Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

3 Algebra

3 Algebra

3.0.0.1 Ajánló

A témával kapcsolatos átfogó feladatgyűjtemények:

Matematika feladatgyűjtemény I."[];

Rábai Imre Mérőlapok felvételire"[]

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_4.pdf ;

D. O. Sklarszkij, N. N. Csencov, I. M. Jaglom Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből, I. kötet, Aritmetika és algebra[].

A Matkönyv[] Algebra fejezetei, 7-8, 9-10, 11-12 korosztályokra bontva:

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_i.pdf ,

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_ii.pdf ,

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_iii.pdf .

Schultz János 111 algebra feladat [];

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Schultz_Janos/111algfel/ .

Alapvető tankönyvek:

Surányi László Algebra Testek, gyűrűk, polinomok (sok feladattal)[];

Szele Tibor Bevezetés az algebrába[];

Fried Katalin, Korándi József, Török Judit Bevezetés a modern algebrába[];

A. G. Kuros Felsőbb algebra[].

Kiss Emil Bevezetés az algebrába"[].

3.1 Másodfokú kifejezések

3.1.1. Feladat(Mego.)

Minden n pozitív egész számra kiszámítjuk a n2+n szám tizedesvessző utáni első tizedesjegyét. (Vagyis a tized helyiértéken álló számjegyet.) Hányféle számjegyet kaphatunk így?

3.1.2. Feladat (a), b), c), j), k) szeml., a) mego., b) mego., c) mego., d), e), f), g), h) szeml., d) meg., e) mego., f) mego., g) mego., h) mego., i) mego., j) mego., k) mego., l) mego., m) mego., n), o), t) szeml., n) mego., o) mego., p) mego., q) szeml., q) I. mego., q) II. mego., r) mego., s) szeml., s) mego., t) mego.)

Vizsgáljuk a

1 2 x 2 + p x + 1 = 0

másodfokú egyenletet! A p valós paraméter mely értékeire lesz az egyenlet

a) mindkét gyöke valós?

b) egyik gyöke a 3?

c) egyik gyöke a 0?

d) valós gyökeinek összege 3?

e) valós gyökeinek szorzata 3?

f) valós gyökeinek négyzetösszege 3?

g) valós gyökeinek négyzetösszege minimális?

h) két valós gyökének különbsége 3?

i) mindkét valós gyöke egész szám?

j) mindkét valós gyöke pozitív szám?

k) mindkét valós gyöke legalább 12?

Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei

l) háromszor akkorák,

m) hárommal nagyobbak,

mint (3) gyökei!

Vizsgáljuk a

f ( x ) = 1 2 x 2 + p x + 1

másodfokú függvényt! A p valós paraméter mely értékeire lesz a függvény

n) minimumhelye a 3?

o) minimuma 3?

p) maximumhelye a 3?

q) grafikonjának érintője az y=3x egyenes?

r) helyettesítési értéke minden egész helyen egész?

Fussa be p a valós számokat! Az f(x) függvény grafikonja mindig egy parabola lesz.

s) Van-e közös pontja ezen paraboláknak?

t) Határozzuk meg e parabolák csúcspontjának (tengelypontjának) mértani helyét!

3.1.3. Feladat(Szeml., Mego.)

Vizsgáljuk az f(x)=x2+2(a-2)x+a másodfokú függvényt, ahol a valós paraméter!

a) Az a paraméter mely értékeire teljesül minden valós x-re az f(x)0 egyenlőtlenség?

b) Az a paraméter mely értékére lesz f minimuma maximális?

c) Van-e olyan x, amelyben f értéke a-tól független állandó (azaz van-e olyan pont, ahol a grafikon minden a esetén átmegy)?

3.1.4. Feladat(Szeml., Eredm.)

A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az

| - x 2 + 4 x + 1 | = p

egyenletnek?

3.1.5. Feladat(Szeml., Eredm.)

A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az

| 1 4 x 2 - x | = p + 1 2 x

egyenletnek?

3.1.6. Feladat(a) szeml.., a) mego., b) szeml.., b) mego., )

A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az alábbi egyenletnek?

a) -x2+4|x|+1=p;

b) -x2+4|x|+1=p+2x.

3.1.7. Feladat(a), b) mego., c), d) mego.)

Az alábbi függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Határozzuk meg értékkészletüket!

a) 369x-1-23x+1; b) 369x-1+23x+1;

c) 2-cosx-sin2x; d) 6+4cosx-sin2x.

3.1.8. Feladat(Mego.)

Határozzuk meg azokat az n egészeket, melyekre

1 a + 1 b = n a + b ,

ahol a,b nem nulla egészek.

3.1.9. FeladatOKTV, 1974 (Mego.)

Oldjuk meg az

x 2 + 5 x + 4 = 5 x 2 + 5 x + 28

egyenletet!

3.1.10. Feladat(Mego.)

Határozzuk meg az ax2+bx+c polinom együtthatóit úgy, hogy a polinom értéke x=1 esetén 1, x=2 esetén 12 és x=3 esetén 13 legyen. Mutassuk meg, hogy nincs további olyan x érték, ahol a polinom értéke 1x.

3.1.11. Feladat(Mego.)

Mutassuk meg, hogy a parabola párhuzamos húrjainak felezőpontjai egy olyan egyenesre illeszkednek, amely párhuzamos a parabola tengelyével!

3.1.12. Feladat(a), b) mego., c), d) mego.)

Mutassuk meg, hogy

a) az

x 2 - y 2 = p

egyenlet a p paraméter minden nemnulla értéke esetén hiperbola egyenlete;

b) a (5) hiperbolák aszimptotái azonosak és az aszimptotapár egyenlete a p=0 esethez tartozó egyenlet;

c) ha egy az aszimptoták egyikével sem párhuzamos egyenest elmetszünk a (5) egyenletű hiperbolák bármelyikével, akkor a kimetszett húr felezőpontja a hiperbolától függetlenül mindig ugyanaz a pont lesz;

d) ha egymással párhuzamos egyenesek mindegyikére képezzük a c) szerint p-től független felezőpontot, akkor az így kapott pontok egy egyenest alkotnak, amely átmegy a hiperbolák centrumán (az origón, lásd a 12 ábrát).

12. ábra

3.1.13. Feladat(Mego.)

Határozzuk meg az x14+x24 kifejezés minimumát, ha x1 és x2 az

x 2 + p x - 1 p 2 , p R , p 0 ,

polinom két gyöke!

3.1.14. Feladat(I. mego., II. mego.)

Milyen összefüggés áll fenn az

a x 2 + b x + c a 0

polinom együtthatai között, ha a polinom egyik gyöke a másik gyök háromszorosa?

3.1.15. Feladat (Arany Dániel verseny, Haladók, 2005/06, II. kat., 2. ford.) (I. mego., II. mego.)

Határozza meg az a, b, c egészek értékét úgy, hogy a következő egyenlőség minden valós x-re teljesüljön:

( x - a ) ( x - 10 ) + 1 = ( x + b ) ( x + c ) .

3.1.16. Feladat(Mego.)

Keressük meg az összes olyan p,q valós számpárt, amelyre az x4+px2+q polinomnak négy olyan valós gyöke van, amelyek számtani sorozatot alkotnak!

3.1.17. Feladat(Mego.)

Alakítsuk szorzattá a következő kifejezést:

K = ( a - b ) ( b + c + d ) ( c + a + d ) + ( b - c ) ( c + a + d ) ( a + b + d ) + ( c - a ) ( a + b + d ) ( b + c + d ) . .

3.1.0.1 Ajánló

Rábai Imre Egy (talán soha el nem készülő) tanpéldatár feladataiból, 2-4. oldalak az alábbi linken:

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_1.pdf ;

Rábai Imre Legyenek tanpéldáink! (Feladatcsaládok Milyenek legyenek a példatárak), 7. oldal az alábbi linken:

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_1.pdf ;

Rábai Imre Válogatás 40 év matematika felvételi feladataiból, 19-28. oldalak az alábbi linken:

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_2.pdf .

Kubatov Antal Párosan szép az élet, a [] kötet 173-194. oldalain.

Ide, de a 6.7 Szélsőérték, értékkészlet fejezethez is tartozhat:

Rábai Imre Kétismeretlenes egyenletek[], 29-34.. oldal az alábbi linken:

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_2.pdf .

3.2 Lineáris rekurziók

3.2.1. Feladat(Mego.)

Adjuk meg a g1=1, g2=2013 kezdőelemekkel, gn+2=gn+1-gn rekurzióval definiált sorozat 2013-adik elemét!

3.2.2. Feladat(Mego.)

Folytassuk az alábbi sorozatot! Keressünk rekurzív képletet! Használjunk Microsoft Excel vagy OpenOffice.Calc programot, hogy a rekurzív képlet segítségével felírjuk a sorozat sok további elemét! Számítsuk ki a sorozat egymást követő elemeinek hányadosából álló sorozatot is! Adjunk meg explicit formulát!

1 , 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171,

3.2.3. Feladat(Mego.)

Adjuk meg az un+1=un+6un-1 másodrendű homogén lineáris rekurziónak az u0=1, u1=2 kezdőelemekhez tartozó megoldását!

3.2.4. Feladat(Mego.)

Határozzuk meg a Fibonacci sorozat explicit képletét!

3.2.5. Feladat(Mego.)

Adjuk meg másodrendű homogén lineáris rekurzióval az alábbi sorozatot, majd adjuk meg az így kapott végtelen sorozat explicit képletét!

0 , 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 ,

3.2.6. Feladat(Mego.) Térjünk vissza a 3.2.1 feladathoz! Abban is egy másodrendű lineáris rekurzióval definiált sorozat szerepelt. Hogy lehet az periodikus? Keressük meg explicit képletét az előbbi példákban látott módon és adjunk magyarázatot a periodikusságra a képlet alapján is!

3.2.7. FeladatKömal F.2561, 1986/1. szám

Van-e olyan csupa pozitív tagból álló végtelen a1, a2, , an sorozat, amelyben minden n2 egészre an+2=an-an-1?

3.2.0.1 Ajánló

Máté László Rekurzív sorozatok[];

Hajnal Péter Elemi kombinatorikai feladatok"[],6. fejezet;

Elekes György Kombinatorika feladatok[], 4. fejezet,

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Elekes_Gyorgy/elekes_kombfel.pdf .

Orosz Gyula Rekurzív sorozatok[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Orosz_Gyula/Rek/index.htm .

3.3 Harmadfokon

3.3.1. FeladatRábai Imre: Mérőlapok a Kömalban (1994., 8-9. szám, 425. old.) (a) mego., b) mego., c) mego.)

a) Alakítsuk szorzattá a

a 3 - 3 a 2 b - a b 2 + 3 b 3

kifejezést!

Oldjuk meg a következő egyenleteket:

b) 27x-318x-12x+38x=0;

c) sin3x-3sin2xcosx-sinxcos2x+3cos3x=0.

3.3.2. Feladat(Eredm.)

Alakítsuk szorzattá a következő polinomot:

2 a 3 - 3 a 2 b - 3 a b 2 + 2 b 3 .

3.3.3. Feladat(Mego.)

Oldjuk meg a következő egyenletet, ha t adott valós szám:

x 3 - 2 t x 2 + t 3 = 0 .

3.3.4. Feladat(I. mego.,II. mego.)

Bizonyítandó, hogy az

x 3 - 4 x 2 + 9 x + c = 0

egyenletnek c bármely valós értéke esetén csak egy valós gyöke lehet.

3.3.5. Feladat(A 3.3.5 mego.)

Mutassuk meg, hogy az α, β paraméterek bármely nullától különböző értékeinél az

α x 3 - α x 2 + β x + β

polinom x1, x2, x3 gyökeire teljesül az

( x 1 + x 2 + x 3 ) ( 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 ) = - 1

összefüggés!

3.3.6. Feladat(Segít., I. mego., II. mego., III. mego.)

Határozzuk meg az a valós paraméter összes olyan értékét, amelyre az

x 3 - 6 x 2 + a x + a

polinom x1, x2, x3 gyökeire teljesül az

( x 1 - 3 ) 3 + ( x 2 - 3 ) 3 + ( x 3 - 3 ) 3 = 0

összefüggés!

3.3.7. Feladat(Mego.)

Az x3-x2-x-1 polinom gyökei x1, x2 és x3. Legyen gn=x1n+x2n+x3n. Határozza meg g0, g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7 és g8 értékét!

3.3.8. Feladat(Mego.)

Milyen összefüggés áll fenn az

a x 3 + b x 2 + c x + d a 0

polinom együtthatói között, ha a polinom egyik gyöke a másik kettő összege?

3.3.9. Feladat(Mego.)

Milyen összefüggés áll fenn az

a x 3 + b x 2 + c x + d a d 0

polinom együtthatói között, ha a polinom egyik gyöke a másik kettő harmonikus közepe?

3.3.10. Feladat(Eredm)

Egy harmadfokú egyenletnek három valós gyöke van. A gyökök szorzata 2-vel nagyobb az összegüknél, négyzetösszegük 10, köbösszegük 6.

Melyik ez az egyenlet?

3.3.11. Feladat(Elő megj., I. mego., II. mego.)

Határozzuk meg 2+53+2-53 pontos értékét!

3.3.12. Feladat(Mego)

Határozzuk meg

2 - 3 2 - 2 - 3 + 2 + 3 2 + 2 + 3 - 2

pontos értékét!

3.3.13. Feladat(Mego.)

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

x - 3 3 + y + 4 3 = 11 x + y = 340 }

3.3.14. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Adjuk meg az összes olyan h harmadfokú függvényt, amelyre h(-1)=h(0)=h(1)=1;

3.3.15. Feladat(Mego.)

Oldjuk meg az

4 x - 1 3 + 4 - x 3 = - 3 3

egyenletet a valós számok halmazán!

3.3.16. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Adjuk meg az (x-5)4+(x-4)4=97 egyenlet össze valós megoldását!

3.3.17. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego.)

Mutassuk meg, hogy ha az x, y, z valós számokra

x + y + z = a , s 1 x + 1 y + 1 z = 1 a ,

akkor x, y és z egyike a-val egyenlő!

3.3.18. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy ha igaz az

1 a + b + c = 1 a + 1 b + 1 c

egyenlőség, akkor bármely k természetes számra

1 a 2 k + 1 + b 2 k + 1 + c 2 k + 1 = 1 a 2 k + 1 + 1 b 2 k + 1 + 1 c 2 k + 1

is teljesül!

3.3.0.1 Ajánló

Matematikai problémakalauz I.[] (2. fejezet: Azonosságok és egyenletek);

Ábrahám Gábor Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok a [] kötet 87-114. oldalain;

D. O. Sklarszkij, N. N. Csencov, I. M. Jaglom Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből, I. kötet, Aritmetika és algebra[];

Pataki János egy harmadfokú relációról, egy Kömal példa eredetéről, a [] 2011. máj. 6-ai foglalkozása;

http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/2010/2010pub06.pdf .

Pataki János egy újabb harmadfokú relációról, a [] 2011. okt. 12-ei foglalkozása;

http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/2011/2011pub02.pd .

Pataki János lefordította Tartaglia versét a harmadfokú egyenlet megoldásáról. Ennek megértése és feldolgozása mindenkinek ajánlott, aki a képletet meg szeretné érteni. Lásd pl. Pataki János Az algebra és a geometria házassága című írását[] vagy a Matkönyv[] 11-12-es Algebra anyagának Komplex számok fejezetét:

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_iii.pdf .

Árokszállási Tibor, Középiskolás fokon[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Arokszallasi_Tibor/harmad/ .

3.4 Polinomok

3.4.1. Feladat(Mego.)

Lehet-e az

x 5 - x - 1 , x 2 + a x + b ( a , b Q )

polinomoknak közös komplex gyöke?

3.4.2. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy az x3-x+1=0 egyenlet valós gyökének reciproka kielégíti az x5+x+1=0 egyenletet!

3.4.3. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy ha az n változós

a) valós együtthatós, b) racionális együtthatós, c) egész együtthatós, d) tetszőleges gyűrű feletti

p ( x 1 ; x 2 ; ; x n ) polinom szimmetrikus, azaz ha az 1, 2, , n számok bármely π permutóciójára a p(x1;x2;;xn), p(xπ(1);xπ(2);;xπ(n)) polinomok azonosak, akkor a p polinom előállítható a

σ 1 = x 1 + x 2 + + x n σ 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + + x n - 1 x n σ 2 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + + x n - 2 x n - 1 x n σ n = x 1 x 2 x n

elemi szimmetrikus polinomok

a) valós együtthatós, b) racionális együtthatós, c) egész együtthatós, d) az adott gyűrű feletti

polinomjaként!

3.4.4. FeladatRezultáns (Mego.)

Legyenek az a(x)=a0x2+a1x+a2 polinom gyökei α1 és α2, az b(x)=b0x2+b1x+b2 polinom gyökei β1 és β2. Fejezzük ki az

a 0 2 b 0 2 ( α 1 - β 1 ) ( α 1 - β 2 ) ( α 2 - β 1 ) ( α 2 - β 2 )

mennyiséget az a0, a1, a2, b0, b1, b2 együtthatók polinomjaként!

3.4.5. Feladat(a) mego., b) mego.)

a) Állítsuk elő az

Δ ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) = ( x 1 - x 2 ) 2 ( x 2 - x 3 ) 2 ( x 3 - x 1 ) 2

polinomot a

σ 1 = x 1 + x 2 + x 3 , σ 2 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 , σ 3 = x 1 x 2 x 3

elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként!

b) A diszkrimináns

Adjuk meg az p(x)=ax3+bx2+cx+d polinom együtthatóinak egy olyan polinomját, amelynek értéke pontosan akkor zérus, ha a p polinomnak van többszörös gyöke!

3.4.6. Feladat(Mego.)

Adjuk meg a modulo 7 redukált maradékosztályok elemi szimmetrikus polinomjainak értékeit modulo 7, tehát a

σ 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 m 1 ( mod 7 ) , σ 2 = 1 2 + 1 3 + + 5 6 m 2 ( mod 7 ) , σ 6 = 1 2 3 4 5 6 m 6 ( mod 7 )

0 m i < 7 értékeket!

3.4.7. Feladat(Mego.)

Adjuk meg a p(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e polinom együtthatóinak olyan q(a,b,c,d) polinomját, amelynek értéke pontosan akkor zérus, ha p négy gyöke közül valamelyik kettő összege megegyezik a másik kettő összegével vagy annak ellentettjével.

3.4.0.1 Ajánló

A rezultáns determináns alakjáról és a diszkriminánsról lásd Szele Tibor könyvét[];

3.5 Egyenlőtlenségek

Bevezető feladatok a 9-10-es matematika tagozatos Algebra feladatgyűjtemény

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_ii.pdf

Egyenlőtlenségek fejezetében találhatók.

3.5.1. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego., V. mego., VI. mego.)

Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b>0 valós számokra a3+b3a2b+ab2! Mikor lesz egyenlőség?

3.5.2. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego., V. mego., VI. mego., VII. mego.)

Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b valós számokra a4+b4ab(a2+b2)! Mikor lesz egyenlőség?

3.5.3. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Oldjuk meg a valós számok halmazán az

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 66

x + y + z = 11

egyenletrendszert!

3.5.4. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego.)

Igazoljuk, hogy ha a+2b+3c14, akkor a2+b2+c214!

3.5.5. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Az a, b, c, d pozitív racionális számokra teljesül az alábbi három feltétel:

4. táblázat

Határozzuk meg c maximális értékét!

3.5.6. Feladat Mely r valós számok esetén van megoldása a valós számnégyesek körében az

5. táblázat

egyenletrendszernek?

3.5.7. Feladat(Nagy Zoltán feladata) (a) mego., b) I. mego., b) II. mego., c) mego.)

Egy egyszerű gráf csúcsaira nemnegatív racionális számokat írunk, amelyek összege 1. Ezután minden élre ráírjuk a két végén található csúcsra írt szám szorzatát. Végül képezzük az éleken kapott szorzatok A összegét. Határozzuk meg A maximumát az alábbi esetekben! Hogyan osszuk el a számokat a csúcsokra, hogy a maximumot kapjuk?

13. ábra

3.5.8. Feladat(I. mego., II. mego.)

A

P ( x ) = x n + a 1 x n - 1 + + a n - 1 x + 1

polinom a1,,an-1 együtthatói nemnegatív valós számok és a polinomnak n különböző valós gyöke van. Mutassuk meg, hogy

P ( 2 ) 3 n .

3.5.0.1 Ajánló

Kiss Géza Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken" a [] kötet 143-158. oldalain;

Schultz János 111 feladat algebrai egyenlőtlenségekre[];

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Schultz_Janos/111algegylotlenseg/ .

Nicholas D. Kazarinoff Geometriai egyenlőtlenségek"[];

Ábrahám Gábor Szélsőérték feladatok megoldása elemi geometriai eszközökkel[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Abraham_Gabor/szelgeo/ .

Kubatov Antal Az Erdős-Mordell egyenlőtlenség"[];

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Kubatov_Antal/ErdMord/ .

Pataki János Változatok a szimmetriára: így működik a Muirhead-egyenlőtlenség[],

3.6 Egyenletrendszerek

3.6.1. Feladat(KöMaL Gy. 2574.) (Mego.)

Kiszámítottuk négy adott valós szám összes lehetséges kéttagú összegét. Közülük a négy legkisebb 1, 5, 8 és 9. Mi volt a négy szám?

3.6.2. Feladat(I. mego., II. mego.)

Határozzuk meg xy+yz+zx értékét, ha az x, y, z számokra teljesül az alábbi három összefüggés:

x 2 + x y + y 2 = 64 y 2 + y z + z 2 = 81 z 2 + z x + x 2 = 100

3.6.3. Feladat(Hajós György Matematika Verseny) (Mego.)

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán!

2 x 2 1 + x 2 = y , 2 y 2 1 + y 2 = z , 2 z 2 1 + z 2 = x .

3.7 Számhalmazok

(a) mego., b) mego.)

3.7.1. Feladat Bizonyítsuk be, hogy

a) cos72,cos36 irracionálisak

b) tg254tg218 racionális!

3.7.2. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy log3(1+2) irracionális.

3.7.3. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy α=2+3 irracionális!

b) Van-e olyan egész együtthatós polinom, melynek gyöke α?

c) Bizonyítsuk be, hogy β=2+3+5 irracionális!

3.7.4. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy a 7+523+7-523 egész szám!

3.7.5. Feladat(Mego.)

Milyen a valós számra lesz 4+a3+4-a3 egész szám?

3.7.6. Feladat(Mego.)

Jelentsen rj racionális számokat, ij pedig irracionális számokat. Ha értelmezettek az

r 1 r 2 r 3 i 1 i 2 r 4 i 3 i 4

számok, vajon racionális vagy irracionális számokat kapunk?

3.7.7. Feladat(Mego.)

Racionális vagy irracionális számok az xn=cosπ2n,n=0,1,2, sorozat elemei?

3.7.8. Feladat(Mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy log23 irracionális!

Egy szám algebrai, ha gyöke egy egész együtthatós polinomnak. Transzcendens, ha nem algebrai.

b) A Gelfond-Schneider tétel szerint, ha a és b algebrai számok, a0,1 továbbá b irracionális, akkor ab transzcendens. Igazoljuk, hogy log23 transzcendens!

3.8 A konjugált

3.8.1. Feladat(a) mego., b) mego.)

a) Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes számhoz léteznek olyan αn, βn természetes számok, amelyekre

( 1 + 2 ) n = α n + 2 β n ,

és ez az (αn;βn) számpár egyértelmű.

b) Igazoljuk, hogy a fenti (αn;βn) számpárra 2βn2+(-1)n=αn2.

3.8.2. Feladat(I. mego., II. mego.)

Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes számhoz találhatunk olyan m természetes számot, hogy

( 2 - 1 ) n = m + 1 - m .

3.8.3. Feladat(Mego.)

Bizonyítsuk be, hogy a (26+5)2013 szám a tizedesvessző után 2013 nullát tartalmaz.

3.8.4. Feladat(Mego.)

Milyen számjegy áll

( 15 + 220 ) 19 + ( 15 + 220 ) 82

tizedestört alakjában a tizedesvessző előtt?

3.8.5. Feladat(Mego.)

Vannak-e olyan n és k pozitív egészek, amelyekre

( 5 + 3 2 ) n = ( 3 + 5 2 ) k ?