Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

7 Valószínűségszámítás

7 Valószínűségszámítás

7.0.0.1 Ajánló

A témához kapcsolódó alapvető átfogó jellegű könyvek:

Rényi Alfréd Levelek a valószínűségről[];

Nemetz Tibor Valószínűségszámítás[];

Nemetz Tibor és Wintsche Gergely Valószínűségszámítás és statisztika mindenkinek[];

Frederick Mosteller 50 különleges valószínűségszámítási feladat megoldásokkal"[];

Solt György Valószínűségszámítás példatár[];

Bognár Jánosné, Nemetz Tibor, Tusnády Gábor Ismerkedés a véletlennel[];

Székely J. Gábor Paradoxonok a véletlen matematikájában"[];

William Feller Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba[];

és weboldalak:

Alexander Bogomolny portáljának[] valószínűségszámítási oldalai:

http://www.cut-the-knot.org/probability.shtml .

7.1 Bevezető statisztikai példák

7.1.1. Feladat(Mego.)

Készítsük el Arany János Toldi című művének betűstatisztikáját

a) a magyar karakterek szerint (a ty-ben t és y külön karakter);

b) a magyar hangok szerint (az sz, ty stb. önálló hangok);

c) az angol karakterek szerint (é-t e-vel, ó-t, ö-t, ő-t o-val helyettesítjük)!

A Toldi szövegét tartalmazó fájlok:

file/toldi.doc , file/toldi.txt

7.1.2. FeladatBetűhelyettesítéses titkosírás dekódolása(Segít., Mego.)

Dekódoljuk a

file/halandzsa110723ha.doc , file/halandzsa110723ha.txt

fájlokban megadott titkosított szöveget, amelyet egy magyar nyelvű könyvből vettünk, de karaktereit (a betűket, az ékezetes betűket és a szóközt) összekevertük. A titkosított szöveg így kezdődik:

FVQXWDÜQYDGXVQYFBZQCBFVőMBQDVQFQWDBYFBZHAAQ

CBFVőMBHEQDBZCEDQÉXBKDÖCBQFVXűÜQÉDűÜQGFQUFWN

AFYQADWMÜÜSEQFEEHűQÉMű

7.1.3. Feladat Adjunk meg 13 darab pozitív egész számot úgy, hogy a mediánja 2, az átlaga 1999 legyen! Létezik-e ilyen sokaság, ha azt is megköveteljük, hogy egyetlen módusza legyen, és annak értéke

a) 1; b) 2; c) 2000; d) 6000

legyen? Mennyi lehet maximum a módusz?

7.1.4. Feladat(Segít., Mego.)

Egy H számsokaság átlaga x¯, szórása D. A számsokaság elemeinek legfeljebb hány százaléka lehet az [x¯-2D;x¯+2D] intervallumon kívül?

7.1.5. Feladat(Eredm.)

Egy H számsokaság átlaga x¯, szórása D. A számsokaság elemeinek legfeljebb hány százaléka lehet az [x¯-3D;x¯+3D] intervallumon kívül?

7.1.6. Feladat(Mego.)

Általánosítsuk az előző, a 7.1.4, 7.1.5 feladatok eredményét!

7.1.7. Feladat Adott a {3;7} számsokaság. Bővítsük ki egy elemmel, hogy ne változzon a szórása!

7.1.8. Feladat(Műveletek adatokkal és átlagaikkal)(Mego.)

Képezzük az nn elemből álló

X = { x 1 , x 2 , , x n } , Y = { y 1 , y 2 , , y n }

számsokaságokból a szintén nn elemből álló

X + Y = { ( x 1 + y 1 ) , ( x 2 + y 2 ) , , ( x n + y n ) } ,

X Y = { ( x 1 y 1 ) , ( x 2 y 2 ) , , ( x n y n ) } ,

valamint az n2n2 elemből álló

X Y = { ( x 1 + y 1 ) , ( x 1 + y 2 ) , , ( x 1 + y n ) , ( x 2 + y 1 ) , ( x 2 + y 2 ) , , ( x n + y n ) } ,

X Y = { ( x 1 y 1 ) , ( x 1 y 2 ) , , ( x 1 y n ) , ( x 2 y 1 ) , ( x 2 y 2 ) , , ( x n y n ) } ,

számsokaságokat! Kifejezhetőek-e ezek átlagai az X, Y sokaságok átlagai MX és MY segítségével?

7.2 Esélyek

7.2.1. Feladat(Török érettségi, 1997)(I. mego., II. mego.)

Az A dobozban 3 fehér és 4 piros, a B dobozban 5 fehér és 2 piros golyó van. Véletlenszerűen (egyenlő valószínűséggel) kiválasztjuk az egyik dobozt, és abból visszatevés nélkül kihúzunk két golyót. Mi a valószínűsége, hogy az egyik fehér, a másik piros lesz?

7.2.2. Feladat(a) mego.)(b) mego.)

Egy társaság tagjai saját szórakozásukra helyi lottót szerveznek. 21 szám közül húznak ki kettőt, és ezekre lehet fogadni. Tippelni 100 forintért lehet. Ha valaki mindkét számot eltalálja, 2000 forintot kap, ha csak az egyik számot találja el, akkor 200 forintot kap.

a) Vajon ha sokáig játszom ezen a lottón, akkor mi a valószínűbb, az, hogy összességében nyereségem lesz, vagy az, hogy vesztek?

b) Legfeljebb hány szám (21 helyett) esetén érdemes játszani ezt a játékot ugyanezekkel a szabályokkal?

7.2.3. Feladat(Mego.)

Anna és Balázs felváltva dob egy szabályos dobókockával. Megegyeznek, hogy az nyer, aki nagyobbat dob. Ha egyenlőt dobnak, akkor Anna nyer, Balázs viszont újra dobhat, ha egyest dob, ha ekkor is egyest, akkor ismét, egészen addig, amíg egyestől különbözőt nem dob. Ez az érték számít az ő dobásának. Kinek nagyobb a nyerési esélye?

7.2.4. Feladat(Eredm.)

Egy szerencsejáték-automata három hengerén 20-20 kép van:

22. táblázat

Egy zseton bedobása után az automata megpörgeti, majd megállítja a hengereket úgy, hogy mindegyiken egyegy kép válik láthatóvá. 500 nyereményzsetont ad ki a gép, ha három szív látható. 8 zseton a nyeremény bármely másik három egyforma kép esetén.

a) Mennyi a főnyeremény elérésének valószínűsége egy-egy játékban?

b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nyeremény 8 zseton?

7.2.5. Feladat András és Béla a következő kockajátékot játsszák. András dobókockáján a 4, 6, 10, 18, 20, 22; Béla kockáján a 3, 9, 13, 15, 17, 25 számok vannak. Mindkét játékos feldobja saját kockáját, s az nyer, aki nagyobbat dobott. Kinek előnyös a játék?

7.2.6. Feladat András és Béla kockajátékot játszanak. Mindkettejük dobókockájának oldalain egy-egy pozitív egész szám olvasható. Mindkét játékos feldobja saját kockáját, s az nyer, aki nagyobbat dobott. Igaz-e, hogy ha András kockáján nagyobb a hat szám átlaga, mint Béla kockáján, akkor nagyobb András nyerési esélye, mint Béláé?

7.2.7. Feladat(Segít., Mego.)

András és Béla kockajátékot játszanak. Az asztalon van három csupasz dobókocka. András felírja a számokat 1-től 18-ig a kockákra úgy, hogy mindegyik számot pontosan egyszer írja fel. Ezután Béla megvizsgálja a kockákat és választ közülük egyet. A maradék két kocka közül András választhat magának egyet. Mindkét játékos feldobja saját kockáját, s az nyer, aki nagyobbat dob (a harmadik kocka már nem kap szerepet).

Kinek kedvezőbb a játék, Andrásnak, vagy Bélának?

7.2.8. Feladat Ketten a 51 ábrán látható táblán játszanak autóversenyt. Kockával dobnak. Az egyik autó vezetője mindig annyit lép előre, ahányast dob; a másik pedig 6-ot lép, ha páros számot dob, és nem lép, ha páratlan számot dob. Az nyer, aki előbb ér célba. Te melyik versenyző szeretnél lenni? Miért?

51. ábra

7.2.9. Feladat(a) mego.)(b) mego.)

Ketten (A és B) a következő játékot játsszák. Egy kalapból, melyben tapintásra egyforma piros és fehér golyók vannak, kihúznak két golyót. Ha a két golyó egyforma színű, akkor A nyer, ha különbözőek, akkor pedig B.

a) Tudjuk, hogy a kalapban 10 piros golyó van. Hány fehér golyónak kell ott lennie ahhoz, hogy igazságos legyen a játék?

b) Adjuk meg az összes olyan nemnegatív egészekből álló p, f párt, amelyre igazságos a fenti játék p piros és f fehér golyóval!

7.2.10. Feladat(I. mego., II. mego.)

Ketten (A és B) a következő játékot játsszák. Egy kalapból, melyben tapintásra egyforma piros és fehér golyók vannak, kihúznak két golyót. Ha mindkét golyó piros, akkor A nyer, minden más esetben pedig B.

a) Legkevesebb hány golyó esetén lehet igazságos a játék?

b) Legkevesebb hány golyó esetén lehet igazságos a játék, ha a fehér golyók száma páros?

7.2.11. FeladatPóker esélyek(Mego.)

52 lapos francia kártyával játszunk. Öt lapot kapunk kézbe. Határozzuk meg mennyi az esélye, hogy ez az öt lap a póker értékelése szerint

a) pár két egyforma alakzat, pl. két 3-as vagy két király és három különböző lap

b) két pár

c) drill három egyforma alakzat, pl. három 3-as vagy három király és még két különböző lap

d) sor pl. 4,5,6,7,8

e) flush öt egyforma színű lap, pl. K,A,6,8,10

f) full három + kettő egyforma alakzat, pl. K,K,K,5,5

g) póker négy egyforma alakzat pl. K,K,K,K,5

h) straight flush négy egyforma színű lap sorban, pl. 4,5,6,7,8!

7.2.12. Feladat A kockapókerben 5 dobókockával dob a játékos. Határozzuk meg az alábbi dobások esélyét!

a) drill (pl. három 2-es, egy-egy 5-ös és 6-os)

b) sor (öt egymást követő szám, A 7.2.12Eredm.)

7.2.13. Feladat(Mego.)

Egy kockával dobunk. Hány dobás után lesz nagyobb a valószínűsége annak, hogy már dobtunk hatost, mint annak, hogy még nem dobtunk?

7.2.14. FeladatIMO, 1982 Ausztrália, javaslat(Mego.)

Anna n-szer, Balázs csak (n-1)-szer dob fel egy (szabályos) pénzérmét. Mennyi az esélye, hogy Anna többször dobott fejet, mint Balázs?

7.2.15. Feladat(Mego.)

Egy kockával dobunk, amíg sikerül hatost dobnunk. Mennyi az esélye, hogy dobtunk ötöst?

7.2.0.1 Ajánló

Bognár Jánosné A Galton-deszka[];

Rényi Alfréd A szerencsejátékok és a valószínűségszámítás[];

Matematikai problémakalauz I. [], 5. fejezet: Valószínűségszámítás;

7.3 Várható érték

7.3.1. Feladat(a) mego., b) I. mego., b) II. mego.)

Ketten A és B a következő játékot játsszák.

Egy dobozban 2 piros, 1 fehér és 4 zöld golyó van. Az A játékos addig húzhat a dobozból visszatevéssel, amíg zöldet nem húz. Piros húzásért 50, fehérért 20 Ft-ot kap B-től, de a játék elkezdésekor egy x összeget kell adnia B-nek.

a) Átlagosan hány húzásból áll a játék?

b) Mely x esetén igazságos a játék?

7.3.2. Feladat(Eredm.)

Egy szabályos érmét addig dobálunk, amíg legalább egyszer kapunk fejet is és írást is.

Mennyi a dobások számának

a) legvalószínűbb értéke?

b) várható értéke?

7.3.3. Feladat(a) mego.)(b) mego., c) I. mego., c) II. mego.)

Egy pénzdarabot addig dobálunk, ameddig másodszorra kapunk fejet.

a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy csak négy vagy több dobásból álló sorozattal érjük ezt el?

b) Adjuk meg a dobások számának valószínűség-eloszlását és

c) várható értékét!

7.3.4. Feladat(Eredm.)

Egy kockát addig dobunk fel, amíg másodszorra is hatost dobunk. Adjuk meg a szükséges dobások valószínűségeloszlását és a dobások számának várható értékét!

7.3.5. Feladat(I. mego., II. mego.)

A Monte-Belloi kaszinóba belépőknek először egy fura játékban kell kipróbálni szerencséjüket. Ez a játék a következő: egy dobozba két nyerő és három vesztő golyót tesznek, amelyek külső formájukban teljesen megegyeznek. Ebből a dobozból visszatevés nélkül húznak ki golyókat. Nyerő golyó húzása után a kaszinó fizet a játékosnak 10 pénzt, vesztő golyó húzása esetén pedig a játékos fizet a kaszinónak 10 pénzt. A játékosnak joga van bármelyik húzás előtt a játékot abbahagyni, akár már az első húzás előtt is.

Kinek kedvez ez a játék? Érdemes-e kérni egyáltalán húzást? Hogyan érdemes játszani?

7.3.6. Feladat(Számok sorrendje) (c) mego., d) mego., e) mego., f) mego., g) mego., h) mego., i) mego., j) mego.) Az interneten elérhető

http://www.szerencsejatek.hu/xls/otos.xls

fájl tartalmazza az eddigi ötöslottó (az 1-90 számok közül húznak ki ötöt) nyerőszámokat. A táblázatban a kihúzott számok mindegyik húzásnál növekvő sorrendben vannak felsorolva, tehát pl. a legkisebb számok egy oszlopban egymás alatt olvashatók.

a) Tippeljük meg az eddigi több mint 2800 húzásban a legkisebb szám átlagos értékét!

b) Ellenőrizzük tippünket az említett fájl letöltésével és az átlag kiszámolásával! Ki tippelt a legjobban?

A Bergengóc Lottóban az {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} számok közül húznak ki kettőt (visszatevés nélkül).

c) Melyik a kisebbik szám legvalószínűbb értéke?

d) Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét!

e) Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét, ha az {1,2,3,,n} számok közül húznak ki kettőt!

f) Mennyi a kisebbik szám legvalószínűbb értéke, ha az {1,2,3,,n} számok közül húznak ki kettőt?

A Bergengóc Lottót megreformálják! Az {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} számok közül mostantól négyet húznak ki (visszatevés nélkül).

g) Melyik a második legkisebb szám legvalószínűbb értéke?

h) Határozzuk meg a második legkisebb szám várható értékét!

i) Határozzuk meg a második legkisebb szám várható értékét, ha az

{ 1 , 2 , 3 , , n }

számok közül húznak ki négyet!

j) Határozzuk meg a második legkisebb szám legvalószínűbb értékét!

7.3.7. Feladat(Elő. megj.)

Szabályos dobókockával dobhatunk. Előre el kell döntenünk, hogy hányszor dobunk. Ha 6-osnál kisebbet dobunk, akkor annyiszor 1000 Ft-ot kapunk, amennyit dobtunk és nyereményünk a dobásoknál összeadódik. Ha viszont 6-ost dobunk, akkor minden addigi nyereményünket elveszítjük, és nem is dobhatunk többször.

Hány dobást érdemes vállalni?

7.3.8. Feladat(Mego.)

Egy 35 fős osztályban a karácsonyi ajándékozáshoz mindenki felírja a nevét egy cédulára, egy sapkába teszi, összerázzuk, majd mindenki húz egy nevet. Határozzuk meg azok számának a várható értékét, akik a saját nevüket húzták!

7.3.9. FeladatIMO 1982 Belgium, javaslat(Mego.)

A Híres Matematikusok Csokoládé csomagolásában található egy kis kép, 20 híres matematikus portréja közül az egyik. Mindegyik híresség képe egyenlő, tehát 120 eséllyel található mindegyik csokiban. Átlagosan hány csokoládé vásárlásával gyűjthető össze mind a 20 kép?

7.3.0.1 Ajánló

Rényi Alfréd Levelek a valószínűségről" [].

7.4 Feltételes valószínűség

7.4.1. Feladat(a) I. mego., a) II. mego., b) mego.)

Tíz azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig 2 fehér és 2 kék. A tizedik dobozban 5 fehér és 1 kék golyó van. Az egyik találomra választott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót.

a) Mennyi a valószínűsége, hogy fehér lesz?

b) A kivett golyó fehér lett. Mennyi a valószínűsége, hogy a tizedik dobozból való?

7.4.2. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Van egy-egy szabályos dobótetraéderünk, dobókockánk és dobóoktaéderünk. Mindegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk az első néhány pozitív egészt, tehát a tetraéderre 1-től 4-ig, a kockára 1-től 6-ig, az oktaéderre 1-től 8-ig.

Feldobunk két szabályos érmét. Ha mindkettő fej, akkor a kockával, ha pontosan egyikük fej, akkor a tetraéderrel, ha mindkettő írás, akkor az oktaéderrel dobunk.

a) Mennyi az esélye, hogy 1-est dobunk?

b) 1-est dobtunk. Mennyi az esélye, hogy pontosan egy fejet dobtunk?

7.4.3. Feladat Tegyük fel, hogy a férfiak 5%-a és a nők 0,25%-a színvak. Egy 20 nőből és 5 férfiból álló csoportból 1 személyt találomra kiválasztunk. Megállapítjuk, hogy színvak. Mennyi a valószínűsége, hogy nőt választottunk ki?

7.4.4. Feladat a) Azokban a kétgyermekes családokban, ahol az egyik gyermek fiú, minek nagyobb a valószínűsége, annak, hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik lány? Esetleg egyformán valószínű? (Feltételezzük, hogy fiú és lány születésének azonos a valószínűsége.)

b) Azokban a kétgyermekes családokban, ahol a kisebb gyermek fiú, minek nagyobb a valószínűsége hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik lány? Esetleg egyformán gyakori?

7.4.5. Feladat Vetélkedő végén a győztes három ajtó közül választhat, az egyik mögött ott a Porsche, a másik kettő mögött apró ajándék van. A győztes választ egy ajtót. Ezek után a nem választott ajtók közül kinyitják neki az egyiket (vagy az egyetlent), ami mögött nem a Porsche van, és választást ajánlanak neki. Marad az ajtónál, másikat választ, vagy elviszi a látható kis ajándékot. Mit csináljon a győztes, ha a Porschéra hajt?

7.4.6. Feladat(Mego.)

A tébécé korai felismerésére alkalmazott röntgenszűrésnél a tapasztalatok szerint hibák is előfordulnak. A kezdeti állapotban a betegek körülbelül 10%-át nem veszi észre a teszt, míg körülbelül 20%-ban egyébként egészséges embernél is pozitív eredmény (azaz valami gyanús folt a tüdőn) adódik. Tudjuk, hogy hazánkban a tébécé előfordulása 0,3%.

a) Egy pozitív teszteredmény után mi az esélye, hogy tényleg tébécés az illető?

b) Ha negatív az eredmény, akkor mi az esélye, hogy tébécés?

c) Mindezek fényében vajon mire való ez a teszt?

7.4.7. FeladatI. mego., II. mego.)

Valaki feldob egy kockát. Ha a dobott szám k, akkor beletesz egy urnába k darab piros és (8-k) darab fehér golyót. Ki kell találnunk a kockadobás eredményét. Ehhez tízszer húzhatunk egy-egy golyót visszatevéssel az urnából. Hogyan döntsünk, ha a kihúzott golyók között pontosan r darab pirosat találunk?

(Az elemzéshez használjunk számítógépet pl. Excel vagy Open Office Calc programot.)

7.5 Markov láncok

(Mego.)

7.5.1. FeladatHosszú sorozat is várható

Egy kockával addig dobunk, míg egymás után 2011-szer hatost dobunk. Mennyi az esélye, hogy ez sohasem következik be?

7.5.2. Feladat(Mego.)

Egy főútvonalon végighaladva nyolc helyen van közlekedési lámpa. Annak valószínűsége, hogy egy lámpa éppen pirosat jelez, amikor odaérünk, 0,4. Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem találkozunk közvetlenül egymás után két tilos jelzéssel?

7.5.3. Feladat(I. mego., II. mego.)

A juhászfiúból lett mesebeli vitéznek három próbát kell kiállnia. Az egyes próbákon a többitől függetlenül 2/3 valószínűséggel jut túl. A falujából indul és ha egy próbát teljesít, mehet a következőre. Ha az nem sikerül, akkor vissza kell fordulnia, és újra neki kell vágnia az előző, korábban már teljesített próbának. Ha bármikor befuccsol a legelső próbán, akkor vége a mesének, kulloghat haza.

Mennyi az esélye, hogy a vitéz teljesíti mind a három próbát?

7.5.4. FeladatFerde foci(a) mego.)(b) mego.)(c) mego.)

Két játékos A és B a [0;6] intervallumon focizik, a 0 az A játékos kapuja, míg a 6 a B játékosé. A labda kezdetben a 2-n áll. Egy lépés abból áll, hogy feldobnak egy szabályos érmét, és ha Fej lesz, akkor eggyel jobbra (nagyobb számra), ha Írás. akkor eggyel balra (kisebb számra) teszik a labdát. A nyer, ha B kapujába azaz 6-ra ér a labda, míg B nyer, ha A kapujába, a 0-ba kerül a labda.

a) Melyik játékosnak mennyi a nyerési esélye?

b) Mennyi a döntetlen esélye, tehát mennyi a valószínűsége, hogy sose kerül egyik kapuba se a labda?

c) Hogyan változik a válasz az a), b) kérdésekre, ha nem pénzérmével, hanem szabályos dobókockával dobnak, és 1 valamint 2 esetén balra, 3, 4, 5 és 6 esetén jobbra tolják a labdát? Először tippeljünk, utána álljunk neki a számolásnak!

7.5.0.1 Ajánló

Jakab Tamás Néhány valószínűségszámítási probléma egy ötlet[];

Orosz Gyula Markov láncok[].

7.6 Normális eloszlás

7.6.1. Feladat(Eredm.)

Az intelligencia hányados (IQ) megközelítően normális eloszlású, várható értéke μ=100, szórása pedig σ=15. A lakosság hány százalékának IQ-ja

a) legfeljebb 70?

b) legalább 120?

c) 90 és 120 közötti érték?

7.6.2. Feladat(Eredm.)

A 13 éves gyerekek testmagassága közelítőleg normális eloszlású, μ=158 cm és σ=6,5 cm.

a) A gyerekek hány százaléka magasabb, mint 180 cm?

b) Hány cm az az érték, melynél a tanulóknak csak 5%-a magasabb?

c) Egy gyereket véletlenszerűen kiválasztunk. Határozzunk meg olyan intervallumot, melyben a gyermek magassága 95% valószínűséggel benne van!

7.6.0.1 Ajánló

A Pascal háromszögtől a normális eloszláshoz vezető utat szépen mutatja be John Walker Introduction to Probability and Statistics"[] webcikke.

7.7 Megismerés Bayes módján

7.7.1. Feladat(Milyen kvarkok? fiktív elmélet Bayesiánus vizsgálata)[] (Mego.)

Egy elméleti fizikus arra a következtetésre jut, hogy a neutron tartalmaz még három eleddig ismeretlen típusú kvarkot, amelynek két lehetséges változata van. A két változatot fizikusunk fehér és fekete kvarknak nevezte el, de nem tudta megmondani, hogy a három újfajta kvark között hány fehér és hány fekete van: az elmélet mind a négy lehetőséget (0, 1, 2 vagy 3 fehér kvark) egyformán megengedte.

Sikerült azonban megmutatnia, hogy a fehér-fekete színmegoszlás kísérletileg vizsgálható. Amikor ugyanis elektronokkal bombázzuk a neutronokat, az új kvarkok egyike nagyon ritkán, véletlenszerűen, virtuális részecske formájában rövid időre kilép a neutronból, és az elektron szóródni tud rajta. Az elmélet szerint a fehér és a fekete kvark különböző módon szórja az elektronokat (az egyik mondjuk jobbra, a másik balra), ezért ebből a kísérletből meg lehet tudni, hány fehér és hány fekete kvark van a neutronokban.

Ez a kísérlet azonban nagyon költséges. A költségvetést úgy állapították meg, hogy a kísérletet addig folytathatjuk, ameddig mondjuk 5 bennünket érdeklő folyamatot nem találunk, tehát 5 szóródást figyelhetünk meg.

Tegyük fel, hogy a kísérlet megtörtént és az 5 folyamatból 2 tartozott fehér, 3 pedig fekete kvarkhoz. Milyen a 3 kvark színmegoszlása?

7.7.2. Feladat(Milyen érme? Bayesiánus vizsgálat)(Mego.)

Egy pénzérméről szeretnénk eldönteni, hogy milyen, feldobás esetén milyen eséllyel lesz fej illetve írás. Jelöljük p-vel annak az esélyét, hogy fej lesz és így (1-p) eséllyel írás de ne döntsük el előre p értékét csak annyit tegyünk fel (prior valószínűség), hogy p értéke valamely H0 valószínűségi változó szerint oszlik el a [0;1] intervallumban. Legyen most a H0 eloszlás az egyenletes eloszlás.

a) Mennyi az esélye a H0 eloszlásnál, hogy ha feldobunk egy pénzérmét, az fej lesz?

b) Földobtuk, fej lett. Az eredmény alapján a Bayes-tétel milyen H1 valószínűségeloszlást ad p értékére (posterior valószínűség)?

c) Legyen most H1 a prior valószínűség(eloszlás). Mennyi az írás dobás esélye?

d) Feldobtuk, írás lett. Mindezek alapján a Bayes-tétel milyen H2 valószínűségeloszlást ad p értékére (posterior valószínűség)?

e) A H2 eloszlás esetén mennyi a valószínűsége, hogy ha feldobjuk az érmét, fej lesz?

f) A H0 prior valószínűségeloszlást feltételezve (egyenletes eloszlás), mennyi az esélye annak, hogy m kísérletből r-szer lesz fej? Ha m elvégzett kísérletből tényleg r-szer lett fej, akkor milyen Hmr posterior valószínűségeloszlást ad a Bayes tétel? Ennél az eloszlásnál mennyi a fej dobásának esélye?

7.7.0.1 Ajánló

Dieter Wickmann Bayes-statisztika[];

Pólya György A Plauzibilis következtetés[];

David Salsburg The Lady Testing Tea (How statistics revolutionized science in the twentieth century)[];

Stephen Senn Dicing with Death[];

Reiczigel Jenő, Harnos Andrea, Solymos Norbert Biostatisztika nem statisztikusoknak[].