Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

6 Analízis

6 Analízis

6.0.0.1 Ajánló

Alapvető művek a témával kapcsolatban

Urbán János Határérték-számítás[];

Pintér Lajos Analízis I."[]

http://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-9548-95-4 .

Pintér Lajos Analízis II."[]

http://www.interkonyv.hu/konyvek/?isbn=978-963-9132-30-6 .

Laczkovich Miklós, T. Sós Vera Analízis I. [];

Laczkovich Miklós, T. Sós Vera Analízis II. [];

6.1 Szabályjátékok, gépek

Szabályjátékot már óvodában játszanak a gyerekek. Ott ez azt jelenti, hogy megértik az óvónéni által elmondott szabályt és követik. Annak is nagyon lényeges szerepe van a nevelésben.

Az alábbi példákban az a feladat, hogy észrevegyenek valamilyen szabályosságot, képletet, rekurziót stb. a gyerekek a megadott táblázatokban. Az egyszerű szabály keresése, minél rövidebb összefüggés keresésének vágya rendkívüli módon vitte előre a tudományt. Inkább inspiráljuk erre a gyereket, minthogy modern nézőpontból lelőjük az ilyen jellegűpéldákat azzal, hogy a szabály nagyon sokféle lehet, egy kis adatból még bármi következhet.

A most következő példasor felépítésében nincs különösebb rendszer, inkább csak arra szeretnénk utalni, hogy a szabály nagyon különféle is lehet.

6.1.1. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego., e) mego., f) mego.)

Mi lehet az alábbi hozzárendelések szabálya?

a)

9. táblázat

b)

10. táblázat

c)

11. táblázat

d)

12. táblázat

e)

13. táblázat

f)

14. táblázat

6.1.2. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego.)

Mi lehet az alábbi hozzárendelések szabálya?

a)

15. táblázat

b)

16. táblázat

c)

17. táblázat

6.1.3. Feladat(a) mego., b) mego.)

Folytassuk a sorozatot!

a) Lásd a 33 ábrát!

33. ábra

b) 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 31131211131221,

6.1.4. Feladat(Science)[]

A játék pontos leírását Martin Gardner adja egyik könyvében. Itt egy egyszerűsített szabályrendszert adunk meg.

A játékot egy játékvezető és tetszőleges számú játékos játszhatja.

I. A játékosok és a játékvezető is rajzol magának egy-egy 8×8-as táblát, amelynek rögzíti az állását (pld megjelöli a bal alsó sarkot, vagy sakktábla módjára megbetűzi, illetve számozza a sorokat és oszlopokat).

II. A játékvezető kitölti saját táblájának 64 mezőjét. Háromféle jelet pld pluszt, mínuszt, kört használhat, és valamely egyszerű szabályt alkalmaz. Nem szükséges használnia mind a három jelet. Két lehetséges példa látható a 34 ábrán.

34. ábra

III. Bármelyik játékos megjelölheti saját táblájának tetszőlegesen sok mezőjét. A jelölés lehet pld a mező bal alsó sarkába rajzolt pici pont. Ezek után a táblát a játékvezetőhöz viszi, aki a megjelölt mezőkbe bemásolja az ő táblájának azonos helyén látható jelet, majd visszaadja a táblát a játékosnak.

IV. A 3.-ban leírt műveletet a játékosok egymást nem zavarva, és egymás tábláját nem látva, tetszőleges sokszor (valószínűleg érdemes egy 5-ös felső határt kikötni) megismételhetik. Ezek során a játékvezető által készített minta sok, akár az összes mezőjébe írt jelet megismerik.

V. Amikor egy játékos úgy gondolja, hogy már elegendő információt kapott, akkor kitölti a tábla maradék részét a háromféle jellel. Kitöltetlenül is hagyhat mezőt, de ha egyszer azt mondja KÉSZ, akkor utána már nem javíthat, és nem írhat be a kitöltetlen mezőkbe.

VI. A játékvezető megnézi a KÉSZ táblát, 0, pontot ad a kitöltetlen mezőkért, valamint azokért, amiket ő töltött ki, 1 pontot azokért, amelyekbe a játékos önállóan jó jelet írt, és -1 pont ad a hibásan kitöltött mezőkért. A játékos kapott pontja így csak -64 és 64 között lehet egy játékban.

VII. Ha valamelyik játékos szívesen lenne játékvezető a következő menetben, akkor érdemes megengedni.

6.2 Gépek egymás után

Egyszerű függvények kompozíciója már hetedikes, nyolcadikos kortól vizsgálható. A kompozíció megértése a matematikán belül fontos lesz pl. a deriválásnál (összetett függvény deriváltja) és a geometriai transzformációk vizsgálatakor. A kvantummechanika egyik alaptörvénye a Heisenberg-féle határozatlansági reláció matematikai alapjában két transzformáció sorrendjének felcserélhetetlensége áll. A strukturált programozáshoz is elengedhetetlen a kompozíció világos használata.

A valós-valós függvények szokásos ábrázolása grafikonnal számos esetben vizuálisan segíti a problémák megértését, máskor azonban éppen gátol. A kompozíció dinamikáját érdemes többféleképpen is vizsgálni.

6.2.1. Feladat

Megadunk két RR függvényt, f-et és g-t. Döntsük el, hogy hány olyan ξ valós szám van, amelyre f(g(ξ))=g(f(ξ)) és hány olyan, amelyre f(g(ξ))g(f(ξ))

a) f(x)=2x-3, g(x)=x+1;

b) f(x)=x2, g(x)=x-1;

c) f(x)=2x, g(x)=[x].

(Egészrész x, azaz [x] a legnagyobb olyan egész számot jelöli, amely nem nagyobb x-nél.)

6.2.2. Feladat

Megadunk két RR függvényt, f-et és g-t. Döntsük el, hogy hány olyan η valós szám van, amelyre f(g(η))=g(f(η)) és hány olyan, amelyre f(g(η))g(f(η))

a) f(x)=2x, g(x)=x2;

b) f(x)=|x|, g(x)=x+1;

c) f(x)=3x-2, g(x)=x+1.

6.2.3. Feladat Az A gép működését az x2x+3 képlet írja le. Határozzuk meg a B gép működését leíró képletet, ha tudjuk, hogy a 35 ábrán megadott módon sorba kapcsolt két gép bármely beadott szám esetén a beadott számot megváltozatlanul adja ki. A feltüntetett két eset két különböző feladat.

35. ábra

6.2.4. Feladat A D gép bármely c szám beadása esetén az 1-c számot adja ki. Valaki sorba kapcsolt három D gépet. Mit csinál az így konstruált (lásd a 36. ábrát) összetett gép?

36. ábra

6.2.5. Feladat A Duplo és Plusz2 gépekbe számot lehet beadni, Duplo a beadott szám kétszeresét, Plusz2 pedig a beadott számnál 2-vel nagyobb számot adja ki. Olyan gépet szeretnénk összeállítani, ami az x beadott számra a 4x+10 számot adja ki magából. Legalább hány gépet kell venni az egyes fajtákból?

6.2.6. Feladat Ha a Duplo gépbe (lásd a 6.2.5 feladatot) bedobsz egy számot, akkor az kiadja a bedobott szám kétszeresét. A Reciprok gép mindig a beadott szám reciprokát adja ki (lásd a 37 ábra példáit).

37. ábra

A Reciprok gép, a 0 beadására azt írja ki, hogy ERROR. Van a raktárban néhány Duplo és Reciprok gépünk. Állíts össze belőlük egy Negyed gépet, azaz egy olyan berendezést, amely bármely bedobott szám esetén annak negyedét adja ki! (Nem baj, ha kivételként a 0 negyedét nem tudja kiszámítani.)

6.2.7. Feladat (I. mego., II. mego.)

Mondjunk olyan gépet, amely számok beadása esetén számot ad ki és önmaga után kapcsolva olyan gépet kapsz, amely az x beadott számra a) 4x+3-at ad ki! b) 2x -et ad ki!

6.2.8. Feladat Az A gép az univerzális osztógép. Számpárt lehet beadni neki és számot ad ki, a beadott két szám hányadosát (lásd a 38 ábrát). Mindig a beadott számpár első tagját osztja el a másodikkal.

38. ábra

Pld: A((3;2))=1,5; A((6,42;-3,21)=-2; A((1/2;3/4))=2/3; A((2;0))=ERROR.

Tudnál-e a gép segítségével szorozni? Hogyan számoltatnád ki a géppel pld. 3,14159261,4142543 értékét?

6.2.9. Feladat Σ az univerzális kivonógép. Számpárt lehet neki beadni és egy számot ad ki, a két beadott szám különbségét: az első számból kivonja a másodikat. N a négyzetreemelőgép. Tetszőleges számot be lehet neki adni és kiadja annak négyzetét. Van még egy O2 osztógépünk, de az csak kettővel tud osztani, beadhatsz neki egy számot és kiadja a felét. Tudnál szorozni a három gép segítségével? Hogyan lehetne kiszámolni velük a 3,14159261,4142543 szorzat értékét?

6.2.10. Feladat(Arany Dániel versenyfeladat volt)

Hogyan lehet összeszorozni két számot a Σ univerzális kivonógép és a Rec univerzális reciprokoló géppel (ez bármely szám beadása esetén annak reciprokát adja ki, a 0 beadására hibaüzenettel leáll).

6.2.11. Feladat Adjunk meg olyan gépet, amelynek segítségével szorozni, osztani, összeadni és kivonni is lehet, ha megfelelő számú példányát megfelelően kapcsoljuk össze!

6.2.12. FeladatBergengóc festőgépek(Mego.)

Bergengóciában a hölgyek és újabban a férfiak is szívesen hordanak színes golyókból álló nyakláncokat, karkötőket. Mivel a divat igen gyorsan változik, népszerűek lettek a festőgépek, melyek első prototípusát Bigéc (a MikiFoszt cég mostani igazgatója) fejlesztette ki. A Bigéc típusú festőgépbe ötféle színű golyót (pirosat, kéket, zöldet sárgát és fehéret) lehet beledobni. A gépnek van egy szabálya, amely egyértelműen megmondja, hogy melyik színt melyikké alakítsa át. A gép érzékeli a bedobott golyó színét, és a szabálya szerint átfestett golyót adja ki. A Piri-gép például minden golyót pirosra fest. Csak a sznobok veszik az Ident gépet, amelyik minden golyót olyannak hagy, amilyen volt.

I. a) Összesen hányféle Bigéc típusú festőgép lehetséges?

b) Ezek között hány olyan van, amelyik semelyik golyót sem hagyja meg olyan színűnek, amilyen volt?

II.

a) Hány olyan Bigéc típusú festőgép van (lásd az előző feladatot), amely különböző színű golyókból mindig különbözőeket készít?

b) És ezek között hány olyan van, amelyik semelyik golyót sem hagyja meg olyan színűnek, amilyen volt?

III. a) Hány olyan Bigéc festőgép van, amelyik pontosan egy színt nem fest át más színre?

b) És hány olyan, amelyik legalább egy színt nem fest át más színre?

IV. Bigéc gépeit úgy alakították ki, hogy egymás mögé lehessen kapcsolni azokat. Jelölje például D azt a gépet, ami a piros golyókat kékre, a kékeket zöldre festi, a többi színét pedig nem változtatja; Piri pedig legyen az a gép, ami mindent pirosra fest.

Ha D mögé kapcsoljuk Pirit, akkor olyan összetett gépet kapunk, ami ugyanúgy viselkedik, mint Piri, mindent pirosra fest. Ha viszont Pirit vesszük előre és mögé a D gépet, akkor új gépet kapunk: olyat, amely mindent kékre fest. Egy gépet saját maga mögé is kapcsolhatunk. Három D gépet egymás mögé kapcsolva olyan gépet kapunk, amelyik a kék és piros korongokat zöldre festi, a többi színét nem változtatja.

a) Hány olyan gép van, amelynek két példányát összekapcsolva olyan gépet kapunk, mint Ident, ami minden korongot olyannak hagy, amilyen volt?

b) Hány olyan gép van, amelynek megfelelő számú példányát összekapcsolva Identet kapjuk?

V. Bergengócia nemzeti ünnepe alkalmából kedvezményesen árusítják mindazokat a gépeket, amelyeknek

a) két példányát

b) néhány (megfelelő számú)

példányát egymás mögé kapcsolva az összekapcsolt gép úgy működik, mint Piri, azaz minden golyót pirosra fest. Hányféle gépet árusítanak akciósan az a) illetve a b) esetben?

VI. A MikiFoszt gyárban új stratégiát dolgoztak ki a festőgépek minél olcsóbb előállítása érdekében. Az elképzelés szerint csak néhány fajta gépet gyártanának, azokból viszont sokat, és e néhány fajta gép példányainak megfelelő összekapcsolásával állítanák elő a többi gépet is.

Mennyi a néhány, azaz legkevesebb hányfajta gép segítségével lehet a stratégiát megvalósítani, ha egyelőre csak annak a 120 gépnek az előállítására törekednek, amelyek különböző színű golyókból különbözőeket készítenek?

6.2.0.1 Ajánló

Kosztolányi József, Mike János, Kozmáné Jakab Ágnes, Dr Szederkényi Antalné, Vincze István, Összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek[];

Hajnal Péter Elemi kombinatorikai feladatok[], 5. fejezet (Leképezések összeszámlálása).

6.3 Különböző sorozatok

Alább sorozatokkal kapcsolatos példák találhatók kissé összekeverve. Az egyik feladat éppen az, hogy megtaláljuk az egymással analóg példákat, akkor is, ha nem tudjuk megtalálni az azokat leíró képletet.

A gyűjteményben még a 3.2. Lineáris rekurziók fejezet szól kifejezetten sorozatokról.

6.3.1. Feladat(I. mego., II. mego.)

Legfelejebb hány új egyenes keletkezik, ha összekötjük hat egyenes metszéspontjait?

6.3.2. Feladat(Mego.)

Adott a síkon hat pont úgy, hogy semelyik három sem esik egy egyenesre. Meghúzzuk az összes pontpár által alkotott szakasz felezőmerőlegesét. Legfeljebb hány egyenest kapunk? Ha ezek a felezőmerőlegesek mind különbözőek, akkor legfeljebb hány metszéspontjuk lehet?

6.3.3. Feladat(Segít.)

Hányféleképpen jutatunk el a 39 ábrán A-ból B-be, ha csak jobbra, jobbra felfelé és jobbra lefelé léphetünk? Általánosítsunk!

39. ábra

6.3.4. Feladat(I. mego., II. mego.)

Öt diák Anna, Bea, Cili, Detti és Edit jó barátnők, de minden nap összevesznek, minden nap három klikket alakítanak. Hányféleképpen lehetséges ez a klikkesedés? (A három csoport egyike sem üres, és mindenki pontosan az egyik klikkbe tartozik aznap)

6.3.5. Feladat (a), b), c) mego., d) I. mego., d) II. mego.)

Hányféle sorrendben érkezhet be

a) 3; b) 4;

c) 5; d) n

versenyző a célba, ha holtverseny is megengedett?

6.3.6. Feladat (Segít., Eredm., Mego.)

Hányféleképpen rakhatók sorba a

2 , 3 , 4 , 5 , , 2009 , 2010

számok úgy, hogy a sorban k-adik szám minden k{1,2,3,,2008,2009} értékre osztható legyen k-val?

6.3.7. Feladat (I. segít., II. segít., I. mego., II. mego.)

Hányféleképpen fedhető le egy 2×n-es téglalap (lásd a 40 ábrát) hézag és átfedés nélkül 1×2-es dominókkal?

40. ábra

6.3.8. Feladat(Segít., Eredm)

Hányféle sorrendben vehető le az összes kavics, ha egy lépésben csak olyan kavics vehető le, amelytől se balra és se fölfelé nincs több kavics és a kiinduló helyzet a 41 ábrán látható?

41. ábra

6.3.9. Feladat (I. mego., II. mego.)

Hányféleképpen juthatunk fel egy

a) 7-fokú, b) n-fokú

lépcsőn, ha egy lépésben egy vagy két fokot juthatunk feljebb (lásd a 42 ábrát)?

42. ábra

6.3.10. Feladat(I. mego., II. mego.)

Hányféleképpen juthatunk fel a 10-fokú lépcsőn, ha egyszerre csak 2 vagy 3 fokot léphetünk felfelé?

6.3.11. Feladat(Segít.)

Az ebben a feladatban szereplő számsorozat mindegyik tagját az előző tagból számítjuk ki. Ha az előző tag páros, akkor az új tag annak fele lesz, amennyiben viszont az előző tag páratlan, akkor az új tag annak háromszorosánál eggyel kisebb szám lesz.

d n + 1 = d n / 2 ,  ha  d n  pros 3 d n - 1 ,  ha  d n  pratlan

Azt tudjuk még, hogy a sorozat ötödik eleme, d5=17.

a) Adjuk meg a sorozat első tíz elemét!

18. táblázat

b) Adjuk meg a sorozat 100. elemét, d100 értékét!

6.3.12. Feladat(Segít., c) mego.)

Az ebben a feladatban szereplő számsorozat mindegyik tagját az előző tagból számítjuk ki. Ha az előző tag páros, akkor az új tag annak fele lesz, amennyiben viszont az előző tag páratlan, akkor az új tag annak háromszorosánál eggyel nagyobb szám lesz.

e n + 1 = e n / 2 ,  ha  e n  pros 3 e n + 1 ,  ha  e n  pratlan

Azt tudjuk még, hogy a sorozat ötödik eleme, e5=17.

a) Adjuk meg a sorozat első tíz elemét!

19. táblázat

b) Adjuk meg a sorozat 100. elemét, e100 értékét!

c) Módosítunk sorozatunkon! Legyen az első elem e1=27. Igaz-e, hogy ezen sorozat egyik eleme az 1?

6.3.13. Feladat(I. segít., II. segít.)

Hány olyan nyolcjegyű pozitív egész szám van, amelyben 1-es és 2-es számjegyek vannak, és nincs a számban két 1-es egymás mellett?

6.3.14. Feladat(Mego.)

Egy bolha a koordinátarendszer origójából indul, minden ugrásával az adott ponttól fölfelé vagy jobbra szomszédos rácspontra ér. Hányféleképpen juthat el a bolha az (5;5) pontba úgy, hogy közben nem ugorhat rá a pozitív síknegyen szögfelezőjére?

6.3.15. Feladat(Ötlet)

Hányféleképpen osztható fel egy konvex hétszög egymást nem metsző átlóival háromszögekre?

6.3.16. Feladat(Segít., Mego.)

Hányféleképpen olvasható ki a 43 ábráról a Liber Abaci könyvcím, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk, és kettőnél többször nem léphetünk egymás után ugyanabba az irányba?

43. ábra

6.3.17. FeladatKorongokat rakunk egy táblára. Alul 5 hely van, ezekbe lehet tenni a legalsó korongokat. Ha két szomszédos helyen van korong, akkor rájuk (közéjükföléjük) tehető egy újabb korong. Így legfeljebb 5+4+3+2+1=15 korongot tehetünk a táblára. Hányféle stabil állásban helyezhetők el a korongok? A 44 ábrapáron egy-egy megfelelő állás látható.

44. ábra

6.3.18. Feladat(Mego.)

Tekintsük a p(x)=x2-x-1 polinomot!

a) Határozzuk meg p zérushelyei tizedik hatványának összegét!

b) Igaz-e, hogy a p zérushelyei 2011. hatványának összege is egész?

6.3.19. Feladat(Mego.)

Legyen Ln az n-elemű halmaz részhalmazaiból álló

{ } = H 0 H 1 H k - 1 H k = { 1 , 2 , 3 , , n }

szigorúan monoton sorozatok száma. (Tehát Li részhalmaza Li+1-nek, de nem egyezik meg vele és k{1,2,,n} tetszőleges, nem rögzített szám.)

Adjuk meg L1, L2, L3, L4 és L5 értékét!

6.3.20. Feladat(Segít.)

Egy sorozat első tagja 1999, az újabb tagot pedig mindig úgy kapjuk, hogy az előző tag számjegyeinek összegét megszorozzuk 13-mal. Határozzuk meg a sorozat 1999. tagját!

6.3.21. Feladat(Segít.)

A 2, 22, 23, 24, 25, sorozatban található-e két olyan különböző szám,amelyek különbsége osztható 100-zal?

6.3.22. Feladat(Mego.)

Vizsgáljuk a b0=1, bn+1=1+11+bn sorozatot! Fogalmazzuk meg minél több tulajdonságát, próbáljuk meg igazolni észrevételeinket!

6.3.23. Feladat(Mego.)

Jelölje rendre En, Sn, Tn, azt hogy legfeljebb hány részre osztja n pont az egyenest, n egyenes a síkot illetve n sík a teret! Töltsük ki az alábbi táblázatot!

20. táblázat

Adjuk meg En, Sn, Tn explicit képletét!

6.3.24. Feladat(Segít.)

A diákönkormányzati választáson 13-an szavaztak, közülük 8-an az A jelöltre, míg 5-en a B jelöltre. A szavazatszámlálást úgy végzik, hogy az urnából egyesével húzzák ki a szavazócédulákat és felolvassák a rá írt nevet. Mennyi az esélye, hogy ennek során az A jelölt végig vezet a B előtt (döntetlen állapot sincs)?

6.3.25. Feladat(Mego.)

A művelet nem asszociatív. Ezért a abcd kifejezés értelmezéséhez ki kell tennünk a zárójeleket, a sorrend egyértelműsítése miatt két pár zárójelet. Ez ötféleképpen végezhető el:

( ( a b ) c ) d , ( a b ) ( c d ) , ( a ( b c ) ) d ,

a ( ( b c ) d ) , a ( b ( c d ) )

Hányféleképpen zárójelezhetők az öttagú és a hattagú összegek?

6.3.26. Feladat

a) Legfeljebb hány részre oszthatja a síkot k kör?

b) Legfeljebb hány részre oszthatja a teret g gömb?

6.3.27. Feladat(Mego.)

Egy tízemeletes épület emeleteit úgy akarják kiszínezni, hogy szomszédos szintek mindig különböző színűek legyenek. Hányféle színezés lehetséges, ha csak háromféle szín pirosat, fehér és zöld használható?

6.3.28. Feladat (a) I. mego., II. mego., b) mego.)

Hányféleképpen fedhető le egy 3×10-es téglalap (lásd a 45 ábrát) hézag és átfedés nélkül

45. ábra

a) 1×3-es dominókkal (lásd a 46 ábrát)?

46. ábra

b) három kis négyzetből álló L alakú lapokkal (lásd a 47 ábrát)?

47. ábra

6.3.29. Feladat(Mego.)

Hány olyan szigorúan monoton növő sorozat van, amelyben a páratlan indexű tagok páratlan, a páros indexűek páros pozitív egész számok és nem nagyobbak 13-nál?

6.3.30. Feladat(I. segít., II. segít.)

2 és 3 közé iktassunk be 9 számot úgy, hogy a kapott 11 szám közül bármelyik három nagyság szerint egymás után következő közül a középső a másik kettő

a) számtani; b) mértani; c) harmonikus

közepe legyen! Írjuk fel a számokat!

6.3.31. Feladat(Mego.)

Egy tízemeletes épület emeleteit

a) kék és piros; b) kék, piros és sárga

színekkel festik ki úgy, hogy szomszédos szintek nem lehetnek mindketten kékek. Hányféle színezés lehetséges?

6.3.32. Feladat (I. mego., II. mego.)

Hányféleképpen színezhető ki egy hétszintes ház, ha minden emelet piros vagy kék és legfeljebb három egymás feletti emelet lehet azonos színű?

6.3.33. Feladat(Mego.)

Az e egyenes egyik oldalán adottak az e-t és egymást érintő k0, k1 körök. Ezekből képezzük körök {kn} sorozatát úgy, hogy mindegyik kör érintse az e egyenest és a sorozatban előtte és után helyezkedő két kört és az ezek által meghatározott véges tartományban helyezkedjék el (lásd a 48 ábrát).

Határozzuk meg a k10 kör sugarát, ha k0 és k1 sugara egységnyi!

48. ábra

6.3.34. Feladat(Mego.)

Különleges kőtábla került elő Arbeglában, egy rejtélyes eljárás kissé hiányos leírása:

Végy egy pozitív számot!

1. Képezd a szám egészrészét és a törtrészét!

2. Az egészrészt írd föl a táblára!

3. Ha a törtrész 0, akkor fejezd be az eljárást!

4. Ha a törtrész nem 0, akkor képezd a törtrész .................., és kezdd el vele az eljárást az 1. lépéstől! Az új egészrészt írd mindig a korábbiak mellé!

Sajnos a kipontozott részen álló szó lekopott, nem lehetett elolvasni. A matematika történetének kutatói valószínűnek tartják, hogy a kétszeresét " szó állhatott ott.

a) Mely kezdeti számok esetén fejeződik be véges sok lépésben az eljárás?

b) Mely kezdeti szám esetén kerülne fel a táblára a végtelen hosszú 1,1,1,1, sorozat?

6.3.35. Feladat(Mego.)

A 6.3.34 feladatban fölbukkant kőtábláról Dr. Kekecnek különvéleménye van. Szerinte a kipontozott helyen a reciprokát" szó állhatott. Mi a válasz az a), b) kérdésekre ebben az esetben?

6.3.36. Feladat Azt mondjuk, hogy egy sorozat Fibonacci-típusú, ha tagjai pozitív egészek és a harmadik tagtól kezdve minden eleme az előző kettő összege. Például

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , . . . ,

vagy

3 , 1 , 4 , 5 , 9 , 14 , . . .

Hány olyan Fibonacci-típusú sorozat van, amelynek 8. eleme 2008?

6.3.37. FeladatUgorj, kenguru I. []

Az Ugorj, kenguru nevű játék táblája körben elhelyezkedő mezőkből áll, amelyeken egy kenguru ugrál. Kezdetben az A mezőn áll (lásd a 49. ábrát) és minden lépésben, a játék menetétől függően, valamelyik szomszédos mezőre ugrik át. Ha a szürke mezőre ér a kenguru, akkor a játék véget ér.

Hányféle olyan játékmenet képzelhető el, amely épp k lépésből áll, ha k értékét és a tábla és a befejező szürke mező helyét a 49 ábra mutatja?

49. ábra

6.3.38. FeladatUgorj, kenguru II. []

Az Ugorj, kenguru nevű játék táblája körben elhelyezkedő nyolc mezőből áll, amelyeken egy kenguru ugrál. Kezdetben az A mezőn áll és minden lépésben, a játék menetétől függően, valamelyik szomszédos mezőre ugrik át (lásd a 50 ábrát). Hányféleképpen érhet 2012 lépésben az E-vel jelölt mezőre, ha a játék

a) nem ér véget, b) azonnal véget ér,

ha az E mezőre lép?

50. ábra

6.3.39. Feladat(Mego.)

Ha egy sorozat különbségi sorozata konstans, akkor az egy számtani sorozat. Ha a sorozat különbség sorozatának különbségi sorozata konstans, akkor az a sorozat egy másodfokú polinommal írható le. Dolgozzunk ki módszert, amellyel hatékonyan fel tudjuk írni az ilyen sorozatok képletét. Próbálkozzunk pld az alábbi sorozattal, amelynek harmadik különbségi sorozata konstans!

21. táblázat

6.3.40. FeladatA négyzetszámok összegképlete(I. mego., II. mego., III. mego.)

Igazoljuk az első n négyzetszám összegére vonatkozó formulát!

1 2 + 2 2 + + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 .

6.3.41. FeladatA köbszámok összegképlete(I. mego., II. mego., III. mego.)

Igazoljuk, hogy bármely n pozitív egész számra fennáll az

1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2

összefüggés!

6.3.0.1 Ajánló

Általában a sorozatokról:

Neil J. A. Sloane The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences,

http://oeis.org/ .

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik Konkrét matematika"[], 6., 7. fejezetek;

a Fibonacci sorozatról:

Török Judit A Fibonacci-sorozat[];

Gerőcs László A Fibonacci-sorozat általánosítása[];

A Wolfram Mathworld[],

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html ;

A plus[] oktatási oldal cikke:

http://plus.maths.org/content/life-and-numbers-fibonacci ;

a Catalan számokról:

Elekes György Kombinatorika feladatok[] 4.2. fejezet (Tükröm, tükröm...);

Cofman Judit Catalan numbers for the classroom?"[];

Tom Davis Catalan numbers

http://mathcircle.berkeley.edu/BMC6/pdf0607/catalan.pdf ;

Bege Antal, Kása Zoltán Coding objects related to Catalan numbers[]

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/begekasa.pdf .

a Stirling számokról:

Elekes György Kombinatorika feladatok[], 4.1. fejezet;

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik Konkrét matematika"[], 6.1. fejezet;

Norman John Wildberger Insights into mathematics előadássorozatában[],

http://www.youtube.com/watch?v=LB68I4mkb8Y .

a rendezett Bell számok a Wikipédián:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_Bell_number

végül:

Henry W. Gould, Timothy J. Glatzer Bell and Catalan Numbers: A Research Bibliography of Two Special Number Sequences[],

6.4 Sorozatok tulajdonságai

6.4.1. Feladat(Mego.)

Igaz-e, hogy ha az {an}n=1 és a {bn}n=1 sorozatok monoton sorozatok, akkor az {an+bn}n=1 sorozat is monoton?

6.4.2. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego.)

A Weierstrass tétel értelmében bármely végtelen sorozatnak van monoton részsorozata. Tekintsük ennek véges változatát: legyen a1,a2,,ak egy véges valós sorozat. Rendeljük bármely ai eleméhez a (ci,ni) számpárost; ci jelentse azt, hogy az ai-vel kezdődő leghosszabb monoton csökkenő részsorozatnak ci a hossza, ni medig a maximális, ai-val kezdődő monoton növő részsorozat hossza.

Az a1=1,a2=-1,a3=2,a4=-2 sorozatnál pl. (c1=3;(1>-1>-2) és n2=2;(-1<2). Bizonyítsuk be, hogy

a) Az ai(ci,ni) leképezés injektív,

b) Ha k=N2+1, akkor a sorozatnak van N-nél hosszabb monoton részsorozata,

c) A k=N2 esetén van olyan sorozat amelyikben nincs N-nél hosszabb monoton részsorozat.

6.5 Egyenlőtlenségek

6.5.1. Feladat(b) mego., Segít. c)-hez, c) mego.)

Bizonyítsuk be, hogy

a) Bármely x1,x20 számra x1+x22x1x2

b) Az a) segítségével bármely x1,x2,x3,x40 számra

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 x 1 x 2 x 3 x 4 4

c) a b) segítségével x1,x2,x30 számra x1+x2+x33x1x2x33. .

a), b), c) esetekben pontosan mikor van egyenlőség?

6.5.2. Feladat(Mego.)

Az A=20132012, B=20122013 számok közül melyik a nagyobb? Osszuk el a nagyobbikat a kisebbikkel és adjuk meg a hányados egészrészét!

6.6 Sorok, sorozatok határértéke

6.6.1. Feladat(I. mego., II. mego.)

Bizonyítsuk be, hogy azon egész számok reciprokainak az összege, amelyek a 10-es számrendszerben nem tartalmazzák a 7 számjegyet, konvergens!

6.6.2. Feladat(I. mego., II. mego.)

Két, 30 km távolságban levő barát egymással szemben biciklire pattan, és elindulnak egymásfelé. Sebességük 10-10 km/h. Az indulás pillanatában egyikük orráról, kétszer olyan gyorsan mint ők, egy légy indul el a másik orra felé. Mikor odaér, abban a pillanatban visszaindul az első barát felé (az orrát keresve). Majd amikor elérte megfordul, és így tovább, a két biciklista találkozásáig. A kérdés az, összesen hány km-t repül a légy.

6.6.3. Feladat[](I. mego., II. mego.)

Az 1930-as években ösztönözve a gazdaságot 1 koronáért olyan csokit lehetett kapni, amelyikben egy papír volt ezzel a felirattal: "Ha tíz ilyen papírt összegyűjtesz, azt beválthatod egy ilyen csokira" Valójában 1 koronáért akkor hány csokit kapott az ember?

6.6.4. Feladat(Mego.)

Akhilleusz az ókor leggyorsabb futója 1 sztadion (185m) előnyt ad egy teknősnek, aminél ő 10-szer gyorsabb. Zenon szerint: míg Akhileusz befutja az 1 sztadion távolságot, addig a teknős ennek a tizedét futja be, tehát 1/10 előnye van. Míg Akhileusz befutja az 1/10 sztadion távolságot, addig a teknős ennek a tizedét futja be, tehát 1/100 előnye van és így tovább. Akhileusz sohasem fogja utolérni a teknőst.

Hol a hiba Zenon érvelésében?

6.6.5. Feladat(a) mego., b) mego.)

A sík egy részhalmazát nevezzük d-sávnak, amelyik két egymástól d távolságra levő párhuzamos egyenesből, és a közöttük levő pontok halmazából áll. Lefedhető-e a sík végtelen sok a1-,a2-,,ak-,sávokkal, ha

a) k=1ak konvergens,

b) k=1ak divergens és nincs két olyan sáv, amelyik párhuzamos lenne?

6.6.6. Feladat(Mego.)

Legyen

a 1 = q , a 2 = q + q , a 3 = q + q + q , a 4 = q + q + q + q , .

Hány olyan q2, valós szám van, amelyre létezik a limnan, és amelyre ez a határérték éppen q ?

6.6.7. Feladat(Mego.)

Mi lenne a jelentése a

2 2 2

végtelen toronynak? Ha értelmes a jelölés, mennyi az értéke?

6.7 Szélsőérték, értékkészlet

6.7.1. Feladat(Mego.)

Adott 1.2m drótból készítsünk egy négyzetes alapú hasábot, melynek térfogata maximális!

6.7.2. Feladat(Mego.) Adott egyenes körkúpba írjunk maximális felszínű hengert.

6.8 Függvények tulajdonságai

6.8.1. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy egy sokszög tetszőleges pontján keresztül húzható olyan egyenes, amelyik felezi a sokszög területét!

6.8.2. Feladat(Mego.)

Tegyük fel, hogy egy, az összes valós számokon értelmezett f(x) függvényhez találunk két olyan értéket, d1d2 valósakat, hogy az f(x-d1) és az f(x-d2) függvény is páros.

Bizonyítsuk be, hogy f(x) periodikus!

6.8.3. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy ha egy mindenütt értelmezett f(x) valós függvénynek minden irracionális szám periódusa, akkor az f(x) egy konstans függvény.

6.8.4. Feladat(Mego.)

a) Igaz-e, hogy ha egy mindenütt értelmezett f(x) valós függvénynek minden racionális szám periódusa, akkor az f(x) egy konstans függvény?

b) Van-e olyan mindenütt értelmezett f(x) valós függvény, melynek az a+b2,a,bZ alakú számok és csak azok a periódusai?

6.8.5. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy a f(x)=x2 függvény nem áll elő két periodikus függvény összegeként!

6.8.6. Feladat(Kömal Gy. 2182)(Mego.)

Bontsuk fel az f(x)=2x2+5x-3 függvényt két szigorúan monoton függvény különbségére!

6.8.7. Feladat(Mego.)

Tegyük fel, hogy egy -1-et és 0-t nem felvevő függvényre teljesül, hogy bármely xR,

f ( x + 1 ) = f ( x ) - 1 f ( x ) + 1 .

Bizonyítsuk be, hogy f(x) periodikus függvény.

6.8.8. Feladat(Mego.)

Legyen f(x)α0 szerint periodikus függvény, g(x)β0 szerint periodikus függvény,és tegyük fel, hogy α/β racionális szám.

Bizonyítsuk be, hogy ekkor f(x)+g(x) is periodikus!

6.8.9. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Bizonyítsuk be, hogy ha a<b<c, akkor az

( x - a ) ( x - b ) + ( x - a ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - b ) = 0

egyenletnek léteznek valós gyökei x1,x2, amelyekre a<x1<b<x2<c.

6.8.10. Feladat(Mego.)

Döntsük el, igaz vagy hamis!

a) Van olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya végtelen, értékkészlete véges halmaz.

b) Van olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya véges, értékkészlete végtelen halmaz.

c) Van olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya korlátos, értékkészlete végtelen halmaz.

d) Van olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya végtelen, értékkészlete véges halmaz és kölcsönösen egyértelmű.

e) Van olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is a valós számok halmaza és mégsem kölcsönösen egyértelmű.

f) Van olyan függvény, amely páros is meg páratlan is.

6.8.11. Feladat(Mego.)

a) Lehet-e egy minden valós számon értelmezett pozitív értékű függvény páros, illetve páratlan?

b) Igaz-e, hogy ha f(x) páros függvény, akkor x=0-ban szélsőértékhelye van?

c) Lehet-e egy minden valós számon értelmezett páros, illetve páratlan függvénynek pontosan 1,2,3 szélsőértékhelye?

6.8.12. Feladat(Mego.)

Legyen f(x) egy tetszőleges, mindenhol értelmezett valós függvény. Igaz-e, hogy ekkor létezik olyan g(x) függvény, amelyikre

a) f(g(x)) periodikus,

b) f(g(x)) páros függvény,

c) f(g(x)) páratlan függvény?

6.9 Szám és ponthalmazok

6.9.1. Feladat(Mego.)

A síkon a [0,) zárt félegyenes olyan halmaz, amelynek van önmagával egybevágó valódi részhalmaza; pl. az [1,) zárt félegyenes.

Van-e a síknak olyan korlátos halmaza, amelynek van önmagával egybevágó valódi részhalmaza?

6.9.2. Feladat(Mego.)

Tekintsük az első síknegyed következő ponthalmazát:

X a : = { ( x , y ) : x a + a y 4 1 ; a R + } ,

azaz egy negatív meredekségű egyenes és az efeletti pontok halmazát az első síknegyedben.

Bizonyítsuk be, hogy e halmazok közös része, azaz aR+Xa, az első síknegyed xy1, konvex hiperbolatartománya!

6.9.3. Feladat(Mego.)

Írjuk a tizedesvessző után a tizes számrendszerben felírva a négyzetszámokat, azaz legyen α=0,149162536! Bizonyítsuk be, hogy α irracionális!

6.9.4. Feladat(Mego.)

Egy bolha ugrál a számegyenesen, a 0-ból indul, egyszerre egységnyi hosszút tud ugrani. Eljuthat-e végtelen hosszú élete során minden egész pontba? Mi a helyzet, ha a síkbeli négyzetrács rácspontjain ugrál? Mi történik, ha a kockarács rácspontjain ugrál?