Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

8 Gondolkodási módszerek

8 Gondolkodási módszerek

8.0.0.1 Ajánló

Pólya György alapművei:

  • A gondolkodás iskolája[];

  • Indukció és analógia[];

  • A plauzibilis következtetés[];

  • A problémamegoldás iskolája I-II.[];

  • Matematikai módszerek a természettudományban[].

8.1 Józan ész

8.1.1. Feladat[](Mego.)

Egy gazda házinyulakat meg tyúkokat tartott. Ezeknek az állatoknak volt összesen 50 feje és 140 lába. Hány tyúkja és hány nyula volt a gazdának?

8.1.2. Feladat(Mego.)

Egy 8 és egy 5 literes edényünk van, amivel vizet merhetünk egy közeli forrásból.

a) El tudjuk-e érni, hogy a nagyobbik edényben pontosan 7 liter víz legyen?

b) El tudjuk-e érni, hogy pontosan 1 l, 2 l, 3 l, 4 l, illetve 6 l legyen valamelyik edényben?

8.1.3. Feladat(Mego.)

Az asztalon áll két egyforma pohár. Az egyikben (2 dl) tiszta víz, a másikban pontosan ugyanolyan mennyiségű bor van. Egy kiskanál (2 cl) bort átteszünk a másikba, jól összekeverjük, majd ugyanazzal a kiskanállal egy kiskanálnyi keveréket visszateszünk a borospohárba.

Az a kérdés, hogy a vizespohárban lesz több bor, vagy a borospohárban lesz több víz?

8.1.4. Feladat(Mego.)

Egy vegyes erdőnek 99%-a fenyőfa. A tulajdonos ki akarja vágatni a fenyőfák egy bizonyos hányadát. A környezetvédők tiltakozó akcióba kezdnek, de a tulajdonos megnyugtatja a nagyközönséget, hogy az állományban a fenyőfák aránya még mindig 98% lesz a tervezett kivágások után.

A teljes erdőállománynak hány százalékát fogja kivágatni a tulajdonos?

8.1.5. Feladat(Mego.)

Három dobozunk van, melyek mindegyikében két golyó van: az egyikben két arany, a másikban két ezüst, a harmadikban egy arany és egy ezüst golyó. A dobozokon ennek megfelelően a következő feliratok vannak: AA (arany-arany), EE (ezüst-ezüst) AE (arany-ezüst). A probléma csak az, hogy egyik doboz tartalma sem felel meg a doboz feliratának.

Ki szeretnénk találni, hogy melyik doboz mit tartalmaz, de mindössze egyetlen dobozból egyetlen golyót szabad kivennünk.

Melyik dobozból válasszunk golyót, hogy ez sikerüljön?

8.1.6. Feladat

Lásd az 3 Algebra fejezet 2.4.7 feladatát!

8.1.7. Feladat

Lásd az 3 Algebra fejezet 2.4.9 feladatát!

8.2 Logikai fejtörők

8.2.1. Feladat(Mego.)

Négy kártya van az asztalra téve, mindegyik kártya egyik oldalán egy szám, a másik oldalán egy betű van, ahogy az a 52 ábrán látható.

52. ábra

Valaki ezt állítja: Minden magánhangzó túloldalán 2010 egy osztója van. Mely kártyákat kell megfordítani ahhoz, hogy ellenőrizzük az állítás helyességét?

8.2.2. Feladat(Mego.)

Egy papírlapon a következő állítássorozatot találjuk:

2 × 2 = 4 .

Ezen a lapon legfeljebb 1 igaz állítás van.

Ezen a lapon legfeljebb 2 igaz állítás van.

Ezen a lapon legfeljebb 10 igaz állítás van.

Hány igaz állítás van a lapon?

8.2.3. Feladat(Mego.)

Egy utazó egy olyan szigetre látogatott el, ahol csupán lovagok és lókötők élnek. Tudta már, hogy a lovagok itt mindig igazat mondanak, a lókötők pedig mindig hazudnak. A szigetre érkezve utazónk három szigetlakóval találkozott, és ahhoz hogy megbízható információhoz jusson, tudnia kellett legalább az egyikükről, hogy miféle. Ezért megkérdezte a három közül az egyiket: Lovag vagy, vagy lókötő? A választ azonban nem értette meg, ezért megkérdezte a mellette állót is: Mit mondott a barátod? A második szigetlakó így felelt: Azt mondta, hogy ő lovag. Ekkor azonban megszólalt a harmadik szigetlakó is: Ne higgy neki, hazudik.

Lehet-e tudni, hogy melyikük lovag, és melyikük lókötő?

8.2.4. Feladat[](a) mego., b) mego., c) mego.)

A következő feladatoknak két szereplője van, A és B, mindkettőjük vagy lovag, vagy lókötő (a lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők mindig hazudnak). Meg tudjuk-e állapítani, hogy miféle A és miféle B, ha A a következők valamelyikét mondja nekünk:

a) Legfeljebb az egyikünk lovag.

b) Én lovag vagyok, vagy B lókötő.

c) Ha én lókötő vagyok, akkor megeszem a kalapom. Meg kell-e A-nak ennie a kalapját?

8.2.5. Feladat[](Mego.)

Alice a felejtés erdejében elfelejtette, hogy a hétnek melyik napja van éppen, és nagyon szerette volna tudni. Találkozott az Oroszlánnal és az Egyszarvúval. Arra szerencsére emlékezett, hogy ezeknek a lényeknek milyen szokásai vannak: az Oroszlán mindig hazudik Hétfőn, Kedden és Szerdán, de a hét többi napjain biztosan igazat mond. Az Egyszarvú mindig hazudik Csütörtökön, Pénteken és Szombaton, a többi napokon pedig igazat mond.

Egy napon Alice találkozott az Oroszlánnal és az Egyszarvúval, akik egy fa alatt pihentek. Alice kérdésére a következőket mondták:

Oroszlán: Tegnap hazudós napom volt.

Egyszarvú: Tegnap nekem is hazudós napom volt.

Ezekből a válaszokból Alice (aki egy nagyon okos kislány), ki tudta találni, hogy milyen nap volt.

8.2.0.1 Ajánló

Előzmény a feladatgyűjteményben a Logika a Bevezető fejezetben.

További olvasnivalók:

Raymond Smullyan könyvei ([], [], [], []) már az általános iskolásoknak is szórakoztatóak és elvezetnek egészen Gödel nemteljességi tételéig. Varga Tamás kétkötetes tankönyvében([], []) a következtetések magyar nyelvi kifejezésétől a formális logika következtetéseiig jutunk el. Urbán János tankönyve[] egyszerre példatár is.

Egy esszé megírásához is szükség van logikára[].

8.3 A szimmetria felismerése

8.3.1. Feladat(Mego.)

Egy asztalra kilenc tízforintost tettünk egymás mellé fej oldalukkal felfelé.

Ketten játszanak, felváltva lépnek. Egy játékos egy lépésben kiválaszt egy vagy két olyan szomszédos érmét, amelynek fej oldala van felül, és azt illetve azokat írás oldalukra fordítja. Az nyer, aki lépésével eléri, hogy minden érmén írás legyen felül.

Kezdeni érdemes, vagy inkább másodikként játszani? Van-e nyerő stratégiája bármelyik játékosnak?

8.3.2. Feladat(Mego.)

Ketten játszanak. Egy téglalap alakú asztalra felváltva raknak le tízforintosokat, minden lépésben egyet-egyet. Az érméknek egyik oldaluk teljes felületével az asztalon kell feküdniük, és nem fedhetik át egymást. Aki már nem tud lerakni érmét mert nincs hely az vesztett.

Kezdeni érdemes, vagy inkább másodikként játszani? Van-e nyerő stratégiája bármelyik játékosnak? (Feltételezzük, hogy a két játékosnak van elegendő tízforintosa.)

8.3.3. Feladat(a) mego., b) mego.)

Ketten játszanak. Felváltva írnak be egy-egy (+ vagy -) előjelet minden szám elé (az 1-es elé is tehetnek) az alábbi sorban:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) Kezdő azt szeretné, hogy a legvégül kapott előjeles összeg osztható legyen hárommal, míg Másodikazt szeretné, hogy ne legyen osztható vele. Hogyan érdemes játszani?

Kinek kedvező a játék?

b) Mi a helyzet akkor, ha megfordítjuk a szerepeket, vagyis ha második célja az összeg hárommal való oszthatósága.

8.4 Gondolkodjunk visszafelé!

8.4.1. Feladat(Mego.)

Három vándor az ítéletidő elől betért egy fogadóba. Hogy elüssék a várakozás idejét, kártyázni kezdtek. Megegyeztek abban, hogy a vesztes minden körben megduplázza a másik két játékos pénzét. Az első körben A, a másodikban B, a harmadikban C veszített. Ezután mindhármuknak 8 aranya volt. Hány aranya volt kezdetben az egyes játékosoknak?

8.4.2. Feladat (Számlétra)(a) mego., b) mego., c) mego.)

Egy kupacban 20 szál gyufa van. Ketten felváltva vesznek el gyufákat a kupacból, egyszerre 1-et, 2-t vagy 3-at saját döntésük szerint. Az nyer, aki az utolsónak maradt gyufát vagy gyufákat veszi el.

a) Kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek, vagy ellenfelének? Hogyan kell játszania, hogy nyerjen?

b) Hogyan módosul a válasz 20 helyett más gyufaszám esetén?

c) Elemezzük a játékot az általános esetben is, tehát, amikor n számú gyufával játszanak és 1-től m-ig tetszőleges számú gyufaszálat vehetnek el!

8.4.3. Feladat(Segít., Mego.)

Ketten a következő játékot játsszák. Két kupacabn gyufaszálak vannak, az egyikben 5, a másikban 7 szál. A két játékos felváltva vesz el gyufát. Egy lépésben akárhány de legalább egy gyufaszál elvehető, de egyszerre csak az egyik kupacból lehet elvenni. Az nyer, aki utolára vesz el gyufát, lépése után már egyik kupacban sem marad szál. Tud-e valamelyikük úgy játszani, hogy mindenképpen nyerjen? Hogyan játsszon?

8.4.4. Feladat(a) mego., b) mego.)

Ketten a következő játékot játsszák. Egy 6×8-as tábla jobb felső sarkába helyeznek egy bástyát. A két játékos felváltva lép a bástyával, mindig lefelé (akárhány mezőt), vagy balra (tetszőleges számú mezőt). Passzolni nem lehet. Az

a) nyer; b) veszít,

aki a bal alsó sarokba lép a bástyával. Tud-e valamelyikük úgy játszani, hogy mindenképpen nyerjen? Hogyan játsszon?

8.4.5. Feladat(Mego.)

Egy 6×8-as tábla jobb felső sarkában áll a királynő. Ketten a következő játékot játsszák. A két játékos felváltva lép a királynővel, mindig lefelé (akárhány mezőt), vagy balra (tetszőleges számú mezőt), vagy átlósan balra lefelé akármennyit. Az nyer, aki a bal alsó sarokba helyezi a királynőt. Döntsük el, hogy kinek van nyerő stratégiája, Kezdőnek vagy Másodiknak?

8.4.6. Feladat(Mego.)

Módosítsunk a 8.4.4 játék a) pontján, legyen lehetősége a két játékosnak összesen egyszer passzolni, tehát nem lépni semmit! Ha az egyik játékos passzolt, akkor már a másik nem passzolhat.

8.4.7. Feladat(a) mego., b) mego.)

Két kupac kavicsunk van, az egyikben 8, a másikban 10. Két játékos felváltva vesz el vagy mindkét kupacból egyet-egyet, vagy az egyik bármelyik kupacból egy kavicsot. Mi a nyerő stratégia, ki nyer, az Első vagy a Második, ha

a) az nyer, aki az utolsó(ka)t húzza?

b) az veszít, aki az utolsó(ka)t húzza?

8.4.8. Feladat(Mego.)

Bálint és Piroska egy hosszú táblán játszik, melynek mezői 0-tól 100-ig vannak számozva.

Kezdetben Bálint bábúja a 0-n, Piroskáé a 100-on áll. A két játékos felváltva lép, Bálint mindig a nagyobb sorszámú mezők irányában 1-gyel, 2-vel vagy 3-mal teszi arrébb bábuját, míg Piroska az ellenkező irányba lép szintén 1-et, 2-t vagy 3-at. Az nyer, aki kiüti a másik figuráját, azaz lépésével épp oda jut, ahol a másik áll. Kinek kedvező a játék, annak, aki elsőnek lép, vagy annak, aki másodiknak?

8.4.9. Feladat(Segít.)

Ketten a következő játékot játsszák. Egy kupacból, melyben kezdetben 25 szál gyufa van felváltva vesznek el gyufát, minden lépésben egy, két vagy három szálat. Az nyer, akinél a játék végén tehát, amikor minden gyufa elfogyott a kupacból páros számú gyufa van.

a) Kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek, vagy ellenfelének? Hogyan kell játszania, hogy nyerjen?

b) Hogyan módosul a válasz, 25 helyett más páratlan számú gyufa esetén?

c) Elemezzük a játékot az általános esetben is, tehát, amikor 2n+1 számú gyufával játszanak és 1-től m-ig tetszőleges számú gyufaszálat vehetnek el!

8.4.0.1 Ajánló

Orosz Gyula Algoritmusok[];

Jakab Tamás Nim and Co.[];

Matematikai Problémakalauz I.[] (1. fejezet: Játékelmélet);

Varga Tamás Osztójáték[], a cikk egy része a neten:

http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=198801 .

Csirmaz László Játékok és Grundy számaik[],

http://www.komal.hu/cikkek/csirmaz/grundy/grundy.h.shtml

8.5 Skatulyaelv

8.5.1. Feladat Legalább hány totószelvény kitöltésével biztosítható, hogy legyen legalább 5-ös találatunk? (Úgy tekintjük, hogy a TOTO-n 13 mérkőzésre lehet tippelni., A 8.5.1 Mego.)

8.5.2. Feladat(Mego.)

Mutassuk meg, hogy 3 (nem feltétlenül különböző) egész szám közül mindig ki lehet választani valahányat úgy, hogy az összeg osztható legyen 3-mal! (Az egytagú összeget is összegnek tekintjük.)

Igaz-e minden k pozitív egészre, hogy k darab szám közül mindig kiválasztható néhány, melyek összege osztható k-val?

8.5.3. Feladat(Mego.)

Van 80 golyónk, közülük 35 piros, 25 zöld, 15 sárga, 5 fekete. Legkevesebb hány darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen köztük

a) piros;

b) piros vagy fekete;

c) piros és fekete;

d) két különböző színű;

e) valamelyik színből legalább három?

8.5.4. Feladat(Mego.)

Van G darab golyónk, közülük P piros, Z zöld, S sárga és F fekete.

a) Tudjuk, hogy legkevesebb 5 darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen köztük piros. Határozzuk meg F és G értékét, ha ismert, hogy Z=1, S=2, P=3.

b) Tudjuk, hogy legkevesebb 10 darabot kell kivenni, hogy biztosan legyen közük piros és fekete. Határozzuk meg S és G értékét, ha ismert, hogy P=2, F=3, Z=4!

8.5.5. Feladat(Mego.)

El lehet-e szállítani 7 kéttonnás teherautóval 50 kőtömböt, melyek súlya 250, 251, 252, , 299 kg? (A kövek nem darabolhatók, a teherautók csak egyszer vehetők igénybe, és mindegyikre legfeljebb 2 tonna teher rakható.)

8.5.6. Feladat(Mego.)

Valaki (legalább kétjegyű) pozitív egész számokat ír fel egy papírlapra. Hány felírt szám esetén lehetünk biztosak abban, hogy kiválasztható közülük három, amelyek mind azonos számjeggyel kezdődnek, továbbá az is igaz, hogy utolsó számjegyeik is azonosak? (mint például 3518, 328 és a 38.)

8.5.7. Feladat(Mego.)

Van-e a π tizedes jegyei között három olyan egymást követő számjegy, melyek így együtt végtelen sokszor előfordulnak?

8.5.8. Feladat(Mego.)

Feladat 2010 papírlapra ráírtunk egy-egy számot. Mutassuk meg, hogy kiválasztható 45 lap úgy, hogy vagy mindegyikre azonos, vagy mindegyikre különböző szám van írva!

8.5.9. Feladat(I. mego., II. mego.)

Pistikének 100 korongja volt, rajtuk a számok 1-100-ig, mindegyiken 1-1. Ki szeretne tenni 4-et úgy, hogy az első kettő összege megegyezzen a másik kettőével. Például így:

( 1 ) + ( 5 ) = ( 4 ) + ( 2 ) .

Sajnos 75 korongot elvesztett. Megoldható-e a feladat a maradék 25 koronggal?

8.5.10. Feladat(Arany Dániel-verseny, 1984, Haladók)(Mego.)

Adott 21 különböző pozitív egész szám, mindegyik kisebb 70-nél. Mutassuk meg, hogy páronkénti különbségeik közt van négy egyenlő!

8.5.0.1 Ajánló

Róka Sándor 2000 feladat az elemi matematika köréből[].

Külföldi középiskolai matematikai versenyek,

http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/KF3.htm ;

http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/KF4.htm ;

http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/KF5.htm .

Schultz János A skatulya-elv alkalmazásai[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Schultz_Janos/50skatulya/ .

A Matkönyv[] megfelelő fejezetei: Dobos Sándor 7-8-os Kombinatorika anyagában:

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_k_i.pdf ,

és Surányi László 9-10-es Kombinatorikájában (16-17-18. fejezetek):

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_k_ii.pdf .

A Cut the knot portál[] feladatai:

http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/pigeon.shtml .

8.6 Invariancia-elv

8.6.1. Feladat(Mego.)

10 db számkártyára felírtunk egyet egyet a 0, 1, 2, 3, 9 számjegyek közül. Minden számkártyát pontosan egyszer felhasználva, egymás mellé rakva valahány számkártyát, számokat készítünk, minden kártyát pontosan egyszer felhasználva. Lehet-e az így elkészített számok összege 100?

8.6.2. Feladat(Mego.)

Egy négyzet csúcsaiba számokat írtunk. Egy-egy alkalommal két szomszédos csúcs mindegyikében 1-gyel növeljük az ott levő számokat. Elérhető-e hogy mindegyik csúcsban ugyanaz a szám álljon, ha kezdetben

a) az egyik csúcsban 1, a többiben 0 van?

b) két szemközti csúcsban 1, a többiben 0 van?

8.6.3. Feladat(Mego.)

Egy háromszög csúcsaihoz gyufákat helyeztünk. Egy lépésben bármelyik csúcstól elvhetünk néhány gyufaszálat, de ekkor a másik két csúcs mindegyikéhez kétszer annyi gyufát kell helyeznünk. Elérhető-e, hogy a három csúcsnál egyenlő számú gyufa legyen, ha kezdetben az egyes csúcsoknál

a) 5, 11, 14

b) 5, 9, 11

szál gyufa volt?

8.6.4. Feladat(Mego.)

A táblára valaki felírta az 1, 2, 3, , 20 számokat. Egy lépésben le lehet törölni két számot, ha ugyanakkor felírjuk a két letörölt szám összegének és szorzatának összegét. Így 19 lépés után már csak egy szám lesz a táblán. Melyik?

8.6.5. Feladat(Mego.)

Egy szigeten 13 szürke, 15 barna, 17 zöld kaméleon él. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor annyira megijednek egymástól, hogy mindketten a harmadik színre változtatják bőrüket. Két azonos színű kaméleon nem ijed meg egymástól, így találkozáskor nem változtatják meg színüket. Lehetséges-e, hogy egy idő múlva minden kaméleon ugyanolyan színű legyen?

8.6.6. FeladatZrínyi verseny(Mego.)

Egy kör alakú, nyolc részre osztott tábla hét részében kezdetben 10 kavics van (lásd a 53 ábrát). A tábla melletti halomból ráteszünk egyszerre egy-egy kavicsot két egymás melletti részre, majd ezt többször megismételjük azért, hogy mind a nyolc részben ugyanannyi kavics legyen. Hány kavics lesz akkor a táblán, amikor mind a nyolc részben ugyanannyi lesz, és a táblán lévő kavicsok száma a lehető legkevesebb?

53. ábra

8.6.0.1 Ajánló

Róka Sándor 2000 feladat az elemi matematika köréből[].

B. V. Rajarama Bhat Invariants[]

http://www.ias.ac.in/resonance/July2010/p595-603.pdf .

Alexander Bogomolny Tribute to Invariance (Cut the Knot)[],

http://www.cut-the-knot.org/ctk/invariant.shtml .

8.7 Indirekten

8.7.1. Feladat(Mego.)

Racionális, vagy irracionális tg1?

8.8 Újra és újra

8.8.1. Feladat(Mego.)

Rögzíteni szeretnénk a függönyt a karnisra. Az egyenlő távolságokat úgy biztosítjuk, hogy két felcsíptetett csipesz közé a maradék részben pontosan középre is beteszünk egyet. (A felrakást a függöny két szélén kezdjük.) Hány csipeszre lehet szükségünk?

8.8.2. Feladat(Mego.)

Fölírtuk sorban a táblára a természetes számokat 1-től 2010-ig. Először letöröljük a páratlan számokat. Ezután a megmaradtak közül letöröljük a páros helyen álló számokat, majd a megmaradtak közül újból a páratlan helyeken állókat töröljük le. Így haladunk tovább, amíg csak egyetlen szám nem marad. Melyik lesz ez a szám?

8.8.3. Feladat(Mego.)

Felosztható-e 2010 darab (n darab)

a) négyzetre egy négyzet?

b) derékszögű háromszögre egy tetszőleges háromszög?

c) szabályos háromszögre egy szabályos háromszög?

d) tetszőleges háromszög hozzá hasonló háromszögekre?

e) egyenlő szárú háromszögre egy tetszőleges háromszög?

8.9 Az információ mennyisége

8.9.1. Feladat[](Mego.)

Valaki 5 órán keresztül gyalogolt. Először sík úton, majd hegynek fel, aztán megfordult és ugyanazon az úton tért vissza kiindulási pontjához. Sík talajon 4, hegynek fel 3, völgynek le 6 km-t tett meg óránként. Mekkora utat járt be? Elegendők az adatok a megoldáshoz? Miért? Elemezd a kérdést.

8.9.2. Feladat(Mego.)

a) Egy vándor betér egy fogadóba. Nincs nála pénz, csak egy 7 cm hosszú aranyrúd. A fogadós elfogadja, hogy a vándor egy éjszakára egy darab 1 cm hosszú aranyrúddal fizet. A vándor azonban nem tudja, meddig szándékozik maradni (nyilván legfeljebb 7 napot), ezért a fogadós kiköti, hogy naponta fizessen az éjszakákért. A fogadós az addig megkapott darabokkal visszaadni is tud.

Legkevesebb hány vágással oldhatják meg ezt?

b) Variáljuk, folytassuk a fenti alapfeladatot!

8.9.3. Feladat(A 8.9.2 feladat variációja)(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego.)

a) Egy másik vándor betér ugyanebbe a fogadóba, nála csak egy 7 láncszemből álló aranylánc van (a lánc nyitott, nem záródik körbe). A fogadós vele is megköti az üzletet: mindennap, amit ott tölt egy láncszembe fog kerülni neki. (Attól, hogy egy láncszemet kettévág a vándor, az nem veszít az értékéből.) Azonban ez a vándor sem tudja, meddig szándékozik maradni (nyilván ő is legfeljebb 7 napot.) A fogadós az addig megkapott darabokkal ezúttal is visszaad.

Legkevesebb hány láncszemet kell kettévágni ahhoz, hogy a vándor mindennap ki tudja fizetni a szállását, de a lehető legkevesebb láncszemet vágják ketté?

b) Ha 20 napig akar a vándor maradni és 20 szemből álló nyitott lánca van, akkor hányat kell vágnia?

c) Hány napig maradhat, ha csak kettő szemet vághat el? (Mely n-re maradhat n hosszú lánccal 1-től n napig bárhány napra, ha maximum két szemet vághat ketté?)

d) Mely n-re maradhat n hosszú lánccal 1-től n napig bárhány napra, ha maximum k szemet vághat ketté?

8.9.4. Feladat(Mego.)

10 szemre egyforma láda mindegyikében 100 darab egyforma, 100 gramm súlyú érme van. Azonban sajnos az egyik ládába csupa hibás érmék kerültek, melyek mindegyike 1 grammal nehezebb a normális érméknél. Ha van egy egykarú mérlegünk amivel bárminek gramm pontossággal meg tudjuk mérni a súlyát, akkor legkevesebb hány mérésre van szükség a hibás ládák kiválasztásához?

8.9.5. Feladat(Mego.)

10 súly közül az egyik kicsit nehezebb, mint a többi.

Legkevesebb hány mérésre van szükség ahhoz, hogy egy kétkarú mérleg segítségével kiválasszuk a hibás súlyt?

8.9.0.1 Ajánló

Rényi Alfréd A barkohba játék és az információelmélet[],

http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tkt/matematikai-mozaik/ar16.html .

Rényi Alfréd Ars Mathematica[], benne Az információ matematikai fogalmáról,

http://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-7546-58-7 .

Simonyi Gábor Információközlés és gráfelmélet"[],

http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2009/eloadas_2009_09_29_simonyi.html .

Babai László Számításelmélet[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Babai_Laszlo/Szamitas_0405/eloadas_0405.html .

Hraskó András és Szőnyi Tamás Kódok"[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kodok/ .

Claude Elwood Shannon A Mathematical Theory of Communication[]

http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/shannon1948.pdf .

8.10 Mi a példa ebben a példatárban?

8.10.1. Feladat(Mego.)

Keressünk a feladatgyűjtemény (minél több fejezetében) olyan feladatokat, melyek megoldásában

a) szerepet játszik a teljes indukció!

b) indirekt okoskodást is használhatunk!

c) segíthet egy Venn diagram!

d) alkalmazzuk a szita-formulát!

e) alkalmazzuk a skatulyaelvet!

f) alkalmazzuk az invariancia elvet!

g) alkalmazzuk a számtani-mértani közép egyenlőtlenséget!

h) hasznos a próbálgatás!

i) érdemes esetszétválasztást alkalmazni!

j) a visszafelé okoskodás” vezet célra!

k) az a konklúzió, hogy nincs megoldás"!

8.10.0.1 Ajánló

Dr. Katz Sándor Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások, a [] kötet 53-68. oldalain.

Hajnal Péter Elemi kombinatorikai feladatok"[], 7. fejezet (Szitamódszerek)