlegesen különféle eredményre vezető megoldási módok nem kerülnek elő. A tanuló igyekszik tökéletes megoldásokat készíteni és elveti azokat az ötleteket, amelyek ehhez nem segítik hozzá, és hozzászólásaiban inkább a teljes megoldás ismertetésére szorítkozik (ha szerinte tud ilyet). A tanulók inkább egyénileg dolgoznak a jobban teljesítők időnként további feladatot kapnak, de az osztály leginkább együtt dolgozik; a megoldásokat is közösen beszélik meg; a jó megoldást leginkább saját eredményüknek tartják.

A problémamegoldó stílus jellemzői:

Az ismeretelsajátításban központi helyen van a felvetett probléma, amelynek megoldásához ismeretrendezésre, problémamegoldó stratégiák kiválasztására van szükség és nem maradhat el a talált, lehetőleg többféle megoldási mód vizsgálata (reflexió) sem. Definíciók, megjelölések itt is előzetes közlésre kerülnek, ám a fogalmakat, tételeket problémába ágyazva tárgyalják.

A tanár inkább a tanulói aktivitást igyekszik elősegíteni, így az önálló felfedezést, a rendezett kutatást’’ ösztönzi, elsősorban a megfelelő tanulói tevékenységre koncentrál. Meg van győződve arról, hogy a tanulóknak is vannak megfelelő matematikai ötleteik, és hogy ezek beépíthetők ismereteikbe.

A feladatok általában összefüggnek egymással, közöttük gyakoriak a nagy lépések’’ és a differenciálásra is lehetőséget teremtenek.

Leginkább elmélyítő, kiegészítő gyakorlófeladatok szerepelnek.

A tanulók egyéni, esetleg különböző eredményre vezető elképzelései megvitatásra kerülnek.

A tanuló igyekszik tökéletes megoldásokat készíteni, de azokkal az ötletekkel is foglalkozik, amelyek nem vezetnek ilyenekhez és ezeket a feladat megbeszélésekor megemlíti.

A tanulók leginkább párokban vagy különböző szempontok szerint szervezett csoportokban dolgoznak (ezek szervezése függ az adott feladattól, és történhet például a tanulók teljesítménye alapján); és gyakran átélik, hogy órai munkájuk eredménye az egész osztály együttes munkájának köszönhető.

A gyakorlatban a tanárok egyéniségüknek, tanításról alkotott elképzelésüknek, tapasztalataiknak megfelelően alkalmazzák leginkább e két stílus valamilyen elegyét. Így inkább hagyományosnak vagy inkább problémamegoldónak mondható stílus szerint tanítanak.

Ahhoz, hogy egyrészt minél jobban érzékelni lehessen a kétféle tanítási stílus közötti különbséget, illetve, hogy a két stílus jegyeiből tudatosan is beépíthessünk elemeket saját stílusunkba, érdemes stílusgyakorlatok’’-at végezni. Ez azt jelenti, hogy érdemes megpróbálni egy-egy téma tanításához adott stílusú feldolgozást elképzelni. Ez a terv lehet például egy feladatlap, ami meghatározza gyakorlatilag az óra menetét.

A kétféle tanítási stílusban használható feladatanyag, illetve tananyagfelépítés összehasonlításához bemutatunk két feladatlapot, amelyek tartalmilag a törtek tanításának bevezetéséhez készültek. Természetesen ilyen feladatlapok más tanítási stílusok összehasonlításához is készülhetnek.

2. ábra. Az I. feladatlap 1. oldala

3. ábra. Az I. feladatlap 2. oldala

4. ábra. A II. feladatlap

Elemzés a feladatlapokhoz:

Az első lap feladatai folytonos és diszjunkt mennyiségek törtrészének kiszámításával foglalkoznak már ismert feladattípusok segítségével. Az első három feladatban a törtrész leolvasásához kész eszköz’’ (ábra) áll a tanulók rendelkezésére, a negyedik és ötödik feladatban nekik kell esetenként kiegészíteni ábrát. Az első három feladat a törtek fogalmának alapismereteit veszi át (egyenlő részekre osztás, törtrész ábrázolása, törtrész megnevezése, jelölése, elnevezések), már ismert modelleken dolgozva.

A negyedik és ötödik feladat az ismeretek alkalmazását jelenti, e két feladat (adott törtrész beszínezése, beszínezett rész nagyságának megadása) egymás inverzeinek tekinthető. A részfeladatok ebben a két feladatban nem nehézségi sorrendben követik egymást. E két feladat az előbbieken kívül annyiban függ össze, hogy az I. feladatlapon az 5e, ami könnyű feladat, segítséget adhat a 4. feladat d részének megoldásához. Bár az így készíthető felosztása nem könnyű és nem is várható el előzmények nélkül a tanulóktól. Feltételezhető, hogy aki ilyen felosztással oldotta meg a 4d-t, az vagy ismerte a feladatot, (ami általában nem jellemző), vagy az 5e megoldása után visszatért a 4d megoldásához (ez a várható). Megnézzük, hogy aki jól megoldotta az 5e-t, azok közül hányan oldották meg ezzel a felosztással a 4d-t, azaz hány esetben segítette az 5e feladat a 4d-t. Ez azt is jelenti általában, hogy ezek a tanulók a feladatokat nemcsak egymás utáni sorrendben oldották meg rendre, hanem átgondolva hol volt problémájuk, képesek voltak arra is, hogy visszalépjenek, amikor ötlethez jutottak.

Az 6. feladat rokona’’ a 3.-nak, de ebben az előbbi feladatban a tanuló egy szakaszon végzi a szükséges méréseket és számításokat. Feltehető, hogy aki tudta a 3. feladat helyes megoldását, azt átgondolva ezt is helyesen oldotta meg.

A 7. feladat törtrész kiszámításával kapcsolatos. A 2., 3. és 7. feladat azonos tartalmú, az utóbbi esetben nem kötelező az ábrázolás, míg az előbbiek megoldásához hozzátartozik.

A második feladatlap 1. feladata többféle jó beszínezést kér azaz több megoldást adott törtrész megadásához. Mivel a tanulók korábbi tanulmányaik során feltételezhetően már többféleképpen megadták egységtéglalap törtrészét, a feladat megoldásához rendelkeztek kellő előzetes tapasztalattal. A nehézséget, a problémahelyzetet egyrészt a többféle jó megoldás megkeresése jelenti (kiválasztás a bennük élő képekből egyéni meggondolás segítségével) hiszen megadott felosztás most nem segíti a megoldást másrészt a megoldás megfelelő lejegyzése. Gyakorlatilag egyfajta nyitott feladattal állunk szemben, hiszen több megoldást kell megadni ugyanarra a feladatra.

A II. feladatlap 2. feladatának második része az 1. feladatra épül(het) amennyiben a megoldás az egység egymás után végrehajtott többszöri felezésének felhasználásával készül. A 2. feladat első része annyiban kapcsolódik az első feladathoz, hogy jó megoldás adható meg úgy is, ha az 12- ből rendre egyre többet’’ veszek, például 22,32,42.

A 2. feladat azért nehéz, mert egy feladaton belül kell váltani (12-hez képest kisebb, nagyobb tört megadása; számláló, nevező figyelése).

Nem megszokott jelenség, hogy egy magyar matematika feladatban kakukktojás keresésre kerül sor, mint ez a II. feladatlap 3. feladat esetében történik. Pedig ezek a feladatok különböző ismeretek, gyakran hagyományostól eltérő alkalmazásán túl jó lehetőséget biztosítanak arra, hogy vélemények ütközzenek, különböző elgondolások megvitatásra kerüljenek, és ezen felül motiváló hatással is bírnak. Ez a feladat is a nyitott’’ feladatok körébe tartozik, hiszen többféle jó megoldása van. A törtekkel kapcsolatos környezet’’ miatt elsősorban a törtek témakörből várhatók megoldások.

A két feladatlap megoldásával kapcsolatban iskolai tapasztalatok is vannak (Ambrus G. 2008a []).

1.2. Feladat:Készítsen egy választott témához hagyományos és problémamegoldó stílus szerinti feladatlapot!

A továbbiakban röviden bemutatunk néhány további tanítási stílust azok közül, amelyek hatással voltak, illetve vannak a magyar matematikaoktatásra.

A New-Math vagy strukturalista irányzat

A New Math irányzatát megelőzte a Bourbaki csoport matematikusainak munkássága (Halmos, P. 1998 []), akik a második világháború előtt publikálták munkáikat. Céljuk a modern matematika egységesítésének, szintézisének megvalósítása volt. Az ehhez kapcsolódó matematikatanítási elgondolás mely a matematikát szigorú szabályok által felépített rendszernek tekintette Új Matematika’’ angolul a New Math’’, előtérbe került a XX. század közepén az úgynevezett Szputnyiksokk’’ hatására, melyet 1957-ben az akkori Szovjetunió által fellőtt szputnyik váltott ki.

Az irányzat képviselői a matematikát, mint tudományt hangsúlyozták. Három matematikai alapstruktúrát, a rendezési, az algebrai, és a topológiai struktúrát emelték ki és ezek köré rendezték az ismereteket.

A tanításban eszerint fontos szerepet kapott a matematikai szaknyelv precíz használata, a tananyag a matematika deduktív jellegét tükrözte, előtérbe kerültek a halmazelméleti definíciók, a halmazokra épülő felépítés.

A tanítási irányzat jellemzője a teljesítményorientáltság, vagyis a teljesítményre és a sikerre való törekvés.

A tanítási irányzat kritikája az a tapasztalat, hogy, ez a tanítási módszer és a formalista felfogás nem felel meg a tanulók életkori, tanulási sajátosságainak. Ezen kívül fontos megemlíteni, hogy háttérbe szorította a problémamegoldó gondolkozásmódot és a matematika gyakorlati alkalmazását, a tartalmi, tárgyi vonatkozású gondolkodási módokat, az általános pedagógiai, érzelmi és a szociális célokat.

Az oktatásban általában nem hozott sikert az irányzat. Ellenpontként jelent meg a Back to Basics’’ mozgalom, vagyis vissza az alapokhoz’’, és ugyancsak a formalista irányzat hatására jelent meg a problémamegoldó tanítási módszer és a gyakorlatorientált matematikaoktatás.

Post-New Math Varga Tamás tanítási irányzata

Az Új matematika tanítási irányzata Magyarországon is hatást gyakorolt az oktatásra. Mivel a módszer hibái már elég hamar érzékelhetőek voltak, a tapasztalatok felhasználásával dolgozta ki Varga Tamás az általa Post-New Math-nak nevezett Komplex matematikatanítási módszert (Klein, S. 1980 []).

Elméletének lényege, hogy a matematikatanításnak a tanuló aktív részvételével kell történnie és a gondolkodását formáló folyamatnak kell lennie a tényszerű ismeretek mechanikus tanítása helyett. A tanulók ismeretei az életkori sajátosságaikat figyelembe vevő tapasztalatszerzési folyamat során növekednek. A tanulói felfedezés által fejlődik a problémamegoldó gondolkodásuk, kreatívabbá válnak.

Ennek alapján 1963-ban Budapesten egy általános iskolában elkezdődött a komplex matematikatanítás bevezetése Varga Tamás vezetésével. A kísérlet célja az volt, hogy a különböző szinteken levő tanulók mindegyike a neki megfelelő matematikaoktatást kapja, a leggyengébb és a legjobb tanuló is megfelelő szintű tananyagot tanulhasson. Az 1978-ban bevezetett új általános iskolai tantervet már Varga Tamás irányításával folyó komplex kísérletre alapozták.

A komplex matematikatanítás céljai alapján a tananyag és a tanítási módszerek fejlesztését irányozta elő. Addig a matematikának csak kisebb részterületével foglalkoztak, nem is nevezték matematikának, a tárgy neve számtan és mértan volt. Az 1978-as tantervekben jelenik meg először a matematika név, az 1. osztálytól a 12. osztályig. Megváltozott tehát a tananyag, megváltoztak a tanítás kereteit és szervezési formái is. A tananyag legjelentősebb hányada a számtan az algebrával együtt és a geometria lett, ezek kiegészültek a halmazok és a logika, függvények, sorozatok, kombinatorika, valószínűségszámítás, statisztika témakörökkel. A tanításban használt eszközök köre kibővült, így a hagyományos tankönyveken kívül használtak a munkalapokat, feladatlapokat, különböző új szemléltető eszközöket is. A frontális oktatás mellett megjelent a tanulók páros és csoportos munkája is.

Az 1978-as tanterv hosszú időn át meghatározta a magyar matematikatanítást. A valóság természetesen sokban különbözött a tanterv készítőinek elképzeléseitől, objektív és szubjektív körülmények hatására a tanterv és a kapcsolódó tankönyvek sok vitát váltottak ki, sokak számára idegen volt a szemlélet, sokan tartották túlméretezettnek az anyagot, a gyengébb eredményekért a tantervet és a tankönyveket hibáztatták. Mindez vezetett a nyolcvanas években bekövetkezett korrekcióhoz.

A viták, tiltakozások és változtatások ellenére a 60-as években megindult reformmozgalom, a 78-as tanterv és mindezeken belül Varga Tamás munkássága maradandó hatást gyakorolt a magyar matematikatanításra. Ma már szinte mindenki számára természetes, hogy az iskolába lépés kezdetétől lehet a gyerekeknek „igazi”matematikát tanítani, nemcsak a régi számolást és mérést. A gyerekek aktív részvétele, felfedező tevékenysége minden életkorban, minden témakörben az oktatás fontos tényezője. A gyerekek képességeinek fejlesztése, az egyéni különbségek figyelembevétele, a matematika megszerettetése, a gondolkodás, a kreativitás fejlesztése ma már didaktikai közhelynek számít, pedig ezek az elvek és ezek következményeiként kialakult módszerek korábban késhegyig menő vitákat váltottak ki és sok továbbképzőprogramra, tapintatos tanácsadásra volt szükség ezek elterjesztéséhez.’’ (Pálfalvi, 2000 [])

1.3. Feladat: Az úgynevezett kockás’’ felsőtagozatos tankönyvsorozat könyvei és munkafüzetei Varga Tamás módszerének szellemében készültek (a fedőlapjukon látható négyzetekben a betűkből a matematika szó olvasható innen az elnevezés is). A sorozat kötetei segítségével kövesse nyomon a függvényfogalom fejlődését 5-8. osztályig. (A kötetek iskolai könyvtárakban illetve az Országos Pedagógiai Könyvtár és Múzeum Tankönyvtárában is megtalálhatók).

5. ábra. Kockás könyvek \citeeglesz1979a, \citeeglesz1979b, \citekovacs1980, \citeimrecze1983

A realisztikus matematikaoktatás

A hagyományos értelemben vett alkalmazások tanítása mint említettük, általában nem a gyerekek saját világából való példákon történik, és az így közvetített világkép inkább statikusnak mondható, szemben a gyerekek világával, ami dinamikus. De Lange szerint jelenleg az alkalmazott matematika tanításának az a fő feladata, hogy integrálja a matematikaoktatásban a gyerekközeli világ dinamikáját. Freudenthal elképzelése, mely szerint a valóságot használjuk a matematizálás kiindulásaként, a Van Hiele által megfogalmazott tanulási szintekkel együtt adja a realisztikus matematikatanítás elméleti alapját.

A tanulási folyamat szintjei Van Hiele szerint:

1. szint: A gyerek akkor éri el a gondolkodás első szintjét, amikor már képes általa ismert séma (minta) ismert jellemzőivel dolgozni.

2. szint: Amikor már képes dolgozni a jellemzők egymás közötti kapcsolataival is, elérte ezt a szintet.

3. szint: Ezt a szintet akkor éri el, amikor elkezd dolgozni e kapcsolatok belső jellemzőivel. (De Lange 1996, [] 58.o.)

A hagyományos tanítás De Lange szerint gyakran kezdődik a második vagy harmadik szinten. A természetes és hatékony eljárás azonban az, ha valamilyen matematikai tartalom valóságbeli megjelenését vizsgáljuk, majd ebből fejlesztjük ki a formális operációkat a második, illetve harmadik szinten.

A realisztikus matematikaoktatási irányzatot Freudenthal irányításával Hollandiában dolgozták ki az Utrechti Egyetemen. Az irányzat szerint az iskolának hozzá kell ahhoz járulnia, hogy a tanulók megértsék a matematikának a társadalomban és saját életükben betöltött szerepét. Ugyancsak fontosnak tartja a tanulók matematikához való pozitív hozzáállásának kialakítását.

Jellemző vonásai, hogy hangsúlyozza

  • a matematikai alkotómunkát a tényszerű ismeretekkel szemben;

  • a technikák helyett az elvek fontosságát;

  • sok lehetőséget biztosít matematikai problémák megoldására.

A realisztikus matematikaoktatás didaktikai alapelvei:

  1. Matematika kontextusokban A tanulók matematikai aktivitása egy konkrét kontextusban megy végbe. A cél olyan intuitív fogalmak összegyűjtése a kontextus alapján, amelyekben az adott matematikai elmélet, struktúra lényeges szempontjai tükröződnek. Ez a konkrét szituáció az alapja a konkrét elmélet megalkotásának. A tanulás kezdeti szakaszában szükséges egy konkrét orientációs bázis a kialakítandó fogalommal kapcsolatban. Lényeges, hogy a matematikai elméletek kiindulópontjai és alkalmazási területei is valóságbeli kontextusok.

  2. Horizontális és vertikális matematizációAz intuitív, informális, kontextusfüggő szintről a reflexív, formális szisztematikus szintre való áttérés vizuális modellek, modell-szituációk, különböző anyagok, sémák, diagramok, segítségével történik meg. Ez a horizontális matematizáció folyamata. A vertikális matematizáció a szisztematikus, formális ismeretek kiépítését jelenti.

  3. A tanulók saját produktumainak fontosságaA tanulóknak lehetőséget kell kapniuk arra, hogy a matematikai elveket, koncepciókat a valóságból vett problémák megoldása révén maguk fejlesszék ki. Ez igen fontos alapelv. Az is lényeges, hogy a tanulók lehetőséget kapjanak saját megoldási stratégiáik alkalmazására.

  4. Szociális vonatkozás, interakciókA tanulók saját eredményeiket összehasonlítják, ütköztetik társaikéval. Ez lerövidítheti a tanulási folyamatot, hiszen ennek során a tanulóban tudatosulnak a saját eredmények hibái, előnyei. A csoportosan végzett elemzések a saját gondolatok megfelelő bemutatása, a különböző eredmények értékelése, és ezek összevetése a tanár magyarázatával mind ezt segítik. Fontos, hogy a tanulás nem egyéni aktivitás, hanem adott társadalomban történik.

  5. Összefüggések, kapcsolatokAz új eredményeket a meglévő ismeretrendszerbe kell beilleszteni. A különböző területek globális kapcsolatainak észrevétele, fejlesztése alapvetően fontos.

1.4. Példa:Az exponenciális növekedés Vizsgálatunk tárgya az exponenciális növekedés, amelyet ezúttal a kamatszámítás szemléltet. A grafikon évi 20%-os kamat mellett mutatja az 1 millió Ft-os bankbetét változását.

6. ábra. A bankbetét változása

A grafikon elkészítése után megkérdezhetjük, hogy hány év múlva lesz a bankbetét összege 1,2 millió Ft, 1,4 millió Ft, . Ezek után bevezethetünk egy szituációtól függő definíciót: log1,21,728 jelenti azt az években mért időtartamot, amely alatt az 1 millió Ft-os bankbetétből 1,728 millió Ft-os bankbetét lesz, ha az évi kamat 20%, azaz a változás faktora 1,2.

A logaritmus fontosabb tulajdonságait is érdemes ehhez a szituációhoz kapcsolódva megsejtetni, és szóban is megfogalmaztatni. Például, ha a betét összege elérte a 2 millió forintot, még egy év szükséges ahhoz, hogy 20%-os kamat mellett 2,4 millió Ft-ra növekedjen az összeg. Az előbbi definíció felhasználásával log1,22+1=log1,22,4.

Példák segítségével eljuthatunk a szorzat logaritmusára vonatkozó azonossághoz, de utána természetesen nem hagyhatjuk ki annak formális bizonyítását. (vö. Takács, T. 2001 [])

Miután konkrét szituációból eljutottunk absztrakció és formalizálás segítségével a matematikai ismerethez, érdemes az ismeret alkalmazását ugyancsak gyakorlati feladatokon végezni. Ilyen szemléletű matematikaoktatás esetén a számonkérésnek is hasonló szemléletűnek kell lennie.

1.5. Feladat:Nézzen utána Hans Freudenthal és az általa létrehozott Freudenthal Intézet tevékenységének az interneten!

A gyakorlatorientált matematikaoktatás

Bár a gyakorlatorientált matematika-oktatás és a realisztikus matematikaoktatás nem különül el élesen egymástól, érdemes felhívni a figyelmet arra a lényegi különbségre, hogy az előbbi esetén a tantervbe beépülő, alkalmazási problémák feldolgozásáról van szó, míg ez utóbbi esetben az egész matematikaoktatás valóságközeli problémák feldolgozásán alapul, mint azt az előző részben láttuk. Az alkalmazási problémák más tantárgyakból és a mindennapi életből is származhatnak.

A gyakorlatorientált matematikaoktatás céljai (vö. Claus, H.J. 1989 [] 164-165.):

  • A mindennapi élet azon összefüggéseinek mélyebb megértése, amelyek matematikai ismeretek nélkül csak részben lenne lehetséges.

  • A matematika jelentőségének felismerése a mindennapi élet szempontjából.

  • A matematika alkalmazásai más tudományterületeken (tantárgyakban).

  • A matematizálás’’ tanítása (problémák matematikai megfogalmazása, modellalkotás...).

Humenberger (1995 []) úgy véli, hogy az alkalmazások tanítása a matematikában nem csodaszer, amely egycsapásra megold mindenféle oktatási, transzfer és motivációs problémát. Nézete szerint a helyes álláspont az, ha a matematikatudás felépítésében az alkalmazások és a valós világra vonatkozó összefüggések a matematikai ismeretekkel egyenlő rangra emelkednek. Az alkalmazásorientált oktatáshoz azonban alapvető matematikai ismeretek alapos tudása nélkülözhetetlen, hiszen különben csak trivialitások vagy (és) spekulációk színterévé változik a matematikaóra.

A következőkben egy osztrák tankönyvsorozat feladataiból mutatunk be néhányat. A tankönyvsorozat közgazdasági jellegű középiskolások számára készült, ezért a megtanult matematikai ismereteket elsősorban ezen a területen igyekszik alkalmazni. Arra is törekszik, hogy a matematika tananyagot alkalmazásközpontúan tárgyalja. (Kronfellner, Peschek 1999 [])

1.6. Példa:A linzi Stadion

Egy újsághír szerint 17 600 focirajongó látta a zsúfolt linzi Stadionban a slágernek számító LASK Wiener Austria mérkőzést. Nemcsak a nézőknek érte meg, hanem az egyesületi pénztárnak is, amely számára a megemelt belépőjegyárak (állóhely 50 Schilling, ülőhely 80 Schilling) összesen 1 138 000 Schilling jövedelmet jelentettek. Hány állóhelye van a linzi Stadionnak?

1.7. Példa:Közvéleménykutatás Egy közvéleménykutatás szerint, amelyet 1820 fiatal körében végeztek (ebből 780 lány) átlagosan csak minden tizedik fiatal érdeklődik a politika iránt. A lányok körében ez az arány 115, ami az előzőnél még kevesebb. Mennyi ez az arány a fiúknál?

1.8. Feladat:Oldja meg a következő feladatot és hasonlítsa össze a hagyományos feladatokkal! Egy reklámkiadványból: Ez a csodálatos sztereomagnó az öné lehet mindössze 3630 Schillingért. Felajánlunk azonban önnek egy kamatmentes részletfizetési lehetőséget is: 11 havi részlet, és egy olyan befizetés, amely csupán 70 Schillinggel kerül többe mint egy havi törlesztőrészlet. (Készpénzfizetés esetén 302 Schillinget spórol.)’’ Egyértelmű a szöveg?

Számítsd ki az utánfizetés mértékét és a havi törlesztőrészletet!

A projektorientált oktatás

A projekt népszerű és divatos kifejezés. Mivel rövid és frappáns, és persze nem utolsó sorban kellőképpen idegen hangzású, már a köznapi élet kisebb nagyobb összefüggő feladathalmazainak megjelölésére is használják (pl. ezt az utazásprojektet inkább elhalasztom, a tanulásprojekt következik), s ha belegondolunk, sok esetben jogosan. Az oktatás területén alig több, mint 100 éve jelent meg, de az utóbbi idők változásait figyelve komoly karrierre számíthat ezen a területen is.

1.9. Feladat: Nézzen utána a projekt szó jelentéseinek!

1.10. Feladat: Nézzen utána az interneten a projektekkel való tanítás főbb jellemzőinek, különös tekintettel a projektek szervezésével és megvalósításával kapcsolatos főbb mozzanatokra!

A projekt módszer tiszta alkalmazása, vagyis a csak projektekkel történő tanítás sok nehézségbe ütközik és a tanárok részéről is nagy az ellenállás. Helyette az úgynevezett projektorientált’’ oktatás használatos inkább. Ebben az esetben a szaktanár a hangsúlyt a matematikára helyezi, s bár más tantárgyak is szerephez jutnak a projekt megvalósításánál, legfeljebb tanácsért fordul más tantárgyakat tanító kollégákhoz. Még gyakoribb az a megoldás, hogy a gyerekek közreműködésével gyűjtik össze és alkalmazzák a más tantárgyakból szükséges ismereteket (Claus, H.J. 1989 [], Ambrus A. 1995 []).

A projektorientált oktatás főbb jellemzői:

  • A környező világ problémáira koncentrál.

  • Több tantárgy ismereteit is használja a problémák megoldásához.

  • A tanulók érdeklődése, szükséglete, a tanulók által elfogadott, őket motiváló cél központi helyet kapnak.

  • Nem a matematikai képességek fejlesztése az elsődleges cél, hanem a környező világ problémáinak megértése.

  • Hangsúlyt kap a tanulói autonómia. A hagyományos matematikaoktatásban sok esetben tanul olyat a diák, melynek szükségességét nem tudja indokolni a tanár. A projekt esetében kívánatos, hogy a tanulók beleszólhassanak a témaválasztásba, lehetőleg ők dönthessenek arról, milyen téma, milyen céllal szerepeljen.

  • Fontos a tanulók teljesítményének közös, kritikus értékelése.

  • A pedagógus szerepe tanácsadó, szervező, segítő, a főszereplő a diák.

  • A kidolgozásnál előtérbe kerül a csoportmunka.

  • Az ismeretszerzés alapja a tevékenység, az új ismeretek legfőbb forrása a tapasztalat.

  • Alkotó jellegű, a végeredmény bemutatható.

1.11. Feladat: Gyűjtsön érveket és ellenérveket a projektorientált oktatással kapcsolatban!

Példák és ötletek iskolában is megvalósítható projektekre.

1.12. Feladat: Az előbbi ötletek felhasználásával készítsen tervet adott évfolyam számára egy miniprojekt elkészítéséhez, ha lehet, próbálja is ki iskolai tanításban!

1.13. Feladat: Gyűjtsön további ötleteket iskolai körülmények között is megvalósítható projektekre különböző évfolyamok számára.

A kompetencia alapú matematikatanítás

A matematikai kompetencia

A matematikai kompetencia matematikai ismeretek, matematika-specifikus készségek és képességek, általános készségek és képességek, valamint motívumok és attitűdök együttese.

A fogalom pontos tartalma a matematikai kompetencia komponensrendszerként való értelmezésével írható le. A matematikai kompetenciának többféle értelmezése is van. (vö. például Mogan Niss (2003, idézi, Ambrus G. (2008b []), megtalálható a szemelvénygyűjteményben). Ezek elemzésével illetve összehasonlításával nem foglalkozunk.

A következő táblázatban a magyar matematikai kompetencia értelmezés komponensrendszere olvasható. (lásd Fábián és mások [])

1. táblázat. A matematikai kompetencia komponensrendszere

A kompetenciaalapú matematikatanítási mozgalom mögött Magyarországon a Varga Tamás által szorgalmazott fejlesztő tanítás felfogása áll. A hosszú út elve szerint nem iparkodunk mindenáron a magaslatokba, hanem körülnézünk azon a szinten, amelyen éppen vagyunk. Megnézzük, hogy mire jó az a mégoly csekély ismeret, eljárás, ..., amit éppen felfedeztünk, megismertünk. Az adott szinten kompetens (szakértő, mester) módon bánunk az (esetleg teljesen új) ismerettel.

1.1.2 Matematikai modellalkotás az oktatásban, alkalmazásorientált matematikaoktatás. (5. tétel)

Matematikán kívüli problémák matematikai modellezése, néhány alkalmazás ismerete.

Irodalom

Ambrus Gabriella: Modellezési feladatok.[] Ambrus Gabriella: Gondolatok a valóságközeli matematikaoktatásról.[]

Vancsó Ödön: Matematikai modellezés nehézségei egy OKTV feladat kapcsán.[]

Kitekintő irodalom

Ambrus Gabriella: Titanic a Balatonon és más modellezési feladatok matematikából középiskolásoknak.[]

Tóth Bettina: Modellezési feladatok a matematikában. []

1.2 Matematikadidaktikai alapelvek

1.2.1 A fogalmak tanításának alapkérdései, a fogalmak tanításával kapcsolatos módszerek, eljárások, feladattípusok (1. tétel)

A fogalom lényegét tekintve logikai szempontból valamely objektum lényeges elemeit magában foglaló gondolategység. A következőkben rövid vázlatot talál a fogalmak tanításával kapcsolatos főbb kérdések áttekintéséhez.

1.15. Feladat:Nézzen utána a szükséges ismereteknek és keressen saját példákat a SAJÁT PÉLDA jelzésű vázlatpontokhoz. (Ambrus A. 1995 [], Skemp, R. R. 2005 []).

  1. Absztrakció és osztályba sorolás szempontok SAJÁT PÉLDA

  2. Fogalmak kapcsolata

    • Empirikus és teoretikus fogalomképzés SAJÁT PÉLDA

    • Fogalom tartalma és terjedelme

    • Fölérendelt, alárendelt és mellérendelt fogalom

  3. Fogalmak fajtái (de más felosztás is lehet)

    • Tárgyi fogalmak SAJÁT PÉLDA

    • Reláció-fogalmak SAJÁT PÉLDA

    • Műveleti fogalmak SAJÁT PÉLDA

  4. Fogalmak osztályozása (Egy fogalom terjedelmének részhalmazokra bontása adott feltételek mellett)

    • A felosztás egy meghatározott lényeges tulajdonság, jegy alapján történik.

    • A részhalmazok közül bármely kettőre teljesül, hogy nincs közös elemük.

    • A kapott részhalmazok egyesítése az eredeti halmaz (a fogalom terjedelme).

    • A fogalom az osztályozás során keletkezett fogalmak legközelebbi fölérendelt fogalma. Például a konvex négyszögek osztályozása.

  5. A definíciók szerkezete, a definíciók fajtái

    • Definiálás a (legközelebbi) fölérendelt fogalom és a megkülönböztető tulajdonság(ok) alapján SAJÁT PÉLDA

    • Genetikus definíció (a fogalom keletkezése alapján) SAJÁT PÉLDA

    • Rekurzív definíció SAJÁT PÉLDA

    • Konvencionális definíciók (szimbólumokkal) SAJÁT PÉLDA

    • Közvetett definiálás axiómák segítségével SAJÁT PÉLDA

    • Leírás, magyarázat, példákon keresztüli absztrakció SAJÁT PÉLDA

  6. Tartalmi követelmények definíciókkal szemben

    • Teljesség

    • Ellentmondásmentesség

    • Nem lehet körbenforgó

    • Pontos, egyértelmű

    • A meghatározó részben csak már (alapfogalmak és) definiált fogalmak szerepelhetnek

    • A definíció (lehetőleg) ne tartalmazzon felesleges elemeket

    • A definiált objektum egyértelmű legyen.

    • A definícióban szerepelnie kell a meghatározandó fogalomnak (A definíció rendszerint egy olyan mondat, melynek állítmánya az, hogy nevezzük’’.)

  7. Módszertani követelmények definíciókkal szemben: Skemp 2005 [] felhívja a figyelmet a matematikai és a matematika tanulása közben használt definíciók közötti különbségre, figyelmeztet az életkori sajátosságok figyelembevételére.

    • Definíció segítségével senkinek nem közvetíthetünk az általa ismerteknél magasabb rendű fogalmakat, hanem csakis oly módon, hogy megfelelő példák sokaságát nyújtjuk.

    • Minthogy a matematikában az előbb említett példák majdnem mind különböző fogalmak, ezért mindenekelőtt meg kell győződnünk arról, hogy a tanuló már rendelkezik ezekkel a fogalmakkal.

    • A tanulók életkori sajátosságainak megfelelően tisztázni kell a definícióban szereplő elemek jelentését és jelentőségét.

    • A tanulók életkori sajátosságainak megfelelően tudatosítani kell a szereplő szavak köznapi jelentésével való kapcsolatot.

  8. Fogalmak tanításának stratégiái

    • Induktív út, előnyök, hátrányok SAJÁT PÉLDA

    • Deduktív út, előnyök, hátrányok SAJÁT PÉLDA

    • Analógia segítségével (Pólya, Gy. 1988 []) SAJÁT PÉLDA

  9. A fogalom megerősítése, rögzítése

    • A szkéma eszközként szolgál új ismeret elsajátításához, olyan struktúra, amely integrálja a meglevő tudást az egyén tudásrendszerében (Skemp 2005 []).

    • Az új ismeretek beépülése ebbe a rendszerbe asszimiláció és akkomodáció által lehetséges. (Piaget, J. 1980. []) SAJÁT PÉLDA.

    • A fogalom megerősítéséhez, rögzítéséhez hozzájárul például az ismétlés, az alkalmazás, az eltérő, elterelő környezetben való szerepeltetés. Ez nehezíti a fogalom elkülönítését, ezért túl korai szakaszban nem tanácsos szerepeltetni).

Irodalom

Ambrus András: Bevezetés a matematika didaktikába. [] 57-72.

Kitekintő irodalom

Pólya György: Indukció és analógia. [] 19-47.

Skemp, R. R.: A matematikatanulás pszichológiája. [] 24-73.

1.16. Feladat: Keressen példákat az iskolai gyakorlatból definiálási hibákra.

1.17. Feladat:A fogalmak tanításával kapcsolatos feladattípusokat az exponenciális függvény bevezetésével kapcsolatban mutatjuk be. Készítsen egy másik fogalom tanításához a példa szempontjai szerinti feldolgozást!

1.18. Példa:Az exponenciális függvény bevezetésével kapcsolatos feladatok

  1. Bevezető feladat: Az f(t)=500,8t függvény írja le egy termoszban a kávé lehűlését, ahol az időt órában, a kávé hőmérsékletét Celsius fokban mérjük. (Bár nem feltétlenül szükséges, de megnyugtatóan hat annak tisztázása, hogy mikor kezdjük megfigyelni a folyamatot, vagy a megfigyelés kezdetekor mért hőmérsékletet.)

    • Készíts a t=0,1,2,3,4,5 értékekre értéktáblázatot!

    • Számítsd ki az f(-1),f(-2),f(-3) értékeket. Értelmezd ezen adatokat hőmérsékletként.

    • Add meg az f(t) függvény értelmezési tartományát, ha 95 Celsius fokos forró kávét öntöttünk a termoszba és a külső hőmérséklet 10 Celsius fok.

    • Mekkora lesz a kávé hőmérséklete 20, 30, 45 perc illetve 1,5 óra múlva?

    • Ábrázold a feladatban szereplő összes értékpárt derékszögű koordinátarendszerben. Kösd össze a pontokat és indokold meg, hogy a pontok összekötése értelmes dolog!

  2. Fogalom definiálása: Ha több bevezető feladat szerepel, célszerű a tanulókkal megfogalmaztatni a definíciót. Pl.: Az f(t)=cat (a>0 és a1) hozzárendelési szabállyal exponenciális függvényt adunk meg.

  3. Fogalomazonosítási feladatok

    • Exponenciális függvények kiválasztása adott függvények közül. (Pl.: lineáris, négyzetes, köbös, de többféle exponenciális is)

    • Adott kapcsolatok közül azok kiválasztása, melyeket exponenciális függvény ír le. (Pl. A négyzet oldala és területe, a betét összege és az idő, adott növekedési rátájú lakosság száma és az idő, a rádióaktív izotóp bomlása, állandó gyorsulással megtett út és az idő kapcsolata)

    • Adott grafikonok közül kiválasztani azokat, melyek egy exponenciális függvény grafikonja lehetnek. (pl.: lineáris, négyzetes, négyzetgyökös, növő és fogyó exponenciális függvények grafikonjai)

  4. Fogalomrealizálási feladatok: Adj meg két exponenciális függvényt háromféle reprezentációban, konkrét, valódi szituáció leírásával, grafikonnal és szimbolikus formában.

  5. Fogalom beágyazása fogalomhierarchiába, osztályozás. Például a hozzárendelések, függvények, exponenciális függvények kapcsolatának ábrázolása Venn diagram segítségével, vagy a monoton, szigorúan monoton és az exponenciális függvények kapcsolatának ábrázolása Venn diagram segítségével.

  6. Definíció következményeinek vizsgálata:

    • A c konstans meghatározása

    • A függvény tetszőleges h időközönkénti változásának meghatározása (növekedési faktor).

    • Ha a kitevő összeg, akkor a függvényérték ...

  7. Alkalmazási feladatok

    • A rádióaktív sugarak intenzitása betonban haladva a d távolsághoz viszonyítva exponenciálisan csökken. A d=25cm távolságban az eredeti intenzitásérték 1%-ára csökken az intenzitás. Milyen d értékre csökken az eredeti intenzitás 10%-ára, illetve az eredeti érték 0,01%-ára az intenzitás? Hogyan értelmezhetjük a felezési vastagság’’ fogalmát egy adott anyagra vonatkozólag?

    • Egy baktérium tenyészetben N0 baktérium található. 2 óra elteltével 800, újabb 2 óra elteltével 2500 baktériumot állapítottak meg. Hány baktérium volt kezdetben és hány 9 órával a kezdet után, ha ezen időre exponenciális növekedést tételezünk fel?

    • A légkörben és minden élő organizmusban ugyanazon konstans arányban található a C14-es rádióaktív szénizotóp, melynek felezési ideje kb. 5760 év. Az élő organizmus kihalása után a C14 rész exponenciálisan csökken.

    • Egy Hammurábi idejéből való babilóniai város ásatásai során 1950-ben talált fadarabban az eredeti C14 mennyiség 64%-a volt meg. Mikor élt Hammurábi király?Megjegyzés: A különböző időszámítási módszerek más-más adathoz vezetnek, a mi kutatásunk’’ szerint kb. i.e. 1770.)

1.19. Feladat: Fogalomépítés: A következő részlet a négyzetgyök fogalmának bevezetéséről szól. A tervezet két ponton is kiegészítésre szorul, ha a tanításban használni akarjuk. Próbálja meg megtalálni, hogy a fogalomépítés szempontjából hol hiányzik egy-egy láncszem, mivel kellene kiegészíteni ezt az amúgy jó anyagot.

Bemelegítő feladat: A táblára rajzoljuk a következő táblázatot.

2. táblázat. A kitöltendő táblázat

Egy labdát dobálunk körbe, aki dobja a labdát, az gondol egy számot, négyzetre emeli, majd megmondja a szám négyzetét. Aki elkapja, az megnevezi azt a számot, amire a dobó gondolt, vagyis aminek a négyzete a dobó által mondott szám. Mindenki, miután továbbdobta a labdát, a táblához megy és felírja az általa adott választ, valamint az általa mondott négyzetszámot a táblázatba.

3. táblázat. A kitöltött táblázat

Ezek után megbeszéljük a gyerekekkel a négyzetgyök definícióját: Jelöljük a-val egy négyzet területét! Az a területű négyzet oldalának hosszát az a négyzetgyökének nevezzük, és a-val jelöljük. Másként megfogalmazva: a az a nemnegatív szám, melynek négyzete a.

8. ábra

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ: A tervezet elemzése

  1. A bemelegítő feladat remekül készíti elő a négyzetgyök fogalmát. Hiányossága, hogy nem gondol arra a fontos esetre, hogy a dobó esetleg negatív számot is gondolhatott, tehát az elárult szám lehet negatív szám négyzete is.Miért fontos, hogy ez itt előkerüljön? Hogyan lehet ezt elérni?Amikor egy-egy fogalom előkészítésére példákat gyűjtünk, fontos, hogy a fogalom egyetlen fontos tulajdonságát se hanyagoljuk el. A négyzetgyök esetében amúgy is gondot okoz, hogy nem tiszta’’ megfordítása a négyzetreemelésnek. Már az előkészítésben gondot kell fordítanunk arra, hogy lássák, miért is kötjük ki a definícióban azt, hogy a négyzetgyök pozitív.Megbeszélhetjük, hogy az egyértelműség kedvéért állapodjunk meg abban, hogy mindenki csak pozitív számra gondol a játékban. Ezzel ráirányíthatjuk a figyelmüket annak a kikötésnek a fontosságára, hogy a négyzetgyök az nemnegatív.Ha a gyerekek negatív számra is gondolnak, az szerencsés a fogalomépítés szempontjából, hiszen ekkor megállapodhatunk abban, hogy most csak nemnegatív számokkal játszunk. Ha nem, akkor beállhatunk a játékba, és mi lehetünk a rendbontók’’ akik negatív számra gondolnak.

  2. A másik, komolyabb hiányosság az, hogy a jó bemelegítő játéknak semmi kapcsolata nincs a kimondott definícióval. Az órarészlet legfontosabb momentuma marad homályban, az, hogy hogyan beszélik meg a négyzetgyök definícióját.Mivel egészítené ki ezt a részt?Néhány segítő kérdést felsorolunk:Mit beszélünk meg? Mit mondhatnak a gyerekek? Mit szeretnénk, hogy kimondásra kerüljön az idézetben adott definíció előtt?Nincs-e szükség további feladatokra a definíció kimondása előtt?Vajon miért ezt a definíciót választotta a hallgató?A megválaszolatlan mondat után közölt definíció hibája, hogy nincs közvetlen kapcsolata a korábban összegyűjtött példákkal. A vázlatban szereplő előkészítés alapján várható lenne, hogy a gyerekek például azt mondják, hogy egy szám négyzetgyöke egy olyan nemnegatív szám, melyet négyzetre emelve az eredeti számot kapom eredményül. vagy másképpen: a négyzetgyökvonás egy olyan művelet, amelynek eredménye az a nemnegatív szám, melynek négyzete visszaadja azt a számot, melyből négyzetgyököt vontunk. vagy még másképpen: a négyzetgyökvonás egy olyan függvény, amely minden nemnegatív számhoz hozzárendeli azt a nemnegatív számot, melynek négyzete az eredeti szám.A hallgató által közölt definíció jó, de egészen más példákkal kell előkészíteni. Például olyanokkal, amelyekben adott területű négyzet oldalát számolják ki a gyerekek és ki kell térni a 0 esetére is. Mindenképpen szükség van ilyen példákra is, és az itt adott definícióra is, hogy lássák, hogy mindegyik esetben ugyanahhoz a fogalomhoz jutunk.

1.2.2 Bizonyítások tanításának alapkérdései (2. tétel)

A bizonyítások jellemzői az általános- és középiskolában:

a bizonyítások elfogadása egy szociális folyamat, melynél a tartalmi megértés legalább olyan fontos szerepet játszik, mint a formális kritériumok,

a matematikai gondolkodási folyamatok legalább olyan fontosak, mint a matematikai eredmények,

a matematikai tartalom hangsúlyozása a formalizmus helyett.

A tanulók bizonyítási igénye és a bizonyítások befogadásának képessége erősen függ az életkortól és a tanuló matematikai gondolkodásmódjától is!

A bizonyítási tevékenység feltételezi a tanuló részéről a következtetési képességet és az absztrakt fogalmakkal való műveletek végzését. Piaget szerint a gyermek gondolkodása több fokozaton át jut el a formális szintig (műveletek előtti szakasz, konkrét műveletek szakasza, formális műveletek szakasza). A formális műveletek végzésére általában 12-13 éves korban lesznek képesek a tanulók. Ezek alapján a legtöbb országban 6., ill. 7. osztályban fordulnak elő először explicite bizonyítások. Ez az időszak a konkrét műveletekről a formális műveletekre való áttérés periódusa, a szemléletes még jelentős szerepet játszik. Ezért is van jelentősége az ún. prematematikai bizonyításoknak, melyeknél konkrét, materiális objektumokkal való manipulálás, illetve a matematikai tényállások, kapcsolatok szemléltetése képek, vázlatok segítségével fontos szerepet játszanak (tartalmi, szemléletes bizonyítások).

Argumentációk, indoklások, bizonyítások A nemzetközi matematikadidaktikai szakirodalomban egy szélesebb értelemben vett bizonyításfogalmat használnak. A szigorúan vett bizonyítások mellett egyre inkább előtérbe kerülnek főként az alsóbb osztályokban az argumentációk, indoklások.

A nem formális bizonyítások szükségességét a matematikaoktatásban az alábbi didaktikai elvek is hangsúlyozzák:

fokozatosság elve,

a reprezentációs szintek variálásának elve,

a szemléltetési eszközök variálásának elve,

spiralitás elve,

operatív elv.

Prematematikai bizonyítások Semadeni (1976) szerint egy prematematikai bizonyítás bizonyos konkrét cselekvésekből áll, melyek:

először mint konkrét fizikai cselekvések kerülnek realizálásra (tárgyakkal végzett cselekvések, képek rajzolása, ábra alapján történő okoskodás stb.),

ezt követi egy interiorizációs folyamat (a cselekvés belső, szellemi elvégzése),

végső fázis az általánosítás (a tanuló biztos abban, hogy a felhasznált módszer nemcsak néhány konkrét esetben igaz, hanem minden olyan esetben, amelyre az állítás vonatkozik).

BIZONYÍTÁSOK TANÍTÁSI FÁZISAI

A bizonyítások tanítása során négy fázist különböztetünk meg, ezek

1. a tételek megsejtése;

2. a bizonyítási ötlet megtalálása;

3. a bizonyítási stratégiák, módszerek alkalmazása; 4. a bizonyítás rögzítése, leírása: reflexió.

Az egyes fázisok a gondolkozás során gyakran nem különülnek el egymástól, és a sorrendjük is cserélődhet.

Tételek megsejtését szolgáló eljárások, bizonyítási ötlet megtalálása

  • Tételek megfordítása. Pl.: Pitagorasz tétele és megfordítása; Párhuzamos szelők tétele és megfordítása; Oszthatósági szabályok, stb.

  • Analógia alapján. Az analógiás következtetés olyan gondolkodási művelet, amely alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, dolognak bizonyos tulajdonságokban, viszonyokban, struktúrában való megegyezése alapján más tulajdonságban, viszonyban, struktúrában való megegyezésüket is sejtjük. Pl.: Síkgeometriai tételek térbeli megfelelői.

  • Általánosítás. Egy szűkebb osztály elemeire vonatkozó összefüggést analógiás következtetés segítségével átviszünk egy ezen osztályt tartalmazó tágabb osztály elemeire. Pl.: Pitagorasz-tétel és koszinusztétel; 9-cel való oszthatóság tízes számrendszerben és (g-1)-gyel való oszthatóság g alapú számrendszerben; stb.

  • Indukció Induktív következtetésnek nevezzük azt az eljárást, amikor valamely osztályon (halmazon) belül az egyes esetekből az általánosra következtetünk. Pl.: Konkrét szerkesztésekből a magasságpont létezésének megsejtése; sorozat általános tagjának megsejtése, stb.

  • Számítási feladat megoldása, elemzése Pl.: Konkrét teljes négyzetté alakításokból a másodfokú egyenlet megoldóképletének megsejtése, stb.

  • Szerkesztési feladat megoldása, elemzése Pl.: Thalesz tétel; párhuzamos szelők tétele, stb.

  • Egy geometriai konfiguráció elemzése Pl.: Húrnégyszögtétel, stb.

  • Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása geometriai szemléltetés alapján Pl.: Kéttagú összeg négyzete; két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti összefüggés, stb.

Bizonyítási stratégiák, módszerek Egy AB szerkezetű tétel bizonyítása során a tétel A feltételét és az adott elmélet már ismert tételeit, definícióit, axiómáit fölhasználva helyes logikai következtetések segítségével kell eljutni a tétel B következményéhez. Ez a lépéssorozat gyakran hosszú, bonyolult. Ezért is célszerű a tanulók számára tudatosítani bizonyos stratégiákat, melyek alkalmazása megkönnyíti a következtetési lánc megtalálását.

Az iskolai gyakorlatban bizonyítási előforduló módszerek:

  • Direkt bizonyítások Például történhet így a szinusz tétel; oszthatósági szabályok; stb. igazolása.

  • Teljes indukciós bizonyításokA természetes számokon érvényes (vagy természetes számokon érvényesre visszavezethető) állításokra működik. Az indukció Peano axiómáján alapul. De az iskolában a szemléletre építünk!A bizonyítás két dolog belátásából áll: I. Állításunk a szóbajövő legkisebb természetes t számra (általában, de nem kizárólag a 0-ra vagy az 1-re) igaz;II. Ha az állításunk egy természetes számra igaz, akkor a rákövetkezőre is igaz. (Öröklődés.)I. és II. teljesülése esetén az állítást minden t-nél nem kisebb természetes számra igaznak tekintjük.Például történhet így összegzési formulák igazolása; kombinatorikai problémák megoldása, stb.

  • Indirekt bizonyításokLogikai alapok1. Ellentmondás törvénye: A¬A mindig hamis. 2. A harmadik kizárásának törvénye: A¬A mindig igaz.Az indirekt bizonyítási módok kérdésében a nemzetközi matematika-didaktikai szakirodalom nem egységes. A sokféle logikai variáns miatt itt egy didaktikai szempontokon alapuló osztályozást mutatunk be.1. Direkt kipróbálás. Lehetetlenségi állítás esetén az összes szóba jövő eset kipróbálása, és annak megmutatása, hogy egyik sem valósulhat meg. Pl.: Bizonyítandó, hogy a H={1,2,3,4,5} halmaz nem bontható fel két olyan részhalmazra, hogy mindkét részhalmazban csak olyan számok szerepeljenek, melyek különbsége nincs az illető részhalmazban!2. Létezési állítások igazságának megmutatása. Belátjuk, hogy a nem létezés lehetetlen. Például történhet így a skatulyaelv alkalmazása.3. Általános állítás hamisságának megmutatása ellenpélda segítségével. Például történhet így a valós számok körében a (a+b)2a2+b2 igazolása, stb.4. Általános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések segítségével.

Az indirekt bizonyítások típusai:

  • Kontrapozíció Formulával:

    ( A B ) ( ¬ B ¬ A )

    A kontrapozíció módszere gyakran fordul elő a matematikaoktatásban. Például: a) Fogalomazonosítás; b) Kontrollmódszerek:

    • dimenziópróba Egy fizikai mennyiségre vonatkozó formula mindkét oldalán azonos dimenziónak kell szerepelnie.

    • szimmetriaelv Ha egy egyenletrendszerben a változók szerepe szimmetrikus, akkor ez a szimmetria a megoldásokban is megjelenik. Pl. A téglalap a és b oldalának mérőszáma egész. Mennyi az a és b oldal hossza, ha a téglalap kerületének és területének mérőszáma megegyezik. Ha valahonnan tudjuk, hogy az egyik megoldás a (3;6) számpár, akkor tudhatjuk, hogy a (6;3) pár is megoldás lesz.

    • függvénytulajdonságok felhasználása Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során gyakran könnyebb megoldást találni, vagy éppen megmutatni, hogy nincs megoldás, ha az egyenlet két oldalán álló kifejezéseket egy-egy függvény hozzárendelési szabályának tekintjük. Az így kapott függvények tulajdonságai alapján könnyebben célba érünk. Pl.: 1-x2=x-1 a bal oldalon álló kifejezés 1-nél nem nagyobb x-re van értelmezve és a kifejezés értékei nem negatívak. A jobb oldalon álló lineáris függvény 1-nél kisebb x-re negatív, igy x=1 az egyetlen megoldás.

  • Reductio ad absurdum’’ Lehetetlen dologra való visszavezetés.’’ A bizonyítandó állítás tagadásának felhasználásával ellentmondáshoz jutunk.

    • Ellentmondás az indirekt feltevésnek; formulával:

      ( ¬ A A ) A

      Például a végtelen sok prímszám létezik’’ állítás Euklidesz-féle bizonyítása.

    • Következtetés egy állításra és annak tagadására; formulával:

      ( A ( B ¬ B ) ) ¬ A

      Például történhet így a nem létezik szabályos rácsháromszög’’ állítás bizonyítása.

    • Ellentmondás a tétel feltételének Például történhet így annak bizonyítása, hogy ha hét pont úgy helyezkedik el egy egységsugarú körben, hogy bármely kettő távolsága legalább 1, akkor egyik pont egybeesik a kör középpontjával’’.

    • Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómának;Formulával:

      ( ( A ¬ B ) ( C ¬ C ) ) ( A B )

      , ahol C jelöli az ismert tételt.Például történhet így annak bizonyítása, hogy egy pozitív valós szám és a reciprokának összege mindig legalább 2.

  • Elimináció módszereHa egy állítás matematikai objektumok olyan halmazára vonatkozik, amely például A,B és C részhalmazokra bontható és az állítás szerint a C részhalmaz elemei rendelkeznek egy bizonyos tulajdonsággal, ezt úgy is megmutathatjuk, hogy kizárjuk az A, illetve B halmazokat.Formulával:

    ( ( A B C ) ( ¬ A ¬ B ) ) C )

    Például történhet így annak bizonyítása, hogy ha egy háromszögben a2>b2+c2 teljesül, akkor az a oldallal szemközti szög nagyobb, mint 90, azaz a háromszög tompaszögű.

Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal kapcsolatban

A legtöbb tanuló direkt, illetve konstruktív módon gondolkodik, önmagától, tanári segítség nélkül ritkán folyamodik indirekt módszerhez.

Az indirekt bizonyítás lényeges pontja az ellentmondáshoz jutás. Az ellentmondást mint olyat viszont fel kell ismerni, ami stabil tudást kíván meg a tanulóktól.

A problémák megoldásánál hiányzik a tudatos stratégiaválasztás. A legtöbb tanuló spontán lát hozzá valamit csinálni a feladattal kapcsolatban.

A tanulók nem ismerik azokat a stratégiákat, melyek elvezethetnek a megoldási ötlethez.

Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával kapcsolatban Már az alsó tagozaton lehetséges és kell is olyan feladatokat kitűzni, melyek indirekt okoskodást kívánnak.

Alapvetően fontos a feltétel’’ és következmény’’ világos megkülönböztetése. Ez különösen akkor okoz gondot, ha a tétel nem Ha ..., akkor ...’’ formában van megfogalmazva.

Az állítások tagadásának képzése állandó, folyamatos feladat.

A prematematikai bizonyítások között is forduljanak elő indirekt bizonyítások.

Az indirekt bizonyítások bevezetésére aritmetikai példák általában alkalmasabbak, mint a geometriai példák.

Tudatosítani kell a tanulókban, hogy az indirekt bizonyítási módot gyakran célszerű alkalmazni a következő esetekben:

  • tételek megfordítása;

  • létezési és nem létezési’’ állítások igazolása;

  • olyan állításoknál, melyek következmény részében a nem’’ szó előfordul;

  • olyan állításoknál, melyeknél kevés a megkülönböztetendő eset (pl. háromszög: hegyesszögű, derékszögű, tompaszögű; egész szám: páros, páratlan; egy pont elhelyezkedhet egy körön belül, a körön, a körön kívül; stb.);

  • amikor az egyéb módszerek alkalmazása nem járt eredménnyel.

Irodalom Ambrus András: Bevezetés a matematika didaktikába. 1995. [] 73-106.

Kitekintő irodalom Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok. []

1.3 Az iskolai matematika keretrendszere és segédeszközei

Az iskolai matematika keretrendszerét a NAT és a kerettanterv adja. A kerettantervek kiadásának és jogállásának rendjéről szóló 51/2012. (XII. 21.) számú EMMI rendelet mellékletei a http://www.ofi.hu/kerettanterv-2012 címen találhatók. E szerint Összességében

  • A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat.

  • Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat.

  • Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.

  • Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket.

  • Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni.

  • A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket.

  • A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére.

  • A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége.

  • A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.’’

(A kerettantervekhez mutató linkeket részletezve lásd az irodalomjegyzékben [] alatt.)

Az iskolai munkában használható és használandó segédeszközök (tankönyvek, példatárak, elektronikus és hagyományos kiadványok, tanulóprogramok, internetes portálok, modellek, poszterek, aktív tábla, stb.) kiválasztása előtt érdemes áttekinteni a matematikatanulással kapcsolatos reprezentációs elméleteket.

1.3.1 A matematikatanulással kapcsolatos reprezentációs elméletek. (3. tétel)

Nem szabad semmi olyat elmulasztani, aminek valami esélye van arra, hogy a diákokhoz közelebb hozza a matematikát. A matematika nagyon absztrakt tudomány éppen ezért nagyon konkrétan kell előadni.’’

Pólya György

Hallom és elfelejtem. Látom és megjegyzem (emlékszem rá). Csinálom és megértem.’’

Konfucius

The more ways we teach, the more people we reach And, the more ways we reach each And, the more deeply what we teach will reach (Minél többféleképpen tanítunk, annál több embert érünk el, És minél többféleképpen érjük el őket,

Annál mélyebben fogják elsajátítani, amit tanítunk.’’

www.KaganOnline.com

A matematikai információkat fogalmakat, törvényszerűségeket, eljárásokat, elveket különféle formákban reprezentálhatjuk. A külső reprezentációk (megfigyelhető, látható, hallható, észlelhető, manipulálható) fajtái: tárgyi, képi (vizuális) és szimbolikus. A belső reprezentációk (kódolás, emléknyomok) az agyunkban létrejövő idegsejt kapcsolatok, hálózatok. A hatékony tanulás alapfeltétele a lényeges információk pontos kódolása, tárolása és előhívhatósága. Az agykutatás legújabb eredményei felhívják a figyelmet a többfajta kódolás szükségességére, előnyeire.

A matematikai gondolkodás nagyon komplex tevékenység, amelyben agyunk különböző területei vesznek részt: elsősorban a frontális és halánték lebenyekben zajlik a komplex matematikai gondolkodás, de amikor a matematikai problémákat vizualizáljuk a vizuális kortex is közreműködik. A matematikai készségek erősen nyelvfüggők, így komplex olvasási teljesítményekre van szükség, amelyben a Broca és Wernicke agyterületek vesznek részt.

1. Példák külső reprezentációkra

(SAJÁT PÉLDA KELL)

A mi példáink:

  • Természetes szám

  • Törtszám

  • Exponenciális függvény

  • Eltolás

2. Áttérés egyik reprezentációról a másikra

A hatékony, rugalmas tanulás, problémamegoldás fontos feltétele egyik reprezentációról a másikra való áttérés. A külső reprezentációs táblázatunkban az exponenciális függvénynél a szituáció szöveges leírása, grafikon és képlet szerepel. Konkrét összetartozó értékeket könnyen tudunk alkotni az megadott információk alapján, azaz értéktáblázatot is tudunk szerkeszteni.

(SAJÁT PÉLDA KELL)

3. A belső reprezentációkról

Az emlékezés időtartama és az előhívhatóság szempontjából érdemes meggondolni, hogy melyik funkció hogyan aktiválható és fejleszthető.

  • Észlelési memória: Érzékszerveink segítségével felfogott külső információk, pillanatokig maradnak csak fenn, ha figyelmet szentelünk neki.

  • Munkamemória: Amit figyelmünk fontosnak, érdekesnek tart, az átkerül az un. munkamemóriába. Munkamemória agyunk azon része, amelyben a gondolkodás, problémamegoldás koncentrálódik. A munkamemória komponensei agyunk különböző területein lokalizálódnak. (bővebben a kislexikonban a 8.2.4)

  • A hosszú távú memória tartalma lehet

    • deklaratív (explicit) tudás: szemantikus tudás a világról való általános tudást jelenti,

    • epizodikus tudás az időben lefolyó, helyhez kötött eseményeket, mint sztorikat jelenti.

    • nem deklaratív (implicit) tudás: procedurális tudás a kognitív, motoros, valamint az észleléssel kapcsolatos jártasságokat jelenti.

A munkamemóriával kapcsolatos nehézségek

  • Funkcionális kötöttség: képtelenség egy ismerős objektum, fogalom új módon való felhasználására: pl. 2x+4 csak algebrai szempontból való értelmezése

  • Beállítódás: ragaszkodás egy bevált megoldáshoz, még ha létezik egy egyszerűbb módszer is.

  • Összezavarodás: a nem releváns, tévútra vezető információkat nem tudja elnyomni.

  • Egyénenként nagy különbség van a munkamemória kapacitását illetően. (frontális tanítás csak kismértékben tud igazodni e tényhez).

4. Reprezentációkkal kapcsolatos elvek

  • Paivio kettős kódolás elmélete szerint az információ két memóriarendszerben raktározható el: egy képszerű (vizuális) és egy jelentésen alapuló (verbális) rendszerben. Olyan verbálisan, szimbolikusan közvetített információk, amelyeket a befogadó (tanuló) jól el tud képzelni magának vizuálisan, könnyebben megtanulható. A vizuális képzelet lehetősége (egy szó konkrétsága) a legszorosabban összefügg könnyebb megtanulhatóságával.

  • Dolgozzuk fel a matematikai tananyagot háromféle reprezentációs szinten! Törekedni kell az új matematikai ismeretek feldolgozásánál a konkrét-manipulatív, képi és szimbolikus reprezentációk párhuzamos használatára lehetőleg minden korosztálynál. Tanulási problémákkal küzdő tanulók számára elengedhetetlenül szükséges lehet a manipulatív eszközök használata. A helyzetet árnyalja, hogy a tanulók tanulási stílusa jelentősen eltérhet egymásétól: lehet inkább verbális, absztrakt vagy inkább vizuális, konkrét jellegű.A különféle reprezentációk alkalmazását a matematika tanulásában, tanításában nagyon gondosan kell tervezni és végrehajtani. Előfordulhat, hogy egy tanuló a manipulatív dolgokkal, mint olyanokkal jól tud bánni, de nem látja a kapcsolatukat a kívánt matematikai műveletekkel, fogalmakkal. A hatékony alkalmazás elérése lassú folyamat, ezért sok tanár inkább csak a szimbolikus műveletek megtanulását szorgalmazza, anélkül, hogy a tanulók számára lenne egy képi, konkrét háttér, amely számukra a szimbolikus műveletek értelmét megvilágítja.

  • Tanítsunk mindkét agyfélteke számára! Hámori József Az emberi agy aszimmetriái c. könyvében részletesen elemzi a bal illetve jobb agyfélteke jellemzőit. Kutatásai és a nemzetközi kutatási eredmények összegzése alapján arra a következtetésre jut, hogy az emberek 85%-ánál az illető agyféltekére dominánsan jellemzőek az alább felsorolt tulajdonságok.

    2. táblázat

    A tanároknak törekedni kell olyan matematikai órák tartására, melyek sokkal több jobb agyfélteke használatot kívánnak, mivel sajnos a hagyományos’’ matematikaoktatás balfélteke orientált.

  • Gazdag fogalomképzet (concept image)Shlomo Vinner izraeli matematikadidaktikus vezette be a fogalomképzet (concept image) elnevezést a matematikadidaktikai szakirodalomban. Fogalomképzetnek nevezzük a fogalom nevéhez kapcsolt teljes kognitív struktúrát, mely tartalmazza a vizuális reprezentációkat (képek, diagramok, grafikonok) mentális képeket (belső kapcsolatokat), konkrét tapasztalatokat, konkrét példákat, élményeket, tulajdonságokat, eljárásokat.

  • Használjunk előhívást segítő jeleket, címkéket, eseményeket!Ha a matematikai információ feldolgozásához egy esemény, kép kapcsolódik, akkor ezek a teljes információ felidézését is elősegíthetik. Egy jó ábra a megfelelő bizonyítást beindíthatja’’. A teljes ábra segít áttekintést nyerni a teljes bizonyítási folyamatról. Egy sztori a megfelelő fogalom felidézését ösztönözheti. Tapasztalataink szerint például a tengeri barna algás történet az exponenciális, logaritmikus fogalmakat aktivizálhatja.

1.20. Feladat: Dolgozzon ki saját példát tárgyi, képi reprezentációk használatára.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

I. Egész számok összeadása és kivonása

Piros és kék korongok használata, lényegében a vagyon-adósság modell egyszerűsített, konkretizált változata. Kék és piros korongok állnak a tanulók rendelkezésére. A kék korong +1 eurót, 1 piros korong -1 eurót jelent. A tanulók konkrét tevékenység révén modellálják az egész számok összeadását és kivonását, az összeadás a megfelelő színű korongok hozzáadását jelenti, míg a kivonás az elvételét. Az elején rögzíteni kell, hogy egy piros és egy kék korong kiegyenlíti egymást, a vagyonunkhoz’’ akárhány piros-kék párt hozzátehetünk, vagyoni állapotunk nem változik.

Például a 2 - (-3) kivonást modellezhetjük a következőképpen. Van két kék korongunk, ahhoz, hogy elvehessünk 3 piros korongot, 3 kék-piros korongpárt kell hozzátennünk, így végrehajtható lesz az elvétel, az eredmény (+5) lesz, hiszen 5 kék korongunk marad.

Tapasztalatok szerint az oktatásban csupán a korongok rajzolása szerepel. Bár ez a tevékenység is konkrét, lényegében a konkrét koronghasználat képi kódolását jelenti, ezért a valódi koronghasználat élménye is szükséges. A képi reprezentációval párhuzamosan rögzíteni kell a tapasztalatokat szimbolikusan is (verbálisan és műveletekkel), hogy összekapcsolódjon a tevékenység, a szóhasználat és a matematikai lejegyzés módja.

II. Az első n pozitív egész szám összege Geometria módszer

9. ábra

Algebrai módszer (a geometriai módszer analógiájára, de úgy is tekinthetjük, hogy a geometriai módszer ezt szemlélteti)

Írjuk fel kétszer egymás alá az első n pozitív egész szám összeg először 1-től n-ig, majd n-től 1-ig

10. ábra

Az egymás alá került tagok egy-egy párt alkotnak és mindegyiknek az összege n+1. n ilyen pár van, tehát a két sorban levő számok összege n(n+1) és ez az első n pozitív egész szám összegének duplája.

Megjegyzések

  • Fiatalabb tanulóknál szükség lehet konkrét, tárgyi tevékenység, azaz színes papírnégyzetek használata.

  • Az algebrai módszer lényegében a vizuális (konkrét) megoldás kódolása szimbolikusan.

  • Számoknak megfelelő számú egységnégyzetet feleltetünk meg, az összeget az egységnégyzetek száma fogja jelenteni. Sok tanulónak nem egyszerű áttérni a területre a számok összegéről.

  • Sok tanuló a téglalapok oldalainál a teljes hosszúságot, mint egy számot adja meg. Ahhoz, hogy általánosítani lehessen, az ábrán látható módon a tevékenységre kell ráirányítani a figyelmet, a lépcső fordított helyzetű ráhelyezésével az utolsó tagra az első tag kerül. (7 + 1 illetve n+1 a függőleges oldal)

Irodalom

Ambrus András: A konkrét és vizuális reprezentációk használatának szükségessége az iskolai matematikaoktatásban.[]

Bruner, J. S. Új utak az oktatás elméletéhez. [] 72-106.

Kitekintő irodalom Vásárhelyi Éva: Fogalomalkotás és reprezentációk. []

1.3.2 Szemléletesség és szemléltetés

1. A szemlétesség elve A matematika tanításában kétféle irányzattal találkozunk: az elvonatkoztatásra törekvéssel amely megkísérli a sokféle anyagból a logikai szempontokat kimunkálni és azokat rendszeres összefüggésbe hozni , és a másik irányzattal, a szemléletesség elvével. A szemléletesség elve olyan oktatás követelményét fejezi ki, amely a lehetőségeknek megfelelően az érzéki észlelésre, a megfigyelésre támaszkodik, az ismeretek alapvető forrásául a valóság tárgyai és jelenségei, vagy azok ábrázolása szolgál. A szemléletesség elve ezek felhasználásának szükségességét és azt az elvárást fejezi ki, hogy az így elsajátított fogalmak megfeleljenek a valóságnak. A szemléletesség elvére támaszkodó ismeretszerzés fontos eszköze a tanulók megfigyelő-képessége és gondolkodása. A valódi tárgy, jelenség helyettesítése képekkel vagy szavakkal csak ekkor elegendő, ha van feleleveníthető élmény.

2. A szemléltetés A szemléletesség elvének a gyakorlatban történő érvényesítése a szemléltetés. A szemléltetés az oktatás folyamatában tudatosan alkalmazott eljárás, amely egyaránt vonatkozik a pedagógus és a tanulók tevékenységére. Az oktatás folyamatában felhasznált eszközök (a szemléltető eszközök), vagy a valóság tárgyainak és jelenségeinek megfigyelése teszi lehetővé az érzéki észlelést. Ennek folyamatában a pedagógus a gyermekek aktív részvétele mellett érzékszerveikre hat, s ezzel elősegíti:

  • a pontos és világos képzetek kialakítását a külvilág tárgyairól és jelenségeiről,

  • a tárgyak és jelenségek összefüggéseinek és törvényszerűségeinek feltárását,

  • a megalapozott általánosítást.

A szemléltetés biztosítja az érzéki megismerés és elvont gondolkodás szoros kapcsolatát, megkönnyíti a tanulók számára a tananyag mélyebb megértését, s ezáltal biztosítja az ismeretek tartós bevésését is. Már évekkel ezelőtt kísérletekkel igazolták, hogy a szemléltető eszközök alkalmazása fokozza az oktatás eredményességét, ha azok több érzékszerv számára hozzáférhetők. Éppen ezért törekszünk arra, hogy a szemléltetés során lehetőleg több érzékszervet foglalkoztassunk.

A szemléletes gondolkodásmód kialakításával lehetővé tudjuk tenni a matematika lényegébe való behatolást, annak egyszerűbb megértését. A szemléltetés ténye a közvetlen tanulási effektuson túl a tanulási kompetenciára is hat, legitimmé teszi a saját tapasztalat bevonását az ismeretszerzésbe. Szemléltethetjük

  • az egyenes arányosságot a kádba folyó víz magasságának növekedésével;

  • a csap nyitásával, zárásával befolyásolható a vízmennyiség változása (növekvő, konstans függvény), sőt, ha egy dugót kihúzunk, akkor csökken a vízszint (fogyó függvény);

  • az egész számok körében korongokkal, pálcikákkal problémamegoldást is végezhetünk (fejek, lábak a kétlábú és négylábú állatokat tartalmazó ketrecben);

  • adott definíciós feltétel szükségességét ellenpélda modelljével kiemelhetjük. (Pl. a Schwatz féle ellenpélda a felszín definiálásánál:http://demonstrations.wolfram.com/CylinderAreaParadox/

A szemléltetés közben meg kell győződni arról, hogy azt vették-e tudomásul a tanulók, amire rá akartuk irányítani a figyelmet. Például a poliéderek alkotóelemeit leszámoltathatjuk különböző (tömör, élvázas, nyitható, ...) modelleken, animáción, ábrán. Ennek hatékonyságát egyszerű elképzelt testekre vonatkozó direkt és indirekt feladatokkal ellenőrizhetjük. Például hány éle, lapja, csúcsa van egy 5-szög (6, 7, ...) alapú hasábnak, gúlának? Inverz feladatként megadhatjuk az élek, lapok, csúcsok számát és el kell dönteni, hogy hasábra vagy gúlára gondoltunk. (8 él, 5 lap, 5 csúcs négyszög alapú gúla; 9 él, 5 lap, 6 csúcs háromszög alapú hasáb; 10 él, 5 lap, 6 csúcs ötszög alapú gúla)

3. Szemléltetés a térgeometria tanításában a geometriai térszemlélet fejlesztése

A geometria tanításának egyik legfontosabb feladata a térszemlélet fejlesztése, a helyes térlátás kialakítása.

A geometriai térszemléleten a képességek, készségek olyan matematikailag irányított komplex együttesét értjük, amely lehetővé teszi

  • a térbeli alakzatok alakjának, nagyságának, helyzetviszonyának helyes elképzelését;

  • a látott, vagy elképzelt alakzatoknak a geometria törvényeire épülő egyértelmű ábrázolását;

  • az egyértelműen ábrázolt alakzatok helyes rekonstrukcióját;

  • a különböző térbeli (matematikai, műszaki stb.) problémák konstruktív megoldását, a megoldás képi, vagy nyelvi megfogalmazását.

Gyakori jelenség, hogy térszemlélet értelmezésében túlzott nyomatékot kap a rajzkészség, valamint a reprodukáló vagy rekonstruáló képesség. Annak a képességnek, amellyel a térbeli dolgokat, problémákat elképzeljük, illetve lerajzoljuk, alapja a tanulás, illetve tanulás révén megszerzett ismeret. Az emberi képességek, készségek különbözősége így a térszemlélet különbözősége is nemcsak a velünk született adottságból fakad, hanem jelentős részben a személyiség egész fejlődési folyamatából.

A matematikai ismeretrendszerbe ágyazott térszemlélet legfontosabb feltétele, hogy minél több térélményt, az életkori sajátosságoknak megfelelő szintű térgeometriai problémát, ismeretanyagot kapjanak a tanulók. Eközben szem előtt kell tartani a szemléletesség és a fokozatosság elvét. Az általános iskolában nem a méretes feladatokkal, hanem a topológia területén lehet elősegíteni a tanulók térszemléletének fejlesztését. A sok számolás túl fárasztó és nem nyújt elég térélményt a tanulóknak. A térszemlélet fejlesztésében nagyon sok segítséget adnak a különböző térbeli modellek, a térgeometria megértésének érdekében elkészített számítógépes programok, 3D-animációk, a didaktikai megfontolásokkal szerkesztett jó kivitelezésű (tankönyvi) rajzok, dia-sorozatok, írásvetítő transzparensek. A szemléltető eszközök egyik csoportjába tartoznak az ún. demonstrációs eszközök, amelyeket a pedagógus órai bemutatásra használ. A szemléltetés része a tanári magyarázat, amellyel a tanulók tapasztalatszerzését, megfigyelését céltudatossá tehetjük. Nagyon fontos ügyelnünk arra, hogy helyes arányokat alakítsunk ki a megfigyelés és a magyarázat között. A szemléltető eszközök másik csoportja az egyéni tanulást segíti elő. Ennek során a tanuló kap valamiféle információt (amelyet egy program, könyv stb. hordoz), és önállóan, párban vagy csoportban feldolgozza azt. A szemléltetésben is előfordulhatnak hibák, például a megfigyelés elszakítása az absztrakt gondolkodástól, a szemléltető anyag túlzsúfoltsága, stb.

A térgeometria tanítását legegyszerűbben és egyben a leghatékonyabban valódi tárgyak, modellek használatával, szemléletesen kivitelezett ábrák, animációk, interaktív feladatlapok segítségével tehetjük sikeresebbé. A szép modellek és rajzok esztétikai élményt nyújtanak, felkeltik a tanuló érdeklődését, kíváncsiságát, s ezzel megnyílhat az út a problémamegoldás belső szépségének meglátása előtt.

A térbeli modellek alkalmazásánál a modellt, illetve ábrázolást egymással kölcsönhatásban kell alkalmazni. A tanulók (lehetőleg önállóan) készítsék el minél több test modelljét. Négy periódust célszerű az oktatásban kialakítani:

  1. manipuláció, megfigyelés, problémamegoldás valódi tárgyak, modellek használatával;

  2. modellek megfigyelése, a tapasztalatok ábrázolása;

  3. ábra elsődlegessége mellett modellen ellenőrizni a gondolatmenetet;

  4. ábrák segítségével történő problémamegoldás.

A szemléltetés egyik leggyakoribb megjelenési formája az ábrák használata. Az ábrák értelmezése sem alakul ki spontán a tanulókban, a helyes ábraolvasás elsajátíttatása folyamatos, türelmes oktató-nevelő munkát igényel. A geometria szemléltetésekor nagyon fontos például az, hogy ne csak speciális helyzetben ábrázoljuk az adott alakzatot, továbbá gondoskodjunk a szemünk képalkotásának jobban megfelelő 3D-hatású ábrázolásról.

1.21. Feladat:Problémamegoldás ábra alapján. Adott az ABCDEABCDE hasáb és adottak az M,N,P pontok úgy, hogy MEE,NAA és PDD. Határozza meg a hasábnak az MNP síkkal alkotott metszetét!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Az MN egyenes az AE egyenest egy S1 pontban metszi, MP az ED-t S2-ben.

Az S1, S2 pontok illeszkednek az MNP síkra (a háromszög síkjára) és a hasáb fedőlapjának a síkjára is, azaz az S1S2 egyenes a két sík metszésvonala. Ez a metszésvonal az ABAB (oldallap) és az ABCDE (fedőlap) síkok AB metszésvonalát egy S3 pontban, a három sík közös pontjában metszi. Az S3N egyenes a BB élt egy X pontban, az MNP síkkal alkotott döféspontban metszi. Az S4 pont az előzőekkel analóg módon megszerkeszthető (S4 a BB él metszéspontja a fedőlapsík és a metszősík S1S2 metszésvonalával), és az XS4 egyenes kimetszi a CC élből az Y pontot.

Az MNPYX ötszög a keresett metszetidom.

A 3D animációkhoz

Az egyik, nem interaktív animációs típusban a teljes folyamat (akár beavatkozás nélkül) végigkövethető, a másik (interaktív) típusban önállóan lehet és kell kísérletezni ahhoz, hogy a vizsgált geometriai kapcsolatokat több oldalról megfigyelhessük. Ha nem interaktív animációról van szó, akkor is beavatkozásra bíztatjuk a felhasználót: a lejátszó szolgáltatásaitól függően megválaszthatja a lejátszás irányát és sebességét. A csúszka segítségével megkeresheti a fontos részleteket és ezekre figyelve többször is futtathatja az animációt. A legjellemzőbb kép kimerevítése lehetőséget ad az összefüggések megfigyelésére, rögzítésére.

Lásd például a számok négyzetösszegére vonatkozó 7.38 animációt

A kreatív megfigyeléshez dinamikus geometriai programcsomagok is hozzájárulhatnak az interaktív feladatlapokkal. Mivel a geometriai térszemlélet tanulási folyamat eredménye, a mozgó jelenségek álló helyzetben történő elemzésével hatékonyan támogatható a térszemlélet fejlesztése. A dinamikus geometriai szoftverek lehetővé teszik, hogy a szemünk elé táruló látványt a meghatározó adatok mozgatásával átalakítsuk, miközben a logikai kapcsolatrendszer változatlan marad. A szerkesztés végső adatai a kiindulási adatok változtatását követő kényszermozgást végeznek. A kiindulási adatokat mozgathatjuk kézzel vagy automatikusan a kijelölt értelmezési tartományok befuttatásával.

A térbeli alakzatok ábrázolása a képernyőn eleve információvesztéssel jár, hiszen két dimenziós ábrát tudunk csak készíteni. A dinamikus adatkezelés és az alapvető ábrázolási módszerek kombinálása lehetővé teszik, hogy mozgás közben a takart részek is láthatóvá váljanak és az ábra térbeli élményt adjon.

1.3.3 A tanítás tervezése (11. tétel)

Az oktatási folyamat tervezése lebonyolítása értékelése

1.22. Feladat:Gondoljon ki egy konkrét tervet.

a) Érzékeltesse a tervezés, lebonyolítás és az értékelés közti kölcsönhatást!

b) Egy tanegységet egy kiválasztott modell szerint strukturáljon.

c) Egy tanegységet legalább két kiválasztott modell szerint strukturáljon és a struktúrákat hasonlítsa össze!

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

A tanárban él egy IDEÁLIS ELKÉPZELÉS, amely szerint ismeri a tanulók testi, lelki, tudásbeli állapotát, szintjét: VAN állapot;

tudja, hogy a tanulónak jó felkészültségűvé, ... kell válnia: KELL állapot; hiszi, hogy a két állapotot össze tudjuk kötni, azaz a VAN állapotból a KELL állapotba tudja juttatni a tanulót:

F(VAN) = KELL

A mindennapi VALÓSÁGBAN van egy közvetett, szubjektív képe a tanuló kiindulási állapotáról: ψ(VAN); van egy interpretációja a tanuló céljáról, a szülő és a társadalom (nem is ellentmondásmentes) elvárásáról: ψ*(KELL); hite, tapasztalata, szaktudása birtokában megpróbálja összekötni a két állapotot egy F* leképezéssel (mert ugye máshonnan indul és máshová akar jutni, mint az ideális elképzelésben):

F*(ψ(VAN)) = ψ(KELL)

Ezt a sémát nem azért írjuk le, hogy a munka értelmét megkérdőjelezzük, csak körültekintésre és szerénységre szeretnénk inteni általa. Sokszor csak annyit merünk mondani, hogy érdemes, hasznos lehet, próbálkozzon, ... Ritkán, de azért néha arra is rámutatunk, hogy nem kell, nem érdemes vagy éppen nem szabad.

Tendenciák, fő feladatok és módszerek kijelölésében egyrészt nem is olyan nagy a bizonytalanság, másrészt a bizonytalanság sem teszi feleslegessé a tervezést, sőt körültekintőbben, több változattal, körültekintőbben kell készülni a tényleges szituációra.

1. A tervezés funkciói Az óra

  • szakszerűségének biztosítása (Nehogy elfelejtkezzünk fontos és ésszerű döntésekről.)

  • ellenőrizhetővé tétele (Annak utólagos vizsgálata, hogy a tervezés során hozott döntések a kívánt eredményekhez vezettek-e.)

  • ismételhetővé tétele (A számítógép szerepe mindebben)

2. A tervezés elemei (Körmodell: mindig szem előtt tarthatjuk az összes szempontot)

3. A tervezés szintjei

Tanterv: fölérendelt célok, normák, tanévi és tágabb áttekintés Tanmenet: a tananyag elrendezése, a fogalmak, eljárások, tételek logikai hálója; célok, időbeosztás, média, stb.

Heti terv: áttekinthető időtartamra (1-3 hét) tartalom, idő és módszer szerinti tervezése Napi terv: osztály, tantárgy, időpont, téma, célok, a tartalom strukturálása (indítás, motiváció, fontos tanulási lépések, szociális és munkaformák, média, ismétlési, illetve rögzítési fázisok, házi feladatok, utógondozás megbeszélések a vezetőtanárral, ...

Egy óra terve

4. Részletes tervezés 4.1 Feltételek, körülmények Subjektív: tudati (kognitív), szociális, érzelmi (emocionális), motorikus feltételeinek feltárása, illetve biztosítása: a szükséges ismeretek, jártasságok és készségek mozgósítása

Objektív: az iskola, osztály, tanuló lehetőségei, technikai felszereltség, évszak, napszak, hosszútávú és rövidtávú hatások (computer, bejárás, ...)

4.2 Célok

Mit akarunk elérni?

Kognitív célok, ismeretek, szakmai célok, tartalmi célok, eszközhasználati célok, képességek és jártasságok Érzelmi, beállítódási célok Nevelési célok, pedagógiai célok, szociális célok, értékrend, pszichomotorikus célok

A szakma, a tartalom, a tanulócsoport, a tantervi irányelvek által indukált irányok, globális és finom célok (NAT tanulási és ellenőrzési követelmények)

Miről ismerszik meg az eredményesség? A célokat ismerjék meg a tanulók Mit? Miért? Hogyan? 4.3 Szakmai elemzés - a szakmai struktúra elemzése

A) Pre-pedagógiai szakmai elemzés a szakszerűség, szakismeret talaján. A tartalom nemcsak egy tananyag, hanem egy műveltségi terület része is.

B) Pedagógiai szakmai elemzés a szaktudomány és a tanuló közötti közvetítés pedagógiai és didaktikai eszközei szempontjából.

4.4 Szakdidaktikai elemzés a tervezés centruma A komplex tananyag mely részei kerüljenek a központba, melyeket lehet kiegészítő tartományba sorolni? (Alap Kiegészítő)

Mi az anyag jelentősége a tanulók jelenlegi és jövőbeni élete szempontjából?

Melyek a prototípus (mesterpélda) értékű problémák, feladatok a téma, a fogalom, a módszer szempontjából?

A cél eléréséhez milyen módszereket kell a tanulóknak (meg)ismerni? Milyen tudati, érzelmi, szociális, motorikus ... szintről indulnak a tanulók? A didaktikai elemzésből vezethetők le az óra alapját adó konkrét tanulási célok.

4.5 Módszertani elemzés A módszerek igazítása a tartalomhoz, célokhoz, feltételekhez (A közvetítés eszközrendszere’’) A tananyag és a diák találkozásának optimalizálása (pedagógiai és didaktikai szempontokból körülhatárolt mértékben).

A célok, a tartalom és a módszerek szoros kapcsolatban kell, hogy álljanak! (tanuláspszichológiai szempontok elsőrendűsége, pl. kül. érzékszervekre hatni, stabilitás, ...)

Módszerek variációja (munka- és szociális formák, média, segédanyag)

Az önálló döntési és tevékenységi kompetenciát fokozatosan erősíteni.

Akár csoportmunkát, akár frontális módszert választunk, az osztály matematikai szintjétől, motiváltságától függ, hogy mennyi önállósággal tudnak eredményesen dolgozni a diákok. Ezek nem statikus feltételek, megfelelő módszerekkel fejleszthető az önállóság igénye és képessége. 4.6 Az óra lefolyásának terve

Az oktatás időbeli kereteit szabja meg, az egyes lépéseket folyamattá fogja össze. Az óra lefolyási terve segít abban, hogy a tanár a konkrét történésekre figyeljen, észrevegye a terv hiányosságát, előre nem látott nehézségeket. Létezik kis és nagylépéses oktatási módszer (a szakmai rendszer és a tanulási törvényszerűségek határozzák meg a szakaszolást) Tájékoztatni kell a tanulókat a legfontosabb lépésekről. (Informáló indítás). Technikailag egyszerű és áttekinthető forma javasolt. A felesleges kötöttségeket kerüljük. Az óraterv egy lehetséges tagolása és példák óraszerkezetekre

Formai minta

1.23. Feladat:Példákon keresztül gondolja át saját tapasztalatait arról, hogy

  • melyek a tervezhető és melyek a szituációfüggő komponensei egy órának;

  • mikor részesítené az elemenkénti tapasztalatszerzést és mikor a szintetizáló haladást;

  • mikor van szükség egységes, illetve egyéni (partner, csoport) szinten differenciált munkára;

  • hogyan itéli meg az improvizálás szükségességét és hogyan viszonyul hozzá?

Irodalom

NAT, Kerettantervek, kompetencia alapú kerettanterv és programcsomag []

1.3.4 Ellenőrzés, értékelés a matematikaoktatásban (12. tétel)

1. Mit mérünk, értékelünk?

  • tudásszintet (készségek és jártasságok szintjét is beleértve) megfelel-e és milyen mértékben felel meg a tanterv követelményeinek, elegendő-e a továbbhaladáshoz.Ezek a követelmények a tanítási folyamat konkrét szintjeihez kötődnek, ahhoz, hogy a gyerek milyen iskolatípusban, hányadik osztályban milyen témakört tanul.

  • kompetenciát (lásd a 1. táblázatot) A kompetencia mérése alapvetően független attól, hogy a gyerek milyen iskolatípusba, hányadik osztályba jár. Azt méri, hogy egy gyerek egy területen milyen szinten áll a kompetencia ideálisként’’, 100%-ként megállapított kritériumához képest.

2. Mérés, értékelés az osztályban

Az iskolai munkában a mérés egyik alapvető eszköze a dolgozat íratása. A dolgozatok összeállítása, értékelése a mérés céljától függően többféle lehet:

  • helyzetfeltárás a továbbhaladáshoz szükséges, kulcsfontosságú ismeretek meglétét ellenőrzi. Pontozhatjuk, de nem osztályozzuk. Abban a döntésben segít, hogy a továbbhaladás előtt mit és milyen mélységben kell átismételnünk. (Diagnosztikus értékelés)

  • fejlesztés egy-egy tudáselem feldolgozottságának a szintjét méri. Pontozhatjuk, de nem osztályozzuk. Annak megállapításában segít, hogy kinek van szüksége pótlásra, korrepetálásra, vagy esetleg az egész anyagot egy más megközelítésben - újra kell tanítanunk. (Formatív értékelés)

  • lezárás, minősítés egy-egy tanítási szakasz végén elért szintet méri. Az elért eredményt osztályzattal is mérjük. (Szummatív értékelés)

Mindegyik típushoz kaphatók kész, kidolgozott mérőlapok, amelyek lefedik a teljes tananyagot.

(SAJÁT PÉLDA)

A szóbeli felelet (nem csak feleltetés) az ellenőrzés és értékelés másik, nem kevésbé fontos területe. Alkalmas mindazoknak a céloknak a szolgálatára, mint a dolgozat, de elsődlegesen a formatív értékelésre érdemes használnunk. Hátránya, hogy az eredményt nehezebb számokban meghatározni, előnye, hogy természetesebben beleilleszthető a tanítás folyamatába, és mélyebb bepillantást tesz lehetővé.

3. Kompetenciamérések

A kompetenciamérések 2001 őszétől kezdődtek. A 2007-2008. tanévtől kezdődően minden évben országosan felmérik a 6., 8. és 10. évfolyamos tanulók körében a szövegértési képességeket és a matematikai eszköztudást. A mérőlapok központilag készülnek, és kidolgoztak egy szoftvert, ami minden tanár számára hozzáférhetővé teszi az eredményeket. Összehasonlíthatja a munkáját az országos átlaggal, emellett figyelemmel követheti az egyes gyerekek matematikai kompetenciájának fejlődését az évek során.

A kompetenciamérés

  • nem az adott tanévi tananyag ismeretanyagának számonkérése

  • az elsajátított ismeretek alkalmazásának képességét vizsgálja mindennapi életből vett feladatok megoldásában

  • valamilyen életszerű szituációban megjelenő probléma matematizálását, megoldását és a megoldás kommunikálását kéri a matematika különböző területeit érintve (mennyiségek és műveletek; hozzárendelések és összefüggések; alakzatok síkban és térben; események statisztikai jellemzői és valószínűsége).

A kompetenciamérések talán legfontosabb célja a fejlesztés középpontú tanítás támogatása. A készségek, képességek fejlődése ugyanis többéves folyamat, amelynek során minden gyerek a maga ütemében juthat el a fejlettség egyre magasabb szintjeire, és amihez folyamatos, témákon, tanéveken, iskolafokozatokon átívelő fejlesztésre van szükség. A kompetenciamérések segítenek abban, hogy a tanárok követhessék, hogy egy-egy kompetencia fejlesztésében, az optimumként megállapított kritériumhoz képest hol tart a tanuló, az osztály, az iskola, az ország az értékelés időpontjában. Megtudhatjuk továbbá, hogy mit kell még tenni, mekkora utat kell még bejárni az optimális használhatóság kritériumának eléréséig. Ezt nevezik diagnosztikus kritériumorientált értékelésnek.’’

http://www.kir.hu/okmfit/ : készség és képességmérés

A legfontosabb, un. kulcskompetenciákhoz tehát megállapították a 100%-os teljesítésnek a kritériumát. és a mérések során azt mérik, hogy ennek hány százalékával rendelkezik. Ennek megfelelően a gyerekek egy-egy kompetenciában elért fejlettségi szintjét öt kategóriába sorolják: előkészítő, kezdő, haladó, befejező és optimum. (SAJÁT PÉLDA)

4. A matematika érettségi vizsga Az érettségi követelményeit két szinten határozták meg:

középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell megkövetelni, ami elsősorban a matematikai fogalmak, tételek gyakorlati helyzetekben való ismeretét és alkalmazását jelenti;

az emelt szint tartalmazza a középszint követelményeit, de az azonos módon megfogalmazott követelmények körében az emelt szinten nehezebb, több ötletet igénylő feladatok szerepelnek. Ezen túlmenően az emelt szint követelményei között speciális anyagrészek is találhatók, mivel emelt szinten elsősorban a felsőoktatásban matematikát használó, illetve tanuló diákok felkészítése történik.

A vizsga formája középszinten írásbeli, emelt szinten írásbeli és szóbeli.

A matematika érettségi vizsga által értékelt és mért legfontosabb területek:

  • logikusan gondolkodás

  • állítások, bizonyítások szabatos megfogalmazása;

  • számolási technikák, becslési készség, az önellenőrzés igénye

  • statisztikai gondolatok megértése, felhasználása, a függvény- vagy függvényszerű kapcsolatok értelmezése

  • síkbeli és térbeli szituációk ábrázolása, kapcsolódó számolások;

  • tanult ismeretek alkalmazása más területeken;

  • gyakorlati kérdésekhez kapcsolódó modellalkotás, problémamegoldó stratégiák alkalmazása;

  • matematikai segédeszközök (függvénytáblázat, zsebszámológép, számítógép) célszerű alkalmazása;

Az emelt szinten a felsoroltakon kívül mért további területek

  • a felsőfokú matematikai tanulmányokhoz szükséges alapok;

  • hipotézis, sejtés, bizonyított állítás megkülönböztetése;

  • kombinatív készség, kreatív gondolkodás;

A feladatsor összeállításakor az alábbi tartalmi arányok az irányadók:

  • Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 20%

  • Aritmetika, algebra, számelmélet 25%

  • Függvények, az analízis elemei 15%

  • Geometria, koordinátageometria, trigonometria 25%

  • Valószínűségszámítás, statisztika 15%

A részletes tartalmi követelmények megtalálhatók pl. a következő címen:

http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_40_2002_201201/matematika_vk.pdf

(SAJÁT PÉLDA)

5. Nemzetközi mérések Országunk a hazai kompetenciamérések mellett több nemzetközi mérésben is részt vesz melyeket az OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development/ Gazdasági Együttműködési és Fejlesztési Szervezet), illetve az IEA (International Association for the Evaluation of Education Achievement Tanulói Teljesítmények Vizsgálatának Nemzetközi Társasága) szervez.

  • PISA (Programme for International Student Assessment) méréseket az OECD szervezi. Háromévenként rendezik meg a 15 éves korosztály számára. Háromféle műveltségterületet vizsgálnak (szövegértés, matematika, természettudomány) melyek közül egy mindig hangsúlyosabb szerepet kap. A vizsgálat során elsősorban nem az iskolai tananyag számonkérése a cél, hanem annak felmérése, hogy a tanulók megállják-e helyüket a mindennapi életben, képesek-e tudásukat hasznosítani, új ismereteket befogadni és azokat alkalmazni.

  • A TIMSS-vizsgálatokat (Trends in International Mathematics and Science Study) az IEA szervezi. Négyévenként felmérik a 4. és 8. évfolyamos tanulók teljesítményét a matematika és a természettudományok területén. A felmérés fontos részét képezi a különböző háttéradatok gyűjtése pl. a tantervek tartalmáról és azok megvalósulásáról, a tanárok felkészültségéről, a rendelkezésre álló forrásokról.http://www.oh.gov.hu/orszagos-nemzetkozi/nemzetkozi-meresek

1.24. Feladat: Hogyan szerepelt Magyarország ezeken a méréseken?

Irodalom Ambrus András: Bevezetés a matematika didaktikába. [] 178-179. és 187-197. Országos kompetenciamérés. [] Érettségi Követelmények. [] Kitekintő irodalom Andrews, Paul: A magyar matematikaoktatás helyzete nemzetközi színtéren. [] 83-90.

1.3.5 A matematikaórák kommunikációs terének (keretének) kialakítása

A matematikatanárok jelölik ki, hogy a matematika órákon miről lehet és miről nem lehet beszélni. Ez történhet explicit és implicit módon.

1.25. Feladat:Mutasson be példákat!

1.26. Feladat:Elemezze a következő szituációkat!

  • Szöveges feladat az ötödik osztályban: A nagymama süteményéből először elfogyott a fele, majd a negyedrésze, így 6 darab maradt. Hány sütemény volt eredetileg?Meg lehet kérdezni: Másodszorra a maradék, vagy az eredeti mennyiség negyede fogyott el?Nem illik megkérdezni: Milyen süteményt sütött a nagymama?

  • A másodfokú egyenlet megoldóképlete a gimnáziumbanMeg lehet kérdezni: Miért kell (b2)2-t kivonni?Nem illik megkérdezni: Mire kell ez nekem? Nem illik a tanár azon a kérdésre, hogy mit nem értesz, a diáknak úgy válaszolnia, hogy Semmitse’’.

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ: A megoldás vázlata

Mielőtt kialakulnának a kommunikációs szabályok, feltételezhetjük, hogy az illetlen’’ kérdések is valódi tanulói problémákat tükröznek. Érdemes velük foglalkozni.

Milyen süteményt sütött a nagymama?’’ nem rossz kérdés, hiszen azért adunk fel szöveges feladatot, hogy a gyerekek elképzeljék a szituációt. Azonban el kell mondanunk, hogy a süteményekről inkább később beszéljünk, és valóban találjunk rá alkalmat, szünetben, kiránduláson, hogy beszéljünk róla, beszéljünk a gasztronómiáról is.

Érdemes segíteni a diákoknak, hogy problémájukat hogyan fogalmazhatják meg úgy, hogy az ne legyen sértő, pl. Elvesztettem a fonalat. Vagy: Percek (vagy órák) óta nem tudom követni, miről van szó. Tudna segíteni, kérem?

1.27. Feladat:Gyakori példatípus, hogy szövegbe ágyazzuk a számítást. Gyorsan kiolvassuk az információt, számolunk és formális szöveges választ adunk, közben el is felejtjük az eredeti kérdést. Miben látja ennek a gyakorlatnak a fogyatékosságát?

MEGJEGYZÉSEK A FELADATHOZ:

Érdemes időt szánni a szöveg és az eredmény tényleges összevetésére. Ehhez a szituációt nem elterelő nehezítésnek, hanem a matematikai tevékenységet gazdagító elemként kell kezelni. Az egész érvelés is könnyebb lehet a szituációval leírva.

4 : 1 2 elvégzése és az eredmény ellenőrzése is közelebb áll és a valósággal való kapcsolatot is mutatja, ha pl. 4 méteres szalagból vágunk fél méteres darabokat és meg akarjuk mondani, hogy hány gyereknek jut.

A tevékenység, a matematikai szimbólum és a szóbeli megfogalmazás egységéhez mindegyik irányra szükség van.

500 - ( 300 - 70 ) kiszámítási szabályát könnyebb megérteni, ha pl. Egy raktárban 500 láda van, amiből felraknak egy teherautóra 300 ládát, de túlsúlyt jelez a mérleg, ezért levesznek 70 darabot és elmegy a teherautó. Hány láda marad a raktárban? alakban adjuk fel a feladatot. Sőt, ekvivalens átalakításhoz is vezethet: a raktárban először 200 marad: 500-300, majd visszahoznak 70-et: (500-300)+70 vagy eleve csak 230-at visznek el a készletből: (a-b)-(-c)=a-(b-c). Felírhatnánk az autó szempontjából is.

1.28. Feladat:Készítsen hasonló példákat. Használhat más modellt is, pl. az adósságcédulákat.

1.3.6 Szakszerűség és egyenrangú véleménycsere

A matematika óra sok más óránál alkalmasabb a demokratikus nevelésre, mert a matematika érvelni tanít és viszonylag csekély tényismeret birtokában előfordul(hat), hogy a tanár tudáselőnye kevésbé lényeges, mint a gyerekek nagyobb kreativitása.

A véleménycserében elhangzanak korábban nem használt gyermekszáj típusú és hivatalos elnevezések is. Néhány szempontra érdemes figyelni:

Túl sok új, hivatalos elnevezés megbontja a beszélgetés dinamikáját, lerontja a manipulációs élményt, fogalomépítés helyett üres szavak betanulásává válhat a folyamat.

Később módosítandó, zsákutcás elnevezéseket általában nem érdemes tanárnak bevezetnie, mert sokkal több bosszúságot okoznak később, mint amekkora előnyt jelent pillanatnyilag egy kis rövidítés.

A gyermekszáj elnevezések akkor keletkeznek, ha a mondanivalóhoz hiányzik a megfelelő megnevezés és a gyerekek a szükséghelyzetben kitalálnak valamit (például tartozás helyett megadomforint). Ezeket érdemes befogadni, ha nem tapad hozzájuk a kialakítandó fogalomtól idegen jelentés. Ha a kitalált gyerekszáj elnevezés jelent már valami mást a matematikában, akkor érdemes óvatosan másfelé terelni a beszélgetést anélkül, hogy rájuk zúdítanánk az összes elnevezést. (pl. a törtvonal elnevezés nem alkalmas a töröttvonal leírására, mert a törtvonal már foglalt; az egyenlőszárú háromszög szárai által bezárt szöget inkább rövidítsük szárszögnek, mint csúcsszögnek, mert mi tudjuk, hogy a csúcsszög elnevezést az egyenesek által alkotott átellenes szögtartományok összekapcsolására foglalták le; a húrtrapéz elnevezés szerencsésebb, mint az egyenlőszárú vagy a szimmetrikus trapéz, stb.)

1.4 Matematikadidaktikai szemelvények I.

1.4.1 Dienes Zoltán Budapesten tanított Varga Tamás: Csoportelmélet a Jázmin utcában

Megjelent: A Matematika Tanítása 1968/1.

Dienes Zoltán Pál, a világhírű, világjáró matematika-pedagógus, novemberben négy napig Budapesten volt. Nem meghívásra, mint más országokba, nem hivatalos programmal, csak magánlátogatásra jött. 88 éves édesanyját látogatta meg. De ha már itt volt, elment a Jázmin utcai általános iskolába. A tucatnyi kísérleti osztály közül, ahol az ő kezdeményezése alapján folyik új témák és új rendszerek bevezetése, egy általános iskolai 3. osztályba. Négy napom át tanította a gyerekeket. Első alkalommal szokatlan időben, vasárnap délelőtt egy szűk körű társaság is jelen lehetett az óráján, a Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutató Intézete Didaktikai Szemináriumának résztvevői. A következő napokon még ők sem voltak hivatalosak. Ennek az utolsó három napnak a munkájáról számolok be lapunk olvasóinak.

A gyerekek Justh Kornélné osztálya asztalok mellett ültek, négyes csoportokban. Ebben a külterületi iskolában meg tudták valósítani azt, hogy a szokott előadóteremszerű elrendezés helyett pillanatok alatt műhellyé lehessen alakítani az osztálytermet két-két kétszemélyes asztalka összetolásával. Ez a környezet jobban is illik az olyan számtanórákhoz, ahol nincsenek előadások, nincs vezénylés, hanem munka folyik. Vagy inkább játék? Nehéz volna itt különbséget tenni.

A számtanóra’’ szó mindenképpen furcsán illik arra, ami ott most folyt, de arra is, ami általában folyik ezekben az osztályokban. Babylon-építőkészletből háromszögeket, négyzeteket, tetraédereket és kockákat állították össze a gyerekek (egy kis segítséggel). Az első háromnak minden csúcsa más színű volt; a kocka szemközti csúcsaiba egyező színű golyók kerültek.

11. ábra. Babylonból összeállított alakzatok

Ezzel készen voltak a munkaeszközök, a matematikai absztrakció kiindulópontjai. Az egyik asztalnál az egyik-, a másiknál a másikféle eszközzel játszottak. Néhol két példány is volt ugyanabból az eszközből. Az egyik példány volt a tanú’’. Ez mindig ottmaradt változatlanul az asztalon, amíg a másikat forgatták, hogy tanúskodjon’’ arról, mi volt az eredeti helyzet a forgatások előtt.

Ennyiből és a cikk címéből már sejthetik az olvasók, mi volt ezeknek az óráknak a tárgya: azoknak a transzformációknak a tanulmányozása, amelyek ezeket az alakzatokat önmagukba viszik át. Ezek persze forgások különféle irányú tengelyek körül, és ezek a forgások (az egy helyben hagyást is hozzájuk véve) mindegyik esetben csoportot alkotnak. Könnyű végiggondolni, hogy például a háromszöget hatféle forgatás viszi át önmagába. Ha vízszintes síkban képzeljük el, akkor ezek: három vízszintes tengely körüli 180-os és egy függőleges tengely körüli 120-os és 240-os forgatás, hatodiknak pedig az egy helyben hagyás, vagyis bármelyik tengely körüli 0-os (vagy 360-os) forgatás. Ez az összes lehetséges transzformáció, ami a háromszöget önmagába viszi át. Az olyasmi, mint az ellenkező irányú (-180-os, -120-os) vagy többszöri forgatás (540-os, 480-os) eredményét tekintve nem ad újat. Transzformációknál mindig csak a kezdő- és a végállapot számít, az nem, hogyan jutottunk az előbbiből az utóbbiba.

Azt is könnyű végiggondolni, hogyha a hat transzformáció közül bármelyik kettőt bármilyen sorrendben egymás után végezzük el, az eredmény a hat transzformáció egyike lesz; vagy hogy a hat közül bármelyiket, a hat közül valamelyikkel visszacsinálhatjuk’’. Ezek a tulajdonságok (és mások, amelyek triviálisan teljesülnek) fejezik ki azt, hogy a háromszög hat lehetséges transzformációja az egymás után végzés’’ műveletére vonatkozóan csoportot alkot.

Mindezt csak emlékeztetőül azoknak, akik talán valamikor régen hallottak valamit a csoportelméletről, egyetemi vagy főiskolai szinten. Ezek a gyerekek azonban alsó tagozatos szinten tanulták a csoportelméletet. Próbáljuk hát elfelejteni ezeket a tudós dolgokat és a gyerekek szemével nézni azt, ami következik.

Dienes professzor (professzor bácsi’’, mondták a gyerekek) asztaltól asztalhoz ment, és néhány perc alatt itt is, ott is elindított valami vizsgálódást. Azok a gyerekek, akik még nem kerültek sorra, feladatlapokon dolgoztak. Itt csak arról lesz szó részletesen, amit a háromszöggel csináltak. Hosszú volna mindazt leírni, ami ezen a három napon történt.

Forgassátok azt a háromszöget mindenféleképpen mondta a gyerekeknek és rajzoljatok mindig ilyem házakat róla (lerajzolt nekik néhány ilyen házat).

12. ábra. A ház

A háztetőt mindig olyanra színezzük, amilyen színű az a felső golyó a háromszögben, az ablakot olyanra, amilyen ez itt lent balról, az ajtót meg a harmadik színre.

13. ábra. A három szín

A Babylon-háromszöget papírlapra tette, és körülrajzolta, hogy a gyerekek mindig így tegyék le, ne hegyével lefelé vagy valami más módon. Erre azért volt szükség, hogy a gyerekek a forgatásokkal csakugyan önmagába transzformálják’’ a háromszöget.

Ennyi elég is volt a munka elindításához. Mikor visszajött ehhez az asztalhoz, a gyerekek már fölrajzoltak hét házat. Hetet, nem hatot, és így persze voltak köztük egyformák. Nem is egy pár, hanem kettő mint hamarosan kiderült, vagyis a gyerekek egy lehetőséget kihagytak, kettőt pedig kétszer rajzoltak meg.

Ezeket a hibákat hamar korrigálták, és itt volt a papíron a hat különböző ház, a háromszög hatféle helyzetének megfelelően.

14. ábra. A hat különböző ház

Ezek között a házak között vannak autóbuszjáratok, és vannak villamosjáratok mondja most nekik. Ha a háromszöget így forgatom el (120-kal elfordítja az, óramutató járása szerint), akkor az azt mutatja, hogy ebből a házból ebbe a házba (mutatja a kezdeti és végállapotnak megfelelő házat) autóbusz megy. Ha így forgatom el (180-os fordulat egy meghatározott vízszintes tengely körül), akkor ettől a háztól ehhez a házhoz villamosnak kell járnia (mutatja megint a házakat). Rajzoljatok be annyi villamos- és autóbuszjáratot, amennyit csak találtok!

15. ábra. $180^\circ$-os fordulat vízszintes tengely körül

A kedves olvasó jól teszi, ha (Babylon-játék híján) egy papír háromszög forgatásával állapítja meg és rajzolja fel, milyen is ennek a mesebeli városnak a közlekedési hálózata. Persze elképzelés alapján is felrajzolhatja. Néha a gyerekek is ezt teszik. A hálózatot a következő ábra mutatja. (Az autóbuszjáratokat vastag vonal különbözteti meg a villamosjáratoktól.)

16. ábra. A mesebeli város közlekedési hálózata

Megbeszélik, hogy a villamosok ugyanazokon az útvonalakon oda-vissza járnak, de az autóbuszok nem. Körforgalom’’ mondja az egyik gyerek szakszerűen.

Ez így nagyon bonyolult mondja Dienes professzor. Tervezzünk egy másik várost, ahol szebben helyezkednek el a házak, és nem ilyen kusza a közlekedés. Nézzétek csak, ez az autóbuszjárat errefelé megy körbe-körbe, ez a másik meg amarra. Legyen ez a város belsejében, amaz meg kívül. És a villamosvonalak legyenek minél rövidebbek, hogy kevés pénzzel meg lehessen őket építeni. Megint otthagyja a gyerekeket, másik asztalhoz megy, itt pedig lassan kialakul a szép’’ közlekedési hálózat.

17. ábra. A mesebeli város szép közlekedési hálózata

Valaki elindul innen mondja, amikor legközelebb ehhez az asztalhoz ér, mutatva a rajzon a fölül levő házat , közlekedik valamerre a városban, látogatóba megy, bevásárol stb., aztán hazamegy. Írjuk csak ide le, hogy milyen útvonalakon megy végig! És elkezdi leírni a lehetséges útvonalakat. A végére odaírják, =0’’, ami azt is jelentheti, hogy OTTHON’’ vannak, azt is, hogy végül semmi sem változott, ugyanott vannak, ahol induláskor voltak.

18. ábra. Utazások

A gyerekeknek tetszenek a bonyolult utazások, és meglátják a legegyszerűbbeket is. Kipróbálják azt is, hogy aki egy másik házban lakik, milyen utazások után ér haza. Örömmel állapítják meg, hogy akárhol lakik is valaki, ugyanolyan utazások után lesz megint otthon.

Ezután olyan utazásokat terveznek, amelyek máshol érnek véget, nem otthon. Ilyen egyenlőséget találnak:

19. ábra. Egyenlő utak

Most már talán nincs is szükség a térképre mondja Dienes proíesszor. Meg tudnátok térkép nélkül is mondani, hogy lehet ezt az utat egyszerűbben megtenni? És fölír egy jó hosszú sorozatot vékony és vastag nyilakból.

20. ábra. A kiindulási nyílsorozat

A gyerekek eleinte tanácstalanok, aztán lassan rájönnek ilyesféle szahályokra:

Ha valahol egymás mellett van két vékony nyíl, azokat mindig el lehet hagyni. Három vastag nyilat is el lehet hagyni.

Vastag-vékony-vastag-vékony egymás után szintén elhagyható.

Vékony-vastag-vastag-vékony helyett egy vastagot lehet írni.

Ezeket (és a többi, itt fel nem sorolt változtatásokat) ellenkező értelemben is el lehet végezni, pl. két vékony nyilat nemcsak elhagyni lehet, hanem akárhová betoldani is.

Rájönnek, hogy ezek a szabályok voltaképpen az utazásokra tett eddigi megállapításokat fejezik ki szavakban.

Ezek alapján megtanulják, hogy lehet a nyílsorozatokat egyszerűsíteni, vagy esetleg bonyolítani’’, más ekvivalens jelsorozatokkal pótolni. Az ábrán látható nyílsorozatból például sorra ezeket kapják:

21. ábra. A kapott nyílsorozatok

A négy alakzat közül a legegyszerűbbnek a szabályos háromszögnek a transzformációiról volt itt szó. Más gyerekek bonyolultabb térképeket rajzoltak. Voltak, akik kevesebbre jutottak az alatt a három nap alatt, amelynek a számtanóráit ez a cikk sűrítve leírta. De mindannyian örömüket találták a munkában. Sejtelmük sem volt arról, hogy felsőbb algebrával foglalkoztak. Túlzás is volna azt mondani, hogy ezek a 8-9 éves Jázmin utcai gyerekek három nap alatt megismerkedtek a csoport fogalmával’’, vagy eljutottak az axiomatikus módszer alkalmazásáig’’. Hosszú még az út odáig. De annyi bizonyos, hogy igazi matematikai feladatokat oldottak meg, és miközben úgy érezték, hogy csak játszanak, fontos matematikai gondolatok kezdtek kialakulni a fejükben. Semmi sem fejeződött be ezekben a napokban, de lényeges dolgok kezdődtek el.

1.4.2 Péter Rózsa: Határtalan sűrűség

Részlet a Teremtő forma c. könyvből

(Az előzményekben a racionális számokról volt szó.)

Próbáljunk eligazodni köztük. Először is látjuk, hogy az egész számok is ott vannak köztük; ezek felfoghatók 1 nevezőjű törteknek. Pl. 31, ha arra az értelmezésre gondolunk, hogy ez 3 osztását jelenti 1-gyel, valóban 3. Az egész számokat és a törteket közös néven racionális számoknak hívják ez már előreveti az árnyékát annak, hogy lesznek kevésbé racionálisan megalkotott számok is.

Nullán kívül (ez felfogható 02 -nek, 03 -nak, 04 -nek, s.í.t.), melyik lesz a legkisebb tört? Világos, hogy nem az 112, mert ennél 113 is kisebb: ha eggyel többfelé osztunk egy tortát, a szeletek kisebbek lesznek. De ugyanez a helyzet, bármilyen törttel is próbálkozunk: 1100 -nál kisebb 1101 is, 11000-nél kisebb 11001 is. Tehát a racionális számok közt nemcsak legnagyobb nincs, mint az egész számok közt, hanem legkisebb sem.

Jó, hát megkezdeni nem tudjuk a racionális számok felsorolását. Induljunk ki egy tetszés szerint választott kis törtből, pl. az 112- ből és próbáljuk legalább innen kezdve rendre felsorolni a racionális számokat. Melyik az 112-et követő tört? Ez nem lehet a mi vonalunkon következő 16, hiszen tudjuk, hogy 112 és 16 számtani közepe e két tört közé esik, tehát 16 -nál közelebb esik 112-hez.

De bármilyen más 112-től jobbra eső számot is mondtam volna 16 helyett, ugyanígy képezhettem volna 112-nek és e számnak a számtani közepét, és ez ismét közelebb esett volna 112-hez a gondolt számnál. Tehát 112 nek nincs közvetlen rákövetkezője, arról sem lehet szó, hogy innen kezdve soroljuk fel a racionális számokat. Általában ugyanígy látható be, hogy bármily közel eső racionális számokat is veszünk szemügyre a számegyenesen, ezek nem közvetlen szomszédok, esik közéjük más racionális szám is. Ez az, amit úgy fejeznek ki, hogy a racionális számok halmaza mindenütt sűrű’’.

Itt a végtelennek egy új képével találkozunk: a természetes számsor vagy a tözsszámok végtelen növekedése után a határtalan sűrűséggel. Nincs olyan nagy szám, aminél még nagyobb ne volna a természetes számok vagy a törzsszámok sorozatában ez a pontos értelme annak, amit a matematikus így fejez ki: e sorozatok a végtelenhez közelednek.

És nincs olyan kicsi szám, aminél közelebb ne volnának racionális számok 112-hez: ezt fejezik ki úgy, hogy 112 sűrűsödési helye a racionális számok halmazának; természetesen nemcsak 112, hanem minden más racionális szám is sűrűsödési hely.

És mégis el lehet rendezni minden racionális számot egyetlen sorozatba, ha nem is nagyság szerint.

Hogy végtelen sok számsorozatba el lehet rendezni őket, azt már láttuk, amikor az egyes törtegységekből alkotott sorozatokat más-más számvonalon ábrázoltuk; írjuk az egyöntetűség kedvéért az egészeket is tört alakban, s.í.t.

22. ábra. A törtek táblázata

De most arról van szó, hogy ezeket egyetlen sorozatba rendezzük. Ez megtörténhetik úgy, hogy a berajzolt ferde vonalak mentén elhelyezkedő számokat írjuk rendre egymás után; így persze előbb-utóbb mind sorrakerülnek:

1 1 , 2 1 , 1 2 , 3 1 , 2 2 , 1 3 , 4 1 , 3 2 , 2 3 , 1 4 , 5 1 , 4 2 , 3 3 , 2 4 , 1 5 ,

Egyre hosszabb, de mindig véges sok számból álló csoportok követik egymást, tehát csakugyan egyetlen sorozatot kapunk, aminek felírását bárki folytathatja, ha megértette a képezési szabályt; sőt akkor is, ha rá se néz a fenti táblázat ferde vonalaira, de észreveszi, hogy az első csoportban levő egyetlen tört számlálójának és nevezőjének összege 2, a második csoport mindkét törtjében 3 a számláló és nevező összege, a harmadik csoport törtjében 4, s.í.t., az utoljára felírt csoportban 6. Ennek alapján ugyanis 7=6+1=5+2=4+3=3+4=2+5=1+6 lévén, a következő csoport így képezhető:

6 1 , 5 2 , 4 3 , 3 4 , 2 5 , 1 6 ,

és most már bárki gépiesen folytathatja az eljárást.

Márpedig egy végtelen sorozat éppen akkor tekinthető teljesen megadottnak, ha a benne levő törvényszerűség felismerése után akármeddig felírhatja a tagjait akárki.

Sorozatunkban persze megegyező értékű számok is lesznek, hiszen ezt már a számvonalakon is láttuk, ha tehát csak egyszer akarunk felírni minden racionális számot, akkor a képezési szabályhoz azt is hozzá kell venni, hogy a közben fellépő egyszerűsíthető törteket hagyjuk ki. A sorozat eddig felírt részéből például 22,22,33,24 marad ki, ezek közül 22,33 1-gyel, 42 a 21-gyel, 24 az 12-vel egyenlő értékű, tehát valójában így kezdődik a racionális számok sorozata:

1 1 , 2 1 , 1 2 , 3 1 , 1 3 , 4 1 , 3 2 , 2 3 , 1 4 , 5 1 , 1 5 , ,

és ez gépiesen folytatható. Így sorra meg tudom mondani, hogy mi e sorozat első, második, harmadik, ... tagja: a sorozat megszámozható; kissé félreérthető szakkifejezéssel megszámlálhatónak’’ mondják.

Ez az egyszerű tény ismét valami meglepő jelenségre világít rá; arra, hogy a racionális számok (vagyis valamennyi tört) határtalan sűrűsége ellenére, egy bizonyos értelemben ugyanannyi’’ racionális szám van, mint egész szám. Hogyan lehet végtelen sokaságokat összehasonlítani egymással?

Erre egy egyszerű mód kínálkozik. Ha egy tánciskolában tudni akarom: ugyanannyi fiú van-e jelen, mint lány, nem kell őket külön-külön megszámlálnom. Elég az a felszólítás: tessék táncra kérni a hölgyeket! Ha azután egyetlen fiú sem marad pár nélkül és egyetlen lány sem árul petrezselymet, akkor már tudom, hogy egyenlő sokan vannak. Ezt az összehasonlítási módot végtelen számosságokra is át lehet vinni, ha két végtelen halmaz elemeit össze lehet párosítani egymással úgy, hogy egyik halmazból se maradjon pár nélkül egyetlen elem se, akkor azt mondjuk, hogy ezek a halmazok egyenlő számosságúak.

Mármost a racionális számok imént felírt sorozata összepárosítható a természetes számok 1, 2, 3, 4, 5, 6,... sorozatával. Az 1-et sorozatunk első tagjával: 11-gyel párosítsuk össze, a 2-t sorozatunk második tagjával: 21-gyel, a 3-at 12-vel, s.í.t., pl. 10-et a sorozat tizedik tagjával, 51-gyel; ha azt akarom tudni, hogy 100-nak mi lesz a párja, előbb a megadott eljárással előállítom a racionális számok sorozatának századik tagját és az lesz. Világos, hogy ezt az összepárosítást bárki bármeddig folytathatja, és lehetetlenség akár a természetes számok, akár a racionális számok sorozatában egyetlen elemet is megadni, amely így pár nélkül maradna. Tehát ebben az értelemben a racionális számok halmaza és a természetes számok halmaza valóban egyenlő számosságú, annak ellenére, hogy a racionális számok mindenütt sűrű halmazában az egész számok is el vannak szórva mazsolák gyanánt, látszólag elenyésző kisebbségben.

Ez megint rávilágít egy nagy fontosságú jelenségre: a végtelennel nagyon csínján kell bánni. Vannak, akik mindenre érvényes logikai elvnek tekintik, hogy a rész kisebb az egésznél, de most láttunk egy ellenpéldát: a természetes számok csak egy elenyésző részét teszik ki a racionális számok halmazának, mégis ugyanakkora a számosságuk. Az ilyen általános logikai elveket a tapasztalatok egész sokaságából vonta el az ember, de minden tapasztalat csak a végesben játszódhatott le. Sok zavarra vezetett már, hogy a végesben tapasztaltakból leszűrt elvet rá akarták húzni a végtelenre is. A végtelen ráz egyet magán és kibújik alóla.

Hogy az ember mégis nagyon berzenkedik az ellen, hogy bárhol is egyenlővé válhasson a rész az egésszel, annak bizonyára az az oka, hogy nemcsak a tapasztalás tartja fenn a logikai elveket, hanem tudatalatti erők is.

Az ember szinte az erkölcsi világrendet érzi meginogni attól, hogy a rész versenyre kelhet az egésszel. De talán éppen ezért jelenti egy kicsit a tiltott gyümölcs örömét is a kimerészkedés a szigorú törvények világából a szabadabb végtelenbe.

1.4.3 Péter Rózsa: Ismét megfogjuk a végtelent

Megjelent: Péter Rózsa: Játék a végtelennel. TK. 1977.

Térjünk vissza egy kis időre a végtelenből a kézzelfogható világba, és gondoljunk megint arra, hogy a kezünkön, amellyel ezt a világot megfogni próbáljuk, 10 ujj van. Nem lehetne-e a törteket is belekényszeríteni a tízes számrendszerbe?

Emlékezzünk csak vissza: az egyesektől balra volt a 10-szer akkora egységek, a tízesek helye, ezektől balra következtek a tízszerte nagyobb százasok, s.í.t. Szinte magától kínálkozik, hogy ezt a rendet jobb felé is folytassuk: az egyesektől jobbra írjuk az első helyre a tizedeket, a második helyre a tizedek tizedrészeit, a századokat, a harmadikra az ezredeket, s.í.t. De ezeket az új egységeket valahogyan el kell választani az egyesektől, mert hiába gondolom én, hogy 12-ben az 1 egy egyest, a 2 két tizedet jelent, ezt minden más ember mégis tizenkettőnek fogja olvasni. Ezért teszik ki az ún. tizedesvesszőt’’: 1,2 és nem szabad elfeiejteni, hogy ez csak rövidítés 1+210 helyett; ugyanígy

32 , 456 = 32 + 4 10 + 5 100 + 6 1000 .

Így jutunk a tizedesszámokhoz.

Azok a törtek, amelyeknek a nevezője 10, 100, 1000, vagy a tízes számrendszer bármely más egysége, mind felírható tizedesalakban is. Pl.

23 100 = 20 100 + 3 100 .

20 100 -ot egyszerűsíthetjük úgy, hogy a számlálóját is, a nevezőjét is osztjuk 10-zel:

23 100 = 2 10 + 3 100 ,

és egészek ebben nincsenek, tehát végülis 23100=0,23.

De vajon minden tört felírható-e tizedesszám gyanánt?

Az átalakítás legegyszerűbb módja az, hogy elvégezzük a törtalakban kijelölt osztást:

6 5 = 6 : 5 = 1 marad 1 ,

a megmaradó 1-et tizedekre váltjuk, így 10 tized lesz belőle, ezt 5-tel osztva 2 tizedet kapunk, így az eredményben ki kell tenni a tizedesvesszőt: 6 : 5 = 1,2, tehát 65=1,2.

Hasonlóan 725=7:25=0,2. Most 20 tized maradt, ezt 200 századra válthatjuk fel, ha 200 századot 25-tel osztunk, 8 századot kapunk: 7 : 25 = 0,28, tehát 725=0,28.

De gyakran már a legegyszerűbb esetekben megakadunk!

4 9 = 4 : 9 = 0 , 44 40 40 4

ez az osztás sohasem fejeződik be; akármeddig is folytatjuk, addig marad még 4. Tehát 49 nem írható fel tizedesszám gyanánt. Pedig milyen kényelmes tizedesszámokkal számolni! Hogy csak egy példát hozzak föl erre: micsoda gyerekjáték egy tizedesszámot 10-zel megszorozni!

Ha pl. ez a feladat:

45 , 365 10 ,

akkor csak arra kell gondolnunk, hogy 4 tízes 10-szerese 4 százas, 5 egyes 10-szerese 5 tízes, 3 tized 10-szerese 3 egész, s.í.t. Rögtön látjuk, hogy az egész feladatot elintézhetjuk azzal, hogy a tizedesvesszőt egy hellyel jobbra visszük:

453 , 65 ,

hiszen így minden helyi érték eggyel halra tolódott, és pl. a tízesekből százasok lettek. Ha az eredményt még egyszer megszorozzuk 10-zel:

4536 , 5 ,

akkor már az eredeti szám 100-szorosát kapjuk (pl. az 5 egyesből itt 5 százas lett), és ebből rögtön látható, hogy 100-zal úgy szorozhatunk, hogy két hellyel visszük jobbra a tizedesvesszőt.

Ugyanígy látható be, hogy 10-zel osztani a tizedesvessző balra tolása útján lehet. Ez pedig igazán nem nagy fáradság. De jó volna minden törtet tizedesalakban írni!

Hát nézzük csak meg újra, hol akadtunk meg?

4 9 = 4 : 9 = 0 , 44 40 40 4

itt mindig 4 marad, abból mindig 40 lesz, ha felváltjuk kisebb egységekre, és 40-ben a 9 mindig 4-szer van meg. Ha ez az osztás nem is ér soha véget, mégis teljesen a kezünkben van az eredménye: 4-es ismétlődik benne a végtelenségig.

Erre azt mondja a gyakorlat embere: még ha véget is érne ez az osztás pl. a tizedik tagjánál, én akkor sem használnám fel az egész eredményt. Hiszen nekem legfeljebb deciliterekre van szükségem (és egy deciliter annyi, mint egy tized liter), vagy centiméterekre (és egy centiméter a méter századrésze) esetleg grammokra (és egy gramm ezredrésze a kilogrammnak); azt az elenyészően csekély mennyiséget, ami még egy ezredrész után van, igazán szőrszálhasogatás figyelembe venni. Nekem az egész végtelen tizedesszámból csak ennyi kell

0,4 vagy 0,44 vagy 0,444,

tehát úgy számolhatok 49-del is, mint egy becsületes véges tizedesszámmal.

A fizikusnak ennél több jegyre is lehet szüksége a maga jóval pontosabb méréseiben, de ezekben is van egy ún. hibahatár: a fizikus meg tudja becsülni, hogy az ember érzékszerveinek és az eszközök tökéletlenségének következtében körülbelül mekkora ingadozás várható a kísérletek megismétlésekor, és ennél kisebb tizedesjegyet már a számolásban sem érdemes figyelembe vennie. Feltehető, hogy az eszközök tökéletesedni fognak, a mérések hibahatára szűkebb lesz, de valami hiba mindig fenn fog maradni, valahol ha nagyon messze is meg lehet majd állni

0 , 4444

tizedesjegyeinek sorában. Nem baj, hogy nem tudjuk előre: meddig kell majd elmennünk a távoli jövőben; azt előre is tudjuk, hogy még oly messzire is sikerülni fog elmenni, mert 49-nek ezt a kifejtését minden határon túl ismerjük: tudjuk, hogy minden határon túl ismét csak 4-esek következnek.

Hát legalább ilyen értelemben tizedesszámmá alakítható-e minden tört? Vagy másképpen téve fel a kérdést: ha egy osztás sohasem fejeződik be, legalább valamilyen szabály szerint követik-e egymást az eredmény tizedesjegyei, úgy, hogy az mégis ad áttekintést az egészről?

Könnyen belátható, hogy erre már igennel felelhetünk: minden ilyen kifejtés előbb-utóbb szakaszossá’’ válik, előbb-utóbb fellép benne egy számcsoport, amely ettől kezdve állandóan ismétlődik.

Vizsgáljuk meg például a 2122 törtet.

Ha 22-vel osztunk, a maradék mindenesetre 22-nél kevesebb; ha tehát sohasem fejeződik be az osztás, minden maradék az

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21

számok egyike. Tegyük fel, hogy van egy 21 fiókos szekrényünk, és e számok egy-egy fiók feliratai. Ha osztás közben pl. 7 marad egyszer, akkor a 7-es fiókba beteszünk egy golyót. Ha az osztást türelmesen folytatjuk, a 22-ik lépéskor már 22 golyót kellett elhelyezni a 21 fiókban, és így bizonyos, hogy lesz fiók, amelybe két golyó is jut: legkésőbb 21 lépés után meg kell ismétlődnie valamelyik maradéknak. De ha szerencsénk van, már jóval előbb megismétlődik valamelyikük, s ha egyszer ugyanaz a maradék, innen kezdve minden megismétlődik. Figyeljük meg ezt a példánkon:

21 22 = 21 : 22 = 0 , 954 210 120 100 12 ,

megálljunk! ... már volt egyszer 12-es maradék. Itt kezdődik az ismétlődés:

21 : 22 = 0 , 9545454 210 120 100 120 100 120 100

tehát egyetlen rendellenes’’ 9-estől eltekintve 54 ismétlődik a végtelenségig.

Fordítva, ha ilyen szakaszos tizedesszámmal állunk szemben, rá lehet ismerni, hogy ez melyik törtnek a kifejezése. Induljunk ki 0,9545454...-ből és tegyük fel, hogy még nem ismerjük azt a törtet, amely ehhez vezetett. Ha nem ismerjük, nevezzük el x-nek:

x = 0 , 9545454

Ha ezt 1000-rel szorozzuk, azaz három hellyel jobbra visszük a tizedesvesszőt, éppen az első szakasz végéig terjedő rész kerül az egészek helyére:

1000 x = 954 , 5454

Ha pedig 10-zel szorozzuk x-et, az egészek helyére éppen a szakaszok előtti rendellenes rész kerül:

10 x = 9 , 5454

Ha az előbbiből kivonjuk az utóbbit, akkor egyrészt x-nek 1000-szereséből a 10-szeresét kell elvenni, és így x-nek a 990-szerese marad, másrészt a tizedesvessző utáni részek mindkét számban 54 végtelen megismétlődéséből állnak és így teljesen megegyeznek, tehát kivonáskor kiesnek: 954 és 9 különbsége pedig 945, így végül

990 x = 945 .

Vigyük még a 990-es szorzót osztóul a jobboldalra:

x = 945 990

Ezt a törtet 45-tel lehet egyszerűsíteni:

945 = 45 21 és 990=4522,

tehát

x = 21 22

és tudtuk is, hogy ennyi.

Közben azonban elkövettünk egy vigyázatlan lépést: nem figyeltünk a végtelenre. 0,9545454...-et itt nem csak egy bizonyos pontosságig, hanem a végtelenségig felírva képzeltük el és úgy szorozgattuk, mintha csak valami véges szám lenne. Mi jogon tesszük fel eleve, hogy 0,9545454...-nak van valami véges értelme?

A továbbiakat inkább egy egyszerűbb példán gondoljuk végig, hiszen az ugyanolyan problematikus, hogy 1,1111...-nek, ahol az 1-esek a végtelenségig ismétlődnek, véges értelme van-e. Érdekes, hogy egy ilyen végtelen tizedeskifejtésen nem szoktak fennakadni az emberek, de azon már megütköznek, ha ilyen végtelen összeadást látnak:

1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + 1 10000 + a vgtelensgig,

holott ez csak más írásmód az előbbi helyett. De nem azt hibáztatom, hogy az utóbbin megütköznek, inkább azt, hogy az első alakban elfogadják ugyanezt.

Mert az

1 , 1 10 , 1 100 , 1 1000 , 1 10000 ,

sorozatot még a maga végtelenségében is adottnak tekinthetjük, hiszen akárki akármeddig folytathatja, de olyan végigjártnak tekinteni ezt a végtelen utat, hogy a tagjait mind össze is adhassuk, mégiscsak merész elképzelés.

Mit kell ezen érteni?

Egy ismert matematikusunk még kisdiák korában a következő példával világította meg önmagának a végtelen sor összegének fogalmát.

Volt egy csokoládéfajta, amit úgy akartak népszerűvé tenni, hogy szelvényt is csomagoltak a burkoló ezüstpapírba, és aki 10 ilyen szelvényt beszolgáltatott, az egy újabb tábla csokoládét kapott cserébe. Ha van egy ilyen tábla csokoládém, a teljes csomagolásban, mennyit ér ez valójában?

Természetesen nemcsak 1 tábla csokoládét ér, mert a szelvény is benne van, és egy szelvényért adnak 110 csokoládét (hiszen 10-ért lehet egy csokoládét kapni). De ehhez a tizedcsokoládéhoz egy tized szelvény is jár, s ha egy szelvényért 110 csokoládét kaphatunk, akkor az 110 szelvényért ennek a tizedrészét: 1100 csokoládét. Ehhez az 1100 csokoládéhoz tartozik egy század szelvényrészlet is, és ezért ismét tizedannyit adnak, 1100-nak a tizedrésze pedig 11000 csokoládé. S í.t., a végtelenségig; látható, hogy ez sohasem szakad meg és így az én 1 tábla csokoládém szelvényestül voltaképpen

1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + 1 10000 +

csokoládét ér.

Másrészt meg fogom mutatni, hogy egész pontosan 119 csokoládé az értéke. Az ebben levő 1 egész természetesen magának a természetben adott csokoládénak az értéke, tehát csak azt kell megmutatnom, hogy az ehhez mellékelt szelvény 19 csokoládét ér. Ehhez elég azt bizonyítanom, hogy 9 szelvény ér 1 csokoládét, mert akkor hiztos, hogy egy szelvény ennek a 9-ed részét éri. Márpedig az egy pillanat alatt igazolható, hogy 9 szelvény értéke egész pontosan 1 csokoládé. Mert tegyük fel, hogy nekem van 9 szelvényem; bemegyek a cukorkaüzletbe és ezt mondom: Kérek egy tábla csokoládét; itt a helyszínen szeretném elfogyasztani és majd a végén fizetek.’’ Elfogyasztom a csokoládét, kiveszem a hozzá csatolt szelvényt, és most már l0 szelvényem van, csakugyan fizethetek, és ez tiszta üzlet: megettem egy csokoládét, és egy fia szelvényem sem maradt. A 9 szelvény pontos ellenértéke tehát valóban 1 csokoládé, 1 szelvényé 19 csokoládé, egy csokoládéé szelvényestül 119 csokoládé. Tehát az

1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + 1 10000 +

végtelen sor összege egész pontosan 119, kézzel foghatóan, sőt megehetően.

Így fogalmazhatjuk meg ezt az eredményt: ha valami első, durva közelítésben 1, valamivel finomabb közelítésben 1+110 még jobb közelítésben, de még mindig pontatlanul 1+110+1100, s.í.t. a végtelenségig, akkor ez a valami teljes pontossággal 119.

1.4.4 Pólya György: Egy szerkesztési feladat

Részlet A gondolkodás iskolájából. []

Adott háromszögbe írjunk négyzetet úgy, hogy két csúcsa a háromszög alapjára, a másik két csúcsa pedig a háromszög másik két oldalára essék.

Mit keresünk?’’

Egy négyzetet.’’

Mi van adva?’’

Egy háromszög, semmi más.’’

Mit kötünk ki?’’

A négyzet négy csúcsa a háromszög kerületén legyen, kettő a háromszög alapján, a másik kettő pedig a másik két oldalon.’’

Kielégíthető-e a kikötés?’’

Azt hiszem, igen. Nem vagyok egészen biztos benne.’’

Úgy látom, nem találod túl könnyűnek a feladatot. Ha nem boldogulsz a kitűzött feladattal, próbálkozz először egy rokon feladattal. Nem tudnád kielégíteni a kikötésnek egy részét?’’

Mit értsek a kikötés egy részén?’’

Láthatod, hogy a kikötés a négyzet négy csúcspontjára vonatkozik. Hány csúcsa van a négyzenek?’’

Négy.’’

Hát ne tégy kikötést mind a négy csúcsra. Tartsd meg a kikötés egy részét, a többit ejtsd el. Melyik csúcsra vonatkozó kikötésnek lehet könnyen eleget tenni?’’

Könnyű olyan négyzetet rajzolni, amelynek két, sőt három csúcsa a kerületen fekszik.’’

Rajzolj ábrát!’’

A diák felrajzolja az ábrát.

23. ábra. A diák ábrája

A kikötés egy részét tartottad csak meg, a többit elejtetted. Mennyire van így meghatározva az ismeretlen?’’

A négyzet így nincs egyértelműen meghatározva, több olyan négyzet is van, amelynek három csúcsa fekszik a háromszög kerületén.’’

Helyes. Rajzolj ábrát!’’ A diák felrajzolja az ábrát.

24. ábra. A diák újabb ábrája

Azt mondod, hogy a kikötés megmaradt része nem határozza meg egyértelműen a négyzetet. Hát hogyan változhat?’’ ...

A négyzet három csúcsa a háromszög kerületén van, de a negyedik nincs még azon a helyen, ahol lennie kellene. Mint mondtad, a négyzet még nincs egyértelműen meghatározva, változhat még. Ugyanezt mondhatjuk a négyzet negyedik csúcspontjáról. Mennyiben változhat a negyedik csúcs helyzete?’’

...

Ha akarod, vizsgáld meg kísérleti úton. Rajzolj több olyan négyzetet, amelynek három csúcsa a háromszög kerületén van, az előbb rajzolt kettőhöz hasonló elhelyezésben. Rajzolj kis és nagy négyzeteket. Vajon milyen alakzatot ír le a negyedik csúcs? Hogyan változhat?’’

A tanár most már igen közel hozta a tanulót a megoldás alapötletéhez: ha a tanuló megsejti, hogy a negyedik csúcs egyenest ír le, akkor már helyben is van.

1.4.5 Pólya György: Dogmatizmus és alkotó szellem

Részlet A gondolkodás iskolájából. [] Dogmatizmus és alkotó szellem két egymással ellentétes magatartás szabályokkal szemben.

1. A dogmatizmus a szabály betű szerinti, merev, vak alkalmazása olyan esetekben, amelyekre a szabály alkalmazható és olyan esetekben is, amelyekre a szabály nem alkalmazható. Sok dogmatikus egyszerűen ostoba, akinek sohasem sikerült megértenie, mi is az a szabály, amellyel ő olyan lelkiismeretesen és megkülönböztetés nélkül operál.

Más dogmatikusok egészen eredményesek; ezek legalább kezdetben mielőtt dogmatikusokká lettek értették a szabályokat, és emellett jó szabályt választottak, olyat, amely sokszor beválik és csak egyes esetekben mond csődöt.

Az igazi alkotó szellem a szabály természetes könnyedséggel az ítélőképességgel való alkalmazásában nyilvánul meg olyankor, mikor a szabály valóban alkalmazható, anélkül azonban, hogy a szabály szavai akár egy pillanatra is elfeledtetnék a feladat lényegét, vagy a helyzet kívánta lehetőségeket.

2. Gyűjteményünk kérdései és útmutatásai segíthetnek mind a feladatmegoldóknak, mind a tanároknak. Ehhez azonban először is az kell, hogy értsék meg jól ezeket a kérdéseket és útmutatásokat, sajátítsák el helyes használatukat, próbálkozások és tévedések, kudarcok és sikerek árán szerezve tapasztalatot alkalmazásukban. Másodszor: sohasem szabad ezeket dogmatikusan alkalmazni. Soha ne tégy fel kérdést, soha ne alkalmazz útmutatást vakon, megkülönböztetés nélkül, merev szokás rabjaként. Légy felkészülve több kérdésre és útmutatásra, és használd eszedet és ítélőképességedet. Nehéz és izgalmas feladattal van dolgod? Ösztönözze lépéseidet a feladat figyelmes és elfogulatlan vizsgálata. Segíteni akarsz a diákon? Amit mondasz neki, fakadjon az ő nehézségeinek együttérző megértéséből.

De ha hajlamodnál fogva dogmatikus vagy, és kénytelen vagy valamilyen szabályra támaszkodni, akkor a következő szabályt vésd fejedbe: A legelső az, hogy vedd elő saját eszedet.

1.4.6 Pólya György: Egyenletek felállítása

Részlet A gondolkodás iskolájából. []

Egyenletek felállítása olyan művelet, amely hasonlít az egyik nyelvből a másik nyelvre való fordításra. Ez a hasonlat, melyet Newton használt Arithmetica Universalis-ában, hozzájárulhat ahhoz, hogy tisztázzuk azoknak a nehézségeknek a természetét, melyeket diákok és tanárok ezzel kapcsolatban egyaránt éreznek.

1. Egyenletet felállítani azt jelenti, hogy matematikai szimbólumokkal kell kifejezni egy szavakban kifejezett kikötést: közönséges nyelvről le kell a szöveget fordítani a matematikai kifejezések nyelvére. Azok a nehézségek, amelyek egyenletek felállításakor felmerülnek, fordítási nehézségek.

Ahhoz, hogy egy mondatot magyarról franciára fordítsunk, két dolog szükséges. Először is maradéktalanul meg kell értenünk a magyar mondatot. Másodszor jól kell ismernünk a francia nyelv sajátos kifejezési formáit. Ugyanúgy áll a helyzet akkor is, amikor egy szavakban megadott kikötést matematikai szimbólumokkal akarunk kifejezni. Először is alaposan meg kell értenünk a kikötést. Másodszor jól kell ismernünk a matematika sajátos kifejezési formáit.

Egy magyar mondatot aránylag könnyű szóról szóra franciára fordítani. De vannak olyan magyar kifejezésmódok, amelyeket nem lehet szó szerint lefordítani. Ha mondatunkban előfordul egy ilyen kifejezésmód, akkor nehéz lesz a fordítás: nem annyira az egyes szavaknak, mint inkább a mondat egészének értelmére kell figyelnünk; mielőtt a mondatot lefordítjuk, át kell alakítanunk.

Sokban hasonló a helyzet az egyenletek felállításával kapcsolatban is. Könnyű esetekben a szöveges fogalmazás úgyszólván automatikusan tagolódik olyan egymást követő részekre, amelyek közvetlenül átírhatók matematikai szimbólumokba. Nehezebb esetekben a kikötés egyes részei nem fordíthatók le közvetlenül a matematikai szimbólumok nyelvére. Ebben az esetben nem annyira magára a szövegre kell figyelnünk, mint inkább a szöveg értelmére. Mielőtt megkezdjük leírni matematikai jelekkel, esetleg át kell rendeznünk a kikötést. Közben szem előtt kell tartanunk azt is, hogy a matematikai jelölésmódoknak milyen lehetőségei állnak rendelkezésünkre.

Akár könnyű, akár nehéz esetről is van azonban szó, meg kell értenünk a kikötést, szét kell választanunk a kikötés különböző részeit, és fel kell tennünk a kérdést: Le tudod-e írni őket? Könnyű esetekben előfordulhat, hogy a kikötést azonnal szét tudjuk tagolni matematikai szimbólumokkal kifejezhető részekre; nehéz esetekben nemegyszer távolról sem magától értetődő, hogyan lehet a kikötést elemeire bontani.

1.4.7 Pólya György: Előrehaladás és elért eredmény

Részlet A gondolkodás iskolájából. []

Előrejutottál már valamennyire? Mi lényegeset értél el? A feladat megoldása közben nem árt, ha akár saját magunknak, akár a diákoknak feltesszük ezeket a kérdéseket. Így megszokjuk, hogy az egyes konkrét esetekben előrehaladásunkat és eredményeinket többé-kevésbé megbecsüljük. Konkrét esetekben ez még csak megy, de az előrehaladás és az elért eredmény általános jellemzése nem könnyű feladat. Pedig ezt a lépést a konkréttól az általánosig meg kell tennünk, ha heurisztikai tanulmányainkat valamennyire is teljessé akarjuk tenni: általánosságban kell tisztáznunk, hogy a feladatmegoldásban mi határozza meg az előrehaladást és az eredményeket.

1. Ahhoz, hogy megoldjunk egy feladatot, mindenekelőtt tudnunk kell, miről van szó benne. Ki kell válogatnunk és össze kell gyűjtenünk az odavágó elemeket kezdetben még alvó tudásunkból. A megoldás végén a feladatról alkotott képünk sokkal gazdagabb, mint az elején. Sokkal többet értünk meg a feladatból, mint eleinte. Miből származik ez a többlet? Abból, amit közben tudásanyagunkból elővettünk. Ahhoz, hogy megkapjuk a megoldást, különböző lényeges tényeket kell felidéznünk. Ha matematikai feladatról van szó, vissza kell emlékeznünk korábban megoldott feladatokra, ismert tételekre, definíciókra. Az ilyen lényeges elemeknek tudásanyagunkból való kikeresését mozgósításnak nevezhetjük.

2. Ahhoz azonban, hogy megoldjunk egy feladatot, nem elég egyes elszigetelt tényeket felidézni, hanem a tényeket össze kell kapcsolnunk egymással. Az összekapcsolás meg kell, hogy feleljen a feladat természetének. Ha matematikai feladatról van szó, a felidézett anyagot a bizonyítás során egységes egésszé kell formálnunk. Ezt az összeillesztő és összekapcsoló tevékenységet szervezésnek nevezhetjük.

3. A valóságban a mozgósítást és a szervezést sohasem lehet egymástól szétválasztani. Ha feszült figyelemmel dolgozunk egy feladaton, csak olyan tényeket mozgósítunk tudásanyagunkból, amelyek többé-kevésbé összefüggésben állnak célunkkal és ezután már nincs más dolgunk, mint a felidézett és mozgósított anyagot összekapcsolni és megszervezni.

A mozgósítás és szervezés csupán két mozzanata ugyanannak az összetett folyamatnak, amelynek még több más mozzanata is van.

4. Munkánk előrehaladásának egy másik mozzanata az, hogy felfogásmódunk megváltozik. A feladatról alkotott felfogásunkat a felidézett, odaillesztett, bedolgozott anyag jelentősen gazdagítja. Feladatunkat a bizonyítás végén sokkal jobban értjük, mint amikor hozzáfogtunk.

Hogy feladatunk kezdeti felfogásától mélyebb, megfelelőbb felfogáshoz juthassunk el, egyre újabb álláspontokat kísérletezünk ki, különböző szempontok felől közelítjük meg a feladatot. Aligha haladhatnánk előre FELADATUNK VARIÁLÁSA nélkül.

1.4.8 Varga Tanás: Matematika születőfélben

Megjelent a Néhány hazai és külföldi kísérlet kötetben, 1972-ben.

Nevetni és sírni egyszerre lehetne azon, milyennek látják a matematikát máskülönben művelt, tudós emberek is. Összetévesztik a torzképével. De hát ki a hibás? Hátha nem is találkoztak az igazival, csak hitvány utánzatával? SELYE JÁNOS, a stressz világhírű kutatója így ír (Álomtól a felfedezésig, 342.old.): Sokszor hallom, hogy minden embernek, akármivel foglalkozik, alapos logikai és matematikai képzést kellene kapnia, mert így tanul meg gondolkodni. Én ezt nem hiszem. Sőt, ez az ismeret csak megbéníthatja a félig-meddig intuitív gondolkodás szabad áramlását, amely például az orvostudományi kutatás legmélyebb alapja. A formális logika és a matematika kétségkívül megtanít arra, hogyan gondolkodjunk a formális logikáról és a matematikáról.’’ Nehéz helyzetbe hoztam magam ezzel az idézettel, mert Selye professzor nagy tekintély. Miért hinnék el nekem jobban, mint neki, mire jó és mire rossz a matematika? (S vele bölcsen párosítva, a logika.) Pedig nyilvánvaló, hogy nem az igaziról beszél, hanem az utánzatáról.

Arról viszont találóan nyilatkozik. Hasonlata a szabad áramlás megbénításáról telitalálat. Nem úgy tanultuk-e legtöbben a matematikát, hogy ha zárójelet látsz, bontsd fel? Hogy mindenre van valami szabály vagy képlet, s ezt a sok szabályt, képletet meg kell tanulni, és pontosan tudni kell alkalmazni?

Lassan mégis utat tör magának az iskolában az a másik matematika, az igazi, amely nincs sínhez kötve. Amelyben helye van a gondolatok szabad áramlásának, a fantáziának, az intuíciónak és igen az esztétikumnak, a szép keresésének is. A születőfélben levő, in statu nascendi matematika, ahogy PÓLYA GYÖRGY nevezi.

Az alkotó matematikusok mindig is ilyennek ismerték a matematikát.

Különös: az iskolai matematika gyakran azzal igyekszik a tudományosság látszatát kelteni, hogy rejtegeti kialakulásának nyomait, intuitív vonásait. Végleges, deduktív tudomány képében igyekszik azonnal megjelenni, mintha szégyellné a származását. De éppen ezzel válik tudománytalanná. S ezzel teszi az érett, deduktív matematikát hozzáférhetetlenné.

Hozzáférhetővé akkor válik a gyerekek számára a matematika, ha vállalja, hogy félkész áru.

Vagy talán inkább barkácskészlet: egy csomó alkatrész, amiből a gyerek építhet. Mégpedig nemcsak egyfélét, hanem fantáziáját, intuícióját, gondolatainak szabad áramlását’’ is segítségül híva ezt meg azt. De persze nem akármiféle limlomot, hanem csupa szép, érdekes, hasznos, fontos dolgot. Hiszen ezek tudják igazán megmozgatni a fantáziát is.

Csak a művészi alkotótevékenységen és a tudományos kutatómunkán át vezet út a deduktív matematika megértése felé. Aki nem tud egy kicsit művész és egy kicsit tudós lenni, az a matematikából csak a formulákat látja, maga a matematika idegen marad neki.

De hát elvárhatjuk-e, hogy mindenkiből (hacsak kicsit is) művész és tudós legyen? Eszerint igaz volna, hogy a matematika kevesek kiváltsága?

Ezt persze szívesen elhiszik sokan. Az is, aki úgy érzi, hogy a kiváltságosak közé tartozik (lám, ő kivételes adomány birtokosa), de az is, aki a másik osztályba sorolja magát (hiszen akkor nem kell szégyellnie, hogy nem érti a matematikát, osztozik ebben a többséggel: ők is a normálisak, amazok a furcsák).

Hadd mondok ki egy hipotézist: matematikai művész- és tudósképzésre minden szellemileg ép gyerek alkalmas.

A képességek különbözőek, ez igaz; de azért ha egy gyereknek nehéz a matek’’ többnyire nem a képességeivel van baj, hanem azzal, hogy az alkotókedvét nem sikerült megmozgatni. Ha ez sikerül, akkor hatékonyabb és etikailag veszélytelenebb motivációs erőhöz jutunk, mint az ösztönzésül osztogatott csillagocskák meg ötösök.

Ezt a hipotézist persze igazolni is kell, sok oldalról, különböző körülmények között.

Ezen dolgozik egy munkaközösség az Országos Pedagógiai Intézet irányításával, 1962 óta. Már száznál több osztályban, Szombathelytől Sárospatakig. Alkalmazkodva a mindenkori valósághoz, de a távolabbi célok tudatában. Ezen dolgozik még sok munkaközösség világszerte.

Úgy látszik, a matematika tanításának humánusabbá tételéhez megértek a feltételek. Lehet, hogy most egy vagy két évtized alatt nagyobbat lép előre az iskolai matematika, mint az előző száz évben,

Nem abban, hogy még nagyobb súllyal nehezedik a gyerekekre, hanem abban, hogy közelebb kerül hozzájuk és beépül a gondolkodásukba az a sok pozitívum, amit a korszerű matematika adhat. Azok nélkül a negatívumok nélkül, amikkel a nem korszerű, a formálisan tanult matematika csakugyan merevebbé teheti valakinek a gondolkodását.

Érdekes volna elemezni azokat a feltételeket, amelyek egyrészt szükségessé, másrészt lehetségessé tették a fordulatot:

  • a matematika XIX. és XX. századi fejlődését (ami az iskolai anyagot szinte érintetlenül hagyta);

  • az egységesítő tendenciák térnyerését az utóbbi évtizedekben; azt a felismerést, hogy az egységesebbé váló matematika iskolai anyagnak is könnyebb, mint az, amit megszoktunk;

  • az abból eredő (máig is erős) ellenállásnak a lassú leküzdését, hogy hajlamosak vagyunk könnyebbnek tekinteni (másokra vetítve is) azt, amit megszoktunk.

Aztán a pszichológia némely új eredményét, ezzel együtt a pedagógiai szemlélet átalakulását;

  • többek között a belső motiváció fontosságának elfogadását;

  • vagy annak pontosabb körvonalazását; mit várhatunk a gyerekektől már kicsi korukban, amit azelőtt fel sem tételeztünk volna, viszont mit nem várhatunk, amit azelőtt reménytelenül hajszoltunk ...

De beszéljünk a fordulatnak csak egyetlen, talán legfőbb mozgatójáról: a tudományos-technikai forradalomról. Arról, hogy az ember, miután testi erejét a gépek munkába állításával az elmúlt egy-két évszázad alatt gyorsuló ütemben megsokszorozta (ma a föld minden lakosára átlagosan annyi energia jut, mintha több tucatnyi rabszolgát hajszolna reggeltől estig), most szellemi erejét kezdi gondolkozó’’ géprabszolgák útján még nagyobb mértékben fokozni.

Az a számtani anyag és azok a tanítási módszerek, amelyek minden eddigi reform ellenére ma is élnek és hatnak, akkor alakultak ki, amikor gépek híján emberek adtak össze hosszú számoszlopokat, végeztek olyan számításokat, amelyeket a mai gépek ezred-, milliomodannyi idő alatt megbízhatóbban tudnak elvégezni.

A növekedés ütemére jellemző, hogy földünkön az egy főre jutó energiatermelés körülbelül minden évtizedben kétszereződik meg (ez sem csekélység!), a számológépkapacitás viszont már két-három évenként.

Iszonyatos hatalom birtokába kerül az emberiség, és ez a pedagógia felelősségét is növeli, feladatait is befolyásolja. Jóra használja-e és értelmesen használja-e növekvő erőit a viharosan serdülő emberiség?

A matematika tanításának tartalmát és módszereit közvetlenül az utóbbi kérdés érinti. (Közvetve persze az előbbi, a húsba vágóbb is.)

Mégpedig nem felületesen érinti, hanem alapvetően meghatározza.

A jövő embere tisztán fogja látni, mire képes és mire nem képes a komputer (és a kisebb gépek egész skálája). Saját képességeit aszerint fejleszti, s ez értelmi tevékenységében lényeges hangsúlyeltolódásokra vezet.

Persze csak nagy fáziskéséssel; de nemzetek és társadalmak maradhatnak le vagy törhetnek föl annak következtében, hogy mekkora ez a fáziskésés.

A mechanikus készségek szerepe csökken, illetve olyan mértékig marad meg, milyen mértékig segítik más, fontosabb, a gépekkel szemben versenyképes vagy éppen helyettesíthetetlen képességek például az ötletesség és az absztrakciós képesség fejlődését.

Két példát mondok erre. Az egyik egyben válasz egy gyakran feltett kérdésre: kell-e ezután is egyszeregyet tanulni?

Kell pontosabban: érdemes, hasznos , de nem ugyanazért és nem ugyanúgy, amiért és ahogy azelőtt.

Érdemes egyszeregyet tanulni, mert mély matematikai gondolatok gazdag példaanyaga.

És úgy érdemes, hogy felfedező utak közben ráeszmélünk ezekre a gondolatokra is, túl az olyan asszociatív kapcsolatokon, mint az, hogy hatszor hét’’-re negyvenkettő’’ a kádencia.

Felfedezéseket ritkán tesznek zárt sorokban, vezényszóra, díszlépésben. Inkább elmélyedve, belefeledkezve valamilyen tevékenységbe és az ahhoz fűződő gondolatokba.

Kisgyerekeknél különösen fontos, hogy tevékenység irányítsa a gondolkozásukat, és tapasztalataikon mérjék le elképzeléseik értékét. Sok kitűnő eszközt és eljárást dolgoztak ki ehhez: DIENES ZOLTÁN ezeknek egyik legjelesebb kutatója. Nem szemléltetőeszközöket mutat fel a tanító, hanem munkaeszközökkel dolgoznak a gyerekek. Mégpedig többfélével, hogy ne kötődjenek egyhez; absztrahálják, ami bennük közös.

Az ilyen tevékenység közben felfigyelnek a gyerekek például 37, 67 és 97 összefüggéseire: arra, hogy 21+42=63 ugyanúgy, ahogy 3+6=9; hogy 21-nek a kétszerese 42, háromszorosa 63, mint ahogy a 3-nak is a 6 és a 9.

Lehetséges, hogy később jutnak el így a készség fokára’’, (érdekes, néha előbb), de mindenesetre érettebb, maradandóbb ismeretekhez jutnak és emberhez méltóbb úton. Nemcsak a válaszokat tudják, hanem úgy igazodnak el az egyszeregyben, mint a Jázmin utca környékén az arrafelé lakó gyerekek.

A másik példa azt illusztrálja, hogy a tananyagnak is át kell alakulnia, nemcsak a tanítás és tanulás módjának.

Egy éve lehet, hogy olvastam egy szép riportot sok-sok háromgyerekes családról. Fényképek és nyilatkozatok szemléltették, milyen boldog is egy olyan család, ahol pontosan három gyerek van.

Nyilvánvaló volt a cikk népesedéspolitikai tendenciája: 3 az optimális szám, a szolidan bővített újratermelés. Ez az igazi hazafiúi tett. Ti 2, 1 és 0 gyerekesek ebben a sorrendben fokozva érezzétek elmarasztalva magatokat: stagnálásra és kihalásra ítélnétek a nemzetet. Ti viszont 4, 5 és több gyerekesek, egy kicsit túloztatok. Ilyen arányú szaporulatot nem győzne az ország.

Mi köze ennek a matematika tananyagához? Az, hogy a tananyagban ma nem szerepel az eloszlás fogalma és több szempontú elemzése. Egy szempont emelkedik ki: az átlag. A köztudatban is csak ez él. Nem mérlegeljük eléggé, hogy egy olyan eloszlás, mint mondjuk 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 7 nemcsak a realitást fejezi ki jobban, hanem nevelési vagy egyéb szempontból esetleg előnyösebb is lehet, mint az ugyanolyan átlagú 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 eloszlás. (Példánkban öten nőnek föl kis, 1 vagy 2 gyermekes családban.)

Nem hibás-e a matematika tanterve is abban, hogy az egyoldalúan átlagcentrumú szemlélet úgy eluralkodott?

Matematikai statisztika az általános iskolában ez így ijesztően hangzik. De ha a szórás és más efféle fogalmak intuitív kialakítását, fokozatos érlelését jelenti, akkor a matematikatanítás megújulásának lehet része.

Két példa nem sokat árul el, de itt abba kell hagynom. Mondanivalómat így summáznám: mozgalom indult Magyarországon és szerte a világon egy szó köznyelvi jelentésének és érzelmi töltésének módosítására.

1.4.9 Varga Tamás: Imre

Megjelent: A Matematika Tanítása folyóiratban 1963/6.

Úgy tudtam, hatéves. Amikor megjelent az ajtóban egy gondozónő és a helyi tanács egyik képviselője kíséretében, kisebbnek találtam, mint amilyennek képzeltem. Pedig rosszul tudtam a korát: két hónapja töltötte be a hetediket. Bár alacsony, nem fejletlen. Kerek képű, telt. Délután jött hozzám, harminckét fokos melegben; előtte az egész Délelőttöt a Gyermeklélektani Intézetben töltötte, feladatokat adtak neki. Elsoroltak neki tizenöt számot szabálytalan összevisszaságban; elismételte. Ugyanazt visszafelé is el tudta mondani, csak a 17 helyett 71-et mondott ezt is megfordította. Többjegyű számokat szoroz és oszt fejben. Azért is hozták fel megvizsgálni, mert kiderült az iskolában, hogy számtanból toronymagasan van a többiek felett. Most végezte az első osztályt. Az anyjának tíz gyereke van, ő a tizedik. Az apja nem él velük, részegeskedései miatt kitiltották a faluból, ahova az ő tanyájuk is tartozik. Mielőtt az anyja őt megszülte volna, elkeseredésében a kútba ugrott, de kihúzták. Másnap született Imre. Anyja nehéz körülmények között nevelte fel.

Az anyja írástudatlan, két nővére is az. Valamit talán felszedhetett a gyerek számtanból az iskolába járó testvéreitől, de tanítani senki sem tanította iskoláskora előtt. Négyéves korában az anyjának egyszer azt mondta a piacról hazafelé jövet: Édesanyám, becsapták egy forint negyvennel.’’ Utánaszámolt az anyja, hát csakugyan. Ekkor vette észre, hogy a fia már számol. De amikor a gyerek iskolába került, nem szólt a tanítónak, vagy nem úgy, hogy az komolyan vette volna. A gyerek csak ült, ült a számtanórákon, csöndben volt, egyszer el is aludt. A tanító beküldte az igazgatóhoz egy kis fejmosásra. Ott bökte ki a gyerek, hogy ő azt már mind tudja, amiről számtanórán szó van. Kiderült, hogy sokkal többet is tud!

A gyerekben nincs semmi abnormális, semmi koravénség, semmi egzaltáltság. Magabiztos, de nem látszik, hogy el volna kapatva. Gyerekes, játékos. A Cuisenaire-készlettel (1 cm-es kocka, 2, 3, ... 10 cm-es oszlop különböző színű műanyagból) kedvére játszik, sorba rakja. Számolgatni kezdünk. Kétműveletes feladatokat is adok neki. 57+89-89-re azonnal rámondja, hogy 57. Látszik, nem gép módjára számol, az értelem felől közelíti meg a feladatokat, nem az algoritmusok felől. 2737-en kb. fél percig gondolkodik. Nagy örömmel mondja, hogy 999. Tetszik neki, hogy ilyen szép szám.

Gondoljon most ő egy számot, mondom. Adjon hozzá 28-at. Ehhez még adjon 59-et. Amit kapott, abból vegye el azt, amit először gondolt. Mindent fejben számol. Amikor látom, hogy kész a számolással, megmondom én a végeredményt: 87. Fölnevet és bólint. Tetszik neki, hogy én tudom, amit pedig csak ő tudhatna. Elárulja, hogy 5-re gondolt. Megmondom, hogy ezt nem tudtam volna kitalálni, csak azt, amit utoljára kapott. Leírom neki, mi az, amit kiszámított: 5+28+59-5. Megérti, hogy a végén azt vette el, amit ő gondolt, csak az maradt, amit én adtam hozzá. Elismételjük más számokkal is. Most én gondolok, ő találja ki, javaslom. Erre nem vállalkozik.

Megpróbálom felidéztetni vele az előző példa számait. Nehezen megy. A számemlékezete ha korához képest fejlett is nem rendkívüli.

Felírom neki:

1 , 2 , 4 , 8 , 16

Tudná-e folytatni? Nem látja a szabályosságot, 24-et mond. Amikor kiigazítom 32-re, a következőnek akkor is 48-at gondolja. Ez új, gondolja. Ez új gondolat neki, nem erőltetem a kitalálást, látom, hogy mindenáron összeadni akar, megmondom, én úgy számoltam: 1+1=2, 2+2=4, 4+4=8 stb., folytassa fejben, ameddig kedve van. 65536-nál jelenti ki, hogy most már inkább nem folytatja. Addig nem hibázott.

Ötször háromszor két gyufásdoboz átlátszó papírba csomagolva, ezt kapja a kezébe. Meg tudja-e mondani, anélkül, hogy felbontaná, hány gyufásdoboz? Nem tudom’’ mondja.

Ezt a gondolatot még elő kell készíteni. Elébe adok egy doboz építőkockát, 2 hatványai szerint mennek a darabok, 1-től (egy köbcentiméteres kockáktól) 64-ig. A felületükön rovátkolás jelzi az egységkockákra való felosztást, mint a Dienes-féle szemléltetőeszközöknél. (Ahhoz készítettem kiegészítő doboznak.) Sorba kell raknia a darabokat nagyság szerint, aztán meg kell mondania, melyik hány kis kockából áll. Kis kocka van elég, megpróbálhatja felépíteni, ha így könnyebb. A 16-osat és 32-eset (224 és 244) még építés nélkül megmondja. A 64-es kocka alakú. Először ezt is 16-nak mondja. Elkezdi felépíteni egységkockákból. Amikor 16-ot beépített, kénytelen belátni, hogy ez kevés. Előveszi a 64-es kockát, fél perc alatt megmondja, hogy 64. Így mondja: itt van 16, ez is 16, még 16 és még 16. Most már a becsomagolt gyufásdobozokat is visszaadom neki. Megnézi és megmondja, hogy 30. És 9 forintba kerül’’ teszi hozzá. Honnan tudod, hogy nem 40 filléres gyufa?’’ Látom rajta.’’

Tégla alakban összerakott és becsomagolt kis kockákat kap. A 60-at először 48-nak mondja, 5 helyett 4-et számlált az egyik irányban. Biztos?’’ kérdezem. Jobban megnézi, kijavítja. A térfogatszámítás módja körül már nincs nehézsége, bár egy szó sem esett arról, hogy szélességszer hosszúságszor magasság, vagy más efféle, és láthatóan teljesen új volt neki a gondolat.

Hét zöld és három piros fából készült játékgombát adok oda neki. Nézzed meg, miből vannak!’’ Először nem felel. Vasból?’’ Nem mondja nevetve , fából.’’ Milyen színűek?’’ Ezek pirosak, ezek kékek.’’ Ráhagyom. Milyen alakúak?’’ Nem felel, nekem kell megmondani, hogy gombák akarnak lenni. Szedtél már gombát?’’ Szedtem.’’

Hány piros gomba van itt?’’ térek most rá az előkészítés után a híres Piaget-féle feladatra. Három.’’ Hány kék: gomba?’’ Hét.’’ Hány gomba van fából?’’ Tíz.’’ Mi van több, kék gomba vagy fagomba?’’ Kék.’’ ,Hát hány kék gomba van?’’ Hét.’’ És hány fagomba van?’’ Tíz.’’ Hát mi van több, kék gomba vagy fagomba?’’ Kék van több.’’

Olyan szabályszerűen felel, mintha olvasta volna Piaget-nál, hogy az ilyen korú gyereknek hogy kell felelni. Éppúgy köti az, amit lát, az egésznek egy részét éppúgy nem tudja az egésztől külön gondolni és az egésszel összehasonlítani, mint más ilyen korú gyerekek.

Megint a kis kockákat adom oda neki. Megmutatom, hogy lehet 14 kockát két egyforma sorban kirakni. 15 kockát ki tudna rakni több sorban? Kirakja. 16-ot? Azt is. 17-et? Ezt én mutatom neki, hogy sem kettesével, sem hármasával, sehogy sem lehet több sorban kirakni. Megértette a gondolatot, már nem is kellenek neki a kockák. Megmondja, hogy a 18-at kettesével, hármasával is ki lehet rakni. A 19-en gondolkozik. Nem lehet kirakni’’ mondja. Elsorolja a 20 kirakásait, a 21-et is megmondja. A 22-re váratlanul azt mondja, nem lehet. Talán csak 10-en aluli számokra gondolt. Kettesével nem tudnád?’’ De igen, kétszer tizenegy.’’ Nagyobb számot mondok neki: 84-et hogy tudnád kirakni?’’ Félpercnyi szünetekkel elmondja: 2-szer 42’’ 3-szor 28’’, 4-szer 21.’’ Az 5-nél nagyon sokáig gondolkozik. Nem lehet?’’ kérdezem. Nem’’ mondja. Mennyi marad ki?’’ Egy.’’ (Talán úgy gondolta, hogy egy kellene még hozzá.)

Bementem a boltba, láttam egy polcon csokiszeleteket. Nyolc darabot akartam venni, de nem tudtam megvenni, mert egy forinttal kevesebb pénzem volt. Ezért csak hetet vettem. Így megmaradt 50 fillérem. Mennyibe került egy szelet csoki?’’

Lehet, hogy félreértette a kérdést, mert kis gondolkozás után mindjárt a hét szelet csoki árát mondta meg. (Először 11,50-et mondott, aztán kiigazította 10,50-re.)

Egy másik feladat előkészítésére megkérdeztem tőle, hogy fiúk és lányok is járnak-e abba az osztályba, ahol tanul. Bólint. Hány lány, hány fiú?’’ Számolgatja magában, aztán mondja: 9 lány, 22 fiú.’’ Miért olyan kevés lány?’’ kérdem csodálkozva. Vállat von, ez a kérdés nem érdekli. (Kezdem érteni az analfabéta anyát és nővéreit. Azon a vidéken még nagyon erősen élhet az emberekben az, hogy minek egy lánynak iskola.)

Most következett a feladat. Én egy olyan osztályban tanítok, ahova összesen 34-en járnak. Hattal több a fiú, mint a lány. Meg tudnád-e mondani, hány lány és hány fiú jár ebbe az osztályba?’’ Nem tart sokáig, amíg megadja a helyes választ. Honnan tudod?’’ Hogy jöttél rá?’’ Ilyen kérdéseket már előbb is próbáltam feltenni, nem sok eredménnyel. Ő még csak azon gondolkozik, amit ki kell számítania vagy következtetnie; azon egyelőre nem gondolkozik, hogy ő hogyan gondolkozik.

Már több mint egy órája itt van, ideje lesz abbahagyni. Adok neki ajándékba kétméteres acél mérőszalagot, megtanítom, hogy kell kivenni a tokjából és visszatenni. Borzasztóan tetszik neki, hogy hajlik, visszaugrik, reccsen, de nem törik el. Kipróbálom azt is, tud-e hosszúságot becsülni és mérni. Milyen hosszú lehet ez a ceruza?’’ Hallgat. Egy méter? 3 cm?’’ Nevet és azt mondja: 20 cm. Na lássuk.’’ Minden segítség nélkül odateszi a ceruzát a mérőszalag mellé; megállapítja, hogy 18 cm. (Milliméter eltérés ha lehetett. Nem szándékosan adtam ilyen mérnivalót, de jobb hogy így volt, mert nem lett volna most idő belemenni a közelítéssel kapcsolatos kérdésekbe vagy a milliméter magyarázatába.) Kap feladatlapokat is. Az első rovatba be kell mindent írnia, mit mér; a következőbe azt, hogy mielőtt még megmérné, mennyinek gondolja; aztán a mérés eredményét és végül az eltérést, + vagy - jellel aszerint, hogy többnek gondolta-e előre, mint amennyi lett vagy kevesebbnek. (Az utolsó oszlopbeli érték tehát a két előbbi szám különbsége a megfelelő előjellel. Ő ezt persze még nem tudja, ez csak előkészítése az előjeles szám fogalmának.) Kap még néhány apróságot, dobozt is mindehhez, aminek külön örül. Megígéri, hogy ha készen van egy feladatlap kitöltésével, elküldi. Reméljük, nem fog elkallódni.

1.4.10 Varga Tamás: A függvényfogalom előkészítése I.

Megjelent: A Matematika tanítása folyóiratban 1983/3

Vázlat:

  • Mit értünk függvényen? Mi az a függvényfogalom, amelyet elő akarunk készíteni?

  • Függvényfogalom vagy függvényfogalmak? Mit akarunk elérni az előkészítésükkel?

  • A függvényfogalmak előkészítése a matematikai fogalmak rendszerében.

  • A függvényfogalmak előkészítése a tanulók értelmi fejlődésének részeként.

  • Hogyan folyik iskoláink alsó osztályaiban a függvényfogalmak előkészítese?

  1. A függvényfogalmat akarjuk előkészíteni, majd kialakítani. De mit értünk függvényen? A szóhasználat nem egységes. Matematikusok vagyunk, tudjuk, hogy a definíciókról szóló viták nagy része üres szócséplés. Mihelyt tisztázzuk, milyen értelemben használunk egy szót például éppen a függvény szót , meg tudjuk értetni magunkat azokkal is, akik más szóhasználathoz vannak szokva. Erre a tisztázásra azonban szükség van. Tartozom annak a megindokolásával is, hogy a többféle változat közül miért kötünk ki az egyik és nem egy másik mellett. Ugyanakkor megértem és respektálom, ha mások kollégáim, barátaink más terminológiát részesítenek előnyben, talán más szempontoktól vezérelve.Szinte csak találomra említek két könyvet, amelyben megtalálható a tantervünkben alapul vett terminológia:K. A. Hirsch: Kleine Enzyklopadie der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig.V.M. Bragyisz: Metogyika prepodavanyija matyematyiki v szrednyej skole, Ucspedgiz, Moszkva.Arról a nagyon általános függvényfogalomról van szó, amelyet röviden így jellemezhetünk: egy M1 halmazról egy M2 halmazba való egyértelmű leképzés. Engedjék el a két halmaz Descartes-szorzatának részhalmazával való (pedagógiai szempontból egyébként sem előnyös) fogalmazást, ehelyett egy ábrával és egy táblázattal egészítem ki a fenti tömör leírást.

    25. ábra. A hozzárendelés szabályai

    A - jelek jelentése a táblázatban nem, nem lehet; a + jeleké: igen, lehet (ti. mondott tulajdonságú eleme az M1, illetve M2 halmaznak.)A fenti értelemben a függvény’’ szó a francia applicationnal szinonim. Szokás néha olyan módon különböztetni meg a két fogalmat, hogy az M1 halmazra vonatkozóan csak a nyilak unicitását kötjük ki, egzisztenciáját nem:

    26. ábra. A hozzárendelés módosított szabályai

    Ilyen értelemben beszélhetünk például

    R R x 1 x

    függvényről is, nem kell az értelmezési tartományt a definícióban pontosan megadnunk pl. így:

    R 0 R x 1 x

    ami ugyan itt könnyű, de ha a nevezőben bonyolultabb kifejezés, például x helyett egy ötödfokú polinom van, akkor már nehézkesebb. Ebbe a vitába nem megyünk bele; egyébként a függvényfogalom előkészítése idején az alapul vett halmazok precizirozását nem is tartjuk mindig szükségesnek.Egy másik, szintén nagyon elterjedt definíció az előzőnél annyiban szűkebb, hogy kikötjük:M2 csak számok halmaza lehet,M1 pedig számoké, számpároké általában szám n-eseké, és eszerint beszélünk egy-, két-, általában n-változós függvényekről.A zsebszámológépek a programozhatók is többnyire ilyen függvényeket állítanak elő; lásd például a 27 táblázatot.

    27. ábra. Számológépekkel előállítható függvények

    Előállíthatók azonban zsebszámológépekkel valamivel általánosabb értelemben vett függvények is, amelyekben például M2 elemei nem számok, hanem számpárok vagy számhármasok (példa erre: derékszögű koordinátáival megadott vektor átalakítása polárkoordinátás alakba vagy viszont); vagy számhalmazok (például természetes számokhoz osztóik halmazát rendeljük) vagy M1 és M2 elemei is mátrixok.A felsorolt függvények mind valamilyen numerikus információhoz rendelnek ugyancsak numerikus információt. A számológépek (kalkulátorok) és a számítógépek (komputerek) közt a határvonal ma már elmosódóban van, de leginkább talán ezzel különböztetjük meg őket; a kalkulátorok inputja és outputja numerikus, a komputerek viszont perifériáiktól függően elvben bármilyen típusú információ feldolgozására alkalmasak; bemenő és kijövő adataik egyaránt lehetnek számok, szövegek, ábrák, fizikai mennyiségek stb.Azzal, hogy a függvény tágabb és szűkebb fogalmát kapcsolatba hoztam a komputerekkel, illetve kalkulátorokkal, bizonyos mértékig már anticipáltam azt, amire fejtegetéseimben később részletesebben is kitérek, a függvényfogalom előkészítésének hogyanját. Didaktikailag célszerű, szemléletes analógiáról van itt csupán szó, nem pedig a kiszámítható függvényeknek Turing-gépekkel (minden számítógép absztrakt modelljével) való előállíthatóságáról.Ennek az analógiának a szempontjából közömbös, hogy a gép előállítja-e a függvényt kiszámítja-e az értékeit vagy csupán előhív és kijelez valamilyen utasítás nyomán bizonyos tárolt adatokat. Hogy folytassam az anticipálást: a tanulók bizonyos adatait tárolhatja a gép anyja neve, születési helye, ideje, lakcíme, testmagassága stb. és a név betáplálására előhívhatja ezeket. Ennek persze semmi köze sincs kiszámíthatósághoz, Turing-géphez. Ahhoz sincs köze, hogy milyen program alapján rendeli hozzá a gép a bemenő adatokhoz a kijövőket. A gépet ebből a szempontból fekete doboznak tekintjük. A hozzárendelés ténye a fontos, nem a módja. Ilyen és csak ilyen értelemben fogadhatjuk el a számítógépeket az általános értelemben vett függvények metaforáiként, a kalkulátorokat pedig a numerikus értelemben vett függvények metaforáiként. Ha még meggondoljuk, hogy a zsebszámológépek tömeges (az óráéhoz hasonló mértékű) elterjedését a jelek szerint egy-két évtizedes fáziskéséssel követi a számítógépek tömeges elterjedése is, akkor erős érveket találtunk az ennek megfelelő általánosságú függvényfogalom mellett, bárhogyan nevezzük is azt.

  2. Mit akarunk elérni egy fogalom esetünkben a függvényfogalom kialakításával? Azt, hogy a tanulók a fogalmat definiálni más fogalmakra visszavezetni tudják (vagy ha alapfogalom egy bizonyos matematikai rendszerben, akkor ki tudják fejteni más fogalmakkal való kapcsolataikat)? Esetleg ezt is el szeretnénk érni, de ez szinte csak ünnepélyes záróaktusa egy fogalom kialakításának.Vagy inkább azt, hogy a tanulók konkrét esetekben el tudják dönteni, függvény-e valami vagy nem? Ez is céljaink közé tartozhat, de aligha ez a legfőbb célunk.Felbonthatjuk teendőinket és a függvény általános fogalma helyett (előtt? után?) függvények egész sorával kapcsolatban tűzhetjük ki az említett célokat: ismerjenek rá, hogy például lineáris, másodfokú, exponenciális stb. függvénnyel van-e dolguk, és esetleg definiálni is tudják ezeket a függvényeket. Ilyen értelemben nem is a függvényfogalom, hanem függvényfogalmak kialakítását tekinthetjük feladatunknak.Tovább is mehetünk: az, hogy lineáris függvény, gyűjtőfogalom, függvények egy halmaza tartozik ide. Más gyűjtőfogalmak: szakaszonként lineáris, monoton növekvő, monoton csökkenő, szigorúan monoton stb. Azt akarjuk, hogy ezekre is ráismerjenek a tanulók.

  3. Mit jelent ráismerni egy függvényre? Felismerni formula alapján? (Pl. c=106-d3-ban meglátai az y=ax+b alakot). Felismerni értéktáblázat, grafikon alapján? Jelenti mindezt, de ennél sokkal többet is. A sokkal több’’ főként a matematikán kívüli alkalmazásokat foglalja magában. A tanuló akkor rendelkezik a lineáris (kvadratikus, exponenciális stb.) függvény alkalmazásra kész fogalmával, ha nemcsak formula, táblázat vagy grafikon alakjában ismeri fel az ilyen függvényeket, hanem a legkülönfélébb szituációkban is. Például tisztában van azzal, hogy az olyan látszólag nagyon különböző szituációkban, mint nekem 2-vel több van, mint neked’’ nekem 3-mal kevesebb van, mint neked’’ nekem 5-ször annyi van’’ kettőnknek együtt 10 van’’ az enyémnek a fele hússzal kevesebb, mint a tied kétszerese’’ stb., van valami közös: ezek mind lineáris kapcsolatok. Természetes, hogy az olyan fogalmak kialakításakor sem elégedhetünk meg a matematikán belüli ráismeréssel, mint például monoton (vagy szigorúan monoton) növekvő (vagy csökkenő). Azért említem éppen ezeket a példákat, mert bőséges tapasztalatom van arra vonatkozóan, hogy ezek az egyszerű és alapvetően fontos fogalmak művelt embereknek is mennyire hiányoznak nemcsak a szókincséből, hanem az operatív fogalomrendszeréből is. Arra gondolok, hogy például nem világos előttük a különbség szigorúan monoton csökkenő függvény és fordított arányosság között: az utóbbiról beszélnek, de vagy az előbbire gondolnak, vagy még inkább maguk előtt sem világos, hogy voltaképpen mire gondolnak.A vázlatban feltett kérdések közül a 2.-ra és részben a 3.-ra a fentiek alapján így adom meg a választ: a függvényfogalom (helyesebben fogalmak) kialakításával elsőrendű célunk a tanulók intuíciójának fejlesztése. Az intuitive megragadott fogalomra ráépülhet minden egyéb: matematikai formanyelv, definíció, tételek, feladatmegoldási módszerek. Ha azonban ez hiányzik, akkor az az idő és energia, amit az utóbb felsoroltak elsajátíttatására fordítunk, nagy részben kárbavész. Az intuitív fogalom jellemzője, hogy szervesen beépül a tanulók teljes fogalomrendszerébe tehát nemcsak matematikai fogalmainak rendszerébe! és ezért operatív.Bár egy matematikai fogalom operativitása elsősorban matematikán kívüli alkalmazhatóságában nyilvánul meg, térjünk vissza mégis ahhoz a kérdéshez, hogyan kapcsolódik az általunk kialakítandó fogalom egyéb matematikai fogalmakhoz, témákhoz.Minden erőfeszítésünk ellenére nem alaptalanok az iskolát ért olyan kifogások, hogy tantárgyakra tördelt tudást, sőt a tantárgyakon belül is darabokra széteső tudást közvetít. Ilyen veszéllyel a matematikaoktatásban is szembe kell néznünk. Ezt a veszélyt csökkenti olyan fogalmak kialakítása, amelyek integráló jellegűek, átszövik az egész matematikát és ezeknek a fogalmaknak olyan módon való kialakítása, hogy ez az integráló jelleg érvényesülhessen, vagyis a tanulók előtt feltáruljanak az eltérő megjelenés mögött a közös vagy rokon gondolatok. A függvényfogalom erre kiválóan alkalmas. Különösen igaz ez akkor, ha nem szorítkozunk a numerikus függvényfogalomra. Három példát említek:

    • Sorozatok mint függvények. Egyaránt gondolhatunk számok, alakzatok, bármilyen matematikai vagy nem matematikai objektumok sorozatára; ha van egy első, egy második stb. elemük, akkor pusztán ez a rendezés megfelelteti az elemeket az 1, 2, ... számoknak a pozitív egész számoknak, (vagy 0 indexszel kezdve, a 0, 1, 2, ... természetes számoknak terminológiai vitába itt sem kívánok bocsátkozni). Megint anticipálok, a hogyanról beszélek: könnyebben elvezethetjük a tanulókat arra a belátásra, hogy a sorozatokat függvényekként kezelhetjük, ha eleinte önállóan lépnek fel.

    • Geometriai transzformációk mint függvények. Vegyük példaként a legegyszerűbbeket, az egybevágósági transzformációkat. Közülük az irányítástartók szemléletesen mozgatással valósíthatók meg a síkbeli egybevágósági transzformációk akkor is, ha nem irányítástartók (igaz, akkor térbeli mozgatással). A mozgatásos megvalósítás azonban félreértéseknek is lehet forrása, ugyan miért mondjuk: egy eltolásra és az inverzére, hogy együttes eredményük a 0-eltolás? Három és egy negyed fordulatot miért nem különböztetünk meg egyetlen negyedfordulattól vagy ellenkező irányú háromnegyedfordulattól? Mindennapos tapasztalataink szerint ezek nagyon is különböznek egymástól. A transzformációszemlélet kialakítását segíti az, ha a tanulók megértették másféle függvények kapcsán azt, amit a számítógépanalógia említésekor hangsúlyoztam: hogy nem törődünk azzal, mi történik a bemenő információval, milyen módon adódik belőle a kijövő információ, csak azzal törődünk, hogy minek mi felel meg. Ilyen értelemben a 46-tal való szorzás és a 23-mal való osztás egymásutánja pontosan ugyanazt a függvényt valósítja meg, mint a 2-vel való szorzás, ha bonyolult módon is. Aki ezt a gondolatot algebrai köntösbe öltöztetve megértette, az geometriai összefüggésben is könnyebben megérti vagy megfordítva.

    • Logikai függvények. Az olyan univerzális információfeldolgozó gépek, amilyeneknek a tanulók a függvényeket látják, arra is programozva lehetnek, hogy egy-egy betáplált mondatról eldöntsék, igaz-e a mondat vagy téves vagy pedig sem nem igaz, sem nem téves, például ha kérdőmondatról vagy felszólító mondatról van szó. Lehetséges, hogy több bedobott mondat csak abban különbözik, hogy ugyanazon a helyen más-más szám szerepel benne, például az 5 prímszám’’ a 6 prímszám’’ általánosan: az x prímszám’’; vagy 1-nek az 5-szöröse 6-tal nagyobb, mint 1-nek a négyzete’’; 2-nek az 5-szöröse, 6-tal nagyobb, mint 2-nek a négyzete’’; ..., általánosan: 5x=x2+6, Ezek az egyváltozós logikai függvények speciális esetként magukba foglalják az egyismeretlenes egyenleteket (egyenlőtlenségeket stb.). Alaphalmazuknak az a része, ahol igazak, a függvény igazsághalmaza. A kétváltozós logikai függvények vagyis a binér relációk hasonló módon választják ki egy alaphalmazból (változóik alaphalmazának Descartes-szorzatából) igazsághalmazukat. A binér relációk ilyen értelemben speciális függvények (logikai függvények), ez nem kevésbé fontos összefüggés, mint az, amit inkább szoktak hangsúlyozni, hogy ti. a függvények a binér relációk speciális eseteinek tekinthetők. Hozhatnék még példákat a matematika más ágaiból például a kombinatorikából és a valószínűségszámításból is annak érzékeltetésére, hogy a függvények valóban mindent átható módon vannak jelen a matematikában. Nem kell megtennem, már csak azért sem, mert tudom, hogy más előadók bővebben is kitérnek ezekre a matematikán belüli kapcsolatokra. Saját témám szempontjából azt kívánom hangsúlyozni, hogy olyan összefüggésekről van szó, amelyeket nemcsak a függvényfogalom rendszeres tárgyalásakor lehet és véleményem szerint érdemes is megvilágítani, hanem a függvényfogalom előkészítése idején, a legalacsonyabb szinten, azt mondhatnám kezdettől fogva.

  4. Ezzel máris vázlatom 4. pontjához értem. Erről nem is szándékozom hosszan beszélni, hiszen nem választható el az 5. ponttól, annak bemutatásától, mit jelenthet a függvényfogalom ilyen értelmű előkészítése valóságos iskolai szituációban, példaanyag, eszközök, módszerek tekintetében. Csupán a témák korai kezdésének, az egységes matematika egészben való elkezdésének elvi alapjáról szólok. Abból indulok ki, amit nem szeretünk nagydobra verni, de amit egymásközt azért el kell ismernünk, mert csak így tudunk változtatni rajta: hogy a matematika tanítására fordított idő a tanulók jelentékeny részénél igen csekély hatásfokú.Franciaországban nagy port vertek fel azok a széles körű vizsgálatok, amelyeket Hány éves a kapitány?’’ címszó alatt foglalhatok össze. Egy jellegzetes kérdés, amelyet 6-12 éves tanulók százainak tettek fel: egy hajón 17 kecskét és 22 tehenet szállítottak. Hány éves volt a hajóskapitány? A megkérdezetteknek mindenütt jelentős százaléka válaszolta azt: 39 éves. Ugyanezek a tanulók a példatárakban szereplő számtani feladatokat átlagos eredménnyel, esetleg az átlagnál is jobb eredménnyel oldották meg. A vizsgálat végzői azt akarták igazolni és ez sikerült is nekik , hogy az eredmények rendszerint látszateredmények. A tanulók formális ismertetőjelek alapján többnyire csak megsaccolják’’ megtippelik, hogy a feladatban szereplő számokkal milyen művelet jöhet szóba, és azt gyorsan elvégzik. Itt összeadás jöhetett szóba. Figyelmüket annyira leköti a számítás technikai része (az, hogy minél előbb valamilyen számszerű eredményhez jussanak), hogy a szituáció átgondolására például arra, hogy van-e köze a kérdésnek az adatokhoz nem jut idejük, energiájuk. De ez általában nem is hiányzik: feladatmegoldó stratégiájuk többnyire enélkül is beválik.Feladatmegoldó stratégiájuk iskolai tapasztalataik nyomán alakult ki bennük. Tanítóik annakidején hasonló iskolai tapasztalatokban részesültek, és ez saját feladatmegoldó stratégiáikra és pedagógiai stratégiáikra is kihat.Egy pedagógus továbbképző előadáson az előadó ismertette a Hány éves a kapitány?’’ vizsgálat eredményét. A tanárok hitetlenkedtek: egy-két kivételesen gyenge tanuló talán ad ilyen válaszokat, de a diákok az ő diákjaik többségéről ez elképzelhetetlen.Mivel a továbbképzésen a diákok nem voltak jelen, az előadó a hallgatók meggyőzése érdekében a következőt javasolta: állítsanak össze együtt egy feladatsorozatot azoknak a tanároknak a számára, akiknek ugyanakkor a szomszédos teremben folyt a továbbképzése, olyan feladatokkal, amelyek a tanárok nívóján megfelelnek a 6-12 éves diákoknak feltett Hány éves a kapitány?’’ típusú kérdéseknek. A feladatsorozat megtalálható a Bulletin de l’Association des Professeurs des Mathématiques legutóbbi számában. Csak egyet idézek, amely ennek a szimpoziumnak a témájába vág:Jelölje meg az alábbi állítások közül azokat, amelyek igazak: az ϵ száma) minden számnál nagyobb,b) végtelen kicsi,c) pozitív,d) minden számnál kisebb,e) 0-hoz bármilyen közel lehet, de nem lehet 0.Az eredmény megdöbbentő volt; a tanárok reagálása saját kapitány-típusú, példáikra lényegében nem különbözött diákjaik reagálásától.Felteszem a kérdést: a franciaországi matematikaoktatás hiányosságaira világít-e rá ez a történet, vagy általánosabb érvénye és tanulságai vannak?A magam részéről hajlok arra, hogy azt mondjam: a történet a mi országaink szempontjából sincs híján tanulságoknak. A matematikaoktatás az egész világon túlnyomórészt S-R (stimulus-response, inger-válasz) típusú tanulást feltételez és segít. Ez a szabály, csekélyszámú a kivétel. Jórészt ebbe az irányba hatnak a tantervek a vizsgarendszerek, az oktatás és a pedagógusképzés hagyományai. Ez alól tanárok és diákok egyaránt igen nehezen tudják kivonni magukat, bár kétségtelenül vannak erre is példák. Túl messze vinne a témámtól, ha az okokat boncolni kezdeném, hiszen ez nem a függvényfogalom előkészítésének kérdése már, hanem egy sokkal általánosabb kérdés: milyen mértékig alkalmas és mennyiben nem alkalmas az inger-válasz típusú tanulás, amelyre a hagyományos oktatás a leginkább épít, és amely az ismeretszerzés számos területén eredményes is, matematikai ismeretek elsajátítására, matematikai fogalmak kialakítására, matematikai képességek fejlesztésére.Ami ebből témámmal szorosan összefügg, az a következő: a függvényfogalom csírái a gyermeki gondolkodásban ugyanúgy megjelennek már iskoláskor előtt, mint például a számmal, a térrel vagy a véletlennel kapcsolatos gondolatcsírák, és az oktatás fő feladata, eredményességének kulcsa nagy mértékben az, hogy segítse a tanulókat a saját gondolatcsíráik kibontására, továbbfejlesztésére. A fejlesztésközéppontú matematikaoktatásban ezért nem is úgy merül fel a kérdés, hogy a függvényfogalom előkészítése melyik életkorban, milyen osztályokban történjék, hanem úgy, hogy melyik életkorban, milyen osztályokban milyen módon folyjék. (Csak zárójelben jegyzem meg, hogy nem az a lényeges, milyen tantervi címszó alatt folyik a függvényfogalom előkészítése. Abból, hogy a tantervben explicite szerepel vagy nem szerepel a függvény címszó, nem következik, hogy valamilyen módon mégis folyik-e vagy nem folyik ennek a fontos fogalomnak az előkészítése az életkornak megfelelő szinten.)

  5. Témámnak ezt a legfontosabb pontját két iskoláskor előtti példával kezdem. Mindkettő Eszter nevű ötéves unokámmal kapcsolatos, akit már kezdenek érdekelni a számok, bár sem a szülei, sem a nagyszülei, sem mások (pl. óvónők) nem ösztönzik őt erre különösebben. A két példa, amelyet elmondok, szintén számokkal kapcsolatos, de Önök fel fogják ismerni benne a függvényfogalom kezdeményeinek megjelenését is. Eszter mint annyi más öt-hat éves gyerek megtanulta és szereti mondogatni a számokat 1-től elég sokáig, egy kis segítséggel százig, százon fölül is. Érdeklik a számokkal kifejezhető dolgok, például az életkorok. Tudja, hogy ő most volt 5 éves, unokatestvére, Andi pedig 13 éves. Ebből kiindulva elkezdte mondogatni, hogy jövőre ő 6 éves lesz, Andi akkor 14 éves, azután ő 7, Andi 15, amikor ő 8, akkor Andi 16 így eljutott minden kérdezés és segítség nélkül odáig, hogy amikor ő 10 éves lesz, akkor Andi 18 éves lesz. Itt elunta, megállt. Megalkotta életének talán első függvénytáblázatát, amelyet mi így tennénk át írásba:

    4. táblázat. Eszter és Andi életkora

    és például így sűrítenénk formulába: A=E+8, ábrázolnánk a 28 és a 28 ábrán látható módokon.

    28. ábra. Eszter és Andi életkora 1 Eszter és Andi életkora 2

    Esztertől távol vannak, nem életkorához mértek a függvénynek ezek a megjelenési formái. Már csak azért sem, mert például nem tud összeadni. A 8 hozzáadása a saját életkorához képességeit messze meghaladná. Nem is 8 hozzáadásával számítja ki a saját mindenkori életkorából az Andiét, hanem az egyetlen birtokában levő számolási technikát alkalmazza, a továbbszámlálást, pontosabban annak egy fejlettebb változatát, amit párhuzamos továbbszámlálásnak nevezhetnék. (Már ismerkedik egy másik technikával, a visszafelé számlálással, de arra itt nincs szüksége.) A fentiek közül a táblázatos forma volna talán a legközelebb hozzá, ha tudna akár szöveget, akár számokat írni és olvasni de nem tud, éppen csak kezd. Marad a függvény verbális, szóbeli megjelenési formája. Ezt példánkban azamikor ..., akkor ...szókapcsolat fejezi ki, de kifejezhetik például aha ..., akkor ...amelyik ..., az ...ez ..., az ...én ..., te ...nálam ..., nálad ...nem ..., hanem ...szókapcsolatok, sok más, nem numerikus változatban is.Most térek rá második példámra, amely szintén Eszterrel és a párhuzamos továbbszámlálással kapcsolatos.Eszternek és kisöccsének a szobájában van egy bordásfal. Eszter szeret mellette kézenállni. Röviddel az előző eset (életkorokra vonatkozó számításai) után Eszter megfigyelte, melyik rúdig ér föl a lába kézenálláskor. Megszámolta, hogy alulról a hetedik rúdig. (Egyúttal azt is megállapította, hogy a bordásfalnak összesen 14 foka van.) Jelen voltam, előttem számolgatta, nekem újságolta megfigyelését. Előzőleg hallottam szüleitől Eszternek a saját és Andi életkorára vonatkozó számításairól, és annyit mondtam: 5 éves vagy és a hetedik rúdig ér a lábad’’. Eszternek is ugyanaz járhatott a fejében, mert folytatta: Amikor 6 éves leszek, akkor a nyolcadik rúdig fog érni, amikor 7 éves leszek, akkor a kilencedikig...’’ egy idő után elnevette magát, a 14. fok körül sejthette már, hogy nem ilyen egyszerű a dolog. Én pedig most 62 éves vagyok’’ mondtam ekkor és a 64. fokig ér föl a lábam’’. Ennyiben maradtunk. Eszter nem számolt utána mint mondtam, nem tud összeadni, talán még a 2-vel továbbszámlálást sem ismerte fel abban, hogy én a 62-vel a 64-et párosítottam. Arról sincs sok sejtelme, hogy mekkora szám is az a 62 vagy a 64, de annyi mégis van, hogy felismerje a helyzet abszurditását.Mi játszódhatott le tehát Eszter fejében?a) Először is adva volt egy (feltehetően csecsemőkorban, anyjával való kapcsolatában gyökeredző, a beszélni tanulással együtt érlelődő) gondolkodási forma, a párképzés.b) Azután megtanulta az egy-kettő-három’’ kezdetű mondókát, és ennek felhasználásával kezdte elsajatítani azt az alapvetően fontos matematikai technikát, amit számlálásnak nevezünk.c) Ennek és a párképzésnek az összekapcsolása révén kialakította a páros továbbszámlálás technikáját.d) Ez a technika képessé tette egy olyan matematikai modell szóbeli megalkotására, amelyet írásban például így fejezhetünk ki:

    5. táblázat. Eszter párhuzamos számolása

    képletben így: y=x+8 vagy xx+8.e) Ezt a matematikai modellt először olyan szituációban alkalmazta, amelyre az jól illeszkedik. (Az életkor-különbség két személy között gyakorlatilag állandó, a relativitáselméletből következik ugyan, hogy lehet eltérés, de ez tapasztalati világunkban elhanyagolhatóan kicsi.)f) Az elsajátított technikát (sugalmazásomra!) megpróbálta áttenni egy másik szituációra. Ez olyan matematikai modellhez vezetett, amely az (5;13) számpár helyett az (5;7) számpárral kezdődött, a technika alkalmazása szempontjából ez nem ütközött nehézségbe.g) A matematikai modellt azután visszavetítette a szituációra: elképzelte a párhuzamos továbbszámlálással kapott további számpárokat, és kezdett felderengeni előtte, hogy valami nincs rendben.Eszter tehát a kialakított modellt olyan összefüggésben is alkalmazni próbálta, amelyre az nem jól illeszkedett. Szeretném felhívni a figyelmet ennek a sikertelen, hibás alkalmazásnak a rendkívüli fontosságára, fejlesztő, nevelő értékére. A széles értelemben vett tanulás lényegéhez tartozik, hogy amit tanultunk motorosan, verbálisan, gondolkodási modellként, bárhogy azt alkalmazni is igyekszünk, és eközben, ennek révén is, felderítjük alkalmazhatóságának korlátait. Egyaránt fontos annak a felismerése, hogy a páros továbbszámlálás technikája és az ennek révén kialakított xx+n alakú függvény alkalmazható az amikor én ..., akkor ő ...’’ fajtájú életkoros feladatokra (az élettartam megszabta korlátokon belül, amit szintén fel kell idővel ismernie Eszternek és az Esztereknek), és az, hogy sok más esetben viszont nem alkalmazható, vagy csak szinte véletlenül, kivételesen, nem szükségszerűen alkalmazható. Az utóbbiakhoz tartoznak az amikor én ennyi éves vagyok, akkor eddig érek fel’’ feladatok. Eszter testmagassága nem növekszik évről évre egy-egy bordásfalfoknyival, és általában nem is egyenletesen növekszik.Eszter matematikai gondolkodásának a fejlődése jó úton van: várható, hogy az ezután elsajátítandó technikákat és a segítségükkel kialakítandó matematikai modelleket is megpróbálja majd különféle szituációkra alkalmazni, és alkalmazhatóságukról elgondolkozni. Ez már egy metatechnika, ha ugyan szabad rá a technika szót alkalmazni.A kapitány-feladatok’’ egyik tanulsága az, hogy a matematikai modellek alkalmazhatóságának a vizsgálata az iskolában úgy látszik háttérbe szorul. A tanulók jelentékeny része olyan feladatmegoldási stratégiákat alakít ki nyilván nem az iskolától függetlenül, sőt feltehetően éppen az iskola hatására amelyekben a műveletek technikai részére fordított erőfeszítése mellett alárendelt szerepet játszik az adott szituációhoz illő matematikai modell kiválasztása. Így például nem sokat törődnek annak az eldöntésével, hogy a feltett kérdés milyen kapcsolatban van, van-e bármilyen kapcsolatban is a közölt adatokkal.Az Eszter-történetek elmondásában természetesen az is vezérelt, hogy szívemhez közelálló személyről van szó. Úgy gondolom azonban, hogy ezen a szubjektív motívumon túl objektív tanulságokat is le lehet szűrni belőlük.Hadd utaljak vissza arra, amit az előző pont végén mondtam: hogy az iskolai oktatás eredményességének kulcskérdése, mennyire tudja felismerni és tovább érlelni azokat a gondolatcsírákat, amelyek a gyermekekben már az iskoláskor előtt megjelentek. Egyebek közt a függvényfogalom kezdeményeit is. A két történet talán segített megvilágítani, milyen gondolatcsírákra, kezdeményekre utaltam.

1.4.11 Varga Tamás: Az új matek Számolás fejben, írásban, géppel

Varga Tamás az új matek’’ címmel cikksorozatot írt, ez az írás megjelent az Élet és Tudomány, 1980. II. 8., 6. számában.

Kérdezzenek meg találomra tíz embert az új matekról és a számolásról. Fogadni mernék, hogy legalább kilencen úgy vélik: sajnos, a számolás az bizony háttérbe szorul! Tele vannak aggodalommal, hogy baj lesz, máris baj van, katasztrófa felé sodródik a nemzet, fiaink és leányaink nem tanulnak meg többé számolni.

A középiskolások

nem tudják az egyszeregyet?

Lám, az új matek!

Hogy a középiskoláig fel sem jutott az új tanterv? Még jó. Mi lesz, ha feljut? Akkor aztán végképp befellegzik a számolni tudásnak!

Hogy a felmérések nem igazolják ezt a borúlátást? Nem kell hinni nekik! A közértbe nem tudom leengedni a gyereket, de közben teletömik a fejét halmazzal, függvénnyel, csupa magas’’ matematikával, amit a tanítója sem ért. Mit értsen belőle a gyerek? De ha megértené is, mire jó az neki? Számolásra pedig nem jut idő. Pedig az az egy, aminek értelme volna!

Így a szülők, a nagyszülők, a nénikék. Nem mind, de nagyon sokan! Nem rosszindulatból, sőt tele jóakarattal, gyermekféltéssel.

A közvélemény nyomása ránehezedik a pedagógusokra is. Nem csoda, ha a híresztelésekből ők is elhisznek, az aggodalmakból ők is átvesznek valamit. Hiszen rájuk háramlik a tanterv megvalósításának a terhe: a számtanról a matematikára való átállásnak valójában a számtan matematikává való kiterjesztésének nagy feladata. Érthető, hogy vannak köztük olyanok, akik az átállás első éveiben még nem találják meg a helyes egyensúlyt, nem tudják jól beilleszteni a számolást a matematika egészébe. Az egyensúlyzavarnak az az egyik fajtája, hogy túlméretezik a tanterv megvalósításában a nem számolási jellegű elemeket. Nem látják még át, hogy a mateknak szinte minden témája számokkal kapcsolatos, számolásra ad alkalmat. Nem alakult még ki a gyakorlatuk abban, hogy ezeken az egyéb témákon át a számolást is érdekesebbé tegyék. Elhiszik, hogy a számolásnak a tantervben alárendelt szerepe van, s a vélt tantervi célokat a számolás háttérbe szorításával akarják megvalósítani. Rossz esetben el is határolják magukat: Nem helyeslem, de most ez kell, hát legyen!’’

Gyakoribb egy másféle egyensúlyzavar. Ennek is az a hiedelem van a hátterében, hogy az új tanterv elhanyagolja a számolást. Nem baj, kedves anyukák hangzik a megnyugtatás szülői értekezleteken, fogadóórákon , mi azért megtanítjuk a műveleteket!’’ Vagy egy pedagógiai lapban közölt interjú szavaival: Mi, akik már hosszú esztendők óta tanítunk, az újakat a régi, bevált módszerekkel kombináljuk, s bizony nem vetjük meg az egyszeregyet sem.’’

Nem akarják az egyszeregyet, hát ne tanítsuk! így foglalhatjuk össze az egyik végletes álláspontot. A másikat pedig így: nem akarják az egyszeregyet, de azért tanítsuk! (Az egyszeregybe persze az összes számolási készség beleértendő.) Mindkettő téves föltevésen alapszik, de a második ezen belül mégis józanabb. Aki még nem látja át a tanterv céljait, az jobban teszi, ha úgy tanít, ahogy véleménye és lelkiismerete szerint a gyerekek érdeke kívánja; ezt nem győzzük hangsúlyozni. Inkább valósítson meg a nevelő egyelőre kevesebbet a megváltozott célokból annyit, amennyire meggyőződéssel képes , mint egyszerre mindent, de meggyőződése ellenére. Az új tanterv alapelveinek egyik kulcsszava a türelem: nem siettetni, kivárni, amíg rájönnek a tanulók a megoldásra, amíg megérlelődnek bennük a fogalmak. De nemcsak a tanításban, hanem a tanterv megvalósításában is szükség van türelemre, kivárásra!

Azoknak a pedagógiai módszereknek a megérlelődése, amelyek az új tanterv megvalósításához szükségesek, még hosszabb időt, még több megértést kíván, mint a fogalmaknak a gyerekek fejében való megérlelődése. Az átmeneti időben, sőt azon túl is, a legjobb, amit a nevelők tehetnek, éppen az, hogy az újakat a régi bevált módszerekkel’’ kombinálják. Ebben téves kiindulása ellenére is igazat kell adnunk az imént idézett pedagógusnak. Arról azonban nem mondhatunk le a gyerekek érdekében nem, hiszen értük van a tanterv , hogy megértessük a tévesen tájékoztatott közvéleménnyel, különösen pedig a nevelőkkel: a tanterv a számolási készségekben változásokat, hangsúlyáthelyezéseket, időbeli eltolódásokat, új megközelítéseket hoz. Összességükben a számolási készségek súlya nem csökken, de a gyerekeknek

nem ugyanazt, nem ugyanakkor és nem ugyanúgy

kell tudniuk, mint eddig.

Mindegyik változásnak alapos oka van. Így annak is, hogy az egyszeregyet és más műveleteket is később kell tudni az új tanterv szerint, mint eddig. Az előző cikkben (Színek és számok, 1980/2.) már láttuk, miért: a hosszabb tanulási idő alatt jobban megalapozott, tartósabb tudást szereznek a diákok. Igencsak félreérti ezt az, aki csupán annyit lát belőle, hogy a régi másodikosoknak tudniuk kellett az egyszeregyet, a mostaniaknak nem kell. Pedig ez még csak nem is pontos így. Valójában azelőtt mindenkinek tudnia kellett volna már másodikos korában az egyszeregyet, az új tanterv pedig időt hagy annak, aki addigra nem képes értelmesen megtanulni, s nem szorítja rá, hogy akkor pedig tanulja meg értelmetlenül. A különbségek figyelembevételével módot ad mindenkinek az értelmes tanulásra. (Mindenkinek? ez azért túlzás. Szerényebben: több diáknak, mint eddig. De még ez is a megvalósítástól függ. A lehetőség nyílt meg erre, semmi több.)

Ennyit az időeltolódásról, a mikorról.

Hát a hangsúlyok mennyiben tolódnak el? Egyáltalán, miféle számolási készségeket kellett fejlesztenie eddig az iskolának. s mi változik meg most?

Hagyományaink szerint számolni kétféleképpen lehet: fejben vagy írásban. A közvélemény erről a kétféle számolási módról tud, ezeket félti.

De mit mondanának, ha valaki kijelentené, hogy közlekedni csak kétféleképpen lehet: gyalog vagy lovon? Bizonyára azt, hagy emberünk elmaradt a kortól, a honfoglalás korába képzeli magát! Aki lovas-kocsira, gőzösre, kerékpárra is gondol, az még mindig el van maradva száz évvel. Az elektronikus számolás- és számítástechnikában most tízszer olyan gyors a fejlődés: ugyanígy el van maradva az, aki a

gépi számolást

nem sorolja a számolási készségekhez.

A közlekedés alapja a gyaloglás, a számolásé a fejszámolás. Fejben számolni ugyanúgy meg kell tanulnia mindenkinek, mint járni (hacsak nem testi fogyatékos). A gépek célirányos használata azonban éppúgy része a számolási kultúrának éppúgy a számolási készségek közé tartozik , ahogy a közlekedési eszközök célirányos használata része a közlekedési kultúrának. Célirányos: vagyis ki kell tudnunk választani a célunknak és lehetőségeinknek legmegfelelőbb (közlekedési vagy számítási) eszközt, s tudnunk kell élni vele. Esetleg mások közvetítéséve1, ahogy az utasszállító repülőgépet sem magunk vezetjük, s a nagy számítógépet sem magunk programozzuk. Vagy közvetlenül, mint ahogy a saját kocsinkat, a saját zsebszámológépünket, s nem is olyan nagyon sokára a személyes számítógépünket is használjuk. Ha a mai kisdiákok várható életpályájára és a számolási-számítási-informatikai műveltség tág értelmezésére gondolunk, akkor felkészítésükben ezt sem hagyhatjuk figyelmen kívül.

Nézzünk a közelmúltba is! Az iskolákban elsajátítható számolási készségeik közé nálunk néhány évtizeddel ezelőtt kis híján bekerült a logarléchasználat. Azért csak kis híján ellentétben például az NDK-val , mert a lécek a tanulók többségének elérhetetlenül drágák maradtak: négyszer-ötször annyiba kerültek, mint az NDK-ban vagy a Szovjetunióban. (Pedig egy magyar találmány révén épp nálunk lehettek volna a legolcsóbbak!) Miért? Aki ezt a rejtélyt megfejti, az talán segít elejét venni annak, hogy a zsebszámológépekkel és a személyes számítógépekkel is így ne járjunk majd.

A logarléc fölött eljárt az idő. A logaritmustábla mint számolóeszköz fölött is, zsebszámolókkal azonban amelyek sokkal pontosabbak, többféle számolás végzésére alkalmasak, egyszerűbben kezelhetők, s mindenben felülmúlják a számolás régebbi segédeszközeit iskoláinkat egyelőre nem tudjuk ellátni. Azt pedig nem tehetjük meg, hogy azokhoz a tanulókhoz képest, akik hazulról számológépet hoznak, hátrányos helyzetbe hozzuk a többieket, ezért aztán hiába hódít világszerte az a felismerés, hogy a zsebszámolók megfelelő pedagógiai segítséggel a hagyományos számolási készségeknek sem ártanak, sőt segítik fejlesztésüket, előnyeikkel mégis csak korlátozott mértékben élhetünk.

Az írásbeli számolásra egyre kevésbé lesz szükség a zsebszámolók tömeges elterjedése után; erre utal a fenti (ló-kerékpár stb.) hasonlat. De ha csökken is a fontossága, semmivé talán mégsem zsugorodik. A kerékpárnak némelyik fejlettebb ország közlekedésében nagyobb szerep jut, mint minálunk. (Külön kerékpársávok segítik ezt például Dániában, Hollandiában.) Nem szólva arról, hogy a kerékpár sporteszköz is, akár a hátasló. Az unokáimnak akkor is tanítanám az írásbeli műveleteket, ha a tananyagból kimaradnának: látjátok, gép nélkül, papíron is ki lehet ezt számítani Egy kicsit tovább tart, eltéveszteni is könnyebb, gyakorlati haszna nemigen van, mégis jó érzés tudni, hogy szükség esetén kivághatjuk magunkat ilyen módon. Az időt is az óráról, az égtájat az iránytűről olvassuk le, nem a Nap állásáról, mégis jó tudni, hogy ha ismerjük az egyiket, meg tudjuk állapítani a másikat (persze csak nehézkesen és pontatlanul)!

A tanítás módjára, a hogyanra szintén hat az, hogy az írásbeli számolás hovatovább csak kedvtelés, egyre kevésbé komoly gyakorlati eljárás. Mivel a gépi számolással úgysem veheti fel a versenyt, nincs értelme a tanításban túlságosan törekedni a gyorsaságra, másodpercek megtakarítására. Sokkal fontosabb ennél az, hogy a tanulók könnyen megértsék tehát könnyebben meg is jegyezzék a kiszámítás módján. Sőt: lehetőleg jöjjenek rá maguk. Ez az utóbbi egyébként a fejszámolásban is fontos szempont. Nemrég mesélte egy kollégám, hogy a kisfia így számította ki a 36-ot: 66=36, annak a fele 18. Aki megszokja, hogy

maga keresse az utat

az eredményhez, az sok ilyen meglepő összefüggésre bukkan. Ezek erősebben lehorganyozzák a fejekben az ismereteket, mint a gépies gyakoroltatás.

Lássunk most egy példát az írásbeli kivonásra, mégpedig a nálunk legismertebb módjára, ahogyan majdnem mindnyájan tanultuk, s ahogy ma is sokfelé tanítják! Vajon értjük-e, miért éppen a megszokott lépések adják a helyes eredményt? Vagy csak megszoktuk és megjegyeztük, sok-sok ismétlés után? Ha kaptunk is rá magyarázatot, megérte-e az arra fordított idő? Átlagosan nyolcéveseknek való-e a gondolatmenet?

A számolás lépései:

A szövegben kövéren szedett hangsúlyosan kimondott számjegyek adják az eredmény számjegyeit, jobbról bal felé.

De miért számolunk jobbról bal felé? (Az osztást pedig miért végezzük balról jobb felé, ha a többi alapműveletben fordított a sorrend?) Miért mondjuk mindig, hogy meg’’: kivonás ez, vagy összeadás? Miért beszélünk 13-ról? Mit jelent az, hogy marad 1’’?

A magyarázat: 3-ból nem tudunk 4-et kivonni, ehelyett 13-ból vonunk ki 4-et. Vagyis inkább 13-ra pótoljuk a 4-et, ami az eredmény szempontjából ugyanaz: ezért a meg’’. Úgy számolunk, mintha a felső szám szakszerűen: a kisebbítendő nem négyszázhuszon-három volna, hanem négyszázhuszon-tizenhárom. Vagyis tízzel növeljük az utolsó jegyét. A 164-nek viszont a középső jegyét, a tízeseit növeljük, mégpedig 1-gyel. Úgy számolunk, mintha nem 164 volna, hanem 174. Ezt jelenti az, hogy marad 1, meg 6 az 7’’: egy tízest adunk a 6-hoz. Így tízzel nagyobb számból vonunk ki tízzel nagyobb számot, mint kellett volna. Nem baj, az eredmény ugyanaz. A magyarázatnak nincs vége: ezt a trükköt még egyszer kell alkalmaznunk, 2 tízes helyett fönt 12 tízessel, lent pedig 1 százas helyett 2 százassal számolunk. Így végül is 110-zel nagyobb számból vonunk ki ugyancsak 110-zel nagyobb számot, úgy kapjuk meg a helyes eredményt.

Miért van szükség ezekre a bonyodalmakra?

Azzal kezdtük a magyarázatot, hogy 3-ból nem tudunk 4-et kivonni. Ha tárgyakra gondolunk, csakugyan nem: elvenni, megenni, zsebre rakni stb. nem lehet 3 közül 4-et. De a mai harmadikosoknak a kivonás nemcsak ezt jelentheti. Már egy évvel előbb elkezdtek ismerkedni a negatív számokkal. Volt a kezükben például olyan hőmérőmodell, amelyen beállíthatnak 3 Celsius-fok hőmérsékletet, ezt csökkenthetik 4 fokkal, s leolvashatják, hogy most (mínusz egy) fok a hőmérséklet.

Próbáljuk ezekután elhitetni velük, hogy nem tudnak kivonni 3-ból 4-et, 2-ből 6-ot! Hát hogyne tudnának! Nekik az a természetes, hogy a kivonást itt el lehet végezni nemcsak a százasokkal, hanem a tízesekkel és az egyesekkel is (egyébként akármilyen sorrendben):

Hát ez meg mi? Háromszáz-mínusznegyvenmínuszegy; van ennek értelme?

Van, és nem is olyan nehéz megfejteni az értelmét. Háromszáz és mínusz negyven együtt kétszázhatvan. Kétszázhatvan és mínusz egy, az meg kétszázötvenkilenc:

Mostantól tehát így kell kivonni?

Nem így kell, de így is lehet. Ez csupán egy a lehetséges számolási módok közül. Akinek másképp könnyebb, érthetőbb, az számoljon másképp! Szülők, nevelők, felnőttek, figyelem! Törekedjünk arra, hogy

saját nehézségeinket ne tulajdonítsuk gyermekeinknek!

Ne higgyük, hogy ha mi valamit, valahogy könnyűnek tekintünk, mert úgy szoktuk meg, az nekik is úgy könnyebb!

Ez egyébként nemcsak az írásbeli kivonásra, nemcsak a műveletekre érvényes. Az új mateknak talán ez a legnagyobb nehézsége: eltérni a megszokottól, az elkopott, idejétmúlt sablonoktól. A matematikában és a pedagógiában egyaránt. Sokan kiegyeznének azzal, ha az iskola legalább annyira megtanítaná a gyerekeket számolni ezentúl is, mint eddig. A sablonoktól való megszabadulás megengedi, hogy ennél magasabbra tegyük a mércét. Persze nem mindenfajta hagyományos számolási módban. De például a fejszámolásban a sablonokon túllépő, gyors, ha kell, hozzávetőleges fejszámolásban, becslésben okvetlenül!

Azok, akik a közért vagy zöldség- és gyümölcsboltok árusainak a számolási készségét kérik számon az iskolától, nem is tévednek nagyot. A profi szinthez persze szakmai gyakorlat kell. De a számolási módokban tanulhat tőlük az iskola. Ők aztán nem sablonok szerint számítják ki például 1 kg 580 g banán árát kilónként 33 forintjával. Feleznek, összeadnak, kivonnak, becsülnek, kerekítenek, s úgy mondják ki pillanatok alatt mondhatjuk a legközelebbi forintra fölfelé kerekítve az 53 forintot. A számok érzékelése, az éppen csak szükséges pontossággal végzett gyors, közelítő számítás; olyan képességek ezek, amelyeket a mai iskolának az eddiginél jobban fejlesztenie kell. Ehhez persze egyebek közt az egyszeregy ismerete is szükséges!

Láthatjuk: nem ugyanazt, nem ugyanakkor és nem ugyanúgy kell tudni számolásból ezentúl, mint eddig, de nem is kevesebb az, amit tudni kell.

1.5 Matematikadidaktikai szemelvények II.

1.5.1 Ambrus Gabriella: Gondolatok a törtek tanításával kapcsolatban az 5.-6. osztályban

A tanulmány Ambrus, G: Bővül a számkör Közönséges törtek az 5. évfolyamon, In: Tanári Kincsestár, RAABE Tanácsadó és Kiadó Kft., 2002 május, 2.1, 1-30 és Ambrus G., Wagner, A.: Mivel is kezdjünk? Témaindító feladatokról a tört szorzása törttel’’ anyagrész kapcsán c. cikkeiből részleteket tartalmaz. [],[], []

A törtek tanítása fontos és hangsúlyos része az általános iskolai tananyagnak. A törtrész előállítása, jelölése képi formában és szimbólumokkal, a tört kétféle értelmezése, a törtek írásmódjai, a törtekkel végzett műveletek mind olyan területek, amelyek gondos előkészítést és kidolgozást kívánnak a tanítás során. Ebben a tanulmányban először a törtek tanításának néhány általános kérdésével foglalkozunk, nem mellőzve egy kis tanítástörténetet sem.

Ezután a tört szorzása törttel témakör bevezetési lehetőségeivel foglalkozunk, mely a konkrét feladatokon túl arra is ötleteket, szempontokat ad, milyen módon lehet más témakörökhöz bevezető feladatokat tervezni.

1. Közönséges törtek tizedes törtek (Melyiket? Mikor?)

A törtek tanításának érdekes kérdése, hogy tizedes törteket vagy (és) közönséges törteket tanítsunk. A jelenlegi gyakorlat a tizedestörtek tanításánál a közönséges törtekkel kapcsolatos ismeretekre is támaszkodik, a tizedestörtek tanítása nem különül el azonban a közönséges törtekétől, gyakorlatilag azzal párhuzamosan folyik. Ennek egyik bizonyítéka az a tény, hogy az ötödik osztályban bevezetésre kerülnek a tizedestörtek is, noha még nem ismert minden művelet a közönséges törtek körében. Annak, hogy a közönséges törtek tanítása általában előbb kezdődik, mint a tizedestörteké valószínűleg történeti okai is vannak.

A közönséges törteket a méréseknél kezdték használni, míg a tizedestörtek akkor váltak fontossá, amikor a tízes mértékrendszer bevezetésre került. Így az előbbiek már jóval az időszámítás kezdete előtt megjelentek, míg a tizedestörtek csak az utóbbi századokban.

A ... tizennyolcadik században ... a Riese Ádám által feldolgozott anyag uralkodik, melyhez itt-ott a tizedes törtek járulnak; de nem mindenütt, mert gyakorlati fontosságuk csak a század végén keletkezett, a mikor a méter-rendszert bevezették.’’ (Beke 1909, [] 7.o.)

Ma már természetesnek érezzük, hogy mindkét írásmód szerepel, de érdemes módszertani szempontból elgondolkodni azon, milyen előnyei vannak a közönséges törtek tanításának a tizedestörtekével szemben és fordítva.

A közönséges törtek előnyei a tizedestörtekkel szemben:

  • A közönséges kis nevezőjű törteket könnyebb előállítani, szemléltetni mint a többjegyű (tized, század ...) tizedestörteket. Például: 38=1,375.

  • A sokszor használatos 13, 16 is könnyebben érthető ilyen írásmódban, mint tizedestörtekként.

  • A közönséges törtekkel végzett műveletek könnyen átvihetők’’ a tizedestörtek körében a műveletekre.

  • A közönséges törtekkel egyúttal minden pozitív racionális számot elő tudunk állítani. A tizedestörteknél először a véges tizedestörtek kerülnek tárgyalásra, azaz csak a racionális számoknak egy részhalmaza. A periodikus tizedestörtek a kezdeti szakaszban nem szerepelnek.

  • Már egyszerű osztási feladatoknál is fellép a periodicitás problémája a tizedestörtek körében, például: 2:3=...

  • A közönséges törteknél pontos értékekkel dolgozunk, míg a tizedestörteknél szükségképpen hamar felmerül a kerekítés problémája.

A tizedestörtek előnyei a közönséges törtekkel szemben

  • A mindennapi életben a számításoknál szinte kizárólag tizedestörtek szerepelnek. Így a gyerekeknek vannak bizonyos előismereteik tizedestörtekkel kapcsolatosan. Így az új törtekkel kapcsolatos ismereteket is hamarabb és könnyebben alkalmazhatják a gyakorlatban. Ezzel szemben a közönséges törtek egyes mértékek (pl. idő) kivételével csak erőltetetten szerepelnek tankönyvekben valós szituációkban (pl. 15 kg liszt), és csak bizonyos törtek fordulnak elő gyakran (12, 13, 14, 18, 34). A legtöbb mennyiség megadására inkább a tizedestörtek maradnak.

  • A tizedestört jól értelmezhető a helyiértéktáblázat kiterjesztésével, amit a gyerekek már a természetes számok tanulásánál megismernek, így a (tizedes)törtekkel való számolás közvetlenül kapcsolható az egész számokkal végzett műveletekhez. Így a körülményes jelölésrendszer és a közönséges törtekkel kapcsolatos fogalmak (például: számláló, nevező, bővítés, egyszerűsítés, azonos nevezőjű, különböző nevezőjű) sem szükségesek.

  • A tizedestörtes írásmód egyértelműbb’’ mint a közönséges törtes.

Az előbbi előnyök és hátrányok áttekintésében segít a 6 táblázat (vö. Padberg 1995, [] 21.).

6. táblázat. Előnyök és hátrányok

Felmerül az előbbiekkel kapcsolatban az is, hogy mit tanítsunk előbb, közönséges törteket, vagy tizedestörteket.

Tankönyvkutatások szerint a XVIII.- XIX. században például az amerikai tankönyvek között találhatunk példákat arra, hogy

  • kizárólag közönséges törteket tanítottak,

  • csak a tizedestörtek értelmezéséhez használtak közönséges törteket,

  • teljesen párhuzamosan tanították a tizedes és közönséges törteket minden művelet esetében,

  • tizedestörtekkel kezdték a törtek tanításást,

  • közönséges törtekkel kezdték a tanítást.(vö. Jones 1960 idézi: Padberg 1995, [] 22.)

Érdekes megemlíteni, hogy ezzel a kérdéskörrel például Beke Manó a magyar matematikatanítás reformjának vezető egyénisége is foglalkozott a XX. század elején. Abban a kérdésben, hogy a törtek tanítása hogyan kezdődjön, a közönséges törtekkel való indítás mellett foglalt állást:

Még azon is vitatkoznak sokan, hogy kell-e törtszámokat tanítanunk? Mások meg azt a kérdést feszegetik, hogy mit kell előbb tanítanunk, a közönséges törteket-e vagy a tizedes törteket? És kuruczok meg labanczok, welfek és ghibellinek nem víttak elkeseredettebb harczokat, mint az újabbkori számtani methodika e vitás kérdéseinek szóvivői. Miből eredt ez a kérdés, melyről elődeink mit sem tudtak? Kétségtelenül a tizesrendszer újabbkori elterjedése, mértékeink átalakulása okozta.... A törtekkel való műveletek rendszeres tanítására a gyakorlati élet szempontjából ma már tényleg nincs szükségünk. Ellenben a tizedes törteket most már nélkülöznünk nem lehet. De ha a gyakorlati élet nem is követeli a törtekkel való műveletek rendszeres ismeretét, ha mindennapi számvetéseit el is végezheti mindenki a különböző nevezőjű törtek összeadásának, a törtekkel való sokszorozás- és osztásnak ismeret nélkül; mégsem nélkülözhetjük azonban a törtek ismeretét és a legegyszerűbb törtekkel, ... való számvetést. ... A törtekkel való műveletek rendszeres tárgyalására azonban egyáltalán nem volna szükség.... A közönséges tört ismeretének okvetlenül meg kell előznie a tizedes törtét. Már csak azon egyszerű okból is, hogy az egyszerűbb, a természetesebb előzze meg a complikáltabbat. De meg a gyermek tapasztalati körében is előbb jelentkezik a közönséges tört, mint a tizedes tört.’’ (Beke 1909, [] 169.)

2. Törtek tanítása egy kis történeti kitérő

A közönséges törtek tanítása régóta szerepel az alapfokú oktatásban, hiszen a törtekkel végzett műveletek hozzátartoztak a mindennapi élethez szükséges ismeretekhez. Az egyiptomi Rhind papiruszon (ie. 2000-1700) is szerepel már például, törzstörtekkel való számolás formájában. (A papirust 1858-ban Rhind angol tudós találta meg, majd megfejtése után kiderült, hogy lényegében tankönyv, amelyből feltehetően tisztségviselőket oktattak. Tartalmát tekintve 85 probléma és megoldása szerepel rajta, változatos témakörökből: kenyérsütés, sörkészítés, állatok takarmányozása, takarmányraktározás.)

Az egyiptomiak a törteket különböző nevezőjű törzstörtek összegeként (különbségeként) fogták fel. Például:

2 5 = 1 3 + 1 15 vagy 2 3 = 1 - 1 3

(ld. még: Gazsó, Mosonyi, Vörös 1979, 29-30.) A magyar vonatkozású emlékek közül megemlítjük Maróthi (1743 []) Arithmetica-ját, amelyben a szerző részletesen foglalkozik a törtekkel és a törtekkel kapcsolatos műveletekkel. A’ Törtt-szám (vagy amint Deákul hívják, Fractio,) ollyan szám, a’melly egy egésznek bizonyos részét vagy darabját jelenti. Mellyet hogy meg-érthess, vedd eszedbe, hogy minden dolgot, p.o. singet, forintot, fontot, napot, órát, ‘sa’t. el-oszthatunk két három és több akárhány egyenlő részekre; avagy tsak úgy gondolhatjuk, mintha el-vólna osztva. ... Ha már p.o. a singet 4-felé osztod, ‘s egyik részét vészed; a’ leszsz egy negyed rész (vagy fertály). A’melly szám ezt a 4-d részt jerlenti az Törtt-szám.’’ (Maróthi 1743, [] 136-137.)

A latin elnevezések helyett magyar neveket is keresett, így bevezeti a numerator’’ helyett a felső’’ és a denominator’’ helyett az alsó’’ elnevezést, amelyek a ma használatos számláló’’ és nevező’’ őseinek tekinthetők. Megkülönböztet igaz törtszámokat’’ amelyek egy egésznél kisebbek, és költött (vagy csinált) törtszámokat’’ is. Maróthi, akárcsak kortársai a műveletek elvégzését nem magyarázza, hanem elmondja a az adott eljárás végrehajtásának menetét, majd kidolgozott feladatokon mutatja be az alkalmazást.

(Érdekes feladat lehet a gyerekeknek (is), mai ismereteinkkel általánosan bebizonyítani egy-egy eljárás helyességét.)

Megemlítjük még, hogy a π közelítésére Maróthi a 227 értéket ajánlja.

Egy hordónak a szélessége belöl (vagy a Diameterje) 31 újjnyi. Kérdés, hány újjnyi leszsz a fenekének a Kerületi...

A Hármas regulát így rendelem: Ha a Diameter 7 újjnyi; leszsz a Kerületi 22 újjnyi: Hát ha a Diameter 31 újjnyi? Jö-ki 4-diknek 9737.’’

Az említett hármas regula’’ esetén természetesen arányszámításról van szó, és a következő az eljárás:

7. táblázat. A hármas regula

(Maróthi, 1743, [] 365.)

(1 ujj kb. 1,9 cm)

A törtek tanítására vonatkozó szabályok, javaslatok a XIX. században kimondottan tanítók számára készült kézikönyvekben is megtalálhatók. Ezekben módszertani útmutatások, fogalmak tisztázása és feladatok szerepelnek, az utóbbiak általában részben kidolgozva. A korabeli tanítási felfogást is tükrözi az a módszertani bevezető, amelyet az ismeretlen szerző írt a Törtszámok’’ rész bevezetéseként egy 1859-ből származó Vezérkönyvben’’ ([] 279-280.)

Érdemes még megjegyezni a könyvben:

A számláló’’ és a nevező’’ már a mai értelemben használatosak.

Törtekként (vagy törtszámokként) csak az 1-nél kisebb törteket szerepelteti, az 1-nél nagyobbak itt áltörtek’’. Használatos a vegyesszám kifejezés is, például a 234 vegyesszám.

A törtvonal ferde.

A törtek kétféle értelmezése a mai értelemben szerepel.

tizedes törtek tanítása nem szerepel benne.

Ebből az időből olyan tankönyveket is említhetünk is amelyekben már megtalálható a tizedestörtek tanítása, mégpedig a közönséges törtek után, például Mócznik Ferenc (1862) gimnáziumi tankönyvét.

Figyelemreméltó az is, hogy az egynél kisebb törtek itt (és más tankönyvekben) szintén kiemeltek, ezek a valódi törtek’’, míg a többi áltört’’. Ez utóbbiak jelölésére más szavak is ismeretesek voltak ebben az időben, de ezeket itt nem részletezzük.

Egy 1899-ben megjelent Pedagogiai Kalauz’’-ban az ötödik és hatodik elemi osztály számára készített tanmenetből, és egy rövid feladatgyűjteményből megismerhetjük a törtekkel kapcsolatos tananyaggal is. (Soós, 1899, [] 34.) A törtek tanítására eszerint a tanmenet szerint 5. osztályban mindössze 6 és fél óra jutott.

3. A törtek az iskolában (bevezetés, fogalmak)

Arra a kérdésre, hogy mi a tört többféle válasz adható. A tört lehet:

nagyság

lineáris egyenlet megoldása

függvény (operátor) (vö. Padberg, 1995 [])

Ezek alapján lehetséges, legalábbis elvileg, a törtek különböző bevezetése is.

Ha a törtet mint nagyságot, mennyiséget értelmezzük, akkor olyan konkrét törtekből indulunk ki, amelyek a gyerekek számára már ismertek lehetnek, mint például 18 kg, 34 óra. Ezek révén jutunk el absztrakció segítségével egy meghatározott mértékhez, amelyet egész’’ vagy egység’’ néven vezetünk be. A ma használatos törtbevezetések leginkább ezen alapulnak, és hasonlóan történhetett korábban is.

Nézzük meg ezt a megközelítést egy kissé, tanuláslélektani szempontból. Bruner elmélete szerint minden gondolkodási folyamat háromféle síkon mehet végbe, aszerint, hogy az ember hogyan kódolja a külvilágból származó információkat:

1. Materiális sík (enaktív sík)

Az ismeretszerzés egy cél elérésére szolgáló konkrét tárgyi tevékenységek, cselekedetek, manipulációk révén megy végbe.

2. Ikonikus sík

Az ismeretszerzés szemléletes képek, illetve elképzelt szituációk segítségével történik.

3. Szimbolikus sík

Ismeretszerzés matematikai szimbólumok és a nyelv segítségével. ...

A legtöbb tanulói aktivitásnál a reprezentációs síkok egymásba mennek át. ... Az egyik reprezentációs módról a másikra való áttérés növeli a rugalmasságot, és a problémamegoldás hatékonyságát.’’ (Ambrus A. 1995, [] 37-40.)

Az előbbieknek a törtek bevezetésénél például a következők felelhetnek meg:

1. enaktív sík

Adott rész kirakás színes rudakkal, csokoládé elosztása többféleképpen adott számú gyerek között, ismert mennyiségek megnevezése (konkrét törtek értelmezése).

2. ikonikus sík

Adott alakzaton megadott törtrész beszínezése, egység ismeretében beszínezett rész megadása szóban (betűkkel lejegyezve), 34 óra bejelölése.

3. szimbolikus sík

Törtrész megadása a szokásos írásmóddal.

A törtek közötti ekvivalenciaosztály értelmezése az algebrából ismert (nekünk tanároknak). A természetes számokból álló számpárok ekvivalenciaosztályaiként vezetik be a racionális számokat.

A tört értelmezése lineáris egyenlet megoldásaként konkrét példán a következőt jelenti. 3x=5,x=53, azaz az 53 tört a 3x=5 lineáris egyenlet megoldásaként jelenik meg.

Két tört, például 34 és 47 összeadása a következőképpen értelmezhető ebben a modellben: A mondott törtek a 4x=3 és a 7y=4 egyenletek megoldásai. Szükségünk van egy olyan egyenletre, amelynek x+y a megoldása. Ezt előbbi egyenletek megfelelő bővítésével’’ (egyenlő együtthatók) találhatjuk meg: 28x=21 és 28y=16 összeadásával: 28(x+y)=37.

Érdekes felfogása ez a törteknek, de a tanításban nehézkes lenne alkalmazni. Nyilvánvaló, hogy 5.-6. osztályban a gyerekek még nem rendelkeznek a szükséges absztrakt ismeretekkel az egyenletekkel kapcsolatban, márpedig a törtek tanítása nem halogatható tovább. Az is komoly probléma lenne ezzel a bevezetésmóddal kapcsolatban, hogy a gyerekekben erősödne az a képzet, hogy az egyenleteknek mindig egyértelmű megoldása van. Ez pedig komoly félreértést okozhat.

A törtet operátorként felfogni első látásra elég furcsának tűnik. Nézzük azonban a következő, mindennapi életben is használatos kifejezésmódot: 6 kg 23-a 4 kg’’ Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy a 23-a’’ révén a 6 kg-hoz a 4 kg-t rendeltük hozzá. Így a 23’’ egy függvénnyé (operátorrá) vált, amely valamely m értékhez az m23-át rendeli hozzá.

További fogalmakkal a törtek tanításának többféle felépítése is elképzelhető, ezeket itt nem részletezzük. (vö. például Padberg, 1995 []) Ez utóbbi felfogásnak az alapja a matematika tisztán struktúrákban való elképzelése.

3.1 A tört kétféle értelmezésének kérdése, egy érték többféle alak

A tört kétféle értelmezésénél érdemes kitérni arra, hogy nem osztható el minden dolog (tárgy) darabra igazságosan például három gyerek között, vegyünk csak mondjuk 2 pizzát, 2 üveg narancslét, 2 könyvet vagy 2 lufit. (Amikor az első tapasztalatokat gyűjtjük’’ a törtekkel kapcsolatban olyan mennyiségeket osztunk, amelyek, akárhány részre oszthatók, például alakzatok, folyadékok ...)

Különböző igazságos elosztási szituációk segíthetik adott tört többféle alakjának előállítását, és egyúttal ezek egyenértékűségének bizonyítását.

Osszunk el például 3 (ugyanakkora) pizzát 4 gyerek között igazságosan (mindenki ugyanannyit kap).

1. szituáció

A 3 pizza egymás után, nem egyidőben érkezik az asztalra. (Vagy: különbözőek a pizzák és minden gyerek mindegyikből kér.) A következő felosztás várható:

29. ábra. 1. szituáció

2. szituáció

Először egy pizza érkezik, majd két pizza egyidőben és a pizzák egyformák. A következő felosztás várható:

30. ábra. 2. szituáció

3. szituáció

A három pizza egyidőben érkezik és egyformák. Ekkor többféle elosztás is lehetséges, például:

31. ábra. 3a. szituáció

32. ábra. 3b. szituáció

(Ezeknél az eseteknél érdemes lerajzoltatni azt is, mit kap egy-egy gyerek.)

El lehet azon is gondolkodni, hogyan alakul az elosztás az egyes esetekben, ha különbözőek a pizzák.Különböző pizzafajták és a gyerekek kívánságai még további lehetőségeket kínálnak. Fontos, hogy a gyerekek egy-egy felosztást többféle modellen is átéljenek’’, és lássák a felosztások egyenértékűségét.

3.2 Tört törtszám kérdése

A szóhasználat nem mindenütt egységes. A régebbi tankönyvek, kézikönyvek szóhasználata szerint ezek szinonímaként használhatók, a tört’’ gyakorlatilag a törtszám’’ rövidítése. Ma más a helyzet. Például Padberg (1995 []) törtekkel megjelenített törtszámokról’’ tesz említést. Úgy véli, a törtek akkor válnak törtszámokká, amikor a gyerekek számára világossá válik, hogy ezekkel ugyanazt lehet csinálni, mint más számokkal, azaz lehet ezeket nagyság szerint rendezni,

számegyenesen ábrázolni,

ezekkel számolni.

A mai magyar matematikaoktatásban különbséget teszünk tört és törtszám között. Amikor a tört’’ szót használjuk, a számláló és nevező segítségével felírt alakra gondolunk. Az ilyen alakban felírt számok vagy egészek vagy nem egészek, vagyis törtszámok. Fontos megjegyezni, hogy nem célszerű egymástól megkülönböztetni a hányadosalakot és a törtalakot. Mindkettő osztást jelent.

4. Bevezető feladatok tervezése a tört szorzása törttel témához

A tört szorzása törttel’’ egyike azoknak a fejezeteknek, amelyek előtt a tanárnak külön is érdemes elgondolkodni azon, milyen feladattal indítson, hogy a gyerekekben a téma iránt érdeklődést keltsen, hiszen első ránézésre nem túl érdekes témáról van szó.

A német matematikadidaktikai irodalomban a következő lehetőségek szerepelnek például a bevezető illetve problémafelvető feladatok motiváló szerepének növelése esetében (Barzel et.al. 2011 []): Kognitív konfliktus teremtése, kép, ábra, modell stb. bemutatása, kísérlet, tevékenység, játék elvégzése, egy történet elmesélése, célzott házifeladatok adása, mintapéldák megfelelő feldolgozása.

A következő bevezető problémák a tört szorzása törttel’’ témakört több oldalról közelítik. A további feladatvariációk példákat mutatnak arra, hogyan lehet az eredeti problémát könnyíteni vagy nehezíteni, esetleg új tartalmalat belevinni (pl. mértékegységeket, grafikus ábrázolást, ábrázolást koordinátarendszerben ...). Ilyen módon is hangsúlyozni szeretnénk hogy a bevezető feladatok tartalma variálható, és ebben az esetben figyelembe vehetőek a különböző tanítási célok és lehetőségek is.

1. Problémafelvetés Bevezetés matematikán belüli kapcsolatokkal a (geometria, algebra, mértékek)

Egy téglalap oldalai 12 és 34 részei egy nagyobb téglalap oldalainak. Mekkora a téglalap területe?

Ennél a bevezetésnél a geometria az algebrával kapcsolódik össze. A megoldás során szükséges, hogy gondolatban a geometriai ábrázolás, és egy oldalhossz valahányad része illetve a keresett rész egész területhez viszonyított aránya között ide-oda ugorjunk’’. A gondolkodást kezdhetjük például a következőképpen: Mi lenne ha a téglalap egyik oldala 10 cm, a másik 12 cm? Hogyan nézne ki ebben az esetben a keresett terület? Mi lenne a helyzet egy egységoldalú négyzet esetében (8 x 8 cella)? Ekkor a cellák leszámolhatók, tehát az eredmény 2464=38.

33. ábra. A négyzet felosztása

Az 1. problémafelvetés 1. variációja

Egy négyzet oldala 13 része egy nagyobb négyzet oldalának. Mekkora a területe?

Az 1. problémafelvetés 2. variációja

Hány kilométer egy adott (14 km vagy 1,5 km) hosszú szakasz harmadrésze?

Az 1. és 2. variációk alternatívák az 1. problémafelvetéshez, miközben láthatóan megmaradt a matematikán belüli kapcsolatok előbbi hangsúlya.

2. Problémafelvetés Nyelvi-értelmező bevezetés (valahányadrész megadása)

Mekkora az 12-nek a 34 része? Színezd be a megfelelő részt az alábbi egységszakaszon, illetve egységnégyzetben!

Ennél a bevezetésnél a megnevezett rész kerül ábrázolásra: egy szakasz vagy egységnégyzet felének a 34 részét kell kiszínezni. A két ábra segítségével meg lehet beszélni (értelmezni) hogy 12-szer 34 ugyanazt jelenti mint 12-nek a 34 része.

A 2. problémafelvetés 1. variációja Más számokkal

Mennyi 12-nek az 14 része? Próbálj többféle megoldási módot megadni!

A feladatban szereplő számok megváltoztatása megkönnyíti további megoldási módok megadását, korábbi tapasztalatokra támaszkodva. Ezekkel a számokkal akár többféleképpen is gondolkodhatnak a tanulók:

Mivel egy egész szám 14 részét megkaphatom úgy, hogy az egész számot megszorzom 14-del, így az 12-nek az 14 része 12-szer 14. És azt már tudom, hogy 12-szer 14 az 18.’’

1 2 egynegyed része azt jelenti, hogy 12:4, és az 18’’

3. Problémafelvetés Tevékenységorientált bevezetés Hajtogatás

Hajts félbe egy A3-as papírt! Hajtsd szét, és színessel színezd be a felét, majd újra hajtsd össze! Ezután hajtsd mégegyszer félbe a lapot!

Most hajtsd mégegyszer félbe! Ezután hajtogasd teljesen szét a lapot és figyeld meg a jelölt részt. Írd le: mi történt?

Most színezd be a már kiszínezett rész felét egy másik színnel!

Ezután hajtsd megint össze a lapot majd mégegyszer félbe.

Hajtsd teljesen szét a lapot és figyeld az utóbb beszínezett részt! Írd le: mi történt?

A papírod segítségével próbáld válaszolni a következő kérdéseket.

Mekkora

1 2 -nek az 12 része?

1 2 -nek az 14 része?

1 2 -nek az 18 része?

A tevékenységorientált bevezetés révén a tanulók cselekvés közbeni megfigyelés során jutnak el a művelet megértéséhez. Az egyes cselekvések során le kell írniuk, hogy mit csinálnak, és azt is, hogy eközben mit figyelnek meg.

4. Problémafelvetés Bevezetés valóságközeli szituációval

A hatodikosok hosszas tárgyalások után végre engedélyt kaptak arra, hogy egy kertet létesítsenek az iskolaudvaron. A lehető legnagyobb területet szeretnék felhasználni ehhez és arra a kérdésükre, hogy mekkora rész áll rendelkezésükre az udvaron, a következő választ kapták:

Legfeljebb az udvar 18 részét használhatjátok kertnek.’’ Arra a kérdésre, hogy mekkora is az udvar, a következő információt kapják:

Az iskola teljes alapterületének pontosan a 23 része udvar.’’

A hatodikosok tanácstalanok, mivel még azt sem tudják kiszámítani, hogy az udvar hányad részét használhatják.

Kérdésükre az iskolaigazgató válasza: Az iskola alapterülete 2328 m2.’’

Gondold meg, hogyan számolhatták ki a tervezett kert méretét a hatodikosok! Keress többféle megoldást!

Ennél a feladatnál a korábbi ismeretek alapján úgy járhatunk el, hogy először kiszámítjuk a 2328 m223 részét (az udvar nagysága).

Ez (2328-szor 23) 1552 m2. Ezután számítjuk a tervezett kert nagyságát, (1552-ször 18), ami 194 m2.

A számításból adódhat az a gondolat, hogy a feladat megoldása a következő módon is felírható: (232823)18=2328(2318), ahol a második esetben a zárójelben a tervezett kert teljes alapterülethez viszonyított aránya található, és nyilvánvalóan mindkét számítás eredménye a keresett 194 m2.

Ebből adódik 1942328 felírásával végül egyszerűsítés után, hogy a zárójeles szorzat eredménye 112, azaz 2318=112, és ezzel az eredménnyel témánknak megfelelően tovább is tudunk dolgozni ...

A 1942328 egyszerűsítése nem egyszerű ebben az életkorban, de jó alkalom például problémaorientált megoldásra a nehézkes és időigényes rutinszámolás helyett.

Először 2-vel egyszerűsítve 971164-et kapunk. Mivel a számláló páratlan a nevező pedig páros, így további egyszerűsítés páros számmal nem lehetséges. Ezek után megvizsgálható az egyszerűsítés lehetősége rendre a 3, 5, 7, 9, (11) számokkal és látható, hogy nem megy. (A 3, 5, 9 számokkal kapcsolatos oszthatósági szabályok ismerete gyorsítja az eljárást).

Ebből következik, hogy 97 prímszám. (Miért is?) Tehát 971164 legfeljebb akkor egyszerűsíthető, ha 97 osztója az 1164-nek. Ez pedig fennáll, és így a legegyszerűbb alak 112.

A 4. problémafelvetés 1. variációja alternatív feladat

Egy marketingmenedzser az új iPhone 4S piacra kerülésével egyidejűleg azt a feladatot kapta, hogy a korábbi iPhones típus raktárkészletét számolja fel minél gazdaságosabban. Az iPhone 4 beszerzési ára 23 része az eladási árnak.

Abból a célból, hogy legalább a beszerzési ár megtérüljön, (azaz ne legyen veszteség) a piaci lehetőségek ismeretében a menedzser a következő akciót javasolja: a készlet 23 részét árusítsák ki az eladási ár 34 részéért. Ezután a megmaradt készletet a továbbiakban árulják az eladási ár feléért.

Ezzel a stratégiával eléri-e célját a marketingmenedzser?

34. ábra. Ábra a tanulóknak

35. ábra. Példa a megoldásra

Mivel a feladat nem könnyű és nem várható el, hogy a gyerekek maguktól rájönnek milyen ábra segíthetne, fontos a segítő rajzot is odaadni nekik a megoldáshoz (a 34 ábra).

Az ábrával történő megoldás annak is fontos, aki enélkül is helyesen dolgozott, mert fontos problémamegoldó stratégiát tanul vele.

Ennek segítségével végül megadható 23-szor 34, és ebből adódik 24=12 rész, azaz az akció első részében az eredeti ár fele lesz a tervezett bevétel. A további akcióban a maradékot (13 rész’’) az ár feléért akarják eladni, és így nem teljesíthető a terv, ahogy az ábra is mutatja.

Várhatóan van, aki észreveszi, hogy a második akciónál általában az erdeti ár 34 részénél kisebb árral nem érhető el a cél. Ezt a gondolatot akkor is fontos megbeszélni a tanulókkal, ha a megoldás során nem merült ez fel.

5. Problémafelvetés Folyamatorientált (direkt) bevezetés

A hatodikos Áron a múlt órán tanult arról, hogyan lehet két törtet összeszorozni. Nézd meg milyen feladatmegoldások és ábrák vannak a füzetében. Próbáld megmagyarázni, hogyan számolt és milyen kapcsolatban állnak az ábrák a megoldásokkal!

Ahol szükséges írd be a hiányzó megoldásokat!

1 4 -szer 14=116

1 2 -szer 14=18

3 4 -szer 12=38

1 4 -szer 13=

1 5 -ször 23=

36. ábra. Hogyan számolt Áron?

Ennél a bevezetésnél feladatok és az ábrák segítségével a tanulók önállóan fogalmazhatják meg a szabályt. Ez a bevezetés közvetlenül szabálymegfogalmazásához vezet, míg a korábbiak előkészítést adtak ahhoz.

Megjegyzés:

Az előbbiekben bemutatott bevezető feladatokból összeállítást is készíthetünk, hogy a törtek szorzásának vonatkozásai minél teljesebben kerüljenek tárgyalásra, ezeket egymás után oldhatják meg a tanulók.

5. Gondolatok bevezető feladatok tervezéséhez

Egyáltalán nem könnyű megfelelő, kellően problémaorientált bevezető feladatokat készíteni. Mindenekelőtt fontosak az eredeti ötletek és ezek kidolgozásához pedig nem kevés idő is szükséges esetenként.

A összegyűjtöttünk néhány szempontot, amelyek segíthetik a bevezető feladatok tervezését. Ez a gyűjtemény inkább elgondolkodásra szeretne késztetni, nem követ fontossági sorrendet és bizonyára nem is teljes.

Szempontok bevezető feladatok tervezéséhez:

  • Megoldható-e a feladat az eddigi előismeretekkel, a korosztálynak megfelelő problémamegoldási stratégiákkal, és természetesen a józan ész segítségével ...

  • Érdekes-e az adott feladat a tanulóknak? Esetleg izgalmas, vagy netán vidám a téma?

  • Megfelelő szintű-e a nehézségi fok? Eléggé gondolkodtató-e a feladat?

  • Lehetőséget ad-e a feladat arra, hogy a tanulók megvitassák a benne megfogalmazott kérdést?

  • Könnyen variálható-e a feladat? Például szükség esetén könnyíthető-e mondjuk a számok megfelelő változtatása révén, vagy ábrával segítségével?

  • A feladattal megfelelően elérhető-e a kitűzött matematikai cél?

  • Milyen további feladatok szükségesek még a téma megfelelő kifejtéséhez?

  • Megfelelően változatos bevezető feladatokat készítek-e általában, vagy inkább ugyanolyan típusokat szeretek használni bevezetésként?

  • A bevezető feladatok lehetőséget adnak-e különféle ismeretek összekapcsolására? Előkerülnek-e ennek során a matematika különböző területei is?

  • Vannak-e olyan valós szituációk, amelyek az adott matematikai téma használhatóságát közvetlenül mutatják?

  • ...

Szempontok bevezető feladatok alkalmazásához:

  • A probléma megoldásához milyen külön segédanyagot kapnak a tanulók?

  • Milyen is legyen ez a segédanyag konkrétan?

  • Milyen előnye és hátránya van ezen anyagok használatának?

  • Mikor kapják ezeket az anyagokat a tanulók? (Mindjárt az elején, esetleg valamikor később ...)

  • Milyen formában kapják a tanulók a feladatokat? Írásban? Képek illetve ábrák segítségével? Szóban? Szövegesen magyarázó ábrákkal vagy anélkül?

  • Milyen segítséget kaphatnak a gyengébben teljesítők a feladatmegoldáshoz?

  • ...

1.5.2 Ambrus Gabriella: Törtek bevezetése kétféle felfogásban

A szöveg rövidített változata az Iskolakultúra 2008/1, 78-92. megjelent tanulmánynak.

http://www.iskolakultura.hu/ikultura-folyoirat/documents/2008/2008-1-2.pdf 2013.02.26.

A következőkben két feladatlappal foglalkozom, amelyek ötödikes gyerekek számára készültek azzal a céllal, hogy törtekkel kapcsolatos ismereteiket a témakörrel való foglalkozás kezdeti szakaszában, gyakorolják, mélyítsék és kiegészítsék. A két feladatlap elkészítésénél a Magyarországon leginkább elterjedt hagyományos és problémaorientált tanítási stílust vettem alapul. (A feladatlapokat már idéztük ebben a könyvben, lásd a 2. és a 3., illetve a 4. ábrákon. az ábra számát jelző linkre klikkelve megjelenítheti azt.)

Az első feladatlap (I) hagyományos feladatokat tartalmaz, míg a második lap (II) részben egymásra épülő feladatok megoldásával arra is alkalmas, hogy a tanulók egyénileg dolgozva bővítsék ismereteiket. Ez utóbbi lapon szokatlan feladatok is szerepelnek, amelyek megoldása többféle szempontból is problémahelyzet elé állítja a tanulókat.

A két feladatlapot négy különböző iskolában ötödikes tanulók, 4 tanulócsoport (A, B, C, D), összesen 85-en oldották meg a 2004-2005-ös tanévben. A munkában önkéntesen résztvevő tanárok külön lapon kaptak eligazítást’’, többek között megkértem őket, hogy

jellemezzék röviden az osztályt matematika tanulás(i kedv) és tudás szempontjából,

döntsék el, hogy egy vagy két órában oldja meg osztályuk a két lapot; de adják meg, hogy melyik változatot választották,

lehetőleg a törtek tanulásának bevezető részében dolgozzanak a lapokkal, és jelezzék, hogy abban az évben már körülbelül hány órában foglalkoztak törtekkel,

a gyerekek önállóan dolgozzanak, de ha kell kérhetnek segítséget, (ezt adott esetben jelezzék)

írják le, melyik feladatokat találták a tanulók nehéznek és azt is, melyik feladat tetszett illetve nem tetszett a tanulóknak.

A tanári válaszok alapján a következőket tudhattuk meg:

A

  • Átlagos képességű osztály (18 fő), többségük szereti a matematikát, sok mindent jól tudnak már a törtek témakörből az alsó tagozatos tanulmányaik alapján

  • 2 órában oldották meg a feladatlapokat

  • ebben az évben még nem foglalkoztak a törtekkel

  • nehéznek tartották az I. 4d, 5c, 6, 7 és a II.2,3,4, 5b feladatokat

B

  • jó képességű csoport (14 fő), szívesen tanulják a matematikát, sok a jól dolgozó, szorgalmas gyerek,

  • 1 órában oldották meg a két feladatlapot

  • Már volt az idén: tört fogalma, törtrész meghatározása, tört ábrázolása számegyenesen

  • Nehéznek találták a II. 1, 3, 4 feladatokat, és a tanár úgy vélte, hogy a II.3 feladat nem szerencsés, talán hibás is. Az a) ábra 14 helyett 12-et ad meg, azt hiszem ezzel a feladat határozatlanná válik. (Ha 4 ábrából kettő nem illik a sorba, az már nem kakukktojás.) Ha 3 ábrába 1 nem illik, akkor szinte tetszőlegesen folytathatja a gyerek 4. feladat. Ebben a két feladatban a gyerekek az első ábrát gyakran kimondatlanul is 14-nek vették.’’

C

  • Vegyes csoport (27 fő), szélsőséges összetételű osztály’’ (10-12 versenyképes, 4-5 nagyon gyenge), a matekot a többség szereti

  • 2 órában írták

  • már foglalkoztak valamennyit törtekkel

  • a nehézségről nincs információ

D

  • Az osztályon belül (26 fő) nagy eltérések vannak. A középmezőny szorgalmas együttműködő.

  • 2 órában írták

  • a törtek témakörével nemrég (3-4 órája) kezdtek foglalkozni

  • időnként gond volt a feladatok megértésével. Nehéz az I. 4, 6 feladat.

A tanárok szerint a gyerekek általában szívesen dolgoztak a lapokon, részletes vélemény arról, hogy melyik feladat tetszett illetve nem tetszett, csak az A csoport esetében érkezett (szmájli formában). Az ő véleményük szerint legjobban tetszett az I.5. feladat (5 tetszett, 1 nem tetszett szavazat) és legkevésbé tetszett a II.2 feladat (8 nem tetszett, 1 tetszett szavazat).

Ebben a csoportban, akiknek tetszett egy feladat, azok azt általában nem vagy csak részben oldották meg jól.

A II.3. feladat 4 tanulónak tetszett, 1-nek kifejezetten nem, a többi nem nyilvánított véleményt. A II. 4 3 tanulónak tetszett és 3 tanulónak nem tetszett. A II.5 feladat 2 tanulónak tetszett 1-nek nem tetszett. A többi feladattal összehasonlítva ez utóbbi volt a legközömbösebb’’ (azaz a legtöbb tanulónak közömbös) feladat.

A feladatlapok szerkezete és összefüggések a feladatok között; a tanulói megoldások elemzésének szempontjai

Az első feladatlap folytonos és diszkrét mennyiségek törtrészének kiszámításával foglalkozik már ismert feladattípusok segítségével.

Az első három feladatban a törtrész leolvasásához kész eszköz’’ (ábra) áll a tanulók rendelkezésére, a negyedik és ötödik feladatban nekik kell esetenként kiegészíteni ábrát. Az első három feladat a törtek fogalmának alapismereteit veszi át (egyenlő részekre osztás, törtrész ábrázolása, törtrész megnevezése, jelölése, elnevezések), már ismert modelleken dolgozva.

A negyedik és ötödik feladat az ismeretek alkalmazását jelenti, e két feladat (adott törtrész beszínezése, beszínezett rész nagyságának megadása) egymás inverzeinek tekinthető. A részfeladatok ebben a két feladatban nem nehézségi sorrendben követik egymást. E két feladat az előbbieken kívül annyiban függ össze, hogy az I.5e (ami könnyű feladat) segítséget adhat I.4d megoldásához. Az I.4d így készíthető felosztása nem könnyű és nem is várható el előzmények nélkül a tanulóktól. Feltételezhető, hogy aki ilyen felosztással oldotta meg a 4d-t, az vagy ismerte a feladatot, (ami általában nem jellemző), vagy az 5e megoldása után visszatért a 4d megoldásához (ez a várható).

Megnézzük, hogy aki jól megoldotta az I.5e-t, azok közül hányan oldották meg ezzel a felosztással a I.4d-t, azaz hány esetben segítette az 5e feladat a 4d-t. Ez azt is jelenti általában, hogy ezek a tanulók a feladatokat nemcsak egymás utáni sorrendben oldották meg rendre, hanem átgondolva hol volt problémájuk, képesek voltak arra is, hogy visszalépjenek, amikor ötlethez jutottak.

Az I.6. feladat rokona’’ a 3.-nak, de ebben az előbbi feladatban egy szakaszon a tanuló végzi a szükséges méréseket és számításokat.

Feltehető, hogy aki tudta a 3. feladat helyes megoldását, azt átgondolva ezt is helyesen oldotta meg.

A 7. feladat törtrész kiszámításával kapcsolatos. A 2., 3. és 7. feladat azonos tartalmú, az utóbbi esetben nem kötelező az ábrázolás, míg az előbbiek megoldásához hozzátartozik.

A második lap 1. feladata többféle jó beszínezést kér azaz több megoldást adott törtrész megadásához. Mivel a tanulók korábbi tanulmányaik során feltételezhetően már többféleképpen megadták egységtéglalap törtrészét, a feladat megoldásához rendelkeztek kellő előzetes tapasztalattal. A nehézséget, a problémahelyzetet egyrészt a többféle jó megoldás megkeresése jelenti (kiválasztás a bennük élő képekből egyéni meggondolás segítségével) hiszen megadott felosztás most nem segíti a megoldást másrészt a megoldás megfelelő lejegyzése. Gyakorlatilag egyfajta nyitott feladattal állunk szemben hiszen több megoldást kell megadni ugyanarra a feladatra.

A II.2 második része a II.1. feladatra épül (het) amennyiben a megoldás az egység egymás után végrehajtott többszöri felezésének felhasználásával készül. A 2. feladat első része annyiban kapcsolódik az első feladathoz, hogy jó megoldás adható meg úgy is, ha az 12 ből rendre egyre többet’’ veszek, például 22, 32, 42.

A II.2 feladat azért nehéz, mert egy feladaton belül kell váltani (22-hez képest kisebb, nagyobb tört megadása; számláló, nevező figyelése).

Nem megszokott jelenség, hogy egy magyar matematika feladatban kakukktojás keresésre kerül sor, mint ez a II.3 feladat esetében történik. Pedig ezek a feladatok különböző ismeretek, gyakran hagyományostól eltérő alkalmazásán túl jó lehetőséget biztosítanak arra, hogy vélemények ütközzenek, különböző elgondolások megvitatásra kerüljenek, és ezen felül motiváló hatással is bírnak.

Ez a feladat is a nyitott’’ feladatok körébe tartozik, hiszen többféle jó megoldása van.

A törtekkel kapcsolatos környezet’’ miatt elsősorban a törtek témakörből várhatók megoldások.

Várható helyes megoldások törtekkel kapcsolatban:

A d) mivel ebben az esetben nem határozható meg mekkora rész színezett.

A d) mivel nem tudom megadni a színezett rész nagyságát (de a többi esetben igen).

A d) mivel a kört nem egyenlő részekre osztották.

A tanulóknak meg kellett indokolniuk válaszaikat, hiszen abból látszik, hogy elfogadható-e a válasz.

Például a d) helyes válasz, ha az indoklásban utalás van arra, hogy ebben az esetben nem egyenlő részekre történt a felosztás. Viszont helytelen válasz abban az esetben, ha az indoklás szerint nem az alakzat negyede lett beszínezve’’. Ugyanis így a megoldó helytelenül azt állítja, hogy a többi három alakzat esetében a negyed színezett.

Hasonlóan helytelen és helyes is lehet az a) mint kakukktojás’’. Helytelen, ha az indoklás az, hogy itt nem a negyedrész színezett’’ vagy, hogy mert itt két negyed van beszínezve’’. Ebben az esetben a megoldó feltételezi, hogy a többi esetben azonos rész, azaz egy negyed színezett.

Várható nem törtekkel kapcsolatos helyes megoldások:

Az a) mivel itt nem egyenes szakaszokkal osztották fel az alakzatot.

Az a) mert azon két rész van beszínezve a többi esetben csak egy.

A c) mivel az nem kör.

A feladat abból a szempontból is problémahelyzet elé állítja a tanulókat, hogy akár törtes, akár nem törtes megoldást keres, nem jut célhoz közvetlenül az ismert eljárások között keresgélve, hiszen az ábrákat egyenként, illetve párosával, valamint együtt is vizsgálnia kell.

Amennyiben a tanuló a törtes megoldás keresésénél marad, úgy véleményünk szerint az I. feladatlap 1,4,5 valamint a II. feladatlap 1. feladata segítheti a megoldást hiszen ezek alakzat törtrészének meghatározását gyakoroltatják többféle módon. Az is lehet, hogy a II.3 feladat törtes’’ megoldása azért sikerül, mert a tanuló kellő ismeretekkel rendelkezik a törtekről, és ezt az említett 4 feladat lényegileg jó megoldása mutatja.

Az, hogy a tanuló nem törtes megoldást keres, az várhatóan abban az esetben fordul elő egyrészt, ha a törtekkel kapcsolatos ismeretei elég biztosak, a két lap feladatai nem okoznak különösebb nehézséget, így van ideje, energiája ebből a gondolatkörből kilépve is gondolkodni. Másrészt abban az esetben, ha a törtekkel igen nehezen dolgozik még vagy általában nem szereti a szokásos matematika feladatokat, így szívesebben választ más tartalmú megoldást. Az előbbi esetek többféleképpen keverten’’ is előfordulhatnak.

Ha a tanuló azt válaszolta, hogy a sorba nem illő d) jelű ábra a kakukktojás’’ mert nincs egyenlő részekre osztva, ez az egyébként helyes válasz még nem jelenti azt, hogy tudja, alakzat törtrészének meghatározásához szükséges a megfelelő egyenlő részekre osztottság megléte, lehetősége. Ugyanis ez az indoklás adódhat csupán abból, hogy például a szimmetriaérzéke szerint válaszolt. Erre a jelenségre utalhat az, hogy ha a II.3 feladat helyes megoldása esetén az 5/b feladat megoldása nem megy.

Ha viszont az szerepel a válaszban, hogy a d) esetet azért választotta, mert ebben nem tudja meghatározni a színezett rész nagyságát, (de a többiben igen), akkor várhatóan az 5.b-re is jó megoldást ad.

Véleményünk szerint a kakukktojáskeresés’’ amellett, hogy a meghatározhatatlan nagyságú területrészt is szerepeltet, kizökkenti a tanulókat a szokásos feladatmegoldási rutinból, így segíthet abban, hogy nem szokványos válaszokat is le merjenek írni. Ugyanis az 5b helyes megoldását, azaz, hogy nem tudja mennyi a színezett rész, gátolhatja az iskolai gyakorlat, mely szerint a nem tudom’’ tárgyi hiányosság esetén használatos, valamint, hogy matematikaórán a feladatoknak konkrét megoldása szokott lenni. Emiatt a tanuló elbizonytalanodhat, jól gondolkodott-e, ha nem tud ilyen megoldást adni, és nem ír semmit. Vélhetően tehát a jó megoldásra gondolt szerintünk az, aki az 5. feladat esetében például csak a b) feladatra nem írt semmit (nem merte leírni, hogy nem tudom), és így a helyet alatta üresen hagyta, ám a többi részfeladatot helyesen megoldotta. Az előforduló néhány ilyen esetben az 5b és ezzel a teljes feladat megoldását helyesnek vettem. A II.4.-hez összesen 2, részben jó próbálkozás akadt, ami arra utal, hogy ez szokatlanabb volt, mint a II.3. Értékelhető megoldások hiányában ezzel a feladattal ebben a részben nem foglalkozom.

A feladatokban megjelenő matematikai kompetenciákról

A matematikai kompetencia fogalmat Mogens, Niss (2003 []) rendszere szerint használom. A matematikában kompetensnek lenni Mogens, Niss (2003 []) szerint jelenti a matematikai tartalom ismeretének, megértésének, használatának és kidolgozásának képességét matematikán belüli és kívüli kontextusok esetében. A matematikai kompetencia jól felismerhető, fő alkotórésze az előbbi képességnek, és a kompetenciák nem feltétlenül függetlenek egymástól. Niss a következő fő kompetenciákat tartja számon:

1. Matematikai gondolkodás képessége (Mathematical thinking skill)

2. Matematikai érvelés képessége (Mathematical argumentation skill)

3. Modellezési képesség (Modelling skill)

4. Probléma felvető és megoldó képesség (Problem posing and solving skill)

5. Reprezentáló képesség (Representation skill)

6. Szimbolizmusra, formalizmusra való képesség (Symbolic, formal skill)

7. Kommunikációs képesség (Communication skill)

8. Segédletek és segédeszközök (ismeretére, használatára való) képesség (Aids and tool skill)

A táblázatban annak bemutatására, hogy az egyes feladatok véleményem szerint mely kompetenciákat fejlesztik, felhasználtam Mogens, Niss (2003 []) fő kompetenciáinak további részletezését.

37. ábra. Kompetenciák fejlesztése

A táblázatból kitűnik, hogy az I. feladatlap feladatai az első négy kompetenciaterületet nem igazán fejlesztik, viszont az 5. (Megjelenítés), a 6. (Szimbolizmus, formalizmus), valamint a 7. (Kommunikáció) fejlesztésében valamivel hangsúlyosabb szerepet játszanak, mint a II. feladatlap feladatai.

A II. feladatlap feladataira általában nemcsak az a jellemző, hogy egyenként lényegesen több kompetenciát fejlesztenek, mint az I. feladatlapé, hanem a kompetenciaeloszlás’’ is egyenletesebb. Ezek a tények a feladatok problémafelvető és általában nyitott jellegének következményei.

Ha számszerűen nézzük, akkor a II. feladatlap feladatai összességében több kompetenciát és ezeket egyenként többször fejlesztik, mint az I. feladatlap, pedig azon több feladat szerepel. A két feladatlap esetében hasonló összehasonlító vizsgálatot végeztem a magyar NAT-ban és az osztrák Lehrplan 2000-ben előírt fejlesztendő alapkészségek alapján (Ambrus G. 2003 []). Az I. (hagyományos) feladatlapra jellemző volt, hogy általában kevesebb alapkészséget, de ezeket többször gyakoroltatta (a kötelezően előírtat szinte az összes feladat), mint a II. feladatlap feladatai. A II. (problémamegoldó) feladatlap esetében a gyakoroltatott alapkészségek a feladatok között egyenletesebb eloszlást mutattak, mint az I. feladatlapnál.

A két elemzés alapján a következők állapíthatók meg:

  • A NAT előírásainak mindkét lap megfelelt, a kompetenciák közül a hagyományos feladatok jóval kevesebbet fejlesztettek, mint a problémaorientáltak.

  • A hagyományos lap a kompetenciák fejlesztéséhez kevésnek bizonyult.

  • A II. lap többféle alapkészséget, de ezeket kevesebbszer gyakoroltatta, míg az I. lap kevesebbet, de ezeket többször. Ezzel mintegy kiegészítik egymást az alapkészségek fejlesztése tekintetében, hiszen a hangsúlyosakat a hagyományos lap is jobban hangsúlyozza.

  • A hagyományos feladatlap feladatai egyes kompetenciákat valamivel jobban előtérbe helyezett, mint a II. feladatlap (összehasonlítás a feladatokban való előfordulás alapján), viszont ezzel egyidejűleg más kompetenciák fejlesztése, (amely a II. lapnál megtörtént) elmaradt.

Ez utóbbi tény várhatóan megfigyelhető általában a hagyományos feladatoknál, így felmerül az a lehetőség, hogy bár a problémaorientált feladatok a kompetenciák fejlesztését általában jobban támogatják, néhány kompetencia célzott fejlesztése hagyományos feladatokkal is történhet. Ez lényegileg a kétféle tanítási stílus, az alapkészségek esetében már említett, egymást kiegészítő jellegét jelenti a kompetenciaalapú tanítás esetén is.

A helyes feladatmegoldások számának alakulása és a kompetenciák

A következő táblázatban azok számát tüntettük fel, akik az adott feladatokat legfeljebb egy hibával megoldották, illetve a II.1 feladat esetében jó megoldásokat készítettek, és legalább 2-2-t soronként, azaz lényegileg jól dolgoztak. A továbbiakban a helyes megoldók’’ ezeket a lényegileg jól dolgozókat is jelentik. A II.3 esetében a jó megoldást (betűjel és indoklás helyes megadása) jelenti a helyes megoldást értelemszerűen. Ezen kívül a következőket vettem figyelembe:

Az 1. feladatban Béla rajzának értékelésekor fontos az indoklás, de mivel külön nem kértük, és ötödikesekről van szó, az egyértelmű nem’’ választ is helyesnek vettem.

Ha egy jó megoldás elkészült a II.2 feladathoz, a feladatmegoldást jónak vettem.

Vélhetően a jó megoldásra gondolt, mint már korábban az 5. feladat esetében az aki csak a b) feladatra nem írt semmit, azaz a helyet alatta üresen hagyta, ám a többi részfeladatot helyesen megoldotta. Az előforduló néhány ilyen esetben az 5b és ezzel a teljes feladat megoldását helyesnek vettem (ld. megjegyzések a feladatok összefüggéseinek tárgyalásánál).

38. ábra. A helyes megoldók száma csoportonként és feladatonként.

39. ábra. A legalább 5 kompetenciát fejlesztő feladatok.

A több kompetenciát fejlesztő feladat helyes megoldói általában kevesebben vannak, de a II.3 feladat kivétel. Ennek egyik oka az lehet, hogy a feladat nem az összetettsége, több részfeladata miatt fejleszt több kompetenciát, hanem a feladat megfogalmazása teszi ezt lehetővé. Erre még visszatérek. Azonos a kompetenciaszám (6) mégis a II.1 feladatot jóval többen oldották meg jól, mint a II.5-t. A fő ok itt a szükséges ismeretek eltérő mennyiségében illetve mélységében keresendő. Hiszen míg a II.1 feladat ismert alakzat (téglalap) adott törtrészének kiszínezését kéri bár kissé szokatlan formában, addig a II.5 minden részfeladatában a megadott egységalakzat alapján kell gondolkodni, sőt a felosztást egyes esetekben ki is kell egészíteni. További nehezítés’’, hogy egy részfeladat (a b)) esetében azt is meg kell gondolni, hogy nincsen megoldás.

Az eredmények is mutatják, hogy önmagában a kompetenciák feltérképezése nem alkalmas a feladatok jellemzésére, összehasonlítására. Adott kompetencia fejlesztése különböző nehézségű illetve ezzel valamennyire összefüggésben, eltérő matematikai tartalomgazdagságú feladatokkal is lehet. A II. feladatlapon több ismeret kerül általában gyakorlásra (Ambrus, G, 2003). Ennek alapján megállapítható, hogy a több ismeret felhasználását igénylő feladatok általában több kompetencia fejlesztését is lehetővé teszik. Az a tény, hogy könnyebbnek és nehezebbnek bizonyuló feladatok (ebben az esetben a II.3) is fejleszthetnek viszonylag nagyszámú kompetenciát, azt a lehetőséget is jelenti, hogy megfelelően fogalmazott könnyű feladatokkal is számos kompetencia fejleszthető. Ezért is fontos, hogy feladatok tudatos vizsgálata, átfogalmazási és kiegészítési lehetőségeinek elemzése.

A megoldások további értékelése a feladatlapok elemzésénél megadott szempontok alapján

1. Azok közül akik jól oldották meg az I.3-t hányan oldották meg jól az I.6-t

40. ábra. Akik jól oldották meg az I.3-t

A két feladat lényegileg helyes megoldása mutat összefüggést. Az I.6 megoldói lényegében megegyeznek azokkal, akik az I.3 mellett az I.6-t is helyesen oldották meg. Az I.3 jó megoldói feltehetően azért vannak általában többen mint az I.6-é, mert az előbbi ismertebb feladattípus, másrészt az első feladatok között szerepel, azaz a tanulók többsége eljutott idáig.

2. Azok közül, akik jól oldották meg az I.5e-t, hányan oldották meg az ott megadott alakzatfelosztás alkalmazásával az I.4d-t

41. ábra. Akik jól oldották meg az I.5e-t

Az eredményekből látszik, hogy az I.5e feladat nem segítette a 4d megoldását. Ennek oka lehet, hogy

az 5e és a 4d részfeladatokban az egységalakzat nem jelentette számukra ugyanazt az alakzatot az eltérő arányok miatt

a feladatokat sorban szokták elvégezni, kapcsolatot nem is keresnek köztük, (főleg nem visszafelé) (ld. hagyományos típusú oktatás jellemzői)

3. Ha a II.3 jó, akkor az I.1, 4, 5 és II.1 feladat illetve a II.5b feladat is jó

42. ábra. Akik jól oldották meg a II.3-t és ...

A II.3 feladatra általában törtekkel kapcsolatos helyes megoldás érkezett. Az I.1,4,5 és II.1 feladatok helyes megoldása esetén sok esetben a II.3 is jó.

Általában igaz, hogy a kakukktojás keresés’’ jobban ment, mint az 5.b feladat megoldása. A II.3. feladat jó megoldása nem jelentette azt, hogy a lapon az 5b-t is meg tudták oldani a tanulók, de a II.5b jó megoldói főleg azok közül kerültek ki, akik a II.3-t is jól megoldották.

4. Azok a megoldások, ahol nem törtekkel kapcsolatos ismereteket alkalmaztak a II.3 feladat jó megoldásában:

A:

B: 1 A jelzett 4 feladatot maximum 1 hibával, a II.5 3 hibával, az 5b-t jól oldotta meg

C: 2 Mindketten a megelőző (említett) 4 feladatot gyengén, a II.5-t 3 hibával, az 5b rosszul oldották meg

D: 2 Az egyik az I. lap 3 idézett feladatát 1-2 hibával, a másik több mint 3 hibával oldotta meg, mindkettőnél: rossz a II.1, a II.5-ben mindkét esetben 3 hiba található, és mindketten rosszul oldották meg az 5b-t.

Aki nem törtes megoldást adott (igen kevesen) az közepesen teljesített inkább.

A viszonylag jó teljesítményt nyújtók között csak egy akadt, aki nem törtekkel kapcsolatos megoldást készített a II.3. feladathoz. A II.3. feladathoz több megoldás keresésének nyoma elvétve található, két helyes megoldás két esetben szerepel csak (A és D csoportban 1-1), három, vagy annál több megoldás pedig sehol sem.

A II.3 feladat jó megoldása nem jelentette azt, hogy a II.5b-t is sikerült megoldani, ahogy ez feltételezhető is volt (vö. II.3 feladat).

5. Annak vizsgálata, hogy hogyan oszlanak meg a helyes és helytelen válaszok az 5b)-re aszerint, hogy a 3d)-re milyen (helyes) indoklás érkezett.

Helyes és helytelen válaszok az 5b)-re aszerint, hogy 3d)-re milyen (helyes) indoklás érkezett:

8. táblázat. 3d) helyes, 5b) jó vagy rossz

Ebből látszik, hogy az 3d)-re helyesen válaszolók közül:

kevesen válaszolták azt a II.3. esetében, hogy azért, mert nem tudják a színezett rész nagyságát, akik ezt válaszolták (2), azok az 5b)-t is helyesen oldották meg, a d) mert nem egyenlő részekre van osztva’’ helyes válasz mellett gyakrabban adtak helytelen választ az 5b-re, mint helyeset.

A tanulói munkák alapján

Messzemenő következtetések nem vonhatók le, hiszen ehhez nem rendelkezünk elég nagyszámú adattal. Az rendelkezésre álló kitöltések alapján a következők állapíthatók meg:

A feladatlapok alapján több esetben is az derült ki, hogy a tanulók nem kerestek kapcsolatot a feladatok között (I.4d-I.5e, II.3-II.5b). Még a viszonylag jó teljesítményt nyújtó csoportok esetében is ez volt a helyzet.

Úgy tűnik a tanulók gondolkodása erősen kötődött a konkrét tananyaghoz a II.3 megoldásánál (lásd törtes megoldások), és még az egyébként matematikaórákon szerepelő szimmetria-meggondolások vagy alakzat alakja szerinti válogatás is ritkán jutott az eszükbe.

A II.3 feladat a legtöbb tanuló érdeklődését felkeltette, hiszen a legtöbben foglalkoztak ezzel a feladattal. A várható megoldások mindegyike előfordult, és ahogy számítottunk rá, törtekkel kapcsolatos volt a legtöbb. Ez kapcsolatot mutat az említett 4 korábbi feladat helyes megoldásával.

A II.3 esetében a d) mert nem egyenlő részekre van osztva’’ megoldás szerepelt a törtes megoldások közül a leggyakrabban, és ezt nem annyira a megelőző feladatokkal (az említett néggyel) mint inkább a törtek témakörének kezdeti szakaszával lehet összefüggésbe hozni.

A szokatlan II.3 feladat helyes megoldása nem bizonyult nehezebbnek, mint a vele kapcsolatba hozható 4 korábbi feladat jó szintű megoldása, sőt ...

Több szempont együttes figyelembe vétele meghaladta a tanulók képességét ahogy ez a II.3 és II.4 feladatok megoldásából kiderült. Ennek részben életkori oka lehet.

Több lehetséges (különböző eredményű) megoldás keresése nem jellemző a vizsgált csoportok esetében.

Tanulságok a vizsgálattal és a feladatlapok készítésével kapcsolatban

A kitöltés és a tanároktól kapott válaszok alapján úgy tűnik, hogy tanárt és diákot is jobban elő kell készíteni. Ez jelenti egyrészt szokatlan megfogalmazású és nyitott feladatok előzetes megismertetését, alkalmazását, másrészt technikai részleteket, például hogy a tanulóktól várt véleményt a lapon kell megkérdezni például a következő formában:

Véleményedet aláhúzással jelezd:

9. táblázat

Mennyire volt számodra nehéz a feladat, karikázd be.

10. táblázat

Javaslatok a feladatlapok javítására a tapasztalatok alapján:

  • Az I.4d és I.5e részfeladatok esetében ugyanolyan legyen az egységalakzat. Például:

    43. ábra. 1. módosítási javaslat

  • A II.3 feladat szövegén változtatni kell, hiszen tanár és diák is jelezte, hogy megértése gondot okoz. Jelezni kell, hogy többféle megoldás is lehetséges. A tapasztalatok alapján például a következőképpen:

    44. ábra. 2. módosítási javaslat

  • A II.4 esetében nem ment a szabálykeresés. A tanulók gyakran a negyedrészre osztottsággal foglalkoztak, de figyelmen kívül hagyták a beszínezett rész nagyságát és nem foglalkoztak az ábrák egymásutániságával’’. A feladat értelmezése keveredett a II.3 feladatéval. A következő átfogalmazás segíthet ezen a problémán:

    45. ábra. 3. módosítási javaslat

Érdemes lenne az előbbiek figyelembevételével is kipróbálni és értékelni a feladatlapokat.

Záró gondolatok ...

Az elemzésből látszik, hogy a hagyományos feladatlap bár megtanítja a szükséges ismereteket például a kompetenciák fejlesztése terén kiegészítésre szorul. Az is kiderült, hogy a tanulóknak általában nehézségeik vannak összefüggések meglátásában, több megoldás keresésében. Általában nyitottak új típusú feladatokra, azonban nem mindig tudnak mit kezdeni ezekkel.

Az említett gondok megoldásában segít, ha a biztos ismereteket nyújtó jó hagyományos oktatás esetén is beépülnek más stílus elemei a tanítási gyakorlatba. Ilyen lehet a problémaorientált oktatás szellemében készült feladatcsoportok beiktatása, például megfelelően szerkesztett feladatlap segítségével.

A tapasztalatok felvetik a kérdést, hogy azonos matematikai tartalom mellett mennyire befolyásolja a helyes megoldás elkészítését a megfogalmazás. Ha a tartalom jó megoldását akarjuk mérni’’, akkor a szövegben arra kell törekedni, hogy az a tanulók számára minél érthetőbb legyen, hiszen a megfogalmazás megértésének nehézségei eleve gátolhatják a helyes megoldást. Szokatlan tartalmú feladatok esetében ezt különösen nem könnyű elérni. (Természetesen más a helyzet, ha a valamilyen szempont alapján készített megfogalmazás megértését is vizsgálni akarjuk.)

Ez a probléma nemzetközi felmérések esetében is megjelenik, amelyekben a tanulók találkoznak számukra szokatlan szövegezésű feladatokkal is.

1.5.3 Hegyvári Norbert: Egyetemi matematika az iskolában

Előszó

A matematikával való foglalkozás eddig jobbára egyirányú volt; Az általános iskolai ismeretekre épült a középiskolai, a középiskolaira az egyetemi.

A fenti cím alatt meghirdetett előadás valamiképpen ezen út megfordítását is ígéri; célként tűzi ki, hogy megmutassa, az egyetemi oktatás hogyan jelenik meg az általános iskolában és a középiskolában. Szeretnénk megmutatni, hogy bizonyos az iskolai matematikaoktatásban szereplő témáknak mi a háttere, hogyan ágyazódik be a matematika nagy hálójába.

Az előadás formájából adódóan természetesen ez nem lehet teljes. Noha témakörökre és fejezetekre osztott a tematika, ezek azonban korántsem lezártak. Az előadás sikeres teljesítéséhez (és így a sikeres vizsgához is) az anyaghoz tematikájában, de inkább szellemében kapcsolódó ú.n. portfólió beadása szükséges. Néhány előadás és néhány oldal elolvasása után remélhetőleg világos lesz, mi is ez.

Ez az ellentétes irányú vizsgálat, amit az előadás célként tűzött ki, talán választ ad arra a néha-néha (főleg sikertelen vizsga utáni) felcsattanó hallgatói kifogásra Minek ez nekem! Úgy se fogom ezt tanítani!’’.

Egy rövid anekdotát hadd illesszek végül ide:

Székely Mihályt, a kiváló magyar operaénekest egyszer megállította az egyik barátja az operaház előtt. Mihály! Tegnap csodálatos voltál a Don Carlosban! Azok a mély regiszterek, amit kiénekeltél!’’ Székely így felelt: Köszönöm! De tudod miért volt ilyen tiszta a mély regiszterem? Nos, mert tudok még két hanggal lejjebb is...’’

Göd, 2012. január hava

Irracionális számok; 2

A köznapi ember, ha megkérnénk, hogy mondjon egy irracionális számot, nagy többségében feltehetőleg a π-t mondaná, annak ellenére, hogy középiskolában a közelébe se jut, hogy ezt bizonyítsa. A 2 ókori görögöktől származó bizonyítása kerül terítékre a középiskolákban, ami így szól:

1.29. Tétel:

A 2 irracionális.

Bizonyítás:

Ez jól ismert, csak a teljesség kedvéért:

Indirekt tegyük fel, hogy létezik a,bZ,b>0 és (a,b)=1 úgy, hogy

2 = a b .

Négyzetre emeléssel

2 b 2 = a 2

így tehát a2 és ezért a=2a (aZ) páros szám. Helyettesítéssel

b 2 = 2 a 2

azaz b is páros, ami ellentmond az (a,b)=1 feltételnek.

Ebben a fejezetben két dolgot szeretnénk megmutatni. Az egyik, hogy a fenti állításnak több olyan bizonyítása is van, ami ú.n. egyetemi matematikát’’ igényel (érzékeltetve azt, hogy a matematika egy háló is, ahol sok minden szorosan összefügg egymással).

A másik dolog talán még fontosabb: Középiskolában elvétve találkozunk irracionális számokkal (talán a 2,3, stb. kivételével mással nem is (?)) és csak az egyetemen szembesülhetünk, (ha előtte nem olvastunk halmazelméleti könyveket) hogy valójában az irracionális számok vannak többségben’’. (népszerűen fogalmazva a valós számok zsákjából egy számot véletlenszerűen kivéve az 1 valószínűséggel lesz irracionális sőt transzcendens szám). Ezért adunk egy csokor irracionális számot, talán szokatlanokat is, amit viszont középiskolában is elmondhatunk.

Akkor tehát a többi bizonyítás:

2. Bizonyítás:

Indirekt tegyük fel, hogy létezik a,bZ,b>0,(a,b)=1 ahol b minimális. Úgy, hogy

2 = a b .

Nyilván

a > b , a b < 2 b > a - b .

2 b - a a - b = 2 - a / b a / b - 1 = 2 - 2 2 - 1 = ( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) = 2 ,

ellentmondásban azzal, hogy b a legkisebb nevezőjű előállítás (a-b<b).

3. Bizonyítás:

Bizonyítjuk a következő tételt:

1.30. Tétel:

Ha αR+ és p1,p2,,q1,q2,N, úgy. hogy

| α p n - q n | 0 , n N ,

és pn,qn esetén

| α p n - q n | 0 ,

akkor α irracionális.

Bizonyítás: Indirekt, ha α=ab,b>0,(a,b)=1, akkor mivel |αpn-qn|0, van olyan n, hogy

| α p n - q n | = | a b p n - q n | < 1 b ,

és így

0 < | a p n - b q n | < 1 ,

ami nem lehet, mivel apn-bqn egész szám.

Ebből következik 2 irracionalitása; legyen p1=q1=1, továbbá qn+1=qn2+2pn2 és pn+1=2pnqn. Ekkor teljes indukcióval ellenőrizhető, hogy

0 < | 2 p n - q n | < 1 2 2 n - 1 .

4. Bizonyítás:

Legyen

A = ( - 1 2 1 - 1 ) .

Elsőként számítsuk ki A sajátértékét:

d e t ( A - λ I ) = d e t ( - 1 - λ 2 1 - 1 - λ ) = 0 ,

amiből

λ 1 = 2 - 1 λ 2 = - 2 - 1 .

A λ1=2-1-hez tartozó sajátaltér

W = { ( 2 x x ) : x R . }

A sajátaltér egy egyenes, melynek meredeksége 2/2.

Az A leképezés kontrakció (összehúzó), ami azt jelenti, hogy ha v¯W, akkor

| A v ¯ | = | ( 2 - 1 ) v ¯ | < | v ¯ | ,

ezért

| A k v ¯ | = | ( 2 - 1 ) k v ¯ | 0 ,

mivel (2-1)k0.

Végül vegyük észre, hogy A rácspontot rácspontba visz át, mert

A ( a b ) = ( - a + 2 b a - b ) , a , b N .

Így azonban a sajátaltéren nincs rácspont, mert egyrészt rácspontot rácspontba visz át Ak, másrészt kontrakció a sajátaltéren.

További irracionális számok

1.31. Tétel: A következő valós számok irracionálisak:

cos π 2 n ; n > 1 log 3 ( 1 + 2 ) ; log 2 3 + log 4 5 .

Ezek bizonyítása középiskolai szintű feladat.

Útmutatás: Ha xn:=cosπ2n, akkor n>1 esetén xn+1=xn+12.

Feladatok:

1. Ha r,r, racionális számokat, i,i, irracionális számokat jelölnek, milyen számok lesznek:

r + r ; r + i ; i + i ; r r ; r i ; i i ; r r ; r i ; i r ; i i ?

(feltéve, hogy léteznek)

Irracionális-e

2. log23?

3. log3(1+2)?

4. 2+3?

5. log23+log45?

Végtelen tizedestörtek

Ismeretes, hogy egy végtelen tizedestört akkor és csak akkor racionális, ha felírásában a jegyei valahonnan kezdve periodikusak.

Így tizedestört alakban is könnyű irracionális számokat gyártani.

A következő tételben egy kevéssé nyilvánvaló tizedestörtről igazoljuk, hogy irracionális:

1.32. Tétel: Legyenek (2),(3),(p3),(p4),(11),(p6) a prímszámok sorozata a tízes számrendszerben felírva. Ekkor az

α : = 0 , ( 2 ) ( 3 ) ( p 3 ) ( p 4 ) ( 11 ) ( p 6 )

tizedestört irracionális valós szám.

Erre a tételre két bizonyítást adunk.

I. Bizonyítás:

Az első bizonyítás a következő (nem túl könnyen bizonyítható) Dirichlet-től származó állításon alapszik:

Ha a,bN; és (a,b)=1 akkor az xn=a+bn;n=1,2, sorozatban végtelen sok prímszám található.

Tegyük akkor most fel, hogy α racionális, méghozzá van egy p1,pk peródusa (pi{0,1,,9};i=1,2,,k.). Mivel végtelen sok prímszám van (lásd a következő fejezetet) a periódus nem minden eleme 0. Dirichlet tétel miatt a 102kn+1 sorozatban végtelen sok prím van. Ezek olyan számok, amik a tízes számrendszerben felírva jobbról az első jegy 1, utána 2k-10 jegy következik, ami ellentmond annak, hogy a periódus nem a konstans 0 sorozat.

II. Bizonyítás:

Az előző bizonyításban nem tudtunk utánajárni a Dirichlet tétel bizonyításának. A most következő bizonyításban minden részletet igazolunk. Sőt, egy kicsit többet bizonyítunk:

1.33. Tétel:

Tegyük fel, hogy {bi}i=1N és

i = 1 1 b i = .

Ekkor a β=0,(b1)(b2)(bk) szám irracionális, ahol a bi elemeket a tízes számrendszerben írtuk fel.

A következő fejezetben igazolni fogjuk, hogy a prímszámok reciprok összege divergens. Ezzel teljessé fogjuk tenni a bizonyítást.

Legyen (u1)(u2)(us) egy tetszőleges, rögzített mintázat a tízes számrendszerben és legyen X azon pozitív egészek halmaza, amelyek a tízes számrendszerben ezt a mintázatot nem tartalmazzák. Tehát például ha 2012 ez a mintázat, akkor 2.120.124X, de 421.012X.

Az általánosabb tétel igazolásához a következő állításra van szükségünk.

1.34. Tétel: Legyen X a fent definiált halmaz. Ekkor

z X 1 z < ,

azaz e pozitív tagú végtelen sor konvergens.

E tétel pl. abban a formában talán ismert feladat, hogy Bizonyítsuk be, hogy a 7 számjegyet nem tartalmazó természetes számok reciprok összege konvergens!’’

Bizonyítás:

A bizonyítást arra az esetre végezzük el, amikor a mintázat mondjuk a 17. Az általános eset e bizonyítás másolata. Nyilván 100-ig 99 olyan szám van ami nem tartalmazza mintázatként a 17-t. Jelölje Sn az n-edik részletösszeget és Hn a harmonikus sor n-edik részletösszegét. Ekkor

S n = ( H 100 - 1 17 ) + 1 101 + + 1 116 + 1 118 + 1 x n

(xn az Xn-edik tagja.)

S n = ( H 100 - 1 17 ) + 1 100 ( 1 1 , 01 + + 1 1 , 16 + 1 1 , 18 + 1 x n / 100 ) <

< ( H 100 - 1 17 ) + 1 100 ( 1 1 , 01 + + 1 1 , 16 + 1 1 , 18 + 1 x n / 100 ) .

Vegük észre, hogy egy xn/100 szám 99-szer fordul elő és hogy az {xn/100} sorozat is olyan, amelyik nem tartalmazza a 17 mintázatot. Így

S n < H 100 - 1 17 + 99 100 S n ,

így

S n < 100 ( H 100 - 1 17 ) ,

azaz az Sn sorozat korlátos, nyilván monoton növő, így konvergens.

Most már könnyen igazolhatjuk a β=(b1)(b2)(bk) szám irracionalitását: tegyük fel indirekt, hogy β racionális. Akkor tehát van egy (p1)(p2)(pt) periódus a tízes számrendszerbeli felírásában. Legyen s>2t és az (u1)(u2)(us)2 és 3 számokból álló olyan mintázat, amelyikben nem fordul elő a (p1)(p2)(pt) mintázat. Ilyen nyilván van. Mivel az (u1)(u2)(us) mintázatot nem tartalmazó egészek reciprok összege konvergens, ám i=11bi= divergens, ebből következőleg a {bi} sorozatnak végtelen sok olyan tagja van, amelyik az (u1)(u2)(us) mintázatot tartalmazza. Azaz β-ban végtelen sokszor előfordul egy olyan mintázat, amelyik a (p1)(p2)(pt) periódust nem tartalmazza ellentmondásként.

1.35. Feladat:

Gyűjtse össze a témához tartozó kulcsszavakat!

Végtelen sok prímszám van

A címben szereplő kijelentés egyike azoknak, amelyek jól ismertek. Eukleidésztől származó gyönyörű bizonyítás sokaknak az első lépés a matematikában (Erdős Pál saját bevallása szerint ez a bizonyítás irányította gyerekként a figyelmét a számelmélet felé).

Ebben a fejezetben erre az állításra öt bizonyítást adunk, a matematika különböző területeire evezve’’. Emiatt sok közülük többetmondó lesz, pusztán az adott kijelentésnél.

1.36. Tétel:Végtelen sok prímszám van.

I. Bizonyítás:

Ez a jól ismert Eukleidésztől származó bizonyítás: ha p1,p2,,pk az összes (k darab) prímszám, akkor az

N : = p 1 p 2 p k + 1

szám prímtényezői között nem szerepelhet p1,p2,,pk közül egyik se.

II. Bizonyítás:

A bizonyítás Pólya Györgytől származik és így hangzik:

Tekintsük az {Fk=22k+1;k=0,1,2,} ú.n. Fermat-számok sorozatát.

(Megjegyeznénk, hogy megoldatlan probléma, hogy ezek között van-e végtelen sok prímszám. Az első öt ilyen szám az; azonban F5=225+1=6416700417.)

Igazolni fogjuk, hogy kn esetén (Fk,Fn)=1. (Ebből következik, hogy végtelen sok prím van, hiszen végtelen sok Fermat-számunk van és mindegyik prímtényezős felbontásában az előzőek felbontásában szereplő prímektől különböző prím szerepel.)

Ehhez azt fogjuk igazolni, hogy ha k<n, akkor

F k | F n - 2 .

Valóban ebből akkor ha d|Fk akkor d|Fn-2 és ha d|Fn akkor d|Fn-(Fn-2)=2. Tehát a legnagyobb közös osztó d|2; a Fermat számok páratlanok, azaz d=1.

Az Fk|Fn-2 bizonyításához mindössze azt kell észrevennünk, hogy

F k ( F k - 2 ) = ( 2 2 k + 1 ) ( 2 2 k - 1 ) = ( 2 2 k ) 2 - 1 = 2 2 k + 1 - 1 = F k + 1 - 2 .

Ezért

F k + 1 F k ( F k - 2 ) = F k + 1 ( F k + 1 - 2 ) = F k + 2 - 2 ,

innen teljes indukcióval

F k + s F k + 1 F k ( F k - 2 ) = F k + s + 1 - 2 ,

azaz minden s>1 esetén Fk|Fk+s+1-2, ami s:=n-k-1 választással az állítás.

III. Bizonyítás:

Ez a bizonyítás Erdőstől származik. Másfelől ez teszi teljessé az előző fejezetben igazolt α:=(2)(3)(p3)(p4)(11)(p6) valós szám irracionalitását.

1.37. Tétel: Legyen p1=2,p2=3,, a prímszámok sorozata. Ekkor

i 1 p i = .

Ebből nyilván következik, hogy végtelen sok prímszám van; véges sok prímszám, véges összeget adna.

Bizonyítás:

Tegyük fel indirekt, hogy

i 1 p i <

azaz, hogy a sor konvergens. Ekkor létezik egy olyan küszöbindex, n0, hogy

i = n 0 + 1 1 p i < 1 2 .

Legyen N=4n0+1+1.

N -ig a számokat két osztályba fogjuk sorolni: Az A osztályba azokat, amiknek csak p1<p2<<pn0 a prímosztójuk, a B halmazba a többi elemet, tehát azokat, amelyeknek van olyan prímosztójuk, pk, amelyikre k>n0.

Egy nA elemet felírunk egy négyzetszám és egy négyzetmentes szám szorzataként. (Például a 600=10223.) Tehát

n = k 2 p 1 ε 1 p 2 ε 2 p n 0 ε n 0 ,

ahol εi=0vagy1.

Mivel

k 2 n N ,

ezért kN. Azaz az első tényező legfeljebb N különböző szám lehet. A

p 1 ε 1 p 2 ε 2 p n 0 ε n 0

tényezőben εi=0 vagy 1, ezért ez legfeljebb 2n0 különböző lehet.

Így A halmazban legfeljebb

N 2 n 0

szám lehet.

Vegyük most a B halmazt; ezekben tehát olyan számok vannak, amelyeknek nem minden prímosztója az első n0 közül kerül ki, tehát van n0 sorszámúnál nagyobb sorszámú osztója. Azaz lehet pn0+1-gyel osztható, pn0+2-vel osztható, stb. Így B-ben legfeljebb

N p n 0 + 1 + N p n 0 + 2 +

N ( 1 p n 0 + 1 + 1 p n 0 + 2 + ) < N 2

elem lehet (felhasználva, hogy i=n0+11pi<12).

Ebből következik, hogy az A halmazban legalább N/2 elem van. Azt kapjuk tehát, hogy

N 2 | A | N 2 n 0 .

Átrendezéssel

4 n 0 + 1 + 1 = N 4 n 0 + 1

ami ellentmondás.

IV. Bizonyítás:

Euler bizonyítása. Ez volt a csírája annak a bizonyításnak, ami a prímszámok számára aszimptotikus becslést ad. A bizonyításban végtelen sorok szerepelnek, amelyek abszolút konvergensek tehát a véges összegeknél megszokott műveletet (pl. disztributivitást) szabadon használhatjuk.

Indirekt, ha véges sok prímszám lenne p1,p2,,pk, készítsük el a k számú végtelen mértani sort:

1 + 1 p i + 1 p i 2 + 1 p i 3 + + 1 p i t i + = 1 1 - 1 p i ,

i = 1 , 2 , k .

Szorozzuk össze őket, azaz vegyük a

i = 1 k ( t i = 0 1 p i t i ) = i = 1 k 1 1 - 1 p i .

A jobb oldalon egy véges szám áll.

A már említett szabály szerint a bal oldali zárójeleket felbonthatjuk. Vegyük észre, hogy a felbontás után bármely nN számra 1n pontosan egyszer szerepel. Valóban, ha

n = p 1 α 1 p 2 α 2 p k α k ,

ahol αi0 egész, (i=1,2,k,) akkor 1n úgy szerepel, ha az i-edik mértani sorból az

1 p i α i

tagot választjuk és ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. Tehát

i = 1 k ( t i = 1 1 p i t i ) = n = 1 1 n .

A n=11n sor divergens, a baloldal egy véges szám ellentmondásként.

V. Bizonyítás:

Ez Gelfand-tól származó bizonyítás.

1. Legyen

p ( x ) = a n x n + + a 1 x + a 0

egész együtthatós nem azonosan 0 polinom, amelyikre az x[0,1] intervallum elemeire p(x)0. Mivel p(x) folytonos és nem azonosan 0, azt kapjuk, hogy

0 < 0 1 p ( x ) d x = [ a n x n + 1 n + 1 + + a 1 x 2 2 + a 0 x ] 0 1 = A [ 1 , 2 , , n + 1 ] ,

ahol A pozitív egész, és [1,2,,n+1] az első n+1 egész szám legkisebb közös többszöröse. Tehát A1 és így

0 1 p ( x ) d x 1 [ 1 , 2 , , n + 1 ] .

2. Mi is [1,2,,N] prímtényezős felbontása?

Pl. [1,2,,10]: ebben a 2,3,5,7 prímek szerepelnek. 2 harmadik hatványon, 3 második, 5 és 7 első hatványon. Azaz [1,2,,10]=233257.

Általában tehát [1,2,,N] prímtényezős felbontásában p1,p2,,pk szerepel, ahol

k = π ( N ) ,

az N-ig szereplő prímek száma és pi az αi hatványon, ahol

p i α i N < p i α i + 1 .

Így

[ 1 , 2 , , N ] = i = 1 k p i α i N k = N π ( N ) .

Tehát az 1. pontban elmondottakkal együtt:

0 1 p ( x ) d x 1 [ 1 , 2 , , n + 1 ] 1 ( n + 1 ) π ( n + 1 ) .

3. Végül legyen p(x):=(x(1-x))k. Ez nyilván egész együtthatós, a [0,1] intervallumban az x(1-x) egy lefelé nyíló’’ parabola, melynek a 0 és 1 a gyökei tehát (0,1)-en pozitív értékű is, ezért (x(1-x))k is az. Itt x(1-x)1/4, így

p ( x ) : = ( x ( 1 - x ) ) k 1 4 k x [ 0 , 1 ] .

Ezért

0 1 p ( x ) d x : = 0 1 ( x ( 1 - x ) ) k d x 0 1 1 4 k d x = 1 4 k .

A p(x) foka n=2k. Tehát az 1. és 2. pontok miatt

1 ( n + 1 ) π ( n + 1 ) = 1 ( 2 k + 1 ) π ( 2 k + 1 ) 0 1 p ( x ) d x 1 4 k .

Átrendezve

4 k ( 2 k + 1 ) π ( 2 k + 1 )

és mindkét oldal logaritmusát véve

2 k ln 2 π ( 2 k + 1 ) ln ( 2 k + 1 )

azaz

ln 2 2 k ln ( 2 k + 1 ) π ( 2 k + 1 ) .

Egy kis analízissel kapjuk:

1.38. Tétel:

Bármely ε>0 számhoz létezik k0, hogy N>N0 esetén

( ln 2 - ε ) N ln ( N ) π ( N ) .

Ha ε<ln2 és mivel

lim N N ln ( N ) = ,

ezért

lim N π ( N ) = ,

azaz végtelen sok prímszám van.

1.39. Feladat:

Gyűjtse össze a témához tartozó kulcsszavakat!

Struktúrák I.

Talán magyarázni sem kell, hogy az egyetemi tanulmányok itt, a struktúrák vizsgálatában szélesítették ki az általános iskolában és a középiskolában tanultakat jelentős mértékben. Nem csak a zártság, asszociativitás, kommutativitás stb. fogalmát árnyalta, hanem beágyazott olyan tételeket is mint például a Euler-Fermat tétel egy általánosabb struktúra tulajdonságba. Ezekről a későbbiekben részletesen lesz szó.

Néhány feladat megoldásán keresztül szeretnénk néhány olyan bizonyítást mutatni, ami túlnő a középiskolai anyagon, ám arra visszavetülve más, szélesebb megvilágításban láttatja azt.

Kezdjük!

A következő feladatok bizonyítása során többször fogjuk használni a lineáris algebrában használt tételt:

1.40. Tétel:

Legyen A és B két négyzetes mátrix (A,BRn×n). Ekkor

det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) .

A feladatok:

1.41. Feladat:

Legyen A:={n:n=a2+b2;a,bN}. Bizonyítsuk be, hogy a szorzásra nézve zárt!

Ez középiskolában is feladható feladat. Akik járatosak a kéttagú kifejezések négyzetének számolásában, könnyebben-nehezebben megoldják a feladatot.

Nézzünk két másik megoldást:

1. Megoldás:

Ha n=a2+b2, akkor könnyű látni, hogy n=detA=det(ab-ba) és hasonlóan, ha m=x2+y2, akkor m=detB=det(xy-yx). Az AB mátrix szorzat

A B = ( a x - b y a y + b x - b x - a y a x - b y ) .

Használva az említett tételt, kapjuk, hogy

( a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) = ( a x - b y ) 2 + ( a y + b x ) 2 .

2. Megoldás:

Legyen z1=a+bi komplex szám, z2=x+yi a másik komplex szám. Használjuk fel, hogy

( a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) = | z 1 | 2 | z 2 | 2 = | z 1 z 2 | 2 = ( a x - b y ) 2 + ( a y + b x ) 2 .

Egy hasonló feladat

1.42. Feladat:

Egy szám x=a2+2b2 (a,bN) akkor a háromszorosa is ilyen:

3 x = A 2 + 2 B 2 (A,BN)

Megoldhatjuk így is:

x = det ( a 2 b - 2 b a )

x 3 = det ( a 2 b - 2 b a ) ( 1 - 2 2 1 ) = ( a + 2 b ) 2 + 2 ( a - b ) 2 .

Egy pillanatig sem szeretnénk azt a látszatott kelteni, hogy ez a megoldás egyszerűbb, mint rájönni, hogy mi is a háromszoros előállítása. Arra akartuk csak felhívni a figyelmet, hogy ez egy módszer, ami alkalmas ilyen jellegű feladatok megoldására.

A következő feladatnál azonban némileg tanácstalanul állnánk, ha elemi’’ megoldást keresnénk:

1.43. Feladat:

Bizonyítsuk be, hogy az

S = { x : a , b , c N ; x = a 3 + b 3 + c 3 - 3 a b c }

halmaz zárt a szorzásra nézve.

Megoldás:

Legyen x=a3+b3+c3-3abc és y=A3+B3+C3-3ABC. Ekkor találhatunk két 3×3-as mátrixot melyeknek a determinánsai éppen x és y:

x = det ( a b c c a b b c a ) y = det ( A B C C A B B C A ) .

Ekkor

x y = det ( ( a b c c a b b c a ) ( A B C C A B B C A ) ) =

= det ( a A + b C + c B a B + b A + c C a C + b B + c A a C + b B + c A a A + b C + c B a B + b A + c C a B + b A + c C a C + b B + c A a A + b C + c B ) .

Ebből már leolvasható, hogy a szorzat is S-ben van;

x y = U 3 + V 3 + W 3 - 3 U V W ,

ahol U=aA+bC+cB;V=aB+bA+cC;W=aC+bB+cA.

Néhány nevezetes sorozatra vonatkozó ismert azonosságokat is levezethetünk az idézett tétel segítségével.

Legyen

A = ( 1 1 1 0 )

és tekintsük az {Fk}k=1={1,1,2,3,5,8,} Fibonacci sorozatot. Egyszerűen ellenőrizhető a következő tétel:

1.44. Tétel:

Ha kN, akkor

( 1 1 1 0 ) k = ( F k + 1 F k F k F k - 1 ) .

A bizonyítás teljes indukcióval egyszerű.

A tételnek számos, a középiskolából is ismerhető következménye van:

Következmények:

1. Bármely kN esetén

F k + 1 F k - 1 - F k 2 = ( - 1 ) k .

Ez az előbbi tételből és abból következik, hogy

det ( ( 1 1 1 0 ) k ) = ( det ( 1 1 1 0 ) ) k = ( - 1 ) k .

2. Bármely k,sN esetén

F k + 1 F s + F k F s - 1 = F s + 1 F k + F s F k - 1 = F k + s .

Ennek bizonyítása a mátrixok szorzásán alapszik:

( 1 1 1 0 ) k ( 1 1 1 0 ) s = ( F k + 1 F k F k F k - 1 ) ( F s + 1 F s F s F s - 1 ) =

= ( 1 1 1 0 ) k + s = ( F k + 1 F s + 1 + F k F s F k + 1 F s + F k F s - 1 F s + 1 F k + F s F k - 1 F k F s + F k - 1 F s - 1 ) =

= ( F k + s + 1 F k + s F k + s F k + s - 1 ) .

A következő tétel a Fibonacci számok explicit előállítására vonatkozik.

1.45. Tétel:

Bármely kN

F k = 1 5 ( ( 5 + 1 2 ) k - ( 1 - 5 2 ) k )

Bizonyítás:

1. Használni fogjuk, hogy ha A egy lineáris leképezés és v¯ egy sajátvektora, λ sajátértékkel, azaz

A v ¯ = λ v ¯ ,

akkor bármely kN, esetén

A k v ¯ = λ k v ¯ .

(Bizonyítása egyszerű teljes indukció.)

Legyen

A = ( 1 1 1 0 ) .

Számítsuk ki a sajátértékeit; azaz

det ( 1 - λ 1 1 - λ ) = λ 2 - λ - 1 = 0

egyenlet gyökeit kell meghatározni. Ezek

λ 1 = 1 + 5 2 λ 2 = 1 - 5 2 .

Ha v¯1=(ab) sajátvektor, akkor

A v ¯ 1 = ( 1 1 1 0 ) ( a b ) = ( a + b a ) = λ 1 ( a b ) .

Amiből például

v ¯ 1 = ( 1 + 5 2 1 ) .

Az előzőekben megkaptuk, hogy (1110)k=(Fk+1FkFkFk-1) és λ1k=(1+52)k. Így az Akv¯1=λ1kv¯1 vektor első koordinátáit összehasonlítva azt kapjuk, hogy

5 + 1 2 F k + 1 + F k = ( 5 + 1 2 ) k + 1 . ( * )

Hasonló számolással kapjuk, hogy ha a sajátérték λ2=1-52 sajátvektora v¯2=(1-521) és megint az Akv¯2=λ2kv¯2 vektor, akkor első koordinátáit összehasonlítva azt kapjuk, hogy

5 - 1 2 F k + 1 - F k = - ( 1 - 5 2 ) k + 1 . ( * * )

( * ) -ot és (**)-ot összeadva és 5-tel osztva a tételbeli formulát kapjuk Fk+1-re.

Mennyi az FN?

cm

Valójában a Fibonacci sorozat elemeinek a kiszámítására a következő lehetőségeink vannak:

1. A rekurzív képlet alapján.

2. Az előző misztikus’’ képlet alapján.

3. ...

Az 1. nyilván nehézkes, lassú. A 2. elég reménytelen; 5 hatványaival számolni nehéz.

A 3. lehetőséget nyitva hagytuk.

Erre az (1110)k=(Fk+1FkFkFk-1) képlet lesz segítségünkre; ha a szorzást és az összeadást egy-egy lépésnek tekintjük, akkor két 2×2 mátrix összeszorzása 12 lépés. Mivel FN-et az AN=(1110)N-ből ki tudjuk olvasni így járhatunk el:

Legyen N2-es számrendszerbeli felírása

N = i = 0 k ε i 2 i ,

ahol εi vagy 0 vagy 1. Mivel 2kN<2k+1, ezért klog2N. Számítsuk ki az A2ii=1,2,k mátrixokat, 12k lépésben, majd ahol εi=1 azokat a hatványokat szorozzuk össze, ez megint legfeljebb 12k lépés. Így megkaptuk az

A i = 1 k ε i 2 i = A N

mátrixot.

Kaptuk tehát a következő tételt:

1.46. Tétel:

F N értéke legfeljebb 24log2N lépésben meghatározható.

Ez nagy N értékekre jóval gyorsabb, mint rekurzív módon kiszámítani FN értékét N lépésben.

Apropó, hogyan szorzunk össze két egész számot?

A válasz: nyilván ahogy az iskolában tanultuk.

Tehát ha két számunk x és y,n jegyű számok, akkor minden jegyet minden jeggyel összeszorzunk, ez n×n szorzás, majd összeadjuk; ez kb 2n lépés. Az összeadást a továbbiakban ne számoljuk, a lépésszám jóval kevesebb, mint a szorzásnál. A válasz így

Két n jegyű számot n2 lépésben lehet összeszorozni.

Ez a múlt század közepéig nem is volt kardinális kérdés; nem volt mód nagy számokat gyorsan összeszorozni.

A következő tétel mondható egyetemi matematikának, amelyik az iskolában jelenik meg, de csak abban az értelemben, ahogy a kérdést felveti. A segédeszközök teljes mértékben rendelkezésre állnak középiskolában is.

1.47. Tétel:

Két n jegyű számot lehet 2nlog232n1.585.. lépésben is összeszorozni.

Ezt a meglepő eredményt egyetemi hallgató korában Karacuba vette észre (Kolmogorov egy kérdésére válaszolva).

Bizonyítás:

Jelölje L(n) a két n jegyű szám összeszorzásához szükséges lépések számát (itt tehát a számjegyekkel való szorzást számoljuk, a részösszeadásokat nem, mivel ezek nagyságrendben kisebbek).

Írjuk fel

2 k - 1 < n 2 k .

Nyilván L(n)L(2k). Tehát a két szám számjegyeinek a száma páros (sőt 2-hatvány). Tehát legyen adva x és y, mindkettő 2N:=2k jegyű (ha nem, pótoljuk ki az elején nullákkal). Ha minden számjegyet minden számjeggyel összeszorzunk, akkor 4L(N) lépést tettünk. Ügyesebben a következőképpen járhatunk el: Írjuk fel x-et, y-t így

x = 10 N A + D y = 10 N B + C ,

(tehát A,B,C,DN jegyű számok). Ekkor

x y = 10 2 N A B + 10 N ( A C + B D ) + C D .

Szükségünk van tehát AB,CD és AC+BD-re (ha mind a négyre külön-külön, akkor maradna a 4L(N) lépés). Ám megúszhatjuk mindössze hárommal is: vegyük az

A B , C D , ( A + D ) ( B + C ) - A B - C D = A C + B D

szorzatokat. Evvel 3N jegyű számot szoroztunk össze (megspóroltuk az AC és BD külön-külön kiszámítását). Így a rekurzióval

L ( 2 k ) = L ( 2 N ) 3 L ( N ) = 3 L ( 2 k - 1 ) .

Ezt az eljárást iterálva kapjuk, hogy

L ( 2 k ) 3 2 L ( 2 k - 2 ) ,

és így tovább, azaz

L ( n ) L ( 2 k ) 3 k L ( 1 ) = 2 log 2 3 k 2 n log 2 3 k .

1.48. Feladat:

Gyűjtse össze a témához tartozó kulcsszavakat!

cm

Struktúrák II.

Ebben a fejezetben olyan feladatokat gyűjtöttünk egybe, amelyek a megszokott műveleti tulajdonságokkal nem rendelkeznek ill. bizonyos műveleti tulajdonságokból kell következtetni másokra. A használt műveletek jól ismertek, a segítségükkel definiáltak műveletekről igazoljuk, a szokatlant’’.

A feladatok egy része nemzetközi versenyfeladat, jelezni is fogjuk, hogy honnan származnak.

Többször fog szerepelni az ú.n. csoport fogalma.

Egy G, csoport, ha teljesül rá, hogy

1. zárt (a,bG,abG)

2. asszociatív,

3. létezik egységelem (eG, hogy aG,ea=ae=a) valamint

4. létezik az inverz (aG,a-1, hogy aa-1=a-1a=e.)

Tehát nem tettük fel a kommutativitást.

Az első feladat egy 1971-es Putnam (amerika) matematikai versenyfeladat:

1.49. Feladat:

Egy (S,) struktúráról a következőket tudjuk:

( 1 ) x S , x x = x .

( 2 ) x , y , z S , ( x y ) z = ( y z ) x .

Bizonyítsuk be, hogy a művelet kommutatív.

Megoldás:

Legyen x,z két tetszőleges elem S-ben. Megmutatjuk, hogy xz=zx.

A (2)-ben legyen x=y. Ekkor

( x x ) z = ( x z ) x ,

mivel xx=x ezért

x z = ( x z ) x .

Szorozzuk’’ meg jobbról z-vel

( x z ) z = ( ( x z ) x ) z

és használjuk megint (2)-t

( z z ) x = ( x z ) ( x z ) .

( 1 ) -et használva mindkét oldalra

z x = x z .

Egy hasonló feladat:

1.50. Feladat:

Egy (T,) struktúráról a következőket tudjuk:

x , y T ,

( 1 ) x ( x y ) = y ,

( 2 ) ( y x ) x = y .

Bizonyítsuk be, hogy a művelet kommutatív.

Megoldás:

Megmutatjuk, hogy bármely a,bT teljesül, hogy ab=ba.

( 1 ) -ben legyen x=ba, és y=a, ahol a,bT. Ekkor

( b a ) ( ( b a ) a ) = a ,

( 2 ) miatt a második zárójelben levő kifejezés b, így

( b a ) b = a .

Szorozzuk’’ meg jobbról b-vel

( ( b a ) b ) b = a b .

Megint (2) miatt a bal oldal ba, így

b a = a b .

Az előzőekben tárgyaltak mintapéldái lehetnek annak, ahogy bizonyos szabályokból következtetünk (az általános- és középiskolában kétkedés nélkül elfogadott) tulajdonságra; a kommutativitásra.

Ebben a tekintetben rokon azokhoz az algebrai feladatokhoz, amelyekbe algebrai azonosságokat kell igazolni.

Az előző két példával rokon, ám egy kicsit nehezebb, ugyancsak kommutativitásra vonatkozó feladatot mutatunk be:

1.51. Feladat:

Legyen (G,) egy csoport, melyen definiálunk egy leképezést: φ:GGφ(x)=x3. Tegyük fel φ-ről, hogy homomorfizmus és hogy injektív. Igazoljuk, hogy ekkor a csoport kommutatív.

Mielőtt a megoldáshoz fognánk, idézzük fel, mit is jelent a két feltétel:

1. φ homomorfizmus, ami azt jelenti, hogy a,bG teljesül, hogy φ(ab)=φ(a)φ(b).

2. φ injektív, azaz, ha ab akkor φ(a)φ(b).

Megoldás:

Mivel φ homomorfizmus, így

( x y ) 3 = x 3 y 3

teljesül minden x,yG elemre. Balról x-szel, jobbról y-nal egyszerűsítve

y ( x y ) x = x 2 y 2 .

Az asszociativitást használva

y ( x y ) x = ( y x ) ( y x ) = ( y x ) 2 ,

így

( y x ) 2 = x 2 y 2 .

Balról yx-szel beszorozva

( y x ) 3 = y x 3 y 2 ,

és mivel (yx)3=y3x3, egy y-nal balról leosztva

y 2 x 3 = x 3 y 2

teljesül. (Tehát az x3 y2 elemek már kommutálnak).

Most már be tudjuk bizonyítani, hogy a,bGab=ba. Legyen y=a3;x=b2 és helyettesítsük ezeket be:

( a 3 ) 2 ( b 2 ) 3 = ( b 2 ) 3 ( a 3 ) 2 ,

( a 2 ) 3 ( b 2 ) 3 = ( b 2 ) 3 ( a 2 ) 3 .

Mivel a köbre emelés homomorfizmus

( a 2 b 2 ) 3 = ( b 2 a 2 ) 3

és mivel injektív

a 2 b 2 = b 2 a 2 .

Balról a-val, jobbról b-vel szorozva

a 3 b 3 = a b 2 a 2 b

vagy másként

( a b ) 3 = a 3 b 3 = a b 2 a 2 b ,

( a b ) ( a b ) ( a b ) = ( a b ) b a ( a b ) .

Jobbról, balról (ab)-vel egyszerűsítve

a b = b a .

Az általános iskolában, a gimnáziumokban meggyökeresedhetett az az elképzelés, hogy az

a k 1 b s 1 a k 2 b s 2 a k u a s v = a m 1 b t 1 a m 2 b t 2 a m w a t z ,

egyenlőség eldöntéséhez csak át kell rendeznünk a bal, ill. jobb oldalt és a kitevőket össze kell hasonlítani:

k 1 + k 2 + k u = m 1 + m 2 + m w ;

és

s 1 + s 2 + s v = t 1 + t 2 + t z

a szükséges és elégséges feltétele ennek. Az elképzelés a valós számok testében (és sok más középiskolában szokásosan használt struktúrában) igaz.

A következő, nagyon szellemes megjegyzés példa arra, hogy nem kommutatív struktúrában ez nem igaz:

1.52. Tétel:

Legyen F=(1110) és G=(0111).

Ekkor

F k 1 G s 1 F k 2 G s 2 F k u G s v

csak egyféleképpen írható fel, a szorzat egyértelmű.

Bizonyítás:

Azt mondjuk, hogy egy

v ¯ = ( x y )

vektor pozitív, ha x,y>0. Mivel

F v ¯ = ( x + y x ) ; G v ¯ = ( y x + y ) ,

ezért mind F, mind G pozitív vektort pozitív vektorba visz át.

A v¯-ról azt mondjuk, hogy felső típusú, ha x>y és azt, hogy alsó típusú, ha x<y (tehát az (x,x) típusú vektorokról nem mondunk semmit). Jegyezzük meg, hogy ha v¯ pozitív vektor, akkor Fv¯ képe felső típusú és Gv¯ képe alsó típusú. Tegyük most fel, hogy az F-ek hatványaiból és a G-k hatványaiból készítünk két különböző szorzatot, U-t és V-t és tegyük fel, hogy ezek egyenlők U=V és az összes ilyen példa közül ezek a legrövidebbek.

Az U és V nem kezdődhet ugyanúgy; mivel mind F, mind G invertálhatók, azért ha ugyanúgy kezdődnének, le lehetne velük egyszerűsíteni és lenne rövidebb példa. Tehát tegyük fel, hogy

U = F U ; V = G V .

Legyen most w¯ egy pozitív vektor. Ekkor, mint láttuk F és G és így minden hatványa pozitív vektorba viszi át a pozitív vektort. Ezért

U w ¯ ; V w ¯

vektorok pozitívak. Ám

U w ¯ = F U w ¯

felső típusú és

V w ¯ = G V w ¯

alsó típusú ellentmondásként.

E paragrafusban utolsóként nézzük a 2009-es Nemzetközi Matematikai Diákolimpia egyik feladatát, amelyben ugyancsak felcserélhetőségről van szó:

1.53. Feladat:

Ha A,B,C mátrixok, akkor

( A - B ) C = B A - 1 C ( A - B ) = A - 1 B ,

feltéve, hogy az A-1 és C-1 inverzek léteznek.

Megoldás:

1. Először megmutatjuk, hogy C=I esetén miért igaz az állítás, majd ebből levezetjük az általános esetet. Mindössze azt használjuk fel, hogy a multiplikatív inverzek felcserélhetőek; xx-1=1x-1x=1. Belátjuk, hogy

A - B = B A - 1 A - B = A - 1 B .

Ha A-B=BA-1, akkor A-B-BA-1+I=I teljesül. Ám

A - B - B A - 1 + I = ( A - B ) ( A - 1 + I ) = I ,

azaz (A-B) és (A-1+I) egymás multiplikatív inverzei. Ezért igaz, hogy

( A - 1 + I ) ( A - B ) = I ,

felbontva a zárójeleket

I - A - 1 B + A - B = I A - B = A - 1 B .

2. Az általános eset; felbontva a zárójelet

( A - B ) C = B A - 1 ;

A C - B C = B A - 1 = ( B C ) ( A C ) - 1 .

1.-ben A helyett AC-vel, B helyett BC-vel felírva

A C - B C = B A - 1 = ( B C ) ( A C ) - 1 A C - B C = ( A C ) - 1 ( B C ) = C - 1 A - 1 B C ,

C - 1 -zel jobbról C-vel balról beszorozva

C ( A - B ) = A - 1 B .

Megjegyzések:

1. Az előző feladatban nem használtuk, hogy mátrixokról volt szó; valójában tetszőleges gyűrűben is elmondható lett volna a feladat.

2. Ezek a feladatok arra szerettek volna rávilágítani, hogy középiskolai versenyszintű feladatokban is fellelhető alapvető, a struktúrákkal kapcsolatos állítások. A következő paragrafusban még közvetlenebb kapcsolatra szeretnénk rámutatni.

1.54. Feladat:

Gyűjtse össze a témához tartozó kulcsszavakat!

Strukturák III.

Ezt a rövid fejezetet kezdjük egy feladatsorral:

1.55. Feladat:

Legyen F egy tetszőleges test és legyen 0F=0 a nulla eleme. Bizonyítsuk be, hogy

a , b F , a , b 0 teljesül, hogy

1. -(ab-1)=(-a)b-1=a(-b-1).

2. (-a)-1=-(a-1).

3. ab-1=(-a)(-b-1).

Milyen szabályok’’ következnek ezekből az állításokból?

A következőkben hivatkozunk néhány jól ismert tételre a csoportelméletből:

1.56. Tétel:

1. Legyen G egy véges csoport. Ekkor bármely H<G részcsoportjára igaz, hogy |H| elemszáma osztója |G| elemszámának.

2. gG;g|G|=1, ahol 1 a csoport egységeleme.

1.57. Tétel:

Egy prímrendű csoport ciklikus.

Most kulcsszavak keresése helyett feladatokban tűzzük ki az iskolai kapcsolatot.

A középiskolákban is előkerül (néha csak speciális formában) az Euler-Fermat-tétel.

1.58. Feladat:

Az előző tételek közül melyik tétel és hogyan kapcsolódik az Euler-Fermat-tételhez?

Ugyancsak előkerül (megint néha csak speciális formában) a modp primitív gyök fogalma.

1.59. Feladat:

Az előző tételek közül melyik tétel és hogyan kapcsolódik a primitív gyök fogalmához?

cm

Szitaformula

Általános- és középiskolából jól ismert feladat a következő:

1.60. Feladat:

Egy 32 fős osztályban a gyerekek négy nyelvet tanulnak: 15-en angolul, 10-en németül, 9-en franciául. Angolul és németül 6-an, angolul és franciául 4-en, németül és franciául 4-en tanulnak. A három nyelvet 3-an választották. Az osztály többi tanulója csak az oroszt tanulja. Hányan vannak ők?

Ezt a feladatot általában ú.n. Venn-diagrammal szokás megoldani.

Van azonban másik megoldás is, a logikai szita segítségével: a 32-ből kiszitáljuk a 15 angolt, 10 németet, a 9 franciát, azonban kétszer vontuk le az angol-németet s.í.t. Tehát akik csak oroszul tanulnak:

32 - 15 - 10 - 9 + 6 + 4 + 4 - 3 = 9 .

Ebben a pontban ennek a módszernek egy nagyon hasznos alkalmazását mutatjuk be, amit középiskolában is elmondhatunk, és amelynek egyetemi anyag a háttere. Ezeket a kulcsszavakat kellene összegyűjteni a paragrafus végén.

Ezen alkalmazás előtt két jól ismert feladatot (tétel formájában) említünk bizonyítás nélkül:

1.61. Tétel:

  1. Egy hat pontú teljes gráf éleit két színnel színezve, mindig található a gráfban egyszínű háromszög. Sőt, legalább két egyszínű is van, és ennél több nem állítható.

  2. Egy 17 pontú teljes gráf éleit három színnel színezzük. Ekkor mindig található a gráfban egyszínű háromszög.

1.62. Tétel: Ha egy n pontú gráf éleinek a száma >n24, akkor a gráfban van háromszög.

Az első tétel ú.n. Ramsey-típusú tétel, a második a Turán tétel speciális esete. E két tételt, mint következményt vezethetjük le a következő állításból, ahol a logikai szitát (és még más eszközt is) használunk:

1.63. Tétel: Egy n pontú G gráfban az egyszínű háromszögek száma legalább

n ( n - 1 ) ( n - 5 ) 24 .

Bizonyítás:

Használjuk a szitaformulát: az összes háromszögek számából szitálunk: Először azokat hagyjuk el, amelyeknek van a komplementer gráfban élük; egy ilyen élhez n-2 pont csatlakozik egy háromszöget alkotva. Tehát

Δ ( G ) = ( n 3 ) - e ¯ ( n - 2 ) .

Most azokat a háromszögeket kell visszaadnunk’’, amelyeknek két komplementer gráfbeli élük is van. Ezt most a csúcsoknál számoljuk le: az i-edik pontból φ¯i komplementer él fut ki. Ebből kell két élt kiválasztani, ezek ugyanis akkor olyan háromszöget határoznak meg, amelyeknek van két komplementer éle. Végül le kell vonni azokat a háromszögeket, amelyeknek mindhárom oldala komplementer él. Ezek száma definíció szerint Δ(G¯). Így

Δ ( G ) = ( n 3 ) - e ¯ ( n - 2 ) + i = 1 n ( φ ¯ i 2 ) - Δ ( G ¯ ) .

A további becslésekhez az alábbi állításra van szükségünk:

Állítás:

Az f(x):=x2-x2 függvény konvex, tehát igaz rá, hogy bármely x1<x2<<xn esetén

f ( i = 1 n x i n ) i = 1 n f ( x i ) n .

Mivel az (n2) binomiális együtthatót is az n2-n2 képlettel számoljuk ki, bevezethetjük f-re az f(x):=(x2) jelölést. Ekkor a fenti állítás így írható le:

( i = 1 n x i n 2 ) i = 1 n ( x i 2 ) n

Tehát a szita képletben a i=1n(φ¯i2) tagot így becsülhetjük

i = 1 n ( φ ¯ i 2 ) n ( i = 1 n φ ¯ i n 2 ) .

A i=1nφ¯i éppen a komplementer élek kétszerese, tehát

i = 1 n ( φ ¯ i 2 ) n ( i = 1 n φ ¯ i n 2 ) = n ( 2 e ¯ i n 2 ) = 2 e ¯ 2 n - e ¯ .

Így a szitaképletben az egyszínű háromszögek számára (ha úgy gondolunk a gráfra és a komplementerére, mint a teljes gráf éleinek két-színezésére) azt kapjuk, hogy

Δ ( G ) + Δ ( G ¯ ) ( n 3 ) - e ¯ ( n - 2 ) + 2 e ¯ 2 n - e ¯ .

Ez e¯-nak másodfokú függvénye, amelynek minimuma az e¯=n(n-1)4-ben van. Ezt behelyettesítve kapjuk, hogy

Δ ( G ) + Δ ( G ¯ ) ( n 3 ) - e ¯ ( n - 2 ) + 2 e ¯ 2 n - e ¯ n ( n - 1 ) ( n - 5 ) 24 .

Ha n=6, akkor a jobb oldal nagyobb, mint 1, azaz egy 6 pontú gráf éleit két színnel színezve, van legalább két egyszínű háromszög található a gráfban.

Ha valaki mondjuk, azt szeretné bizonyítani, hogy egy n=8 pontú gráfban van 7 egyszínű háromszög, akkor ez nem lenne olyan egyszerű feladat (azonban a fenti leszámlálásból rögtön következik).

1.64. Tétel: Egy n pontú e élű gráfban a háromszögek száma legalább

e ( 4 e - n 2 ) 3 n .

Bizonyítás:

A bizonyításhoz két dolgot kell észrevennünk:

1. A i=1n(φ¯i2) összegben a Δ(G¯)-t háromszor számoltuk, tehát

i = 1 n ( φ ¯ i 2 ) 3 Δ ( G ¯ ) ,

így a szita képletben

Δ ( G ) ( n 3 ) - e ¯ ( n - 2 ) + 2 3 i = 1 n ( φ ¯ i 2 ) ( n 3 ) - e ¯ ( n - 2 ) + 2 3 ( 2 e ¯ 2 n - e ¯ ) .

Másfelöl

2. Nyilván

e ¯ = n 2 - e .

Ezt a fenti becslésbe beírva, kis számolással adódik, hogy

Δ ( G ) e ( 4 e - n 2 ) 3 n .

Ebből pedig a másodikként említett tételt kapjuk; ha e>n24, akkor e(n2-4e)3n>0, azaz van háromszög a gráfban. Valójában sokkal többet olvashatunk le. Ha az él szám nagyobb az említettnél, hirtelen nagyon sok’’ háromszög lesz G-ben.

1.65. Feladat:

Gyűjtse össze a témához tartozó kulcsszavakat!

Végtelen leszállás-Teljes indukció

Teljes indukcióval megoldható feladatokban bővelkednek mind a középiskolai, mind az egyetemi feladatsorok, tételek. Az ú.n. végtelen leszállás (infinite descent) módszerrel operáló bizonyítást viszont jóval kevesebbet találunk. Jól ismert Fermat tétele (ő írta le, és nevezte így el ezt a bizonyítási eljárást).

Most két állítást bizonyítunk ezzel a módszerrel. Ebben a paragrafusban is a kulcsszavak keresése helyett végtelen leszállás módszerével megoldható feladatok keresését ajánljuk.

1.66. Tétel:

Az

a 2 + b 2 = 3 ( c 2 + d 2 )

egyenletnek az egészek körében nincs megoldása, ha a,b,c,d nem egyszerre 0.

Bizonyítás:

Mivel 3|a2+b2 és mivel x20,1(mod3) ezért 3|a és 3|b. Így a=3a1;b=3b1 és így

3 ( a 1 2 + b 1 2 ) = c 2 + d 2