Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

9 Geometria

9 Geometria

9.0.0.1 Ajánló

A témával kapcsolatos legalapvetőbb könyvek:

Reiman István Geometria és határterületei[];

Hajós György Bevezetés a geometriába[];

Coxeter Geometriák alapjai[];

Lánczos Kornél A geometriai térfogalom fejlődése[];

példatárak:

Horvay Katalin és Reiman István Geometria feladatgyűjtemény I.[];

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer Az újra felfedezett geometria[];

és weboldalak:

David Eppstein Geometry in action[] linkgyűjteménye:

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/geom.html ;

A Cabri, a Cinderella, az Euklides, a GeoGebra és a Geometers Sketchpad dinamikus geometriai szerkesztőprogramok weblapjai [], [], [], [], [].

9.1 Kutyageometria

9.1.1. Feladat Kutyageometria(Mego.)

Egy hatalmas modern város utcahálózata olyan mint egy négyzetrács, melyben a négyzetek oldalának hossza 1 egység. A kóbor kutyák csak az utcákon, azaz a négyzetrács vonalain közlekedhetnek, a házakba, azaz a négyzetekbe nem mehetnek be. A kutyák világa tehát a négyzetrács vonalainak világa. Két pont távolságán a két pont közötti rácsvonalakon haladó a rácspontokban esetleg megtörő töröttvonalak hosszának minimumát értjük. Ez a kutyageometria. Az 54. ábrán a város egy részének térképét látjuk.

54. ábra

a) Határozzuk meg az AB, BC, CA távolságokat!

Színezzük teli karikákkal, különböző színekkel az A ponttól

b) 1; c) 1,5; d) 2; e) 2,5; f) 3

méterre található pontok halmazát!

Színezzük üres karikákkal, különböző színekkel a B ponttól

g) 1; h) 1,5; i) 2; j) 2,5; k) 3

méterre található pontok halmazát!

9.1.2. Feladat(Mego.)

Körön a kutyageometriában is egy adott ponttól adott távolságra levő pontok halmazát értjük. Jelölje k1, k2 és k3 azt a kört, amelyeknek középpontja a 55. ábrán látható O1, O2 illetve O3 pont és amelynek sugara r1=1, r2=3, r3=5 egység.

Hány közös pontja van a

a) k2 és k1; b) k1 és k3; c) k3 és k2

köröknek?

55. ábra

9.1.3. Feladat(Mego.)

Határozzuk meg a 56. ábrán látható

a) A és B; b) B és C; c) C és A;

pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát a kutyageometriában!

d) Hány olyan pont van, amely egyforma messze van mind a három ponttól?

56. ábra

Van-e három olyan pont, amelyre a mindegyiktől egyforma messze található pontok száma

e) 1; f) végtelen; g) 2?

9.1.4. Feladat(Mego.)

Igaz-e a kutyageometriában a háromszög egyenlőtlenség?

9.1.5. Feladat(Mego.)

Lehet-e a kutyageometriában két körnek éppen 13 metszéspontja?

9.1.0.1 Ajánló

Szeredi Éva Kutatás az elemi matenatika szemináriumokon a [] kötet 13-32. oldalain.

9.2 A térgeometria elemei

9.2.1. FeladatA Berangesz dinasztia piramisai(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego., e) mego., f) mego., g) mego.)

a) I. Berangesz fáraó olyan háromszög alapú piramist szeretne építtetni családja örök nyughelyéül, amelynek alapja, és egyik oldallapja egymással egybevágó szabályos háromszög alakú, magassága pedig a lehető legnagyobb. Készítsük el papírból a piramis makettjét! Szerkesszük meg hálóját a síkon! (A szabályos háromszögek oldalai legyenek 6 cm hosszúak, a piramist pedig tekintsük háromszög alapú gúlának.)

b) II. Berangesz fáraó négyszög alapú piramist tervez magának. Eredetileg úgy képzelte, hogy a piramis alapja 100 cvimedli oldalhosszúságú négyzet lesz, oldallapjai pedig egybevágó szabályos háromszög alakúak, de a földmérők szerint az építmény így épp nem férne el a fáraó kedvenc szigetén. Berangesz módosította a tervet: a négyzet alapot olyan 100 cvimedli oldalhosszúságú rombuszra cserélte, amelynek két szemközti csúcsánál 105-os szöge van, és az egyik ilyen csúcsnál találkozó két oldallap szabályos háromszög alakú.

Készítsük el papírból a piramis makettjét! Jelöljük a méretarányt! Írjuk le a szerkesztés lépéseit is!

c) III. Berangesz fáraó négyzet alapú piramist tervez magának. A csúcsa az alap egyik csúcsa felett lesz, és legrövidebb oldaléle (ami egyben a testmagassága) egyenlő hosszú lesz az alapél hosszával.

Készítsük el papírból a piramis makettjét! Írjuk le a szerkesztés lépéseit is!

d) III. Berangesz két fia az apjukéval és egymáséval egyforma alakú, de a térben esetleg másképpen elrendezett emlékművet építene magának, és ezeket úgy illesztenék egymás mellé, hogy a közös nagy emlékműnek kívülről mindegyik oldallapja ugyanolyan legyen. Lehetséges-e ez?

e) V. Berangesz fáraó piramisa négyzet alapú, oldallapjai szabályos háromszögek, magassága pedig 70 cvimedli. A piramis belsejébe csak a középpontja alatt fúrt függőleges kútból fölmászva lehet eljutni. A kútba egyenes alagút vezet le, melynek iránya a vízszintessel 60-ot zár be, felső bejárata pedig a piramis egyik sarkától 77 cvimedli távolságra található a szemközti sarokkal épp ellenkező irányban (lásd az 57. ábrát).

57. ábra

Milyen hosszú az alagút?

f) VI. Berangesz fáraó piramisa olyan szabályos hatoldalú gúla, amelynek szomszédos oldallapjai 150-os szöget zárnak be egymással. Készítsük el papírból a piramis makettjét! Írjuk le a szerkesztés lépéseit, és indokoljuk a szerkesztés helyességét!

g) VIII. Berangesz fáraó piramisa olyan szabályos nyolcoldalú gúla, amelynek oldalélei 51,2 cvimedli hosszúak, míg az alap két szemköztes csúcsa között a piramis felületére fektetett legrövidebb kötél hossza 145,5 cvimedli.

Milyen hosszú a piramis oldaléle?

9.2.2. Feladat(Eredm.)

Egy négyzet alapú gúla mind a nyolc éle egyenlő. Össze lehet-e állítani hat ilyen gúlából egy kockát, úgy hogy összeérjenek az alappal szemköztes csúcsuknál?

9.2.3. Feladat(Mego.)

Egy kocka alakú, tetején és oldalán csokival egyenletesen bevont tortát úgy szeretnénk elosztani n gyerek között, hogy mindenkinek ugyanannyi sütemény, és ugyanannyi csokibevonat jusson.

Hogyan tehetjük ezt meg, ha n=2, 3, 4, 5?

Megoldható-e a feladat tetszőleges természetes szám esetén?

9.2.0.1 Ajánló

Fent csak felvillantottunk néhány térgeometriai problémát. Néhány átfogóbb példatár:

Horvay Katalin, Reiman István Geometriai feladatok gyűjteménye I."[];

D. O. Sklarszkij, N. N. Csencov, I. M. Jaglom Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből, 3. kötet, Geometria II. (Sztereometria)[];

A Matkönyv[] megfelelő fejezete: http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_g_i.pdf.

Egy eszköz, amellyel játékosabb a tanóra is: Polydron[].

9.3 Egyszerűbb számítási feladatok

9.3.1. Feladat(Eredm.)

Az ABC háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zárnak be egymással

a) az A és B csúcsokból induló szögfelezők?

b) az A és B csúcsokból induló magasságvonalak?

c) a körülírt kör A-ba és B-be futó sugarai?

d) az A csúcsból induló szögfelező és magasságvonal?

9.3.2. Feladat(Ötlet)

Egy hatszög minden szöge 120-os. Mutassuk meg, hogy két szomszédos oldal összege megegyezik a szemben fekvő szomszédos oldalak összegével.

9.3.3. Feladat(Mego.)

Egy trapéz hosszabbik alapja a, rövidebbik alapja b hosszúságú. Szárai derékszöget zárnak be egymással. Mutassuk meg, hogy az alapok felezőpontját összekötő szakasz hossza (a-b)/2.

9.3.4. Feladat(Mego.)

Mutassuk meg, hogy az a, b oldalú parallelogramma szögfelezői téglalapot határoznak meg, melyben az átlók hossza éppen a-b.

9.3.5. Feladat(Mego.)

Az ABC hegyesszögű háromszög C-nél levő szöge 45. M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy CM=AB!

9.3.6. FeladatMatematika határok nélkül[][] 1989/90, A biliárd és a golyók(Mego.)

Az amerikai biliárd játszma kezdetén a biliárdgolyók a 58. ábrán látható módon, egy kerettel összeszorítva állnak az asztal közepén. A golyók átmérője egyenlő.

Mekkora egy golyó átmérője, ha az AH távolság 169,6 mm-rel egyenlő?

58. ábra

9.4 Összetett számítási feladatok

9.4.1. Feladat Kömal, F.1631, 1968/8-9. szám(Mego.)

Egy szabályos háromszögbe a 59. ábra I.-III. része szerint egyenlő sugarú köröket rajzolunk.

a) A háromszög területéből hány %-ot fednek le a körök együttesen az egymás utáni három ábrán?

b) Hány kört kellene vennünk egy oldalon, hogy a hasonlóan szerkesztett ábra körei a háromszög területének legalább 90%-át fedjék le?

c) Mihez tart a lefedett résznek a háromszög területéhez képesti aránya, ha a körök száma tart a végtelenhez?

59. ábra

9.4.2. Feladat (Koch-féle hópehely)(Mego.)

Koch-féle hópehelygörbék első tagja egy egységoldalú szabályos háromszög. Ennek minden oldalának kivesszük a középső harmadát és helyére egy kifelé álló kisebb szabályos háromszöget helyezünk a 60. ábra szerint. Így kapjuk a második Koch-féle hópelyhet. Az n-edik hópehely is egymáshoz kapcsolódó egyenlő hosszú szakaszokból álló zárt töröttvonal, amiből úgy kapjuk az (n+1)-edik hópelyhet, hogy minden szakaszának középső harmadára kifelé szabályos háromszöget állítunk.

60. ábra

a) Először hanyadik hópehely kerülete lesz nagyobb 2013 egységnél?

b) Milyen értékhez tart az n-edik és az első hópehely területének hányadosa, ha n tart a végtelenhez?

9.4.3. Feladat Sierpinski háromszög

Legyen S0 az egységoldalú szabályos háromszög. Az S1 ponthalmazt ebből az oldalfelezőpontok alkotta háromszög, tehát a középháromszög belső pontjainak kidobásával kapjuk. S1 tehát három kisebb szabályos háromszög uniója, ezek mindegyikéből kidobjuk a középháromszögük belső pontjait, így kapjuk az S2 alakzatot (Lásd a 61. ábrát!) A Sierpinski háromszög az így képzett {Sn} alakzatsorozat tagjainak metszete.

Határozzuk meg a Sierpinski háromszög területét!

61. ábra

9.4.4. Feladat(Mego.)

Adott egy 4 cm oldalú négyzetlap és egy 1 cm sugarú félkörlap. A félkörlap úgy mozog, hogy átmérőjének végpontjai mindig a négyzet határolóvonalán vannak és a félkör a négyzethez képest befelé áll. Határozzuk meg annak az alakzatnak a területét, amelyet a félkörlap végig tud söpörni!

9.4.5. Feladat(Mego.)

A 62. látható módon helyezzük el a 600 egység oldalhosszúságú ABCDEF szabályos hatszögben a PQBA egységoldalú négyzetet. Gördítsük körbe a hatszög belső felületén a négyzetet a következő módon: először az óramutató járásával megegyezően forgassuk a négyzetet a B körül mindaddig, amíg a négyzet Q csúcsa a hatszög C csúcsához ér. Ezután C körül forgassuk az óramutató járásával megegyezően a négyzetet, míg P egybeesik D-vel. Majd D körül forgassuk az óramutató járásával megegyezően a négyzetet, amíg a négyzet csúcsa a hatszög E csúcsához ér.

62. ábra

Folytassuk tovább ezt az eljárást mindaddig, amíg a négyzet a hatodik forgatás után vissza nem ér az AB oldalhoz. Milyen hosszú utat jár be ezalatt P?

9.4.0.1 Ajánló

Érdekességek a fraktálokról:

Máté László Fraktáldimenziókról egyszerűen"[], http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Mate_Laszlo/boxdim/boxdim.pdf;

Michael Frame, Benoit Mandelbrot és Nial Neger, Fraktálok[],

http://classes.yale.edu/fractals/ ;

Fractal Foundation[], http://fractalfoundation.org/;

Jules J. C. M. Ruis, Centre for Fractal Design and Consultancy[], http://www.fractal.org/.

Marc Culler és Howard Masur Fractals, Chaos and Complex Dynamics, A Research Experience for Undergraduates[],

http://homepages.math.uic.edu/~culler/chaos/ .

Garay Barnabás Az ingamozgás kaotikussága"[]

http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2009/gb/talpharkaosz.pdf .

9.5 A sík egybevágóságai feladatok

9.5.1. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego.)

Egy adott AB szakasz hosszát jelölje d. B-n át húzunk e egyenest, és B-ből felmérjük rá a d távolságot. Így megkapjuk a C pontot. C-n át párhuzamost húzunk AB-vel, és C-ből felmérjük rá d-t. Így kapjuk a D pontot. A szerkesztést megismételjük minden (AB-től különböző) e egyenesre. Mi a BD szakaszok F felezőpontjának a halmaza?

9.5.2. Feladat(Mego.)

Adott az a kör, az F pont és a b egyenes. Szerkesztendő az AB szakasz úgy, hogy A illeszkedjék a-ra, B a b-re és F az AB felezőpontja legyen.

Diszkutáljuk a megoldások számát!

9.5.3. Feladat(Segít.)

Adott két egymást metsző kör, k és l.

a) Adott még az e egyenes és a d szakasz is. Szerkesztendő olyan e-vel párhuzamos egyenes, amelynek a k körrel való egyik metszéspontja az l körtől való egyik metszéspontjától éppen d távolságra van.

63. ábra

Jelölje a k, l körök egyik metszéspontját A. Vegyük fel a k, l körökön a

b) Kb, Lb pontokat úgy, hogy A felezze a KbLb szakaszt!

c) Kc, Lc pontokat úgy, hogy Kc felezze az ALc szakaszt!

d) Kd, Ld pontokat úgy, hogy A harmadolja a KdLd szakaszt!

(Lásd a 63. ábrát.)

9.5.4. Feladat(Mego.)

Adott a b és a c egyenes valamint az A pont. Szerkesszünk olyan ABC szabályos háromszöget, amelynek B csúcsa a b egyenesre, C csúcsa c-re illeszkedik!

Diszkutáljuk a megoldások számát!

9.5.5. Feladat Szerkesztendő olyan négyzetet, amelynek három előre adott koncentrikus kör mindegyikén van egy-egy csúcsa.

9.5.6. Feladat(Mego.)

a) Az A, B falvak egy folyó két különböző partján helyezkednek el. Hová kell a folyóra egy MN hidat építeni, hogy az A, B falvakat a legrövidebb út kösse össze? (A folyót két párhuzamos egyenes által meghatározott sávnak tekintjük, a híd a folyó irányára merőlegesen épülhet. Lásd a 64. ábrát!)

64. ábra

b) Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a két falut több folyó is elválasztja, amelyek mindegyikére hidat építünk. (A folyók nem feltétlenül párhuzamosak.)

9.5.7. Feladat(Mego.)

Szerkesztendő trapéz, ha adott mind a négy oldalai, külön a szárai és külön az alapjai

Diszkutáljuk a megoldások számát!

9.5.8. Feladat(Ötlet)

Szerkesztendő háromszög, ha adott két oldala és a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal.

9.5.9. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Mutassuk meg, hogy ha az ABCD négyszög MN középvonalának hossza egyenlő az AB és CD oldalak hosszának számtani közepével, akkor a négyszög trapéz. (M az AD, N pedig a BC oldal felezési pontja).

9.5.10. Feladat Mutassuk meg, hogy ha az ABCD négyszögben AB=CD, de AB és CD nem párhuzamosak, akkor az MN középvonal párhuzamos az AB, CD egyenesek egyik szögfelezőjével. (M az AD, N a BC oldal felezőpontját jelöli., A 9.5.10 Mego.)

9.5.11. Feladat(Mego.)

Adottak a k, l körök, valamint az e egyenes. Szerkesztendő olyan, az e egyenessel párhuzamos e egyenes, hogy a két körből kimetszett húrok

a) egymással egyenlő hosszúak legyenek;

b) összege megegyezzen egy előre adott d szakasz hosszával (lásd a 65. ábrát).

65. ábra

9.5.12. Feladat(Segít. a)-hoz, a) mego., b) mego., c) mego., d) mego.)

a) Adott a d egyenes valamint d egyik oldalán a P és a Q pont. Határozzuk meg a d egyenesen azt a D pontot, amelyre a PD, DQ szakaszok hosszának összege a lehető legkisebb!

Adott egy szög, csúcsa O, szárai az a, b félegyenesek, adott továbbá a szög szárai között a P pont. Határozzuk meg az a, b félegyenesek azon A, B pontjait, amelyre a

b) PA, AB

c) PA, AB, BP

szakaszok hosszának összege a lehető legkisebb!

d) Adott az ABC háromszög. Határozzuk meg a háromszög BC, CA, AB oldalaira illeszkedő PA, PB, PC pontokat úgy, hogy a PAPBPC háromszög kerülete a lehető legkisebb legyen!

9.5.13. Feladat Arany Dániel Mat. Vers. 2010, Kezdők, II. kat., 2. ford., 4. fel.(I. mego., II. mego.)

Egy trapéz alapjai 25 illetve 15 cm hosszúak, magassága 12 cm. Határozzuk meg az ilyen trapézok kerületének minimumát!

9.5.14. Feladat(Mego.)

Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű (ACB=90). Jelölje az AB alap felezőpontját FAB és keressük az AC egyenesen azt a P pontot, amelyre

a) FABP+PB, b) FABP2+PB2

minimális!

9.5.15. Feladat(Segít., I. mego., II. mego.)

Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AB átfogóján úgy vettük fel az M és K pontokat, hogy K az M és B közé essék és, hogy az MCK45-os legyen. Bizonyítsuk be, hogy MK2=AM2+KB2!

9.5.16. Feladat(Segít., Mego.)

Az egyenlő sugarú kA, kB, kC körök mind átmennek az O ponton. Az O középpontú k kör az rendre az A, B, C pontokban érinti a kA, kB, kC köröket. Határozzuk meg a kA, kB, kC körök által határolt külső tartomány (lásd a 66. ábrát) területét, ha az ABC háromszög területe T!

66. ábra

9.5.17. Feladat(I. mego., II. mego.)

Az ABC szabályos háromszög körülírt körén felveszünk egy D pontot a C-t nem tartalmazó AB köríven. Mutassuk meg, hogy DC=DA+DB!

9.5.18. Feladat(Ötlet)

a) Egy egyenlő szárú háromszög alapján felvett tetszőleges P pontból párhuzamosokat húzunk a szárakkal, melyek a szárakat X és Y pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy PX+PY nem függ a P pont választásától!

b) Mutassuk meg, hogy ha P-t az alap meghosszabbításán mozgatjuk, akkor a rajta keresztül a szárakkal párhuzamosan felvett egyenesek a szárak egyeneseit olyan X, Y pontokban metszik, amelyekre |PX-PY| állandó!

9.5.19. Feladat(Ötlet)

Adottak egy

a) háromszög, b) négyszög, c) ötszög

oldalfelezőpontjai. Szerkesszük meg a sokszöget!

9.5.20. Feladat(Segít., Mego.)

Adott a síkon két pont, A és B. Szerkesztendő az ABC szabályos háromszög C csúcsa, ha csak egy rozsdás körzőnk van (vonalzónk sincs), amely beragadt és a korábban beállított az AB távolságnál nagyobb nyílásszöge nem változtatható.

9.5.0.1 Ajánló

Jakucs Erika Tengelyes tükrözés 6. osztály egy lehetséges felépítés[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Jakucs_Erika/geo/ ;

Pogáts Ferenc A sík egybevágóságai és a tengelyes tükrözések[]

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/index.htm ;

Pogáts Ferenc Rózsaablakok és társaik[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/rozsa/rozsaabl.html ;

Pogáts Ferenc Sorminták, frízek[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sor/sorfriz.html ;

Jakucs Erika, Pogáts Ferenc A szépség matematikája[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/szep/szepmat.html ;

Escher symmetry a teachmathematics.net portálon[],

http://www.teachmathematics.net/activities/escher-symmetry.htm .

Horvay Katalin, Reiman István Geometriai feladatok gyűjteménye I." megfelelő fejezetei[];

A Matkönyv[],

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_g_ii.pdf ;

Vigassy Lajos Geometriai transzformációk"[];

Reiman István Fejezetek az elemi geometriából"[];

Reiman István A geometria és határterületei"[] 7. fejezete;

E. G. Gotman Geometriai transzformációk II.: hasonlóságok", Kvant folyóirat[],

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1989/03/geometricheskie_preobrazovaniy.htm ;

9.5.1 Egy ábra az Elemekből

9.5.21. Feladat Egy ábra az Elemek-ből[](a) mego., b) mego., c) I. mego., c) II. mego., c) III. mego., c) IV. mego.)

Az ABC háromszög oldalaira kifelé rajzoltuk a BADE, CBFG, ACHI négyzeteket (lásd a 67. ábrát).

a) Fejezzük ki az ABC háromszög t területével az EFB, GHC, IDA háromszögek területeit!

b) Oldjuk meg a CD=XY egyenletet, tehát a 67. ábrán már adott pontok közül keressünk kettőt, melyek távolsága megegyezik a D, C pontok közti távolsággal!

67. ábra

Megrajzoljuk az ABC háromszög magasságvonalainak egyeneseit. Ezek a háromszög oldalegyeneseit a TC, TA, TB pontokban, a négyzetek DE, FG, HI oldalegyeneseit a KC, KA, KB pontokban, az EF, GH, ID egyeneseket az FEF, FGH, FID pontokban metszik (lásd a 67. ábra jobb oldalát).

c) Mutassuk meg, hogy FEF, FGH és FID rendre az EF, GH, ID szakaszok felezőpontjai.

d)(d) I. mego., d) II. mego., A 9.5.21 e) mego.)

A magasságvonalak a négyzeteket két-két téglalapra osztják. Mutassuk meg, hogy az eredeti háromszög valamely csúcsában találkozó két téglalap területe egyenlő:

t A T B K B I = t A D K C T C , t B T C K C E = t B F K A T A , t C T A K A G = t C H K B T B .

e) Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az A és a B pont valamint az F pont és az I pont merőleges vetülete az AB egyenesen (lásd a 68. ábrát)!

68. ábra

f)(f) I. mego., f) II. mego., f) III. mego., f) IV. mego., g) I. mego., g) II. mego., g) III. mego., h) mego.)

Mutassuk meg, hogy az ACHI, CBFG négyzetek OB, OA középpontjai az AB szakasz FAB felezőpontjával egyenlő szárú derékszögű háromszöget alkotnak!

g) Mutassuk meg, hogy az A, B pontok az IF szakasz J felezőpontjával egyenlő szárú derékszögű háromszöget alkotnak (lásd a 69. ábrát)!

69. ábra

h) Mutassuk meg, hogy az IF szakasz merőleges az FABFGH szakaszra és kétszer olyan hosszú!

ellenőrző kérdések:

i) Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az EF=u, GH=v, ID=w szakaszok hossza!

j) Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott három pont, az oldalakra kifelé rajzolt négyzetek középpontjai.

9.5.1.1 Ajánló

Előző feladatunk alapábrája Euklidesz Elemek[] című könyvének I. 47. Tételéhez kapcsolódik, lásd

http://mek.oszk.hu/00800/00857/html/ikonyv.htm#I_47 .

Vektorok alkalmazása a geometriában:

Pogáts Ferenc Vektorok, koordinátageometria, trigonometria[];

Reiman István Vektorok a geometriában[].

Két kiadvány Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon címmel:

Reiman István könyve[],

Kiss Géza írása a [] kötet 149-165. oldalain.

9.6 Körök, kerületi szögek

9.6.1. Feladat Mutassa meg, hogy a háromszög ugyanazon oldalhoz tartozó szakaszfelező merőlegese és szögfelezője a körülírt körön metszi egymást.

9.6.1 Két metsző kör szelői

9.6.2. Feladat (Két metsző kör szelői)(Segít. a)-hoz, a) mego., b) I. mego., b) II. mego., c) mego., d) I. mego., d) II. mego., e) mego.)

A k, l körök az A, B pontokban metszik egymást. Tekintsük a k körön a K pontot és képezzük a KA, KB egyenesek és az l kör második metszéspontjait, az LA, LB pontokat.

a) Mutassuk meg, hogy a KBLA háromszög hasonlóság erejéig egyértelmű, független a K pont választásától (lásd a 70. ábrát)!

70. ábra

b) Hogyan függ a KBLA szög a k, l körök szögétől? (Két metsző kör szögén a körök bármelyik metszéspontjában a körökhöz húzott érintőegyenesek szögét értjük.)

c) A k kör mely K pontjára lesz az LALB szakasz hossza maximális?

Adott még egy szakasz is. Szerkesztendő a K, L körök A metszéspontján át

d) az előre adott szakasszal egyenlő hosszúságú

e) a lehető leghosszabb

szelő (tehát az egyenes két körrel való második metszéspontjai közti részét vizsgáljuk, ahogy a 71. ábrán is látható).

71. ábra

f) (Ötlet f)-hez , Segít. g)-hez, g) I. mego., g) II. mego., h) mego.)

A két kör A ponton áthaladó a=KALA szelőjén kívül vegyünk fel egy B ponton áthaladó b=KBLB szelőt is (lásd a 72. ábrát). Mutassuk meg, hogy a KAKB, LALB egyenesek párhuzamosak!

72. ábra

g) Határozzuk meg a KLA szakasz F felezőpontjának (lásd a 73. ábrát) mértani helyét, amint K befutja a k kört!

73. ábra

h) Határozzuk meg a KOk, LAOl egyenesek P metszéspontjának mértani helyét, amint K befutja a k kört (Ok a k kör, Ol az l kör középpontja).

i)(i) I. mego., i) II. mego., j) mego., Segít. k)-hoz, k) mego.)

Az OlA egyenes k-t még Ak-ban, az OkA egyenes pedig l-et még Al-ben metszi. Mutassuk meg, hogy (lásd az alábbi ábrát) az Ok, Ol, B pontokon át fektetett h körre illeszkedik Ak és Al is!

j) Igazoljuk, hogy az AB egyenes és a h kör B-től különböző C metszéspontjára CA=CAl=CAk!

k) Mutassuk meg, hogy ha az A-n át AkAl-lel párhuzamosan húzott egyenes a k, l köröket még a Dk, Dl pontokban metszi(lásd a 74. ábrát), akkor DkDl=BAk+BAl!

74. ábra

l)(l) mego., m) mego., n) mego.)

Tekintsük a k kör K-beli és az l kör LA-beli érintőjének Q metszéspontját. Rajzoljuk meg dinamikus geometriai szoftverrel Q mértani helyét, amint K befutja k-t!

m) Igazoljuk, hogy az K, B, LA pontok q körülírt körére illeszkedik a h) feladatrész P pontja valamint az l) feladatrész Q pontja is, és a q kör H középpontja a h kör és a PQ egyenes (P-től különböző) metszéspontja (lásd a 75. ábrát).

75. ábra.

n) Mutassuk meg, hogy a Q pont mértani helye az l) feladatrészben a 9.9.1 Egy szív titkai feladatban vizsgált kardioid. Pl. igazoljuk, hogy Q a B pont tükörképe a h kör H-beli érintőjére.

o) (o) Szeml., o) I. mego., o) II. mego., o) III. mego., o) IV. mego., p) I. mego., p) II. mego.)

A K pont a k körön az L pont az l körön forog egyenletes szögsebességgel úgy, hogy a két kör A közös pontjában találkoznak minden körülfordulás után. Mutassuk meg, hogy van a síkon egy olyan U pont, amelytől a K pont mindig ugyanolyan messze van, mint az L pont! Gondoljunk arra is, hogy a két forgó mozgás lehet azonos illetve ellentétes forgásirányú is!

p) Mutassuk meg, hogy a síkon van egy olyan V pont, amelyre igaz, hogy a V, A pontokon átmenő bármelyik körnek a k, l körökkel vett második (A-tól különböző) Vk, Vl metszéspontjai egyforma messze vannak V-től!

9.6.2 Két kör közös érintői

9.6.3. Feladat (Két kör és közös érintőik)

a)(a) Segít., a) I. mego., a) II. mego., a) III. mego.)

Két R sugarú kör az A pontban érinti egymást. Az egyikre illetve a másikra illeszkedő E, F pontokra EAF=90. Milyen hosszú az EF szakasz (lásd a 76. ábrát)?

76. ábra

b)(b) I. mego., b) II. mego.)

Két kör az A pontban kívülről érinti egymást. Egyik közös külső érintőjük a két kört az E és F pontban érinti. Mekkora az EAF szög?

c) Két kör az A pontban érinti egymást. Egy harmadik kör, k, az E, F pontokban érinti az első két kört. Az AE, AF egyenesek a k kört E-n illetve F-en kívül még A1-ben és A2-ben metszik (lásd a 77. ábrát). Mekkora az A1OA2, ha O a k kör középpontja?

77. ábra

d) (d) mego., e) mego., f) mego., g) I. mego., g) II. mego.)

Két kör kívülről érinti egymást. Az egyik közös külső érintő a két kört E-ben, illetve F-ben érinti. Igazoljuk, hogy az EF mint átmérő fölé rajzolt Thálész-kör érinti a két kör centrálisát!

e) Az O és O közepű körök kívülről érintik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az OO mint átmérő fölé rajzolt Thálész-kör érinti a két közös külső érintőt!

f) Két kör kölcsönösen egymás külsejében helyezkedik el. Mutassuk meg, hogy a közös külső érintőiknek a közös belső érintőikkel való metszéspontjai illeszkednek arra a körre, amelynek átmérője a két kör középpontját összekötő szakasz.

g) A K és az L kör egyik metszéspontja A. A két kör e és f közös érintőin az érintési pontok EK és EL, illetve FK és FL (lásd a 78. ábrát). Bizonyítsuk be, hogy az EKELA és az FKFLA háromszög körülírt köre érinti egymást!

78. ábra

h)(h) I. mego., h) II. mego.)

Igazoljuk, hogy ha két kör kölcsönösen egymás külsejében helyezkedik el, akkor közös külső és belső érintőszakaszaik Thalesz körei két közös ponton mennek át (lásd a 79. ábrát).

79. ábra

9.6.2.1 Ajánló

Dobos Sándor és Hraskó András Inverzió" a Matkönyvben[],

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_g_iii.pdf

9.7 Hasonlóságok és affinitások

9.7.1. Feladat(I. mego., II. mego.)

Adott egy körcikk. Szerkesszünk bele kört, amely mind a két szárat és a körívet is érinti.

9.7.2. Feladat Adott egy szögtartomány és a belsejében egy pont. Szerkesztendő kör, amely átmegy az adott ponton és érinti a szögszárakat.

9.7.3. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego.)

Legyen az ABC háromszög AC oldalának felezőpontja D, továbbá messe a C-n és BD szakasz F felezőpontján átmenő egyenes az AB oldalt az E pontban (lásd a 80. ábrát)! Milyen arányban osztja ketté E az AB oldalt?

80. ábra

9.7.4. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego., V. mego.)

Jelölje az ABC háromszög AB oldalának A felőli harmadolópontját C1, a BC oldal B felőli harmadolópontját A1, az AA1, CC1 szakaszok metszéspontját P, a BP egyenes és az AC oldal metszéspontját B1. Határozzuk meg a CB1/B1A arány értékét.

9.7.5. Feladat(Eredm., I. mego., II. mego.)

Az ABC háromszögben A1 és B1 a BC illetve AC oldalak belső pontjai. AA1 és BB1 metszéspontja M. Az AMB1, AMB és BMA1 háromszögek területe rendre 3, 7 és 7 egység. Mennyi a CB1MA1 négyszög területe?

9.7.6. Feladat(Eredm., I. mego., II. mego., III. mego.)

Az egységoldalú szabályos hatszögben M és N oldalfelezőpontok (lásd a 81. ábrát). Határozzuk meg az ST szakasz hosszát!

81. ábra

9.7.7. Feladat(Eredm.)

Az ABCD trapéz AC, BD átlóinak metszéspontja E. Az AB alapon fekvő ABE háromszög területe 9 cm2, míg a BC szár melletti BCE háromszög területe 6 cm2. Határozzuk meg az CDE, DAE háromszögek területét!

9.7.8. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

A Nagy Szerkesztő feljegyzései között találtam a következőt:

Ügyes módszert találtam ki, hogyan lehet megszerkeszteni egy tetszőleges háromszög kerületének bármely pontján át a háromszög területét felező egyenest. A szerkesztés menete a következő:

Sajnos a következő oldalra ráborult a tintásüveg, így olvashatatlanná vált. Találjuk ki mi lehetett a módszer!

9.7.9. Feladat(Segít.)

Adott az AB szakasz és a vele párhuzamos e egyenes. Szerkesszük meg az AB szakasz felezőpontját körző használata nélkül, egyetlen (végtelen) egyélű vonalzó használatával!

9.7.10. Feladat Adott az AB szakasz az FAB felezőpontjával és adott még egy C pont is, amely nem illeszkedik az AB egyenesre. Szerkesszünk a C ponton át AB-vel párhuzamos egyenes körző használata nélkül, egyetlen (végtelen) egyélű vonalzó használatával!

9.7.11. Feladat(Mego.)

Adott az AB szakasz. Mutassuk meg, hogy kizárólag egyélű vonalzó használatával az AB szakasz felezőpontja nem szerkeszthető meg.

9.7.12. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego.)

A k kör érinti az egymással párhuzamos l1, l2 egyeneseket. A k1 és a k2 kör is az l1 és l2 közti sávszerű tartományba helyezkedik el, ahol k1 az A pontban érinti l1-et és a C pontban kívülről érinti k-t, míg k2 a B pontban érinti l2-t és E-ben kívülről érinti k1-et és D-ben kívülről érinti k-t. Az AD, BC egyenesek metszéspontja Q. Bizonyítsuk be, hogy Q a CDE háromszög köré írt körének középpontja.

82. ábra

9.7.13. Feladat Pont körre vonatkozó hatványa(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego., e) mego.)

a) Szelőtétel

Adott a P pont és a k kör. Messe a P ponton áthaladó p egyenes a k kört az A, B pontokban. Mutassuk meg, hogy a PAPB szorzat értéke független a szelő választásától.

b) Mutassuk meg, hogy ha a fenti szituációban P a k kör külső pontja, akkor PAPB=PT2, ahol T a P-ből a k-hoz húzott egyik érintő érintési pontja.

c) Fejezzük ki a fenti PAPB mennyiséget a PO, r mennyiségekkel, ahol O a k kör középpontja, r pedig a sugara.

d) Két kör Steiner hatványa

Adottak a k, l körök és kiválasztjuk azok egyik hasonlósági pontját, H-t. Legyen h a H ponton átmenő a k, l köröket az Ak, Bk, Al, Bl pontokban metsző egyenes, ahol a k-t l-re képező H centrumú nagyításnál Ak képe Al és Bk képe Bl (lásd a 83. ábrát). Mutassuk meg, hogy az AkAlBkBl mennyiség független a h szelő választásától.

83. ábra

e) Határozzuk meg a pont körre vonatkozó hatványával kapcsolatos b), c) feladatokban leírt képletek Steiner hatványra vonatkozó analogonjait!

9.7.14. Feladat (Hasonlósági pontok kollinearitása)(I. mego., II. mego.)

Adott a síkon három kör, k1, k2 és k3.

a) Mutassuk meg, hogy páronkénti külső hasonlósági pontjaik egy egyenesen vannak (lásd a 84. ábrát).

84. ábra

b) Ha a három kör közül két körpárnál a közös belső hasonlósági pontot vesszük, egynél pedig a külsőt, akkor is egy egyenesre illeszkedik a három hasonlósági pont?

9.7.15. Feladat(Mego.)

A síkon adott négy egyenes, melyek páronkénti metszéspontjai mind léteznek és egymástól különbözőek. Mindegyik egyenes egyenletes sebességgel mozog egy-egy pont. Mutassuk meg, hogy ha a hat metszéspont közül ötben a két egyenesen mozgó pont találkozik, akkor a hatodik metszéspontban is találkoznak.

9.7.16. Feladat(Mego.)

Az ABC háromszög körülírt köre ω. Tekintsük azt cA kört, amely az ω kör belsejében helyezkedik el és érinti azt és még az ABC háromszög AB, AC oldalait is érinti. Jelölje a cA, ω körök érintési pontját UA. Hasonlóan értelmezzük a cB, cC köröket és azoknak a ω körrel vett UB, UC érintési pontjait. Mutassuk meg, hogy az AUA, BUB, CUC egyenesek egy ponton mennek át!

9.7.17. Feladat(Mego.)

Adottak a k1, k2 körök a síkon. Tekintsük az összes olyan m kört, amely k1-et és k2-t is érinti.

a) Határozzuk meg az ilyen m körök középpontjának mértani helyét!

b) Kössük össze egyenessel k1 és m érintési pontját k2 és m érintési pontjával! Mutassuk meg, hogy van két pont a síkon, hogy az így adódó egyenesek mindegyike legalább az egyiken átmegy.

9.7.18. Feladat(Segít., I. mego., II. mego., III. mego.)

Adott a k kör és annak e átmérő egyenese. Képzeljük el mindazokat a köröket, amelyek érintik e-t és k-t is és az általuk meghatározott egyik félkörlemezen helyezkednek el.

a) Mi a mértani helye ezen körök középpontjainak?

b) Mutassuk meg, hogy a síkon van egy olyan pont, amely illeszkedik bármelyik ilyen körnek az e-vel és k-val való érintési pontját egymással összekötő egyenesre!

c) Ezen körök közül ketten egymást is érinthetik. Hol lehet az érintési pontjuk?

85. ábra

9.7.19. Feladat OKTV 1995/96., II. kat., III. ford., 1. fel.(Mego.)

Egy konvex ötszög valamennyi átlója párhuzamos az ötszög egy-egy oldalával.

a) Bizonyítsuk be, hogy bármelyik átló és a vele párhuzamos oldal hosszának az aránya ugyanaz, és határozzuk is meg ennek az aránynak a számértékét.

b) Mutassuk meg, hogy ha a síkon adottak a nem egy egyenesre eső A,B,C pontok, akkor létezik olyan ABCDE ötszög, amely a fenti tulajdonságú.

9.7.0.1 Ajánló

Ábrahám Gábor A háromszög és a terület"[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Abraham_Gabor/harter/ .

Hraskó András Tömegközéppont és nyomatékok a geometriában

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/termtud2011/tomeg/tomegkp.pdf .

Reiman István A geometria és határterületei[];

Harold Scott MacDonald Coxeter A geometriák alapjai[], 13. fejezet;

9.8 A projektív geometria elemei

9.8.1. Feladat(Mego.)

A 86. ábrán egy focipálya fényképe látható. Szerkesszük meg a

a) pálya középvonalát;

b) az alapvonalakkal párhuzamos, azok távolságát harmadoló egyeneseket!

86. ábra

9.8.2. Feladat (Ábramagyarázat Leon Battista Alberti (14041472) De pictura című könyvéhez)(Mego.)

A festő a terem padlóját jeleníti meg vásznán. A padló negyzetrácsos elrendezésű parketta (pavimenti). A vászon a padlóig ér, alja, az ábrán az AB szakasz , épp egybeesik az egyik parkettasor kezdetével, a parkettalapok szélei tehát AB-vel párhuzamosak illetve merőlegesek rá. A festő a terem szimmetriatengelyében áll, egyben egy parkettalap két párhuzamos oldalára merőleges szimmetriasíkjában. A festőhöz legközelebbi parketta (a festő egyik szeméből vetített) képe a vásznon az UVWZ szimmetrikus trapéz, melynek alapjai UV=c>a=ZW, magassága pedig m. A trapéz szárainak meghosszabbításai az O pontban metszik egymást.

Fejezzük ki a, c és m segítségével a

a) festő szemmagasságát;

b) festő és a vászon távolságát!

A 87. ábrán megrajzoltuk a parkettalapok egymással párhuzamos átlóinak képét is. Ezek egy P pontban metszik egymást.

c) Mutassuk meg, hogy OP és AB párhuzamosak.

d) Bizonyítsuk be, hogy az OP távolság megegyezik a festő és a vászon távolságával.

87. ábra

9.8.3. Feladat Adott egy konvex négyszög, egy négyzetalakú parkettákból álló padló egyetlen négyzetének képe egy festményen vagy fényképen (lásd pl Vermeer Koncert című festményének 88. ábrán látható részletét). Szerkesszük tovább a képet, rajzoljuk meg a szomszédos parkettalapokat!

88. ábra

9.8.4. Feladat(Mego.)

Az ABC nem egyenlő szárú háromszög körülírt köre legyen k. Az ABC háromszög C-nél lévő belső szögfelezője messe a k kör B-beli érintőjét K-ban, míg a C-nél lévő külső szögfelező C-től különböző metszéspontja k-val L. Legyen az AC és LB egyenesek metszéspontja M.

Mutassuk meg, hogy az MK egyenes átmegy az AB oldal felezőpontján!

9.8.0.1 Ajánló

Könyvek a projektív geometriáról:

Hajós György Bevezetés a geometriába[];

Horvay Katalin, Reiman István Projektív geometria"[];

Csikós Balázs, Kiss György Projektív geometria[];

Harold Scott MacDonald Coxeter Projektív geometria[];

Papp Ildikó Projektív geometria példatár[],

http://www.inf.unideb.hu/oktatas/mobidiak/Papp_Ildiko/Projektiv_geometria_peldatar/Peldatar_vegleges.pdf ;

A Matkönyv[] 11-12-es Geometria példatára:

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_g_iii.pdf ;

9.9 Speciális görbék

9.9.1. Feladat (Egy szív titkai)(Mego.)

Ebben a feladatban első menetben ne bizonyításokon töprengjünk, hanem dinamikus geometriai szoftverrel rajzoljuk ki a mértani helyet. Utána gondolkodjunk el az összefüggéseken, fogalmazzunk meg sejtéseket, próbáljunk bizonyítani.

a) Adott egy kör (e) és rajta egy pont (A). Tükrözzük az adott (A) pontot a kör (e) minden érintőjére.

b) Adott egy kör (e) és rajta egy pont (A). Rajzoljuk meg az összes olyan kört, amelynek középpontja az adott körön (e-n) van és átmegy az adott ponton (A-n).

c) Rajzoljuk meg adott kör (f) adott pontjából (B) induló fénysugarak útját a körvonalon való első visszaverődés után. Mi fénylik fel a sugarak révén?

d) Egy kör (k) alakú kerék csúszás nélkül gördül egy ugyanakkora sugarú rögzített kör (e) körül. Rajzoljuk meg a mozgó kör kerülete valamely pontjának pályáját!

e) r sugarú félkör alakú gödörben lecsúszik egy 2r hosszúságú pálca (a pálca alsó végpontja a körön fut, közben nekitámaszkodik a félkör A végpontjának). Hol mozog a pálca felső végpontja?

f) Rajzoljuk meg a komplex egységkör képét a z2z-z2 transzformációnál!

9.9.0.1 Ajánló

Hraskó András Egy szív titkai[]

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid/ .

Árki Tamás és Hraskó András Kísérletező geometria[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Arki_Tamas/kisgeo/

Pelikán József Klasszikus algebrai görbék az Új matematikai mozaikban[],

http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tkt/uj-matematikai-mozaik-uj/ar15.html.

Xah Lee síkgörbe lexikona[],

http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html

National curve bank"[]

http://curvebank.calstatela.edu/home/home.htm .