Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

4 Számelmélet

4 Számelmélet

4.0.0.1 Ajánló

Alapvető és átfogó könyvek a témában:

Dr. Szalay Mihály Számelmélet[] A speciális matematika osztályok számára;

Sárközy András Számelmélet példatár"[] Bolyai sorozat;

Sárközy András és Surányi János Számelmélet feladatgyűjtemény[];

Freud Róbert, Gyarmati Edit Számelmélet"[];

Erdős Pál és Surányi János Válogatott fejezetek a számelméletből"[];

Waclaw Sierpinski 200 feladat az elemi számelméletből"[];

Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman Bevezetés a számelméletbe"[].

4.1 Osztók és többszörösök

4.1.1. Feladat(Mego.) Béla egy papírlapot tetszőleges módon felosztott 7 részre. Az így kapott részek közül az egyik részt felosztotta 13 részre, majd a kapott részek egyikét ismét 7 részre, és így folytatta, arra sem ügyelve, hogy a 7, illetve a 13 részre osztást váltogatva végezze. Bizonyos számú osztás után megszámolta a kapott részeket, és azt állította, hogy 2000 részt kapott.

a) Lehet-e, hogy jól számolt?

b) Mi a helyzet, ha nem 2000 darabot szeretett volna kapni?

Milyen darabszámokat kaphat Béla, ha egy lépésben

c) 7 és 16 d) 7 és 14

részre oszthat?

4.1.2. Feladat(Mego.) Egy táblára felírtuk az 1, 2, 3, , 1999, 2000 számokat (az első 2000 darab pozitív egészet). Ezek közül két tetszőleges számot letöröltünk, és helyettük a különbségüket írtuk fel. Ezt az eljárást addig ismételtük, amíg egyetlen szám maradt. Páros ez, vagy páratlan?

Mi a helyzet 1, 2, , n esetén?

4.1.3. Feladat(Mego.)

Állapítsuk meg, hogy az alábbi következtetések közül melyik helyes!

1. táblázat

4.1.4. Feladat(Mego.) Adjuk meg prímtényezős alakban azt a legkisebb pozitív egész számot, melyre igaz az állítás:

a) 5-tel osztható négyzetszám

b) 10-zel osztható négyzetszám

c) 21-gyel osztható négyzetszám

d) 3-mal osztható páros négyzetszám

e) 5-tel osztható 0-ra végződő négyzetszám

f) 12-vel osztható köbszám

g) 27-tel és 24-gyel osztható négyzetszám

h) páros, 3-mal osztható, de 18-cal nem osztható négyzetszám

i) 20-szal osztható és a duplája négyzetszám

4.1.5. Feladat(Mego.)

Keress megfelelő m, n, k számokat, amelyekre az alábbi valamelyik feltétel teljesül! ((a;b) az a és b egész számok legnagyobb közös osztóját jelenti, [a;b] pedig a legkisebb közös többszörösüket.)

a) (m;n)=12, (m;k)=80 és (n;k)=77

b) (m;n)=21 és [m;n]=3689

c) (m;n)=120 és 5mn négyzetszám.

4.1.6. Feladat(Mego.)

Melyik az a legnagyobb kettőhatvány, amely osztja 2010!-t?

4.1.7. Feladat(A 4.1.7 a) mego., b) I. mego., b) II. mego.)

Ha összeszorozzuk 1-től 100-ig a pozitív egészeket, a szorzat nyilván 0-ra végződik, de hányra? a) Hány 0-ra végződik a 100!?

b) Mi az utolsó nem 0 számjegye a szorzatnak?

4.1.8. Feladat(Mego.)

Hány olyan különböző számpár van, amelyeknek legnagyobb közös osztója 7 és legkisebb közös többese 186340?

4.1.9. Feladat(Mego.)

Melyik az a legnagyobb négyzetszám, amely az 50!-nak osztója?

4.1.10. Feladat(Mego.)

a) Hány olyan 600-nál kisebb természetes szám van, amelyik sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel nem osztható?

b) Hány olyan természetes szem van, amelyik 6000-nél kisebb és relatív prím a 6000-hez?

4.1.11. Feladat(Mego.)

Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám páros osztóinak összege kisebb legyen a páratlan osztók összegénél?

4.1.12. Feladat(a) mego., b) mego.)

a) Egy sorban elhelyeztünk 100 korongot, melyek egyik fele piros, a másik kék. Kezdetben minden korongnak a piros fele van felül. Ezután első lépésben az összes korongot megfordítjuk. Második lépésben minden másodikat megfordítunk, a harmadik lépésben minden harmadikat, és így tovább, a k-adik lépésben minden k-adik korongot megfordítunk, végül csak a századikat. Hány korongnak lesz végül a kék fele felül?

b) Mi a helyzet akkor, ha minden k-adik lépésben minden k-adik korongot k-szor fordítunk meg?

4.1.13. Feladat(Sztrókay-Török: 1991 alapján)(Mego.)

a) Előáll-e a 2000 valahány (legalább kettő) egymást követő egész szám összegeként?

b) És egymást követő pozitív egészek összegeként?

c) A fenti a), b) esetekben hányféle előállítás van?

d) Előáll-e a 2000 szomszédos páros természetes számok összegeként?

e) Mi a helyzet más számokkal?

4.1.14. Feladat(Mego.)

1-től 10-ig a számokat számkártyákra írtuk. Szét lehet-e ezeket a kártyákat osztani 2 (3, 4, 5) dobozba úgy, hogy a számok

a) összege, b) szorzata

mindegyik dobozban ugyanannyi legyen?

4.1.15. Feladat(Mego.)

Legyen N4-gyel osztható egész, és jelentse S az [1,N] intervallumba eső, N-hez relatív prímszámok összegét, T az [1,N/2] intervallumba eső, N-hez relatív prímszámok összegét. Tehát pl. amikor N=4,S=1+3;T=1. Bizonyítsuk be, hogy az S/T hányados N-től függetlenül mindig 4.

4.1.0.1 Ajánló

Jakucs Erika Számelmélet, 6. osztály egy lehetséges felépítés"[].

Kosztolányi József Számelméleti érdekességek" a [] kötet 159-173. oldalain.

4.2 Oszthatósági szabályok

4.2.1. Feladat(Mego.)

Ismeretes, hogy 35!=10333147966386144929ab6651337523200, ahol a kipontozott helyen már csak 0-k állnak. Határozzuk meg az a és a b számjegyet!

4.2.2. Feladat(Mego.)

Keressünk olyan négyzetszámot, amelyben a számjegyek összege 150.

4.2.3. Feladat(Mego.)

Adjunk meg három különböző számot úgy, hogy bármelyik kettő ne legyen relatív prím, de a három számnak mégse legyen közös valódi osztója!

Adjunk meg végtelen sok ilyen számhármast!

4.2.4. Feladat(Mego.)

A 14 ábrán látható 75-os körcikket elforgatjuk 75-kal az óra járásával ellenkező forgásirányban. A kapott körcikket újból elforgatjuk 75-kal, stb. Hányszor kell a forgatást elvégezni, hogy visszajussunk az eredeti körcikkhez?

14. ábra

4.2.5. Feladat(Mego.)

Egy a×b-es rácstéglalapnak behúzzuk az egyik átlóját, és kiszínezzük azokat a rácsnégyzeteket, melyekbe az átló belemetsz (melyeknek van közös szakasza az átlóval). Hány mező lesz beszínezve?

15. ábra

4.2.0.1 Ajánló

Pálfalvi Józsefné Barátkozzunk a számokkal!"[];

Gábos Adél és Halmos Mária Számelmélet munkafüzet I. osztály[].

4.3 Számrendszerek

4.3.1. Feladat(Mego.)

Írjuk fel tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek tizenegyes számrendszerben a0b, a kilences számrendszerben pedig b0a alakúak!

4.3.2. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Állítsuk elő 2010-et kettes számrendszerben, azaz

k = 0 m n k k ! = n m 2 m + n m - 1 2 m - 1 + + n 3 2 3 + n 2 2 2 + n 1 2 1 + n 1 2 0

alakban, ahol m, n0, n1, , nm egészek, m pozitív és k{0,1,,m} esetén 0nk1.

4.3.3. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego.)

A tízes számrendszerbeli 2010, tehát 201010 nem osztható héttel.

a) Mutassuk meg, hogy ha a számrendszer alapszáma osztható héttel, akkor abban a számrendszerben a 2010 alakban leírt szám is osztható héttel.

b) Van -e olyan héttel nem osztható a alap, hogy a 2010a szám osztható héttel?

c) Van -e olyan tizeneggyel nem osztható a alap, hogy a 2010a szám osztható tizeneggyel?

4.3.4. Feladat(Mego.)

Bizonyítandó, hogy egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha utolsó számjegyének kilencszeresét levonva az utolsó számjegy levágásával keletkező (eggyel kevesebb jegyű számból 7-tel osztható számot kapunk.

4.3.5. Feladat(Mego.)

Az 125574392777540024307 szám milyen maradékot ad 2-vel, 3-mal, 9-cel, 10-zel osztva? Mi a helyzet 8-as, illetve 9-es számrendszerben?

4.3.6. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego.)

Melyek azok a számrendszerek, amelyekben az

a) 169; b) 196; c) 225

számjegysorozattal leírt szám négyzetszám?

4.3.7. Feladat(a) I. mego., a) II. mego., b) mego.)

a) Melyik az a számrendszer, amelyben a 2222 és a 0,2010201020102010... számok szorzata egész szám?

b) Melyik számrendszerben teljesül a

2010 0 , 2222222 . . . = 2222 0 , 201020102010 . . .

összefüggés?

4.3.8. Feladat(2010 faktoriális számrendszerben) (I. mego., II. mego.)

Állítsuk elő 2010-et faktoriális számrendszerben, azaz

k = 1 m n k k ! = n m m ! + n m - 1 ( m - 1 ) ! + + n 3 3 ! + n 2 2 ! + n 1 1 !

alakban, ahol m, n1, n2, , nm egészek, m pozitív és k{0,1,,m} esetén 0nkk.

4.3.9. Feladat(Mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy minden 6-nál nagyobb egész előáll különböző prímszámok összegeként!

b) Legyen f1=1;f2=2 ás fn+1=fn+fn-1 az ú.n. Fibonacci sorozat. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész szám előáll különböző Fibonacci szám összegeként! (mind az a), mind a b) feladatban az egy tagból álló számokat is tekintsük összegnek!)

4.3.0.1 Ajánló

Gyűjteményünkben még ide tartoznak a 6.3.34, 6.3.35 feladatok is. Könyvek a témában:

Lánczos Kornél Számok mindenütt"[];

Fried Ervin Oszthatóság és számrendszerek[];

Maurer I. Gyula Tizedes törtek és lánctörtek"[].

4.4 Maradékok

4.4.1. Feladat(Mego.)

Hat kosárban tojások voltak. Némelyikben tyúktojások, másokban kacsatojások, mindegyik kosárban csak egyféle. Az egyes kosarakban sorra 8, 13, 15, 18, 19 és 21 tojás volt. Ha eladom ezt a kosár tojást, akkor kétszer annyi tyúktojásom marad, mint kacsatojásom. Melyik kosárra gondolt?

4.4.2. Feladat(A 4.4.2 a) mego., b) I. mego., b) II. mego.) a) Van-e 59-nek olyan többszöröse, amely 3 darab 1-es számjegyre végződik?

b) Ha igen, keressük meg a legkisebb ilyen pozitív többszöröst!

4.4.3. Feladat (OKTV, 2005-2006., III. kat., 1. forduló, 1. feladat)(Mego.)

Igaz-e, hogy a 7k+3, k=0,1,2, számtani sorozatban végtelen sok palindrom szám van? (Azokat a számokat nevezzük palindrom számoknak, amelyek tízes számrendszerbeli alakjában a jegyeket fordított sorrendben felírva ugyanahhoz a számhoz jutunk, pl. 12321.)

4.4.4. Feladat(Mego.)

Tegyük fel, hogy néhány egész szám összege osztható 6-tal. Bizonyítsuk be, hogy akkor köbeinek az összege is osztható 6-tal!

4.4.5. Feladat(Mego.)

Állítsuk elő 2010-et minél kevesebb négyzetszám összegeként!

4.4.6. Feladat (Arany Dániel Verseny, 2010-2011, Kezdők, 2. ford., III. kat., 3. fel.)(I. mego., II. mego.)

Jelölje P a prímszámok halmazát! Legyen f:PRx{x2-124}, ahol {z} a z szám törtrészét jelöli (azaz {z}=z-[z] és [z] a z egész része, vagyis az a legnagyobb egész szám, amely z-nél nem nagyobb)! Mi az f függvény értékkészlete?

4.4.7. Feladat(Arany Dániel Mat. Vers. 2003/2004, 3. kat., 9. évf., I. ford., 2. fel.)(Segít.)

Mely x, y és z egész számokra igaz az

x 2 + y 2 + z 2 = 2 2004

egyenlőség?

4.4.8. Feladat(Mego.)

Legyenek p,q,r pozitív prímek. Lehet-e p4+q4+r4-3 prímszám? Hány megoldása van a feladatnak?

4.4.9. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy ha négy négyzetszám összege osztható kilenccel, akkor szorzatuk is osztható kilenccel!

4.4.10. Feladat (OKTV 1995/96, II. kat., III. ford., 2. fel.)(Mego.)

Legyen n pozitív egész. Milyen n-ekre teljesül, hogy

n = d 1 2 + d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 ,

ahol d1, d2, d3, d4 az n szám négy legkisebb pozitív egész osztója?

4.4.11. Feladat(Segít.)

Mutassuk meg, hogy az 5x2+3y2=1 egyenletnek nincs megoldása a racionális számok körében!

4.4.12. Feladat(Mego.)

Oldjuk meg az egész számok körében az 5x2-14y2=11z2 egyenletet!

4.4.13. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Mutassuk meg, hogy ha az x, y egész számokra az x2+xy+y2 kifejezés értéke 0-ra végződik, akkor legalább két 0-ra végződik!

4.4.14. Feladat(Mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy öt egész közül ki lehet választani hármat, melyeknek összege osztható hárommal!

b) Igaz-e, hogy 2n-2 egész közül ki lehet választani n-et, melyeknek összege osztható n-nel?

4.4.15. Feladat(Mego.)

Legyen p prímszám, n tetszőleges egész szám. Mutassuk meg, hogy vannak olyan a, b egész számok, amelyekre p|a2+b2-n.

4.4.0.1 Ajánló

Pintér Klára Számoljunk maradékokkal!"[],

http://www.sulinet.hu/tanar/kompetenciateruletek/2_matematika/3_modulleirasok-tanar-tanulo-eszkoz/2_a_tipus/6-evfolyam/2_tanari_modulok/064-temakor/amat_0641__tanar.pdf

Alexander Bogomolny Cut the knot[] portálja a maradékokról:

http://www.cut-the-knot.org/blue/Modulo.shtml .

Wettl Ferenc Varázslók titkai – a nem feltáró bizonyítás, az [] kötetben (a teljes feldolgozás a 4.10. Hatványozás moduláris aritmetikában fejezet után történhet),

http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tkt/uj-matematikai-mozaik-uj/ar05.html .

4.5 Egy kis algebrával

4.5.1. Feladat(Mego.)

Gondoljunk egy 3 jegyű számra! Ha leírjuk kétszer egymás mellé, akkor egy hatjegyű számot kapunk. Osszuk el ezt a hatjegyű számot 13-mal, azután az eredményt 11-gyel, majd az így kapott eredményt 7-tel. Mit tapasztalunk? Mi a magyarázat?

4.5.2. Feladat(Mego.)

Gondoljunk egy 3 jegyű számra! Készítsük el a fordítottját, és vonjuk ki a nagyobbikból a kisebbet (ha egyenlők voltak, mindegy melyiket melyikből). Az eredményhez adjunk hozzá annak fordítottját. Mit tapasztalunk különböző számokkal próbálkozva? Mi a magyarázat?

4.5.3. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy ha egy ötjegyű szám osztható 271-gyel, akkor, ha néhány számjegyet levágunk a végéről és a szám elejére tesszük, az így kapott szám is osztható lesz 271-gyel.

4.5.4. Feladat(I. mego., II. mego.)

Egy 6-ra végződő, hatjegyű szám végén álló hatos számjegyet a szám elejére rakva a kapott hatjegyű szám éppen 4-szerese az eredetinek. Mi lehet ez a szám?

4.5.0.1 Megjegyzés a 4.5.4 feladathoz

A téma a 4.10.2 feladatban folytatódik.

4.5.5. Feladat(I. mego., II. mego.)

Melyik az a legnagyobb pozitív egész, amellyel n5-5n3+4n minden n esetén osztható?

4.5.6. Feladat(a) I. mego., a) II. mego., b) mego.)

Milyen n pozitív egész számokra igaz az, hogy bármely n egymást követő egész szám

a) összege; b) négyzetösszege

osztható n-nel?

4.5.7. FeladatKömal Gy. 2798, 1993/4.(Mego.)

Melyek azok az a, b számjegyek, amelyekre az ab¯, ba¯ kétjegyű számok legnagyobb közös osztója a2-b2?

4.5.0.2 Ajánló

Pintér Ferenc Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében a [] kötet 195-211. oldalain.

4.6 Diofantikus egyenletek

4.6.1. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Az n pozitív egész szám mely értékeire igaz, hogy n2+4n-5 egy egész szám négyzete?

4.6.2. Feladat(I. mego., II. mego.)

Határozzuk meg az összes olyan x egész számot, amelyre x2+19x+95 négyzetszám!

4.6.3. Feladat(Mego.)

Hány olyan egész számokból álló (x;y) számpár van amelyre

2 x + y + 2 x y = 2012 ?

4.6.4. Feladat(Arany Dániel Mat. Vers., 2008/2009, 3. kat., 9. évf., I. ford. 3. fel.)(Mego.)

Melyek azok a pozitív egész számok, amelyeknek pontosan négy (pozitív) osztója van és az osztóik összege 108?

4.6.5. Feladat(I. mego., II. mego.)

Milyen rácstéglalapokra teljesül, hogy a kerület és terület mérőszáma megegyezik?

4.6.6. Feladat(Mego.)

Egy téglalap alakú sütemény széle megégett. A sütit az oldalaival párhuzamos teljesen végig érő vágásokkal kisebb darabokra vágtuk. Azt tapasztaltuk, hogy az égett tehát a süti széléről származó darabok száma megegyezik az égett részt nem tartalmazó belső szeletek számával. Hány részre vágtuk fel a süteményt?

4.6.7. Feladat (I. mego., II. mego., III. mego.)

Írjuk fel a 29-et az összes lehetséges módon két törzstört összegeként!

4.6.8. Feladat(I. mego., II. mego.)

Egy-egy egységnyi oldalú négyzet, szabályos hatszög és szabályos tizenkétszög elhelyezhető egymás mellé úgy, hogy egy csúcsuknál összeérjenek és körülötte átfedés és hézag nélkül lefedjék a teljes szöget (lásd a 16 ábrát).

16. ábra

Mely két szabályos sokszöget helyezhetjük egy szabályos háromszög mellé az egyik csúcsánál úgy, hogy átfedés nélkül lefedjék a csúcs körüli teljes szöget?

4.6.9. Feladat(Mego.)

Két párhuzamos egyenes mindegyikén prímszám számú pontot jelöltünk meg. A megjelölt pontok mint csúcsok által meghatározott összes négyszög száma kétszerese a megjelölt pontok által meghatározott háromszögek számának. Hány ponttal van több az egyik egyenesen, mint a másikon?

4.6.10. Feladat(Mego.)

Az első Föld-Mars találkozón kiderült, hogy a marslakók lába épp olyan, mint az embereké, de a kezek és rajtuk az ujjak száma már más. Noha a marslakók hattal többen voltak, mint a földiek, ujjaikból (a kezeket és s lábakat is figyelembe véve) összesen 1-gyel kevesebb volt. Hány résztvevője volt az első találkozónak?

4.6.11. Feladat(Mego.)

Adjuk meg az összes olyan x, y egész számpárt, amelyre

x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = y ( y + 1 ) .

4.6.12. Feladat(Mego.)

Határozza meg azokat az egész számokból álló (x;y) számpárokat, amelyek kielégítik a következő egyenletet:

( x + 2 ) 4 - x 4 = y 3 .

4.6.0.1 Ajánló

dr Katz Sándor Algebrai kifejezések alkalmazása oszthatósági feladatokban és egyenletmegoldásban" a [] kötet 120-136. oldalain.

Számelmélet 7-8. évf a Matkönyv[] matematika tagozatos feladatgyűjteményben, http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_sz_i.pdf.

4.7 Számhalmazok

4.7.1. Feladat(Mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy minden 11-nél nagyobb egész szám előáll 3x+7y alakban, ahol x,y0 egész számok!

b) Bizonyítsuk be, hogy minden 2(b-1)-1-nél nagyobb egész szám előáll 3x+by alakban, ahol (3,b)=1,bN,x,y0 egész számok!

4.7.2. Feladat(Mego.)

Legyen A={a1<a2<<ak} és B={b1<b2<<bn} két, egészekből álló sorozat. A és B összegén a Minkowskitól származó A+B={ai+bj:1ik;1jn} halmazt értjük.

a) Bizonyítsuk be, hogy

k + n - 1 | A + B | k n .

b) Mikor és csak mikor van egyenlőség, azaz mikor igaz, hogy |A+B|=k+n-1 illetve mikor igaz, hogy |A+B|=kn?

4.7.3. Feladat(a) mego., b) mego., c) I. mego., c) II. mego., d) mego.)

Az 1-nél nem kisebb, 100-nál nem nagyobb természetes számok közül maximum hányat lehet kiválasztani úgy, hogy a kiválasztottak közül bármelyik kettőt kiválasztva

a) az egyik osztója legyen a másiknak?

b) azok ne legyenek relatív prímek?

c) egyik se legyen többszöröse a másiknak?

d) azok relatív prímek legyenek?

4.7.4. Feladat(Mego.)

Adott 12 darab 1200-nál nem nagyobb összetett szám. Bizonyítsuk be, hogy van kettő közöttük, melyeknek van 1-nél nagyobb közös osztójuk!

4.8 Számsorozatok

4.8.1. Feladat(Mego.)

a) Adjuk meg az összes olyan három pozitív egész számból álló számtani sorozatot, amelynek differenciája 2 és minden eleme prím!

b) Mi lehet a lehető legkisebb differenciája egy öt különböző pozitív prímszámból álló számtani sorozatnak?

c) Igazoljuk, hogy ha a számtani sorozat olyan, hogy minden tagja prímszám és 15 tagú, akkor differenciája 30.000-nél nagyobb!

4.8.2. Feladat(Mego.)

Tekintsük az Fk=22k+1,k=0,1,2, ú.n. Fermat számok sorozatát.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha 0k<n, akkor Fk|Fn-2.

b) Igazoljuk, hogy ha kn, akkor (Fk,Fn)=1.

c) Hogyan következik a b) feladatból, hogy végtelen sok prímszám van?

4.8.3. Feladat(OKTV, 1999-2000, III. kat., I. ford., 2. fel.)(Mego.)

Jelöljük an-nel a n-hez legközelebbi egész számot. Számítsuk ki az

1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + + 1 a k

összeget, ahol k=19992000.

4.8.4. Feladat(Mego.)

Igaz-e, hogy n egymást követő egész szám szorzata mindig osztható n!-sal?

4.8.5. Feladat(a-b-c) mego., d-e) mego., f) mego.)

Ebben a feladatban a Fibonacci sorozatot (f0=0, f1=1, fn=fn-1+fn-2, ha n>1) vizsgáljuk.

Hanyadik helyeken vannak a

a) kettővel; b) hárommal; c) tízzel

osztható számok a sorozatban?

d) Mutassuk meg, hogy minden egész számnak van pozitív többszöröse a sorozatban!

e) Vizsgáljuk a Fibonacci sorozat k-val osztható elemeit! Igazoljuk, hogy ha az F0=0-tól különböző legkisebb ilyen elem az Fm, akkor k|Fnm|n.

f) Mutassuk meg, hogy (Fa,Fb)=F(a,b). Például F8=21, F12=144, ahol (8,12)=4, (21,144)=3 és valóban: F4=3.

4.8.6. Feladat(Mego.)

Tekintsük az xn=2n-1 elemekből álló sorozatot. Bizonyítsuk be, hogy e sorozatban tetszőlegesen hosszú, egymás után következő, összetett számokból álló elemek vannak; azaz bármely k-hoz található olyan n, hogy xn+1,xn+2,,xn+k mindegyike összetett szám!

4.8.7. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy az yk=22k+3,k=0,1,2, sorozatban végtelen sok összetett szám van!

4.8.8. Feladat(Mego.)

Tekintsünk egy természetes számokból álló növekvő számtani sorozatot.

Bizonyítsuk be, hogy bármely k-ra van e sorozatnak k egymást követő tagja, amelyik összetett szám!

4.8.9. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan különböző természetes számokból álló számtani sorozat, melynek minden eleme hatványszám (azaz nk,k2 alakú)!

4.8.0.1 Ajánló

Freud Róbert Prímszámok ősi problémák, új eredmények"[],

http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2005/eloadas_2005_11_22_freud.html ;

Jens Kruse Andersen Primes in Arithmetic Progression Records",

http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm ;

Szalay Mihály Számelmélet[], benne a Dirichlet tétel bizonyítása.

Nem gondoljuk, hogy egy diák kapásból végigolvassa, de érdekességnek ajánljuk a téma forradalmi cikkét:

Ben Green, Terence Tao The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions [],

http://arxiv.org/pdf/math/0404188v6.pdf .

4.9 A harmonikus sor

4.9.1. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego.)

Ebben a feladatban kerüljük az integrálszámítás alkalmazását!

Jelölje (lásd a 17 ábrát) I(z) az y=1x függvény görbéje alatti előjeles területet x=1 és x=z között (z>0). Előjelen mindössze annyit értünk, hogy 0<z<1 esetén a terület negatív, 1<z esetén pozitív.

17. ábra

a) Bizonyítsuk be, hogy I(n)<11+12++1n<1+I(n).

b) Mutassuk meg, hogy van olyan területtartó leképezés (az adott esetben tengelyes affinitások kompozíciója), amely az xy=1 hiperbolát önmagára képezi és annak (1,1) pontját valamely előírt (q,1q) pontba viszi (q>0).

c) Igazoljuk, hogy tetszőleges pozitív valós a, b számokra I(ab)=I(a)+I(b).

d) Mutassuk, meg, hogy I(z)=lnz.

4.9.2. Feladat(Mego.)

Definiáljuk az a1, a2, sorozatot a következőképpen:

a n = 1 n ( [ n 1 ] + [ n 2 ] + + [ n n ] ) .

a) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok n-re an+1>an.

b) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok n-re an+1<an.

4.9.3. Feladat (OKTV, 2003-2004., III. kat., 1. forduló, 2. feladat)(Mego.)

Álljon a H halmaz véges sok olyan természetes számból, amelyeknek nincs 3-nál nagyobb prímosztója. Mutassuk meg, hogy a H-beli számok reciprokainak az összege 3-nál kisebb.

4.9.4. Feladat(Mego.)

Legyen

1 2 + 1 3 + + 1 10 = a b ,

ahol (a,b)=1. Számoló(számító)gép nélkül határozzuk meg, hogy a milyen maradékot ad 5-tel osztva!

4.9.5. Feladat(a) I. mego., a) II. mego., b) mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy

H p = 1 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 p - 1

számlálója osztható p-vel, ahol p>2 prímszám!

b) p=5 és p=7 esetén ennél több is igaz, a fenti Hp szám számlálója p2-tel is osztható. Igaz-e ez minden p>3 prímszám esetén?

4.9.6. Feladat(Segít., Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy nics olyan n természetes szám, amelyre a

H n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n

egész szám!

4.9.0.1 Ajánló

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik Konkrét matematika"[], 6.3 fejezet;

Pelikán József Matematikai konstansok"[],

http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2006/eloadas_2006_11_21_pelikan.php .

4.10 Hatványozás moduláris aritmetikában

4.10.1. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego., e) mego.)

a) Írjuk fel az 1n törtek pontos tizedestört alakját n=6,7,,17 esetén! Ne csak az eredményt adjuk meg, hanem látszódjon a teljes kiszámolási algoritmus is (ez a későbbiekben hasznos lesz)!

Kíséreljünk meg az előző számolások figyelembevételével fejből válaszolni az alábbi kérdésekre!

b)Adjuk meg a 37, 313, 1317 törtek tizedestört alakját!

c) Periodikusak-e az 118, 119 törtek tizedestört alakjai?

d) Ha periodikusak, akkor a tizedesvessző után azonnal kezdődik a periódus? (Az tiszta szakaszos tizedes törtek-e?)

e) Milyen hosszú lehet az 118, 119 törtek tizedestört alakjának periódusa?

4.10.2. Feladat(a) I. mego., a) II. mego., b) I. mego., b) II. mego.)

Adjuk meg

a) az összes olyan hatjegyű

b) az összes olyan

pozitív egész számot, amely a háromszorosára nő, ha (balról) első jegyét áttesszük a szám végére (a jobb szélső helyre)!

4.10.3. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego.)

A (legfeljebb) n-jegyű x számot n-teljes főnix számnak, vagy röviden főnix számnak nevezzük, ha a 2x, 3x, , nx számok az x szám (itt x-et, ha szükséges, az elejére írt nullákkal n-jegyűvé alakítjuk) ciklikus permutációival állíthatók elő.

Az 142857 szám például 6-teljes főnix szám, hiszen

2 142857 = 285714 , 3 142857 = 428571 , 4 142857 = 571428

5 142857 = 714285 , 6 142857 = 857142 .

a) Adjuk meg az összes n-teljes főnix számot n=2,3,4,5,6,7,8 esetén!

b) Keresendő még egy további főnix szám!

c) Számítsuk ki az eddig megtalált n-teljes főnix számok (n+1)-szereseit! Mit tapasztalunk? (Indokolni még nem kell.)

d) Írjunk programot, amely kiírja az összes n-teljes főnix számot n=2,3,,500 esetén! (Figyelem! Ötszáz vagy annál kevesebb jegyből álló számból 10500 darab van. Tehát működő, valóban lefutó program tervezéséhez matematikai gondolatok is szükségesek.)

4.10.4. Feladat(Mego.)

Mutassuk meg, hogy ha az x egész szám n-teljes főnix szám, akkor benne a számjegyek meglehetősen egyenletesen fordulnak elő, azaz bármely két számjegy ugyanannyiszor szerepel x-ben vagy egy a különbség az előfordulásuk között. (Az 142857 főnix számban pld minden számjegy 0-szor vagy 1-szer szerepel.)

4.10.5. Feladat(Mego.)

Bizonyítandó, hogy ha az x egész szám n-teljes főnix szám, akkor (n+1)x=10n-1.

4.10.6. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego., d) mego., e) mego., f) mego.)

a) Mutassuk meg, hogy bármely racionális tört tizedestört alakja véges, vagy periodikus!

b) Legfeljebb milyen hosszú lehet a pq tört tizedestört alakjában a periódus?

c) Mutassuk meg, hogy ha a pq tört tizedestört alakjának periódusa (q-1) hosszúságú, akkor q prím. (Segítség a lábjegyzetben![2])

d) Mutassuk meg, hogy ha (q,10)=1 és 0<p<q, akkor a pq tört tizedestört alakja tiszta szakaszos:

p q = 0 , z n · z n - 1 z 2 z 1 · ,

azaz periódusa közvetlenül a tizedesvessző után kezdődik!

e) Mutassuk meg, hogy ha az 1n+1 tört tizedestört alakjának periódusa n hosszúságú:

1 n + 1 = 0 , x n · x n - 1 x 2 x 1 · ,

akkor az x=xnxn-1x2x1¯ szám n-teljes főnix szám!

f) Igaz-e az e) feladatrészben megfogalmazott állítás megfordítása? Tehát ha az x=xnxn-1x2x1¯ szám n-teljes főnix szám, akkor szükségképpen 1n+1=0,xn·xn-1x2x1·, ahol a jelölt rész a legkisebb periódus?

4.10.7. Feladat(a) mego., b), c) mego.)

a) Igazoljuk, hogy az

1 13 , 2 13 , 12 13

törtek tizedestört alakjában a periódus hossza egyenlő egymással!

Mutassuk meg, hogy ha (n,10)=1, akkor az 1n tört tizedestört alakjában a periódus π hosszára

b) π|n-1, ha n prím.

Általában pedig

c) π|ϕ(n).

4.10.8. Feladat(Mego.)

Mutassuk meg, hogy pontosan akkor van n-teljes főnix szám, ha (n+1) prím és a 10 primitív gyök, modulo (n+1).

4.10.9. Feladat(a), b), c), d) mego., e) I. mego., e) II. mego., f) mego.)

Tartalmaz-e a mindig eggyel több kettes számjegyet tartalmazó számok 2, 22, 222, 2222, sorozata végtelen sok

a) hárommal; b) 111-gyel; c) héttel; d) kilenccel;

e) 59-cel osztható számot?

f) Figyeljük meg ugyanezt, más számmal való oszthatóságokra is!

4.10.10. Feladat(Mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy minden egész számnak van olyan többszöröse, amelyet a tízes számrendszerben felírva a számjegyek csak 0-k és 1-(esek).

b) Bizonyítsuk be, hogy minden ötnél nagyobb prímszámnak van olyan többszöröse, amelyet a tízes számrendszerben felírva csak az 1 számjegyet tartalmazza (azaz minden p>5 prímhez létezik k. hogy pk=10111¯).

4.10.11. Feladat(Mego.)

Igazoljuk, hogy minden k pozitív egészhez találunk oly 3-hatványt, melyet a tizes számrendszeben felírva az egyesek helyén egy 1-es áll, előtte pedig k darab 0 van, azaz A0001 alakú.

4.10.12. Feladat(Mego.)

Legyen F:={1,11,111,} olyan számok halmaza, amelyek a 10-es számrendszerben felírva csupa 1-es számjegyet tartalmaznak. Mely négyzetszámok állnak elő két F-beli szám különbségeként?

4.10.13. Feladat(Mego.)

Az Euler-Fermat tételből tudjuk, hogy ha p prímszám és pa, akkor ap-11(modp). Egy fordított kérdés lehet: ha 2n2(modn), akkor igaz-e, hogy n prím? Számoló(számító)gép nélkül igazoljuk, hogy az n=341 egy ellenpélda.

4.10.0.1 Ajánló

Surányi János Érdekes számok a [] kötet 156-172. oldalain;

http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tkt/matematikai-mozaik/ar10.html ;

Freud Róbert Prímszámok ősi problémák, új eredmények"[];

http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2005/eloadas_2005_11_22_freud.html ;

Ed Sandifer How Euler Did It"[], Fermat’s Little Theorem,

Catherine A. Gorini Using Clock Arithmetic to Send Secret Messages[],

http://matek.fazekas.hu/portal/kutatomunkak/codes/codesm.html

A Wikipedia az Artin sejtésről (lásd a II. megjegyzést a 4.10.8 feladat megoldásában).

http://en.wikipedia.org/wiki/Artin's_conjecture_on_primitive_roots

M. Ram Murty Artins conjecture on primitive roots"[]

http://www.math.ucsb.edu/~agboola/teaching/2005/winter/old-115A/murty.pdf .



[2] Van-e olyan maradék, amely 1/49-ed tizedestört alakját megadó algoritmus során előre láthatólag nem fog előfordulni?