Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

2 Bevezető feladatok

2 Bevezető feladatok

2.0.0.1 Ajánló

Olvasnivalót, példatárakat ajánlottuk már a bevezetőben és a témához kapcsolódva megtesszük ugyanezt a fejezetek végén. Általános bevezető, kedvcsináló példatárnak Andrásfai Béla Versenymatek gyerekeknek"[] valamint JA. I. Perelman Matematikai történetek és rejtvények"[] könyvét javasoljuk.

2.1 Logika

2.1.1. Feladat( I. mego., II. mego., III. mego.)

Három barát nyulakra vadászott. Mindhárman különböző számú nyulat lőttek. A vadászklubban ezt mesélték:

A : Én lőttem a legtöbb nyulat. C lőtte a legkevesebbet.

B : Én lőttem a legtöbb nyulat. Több nyulat lőttem, mint A és C együttvéve!

C : Én lőttem a legtöbb nyulat. B fele annyit lőtt, mint én.

Ki lőtte a legtöbb nyulat, ha tudjuk, hogy az elhangzott 6 állításból három igaz, három hamis.

Mit mondhatunk arról, hogy ki lőtte a legkevesebb nyulat?

2.1.2. Feladat(Mego.)

Két család, az Igaz és a Hamis 5 gyermeke Cili, Lili, Vili, Juci és Saci.

Az Igaz családban minden gyerek mindig igazat mond, a Hamis családban minden gyermek minden állítása hamis.

Melyik gyereknek mi lehet a vezetékneve, ha ezeket állítják?

Cili: Juci neve nem Igaz.

Juci: Vili és Cili testvérek.

Lili: Saci nem testvére Jucinak.

Saci: Vili vezetékneve Hamis.

Vili: Lili a Hamis család tagja.

2.1.3. Feladat( Mego.)

János, Péter, Tamás, Gyuri, István testvérek. Egyszer valamelyikük betört egy ablakot. Apjuk kérdésére, hogy ki volt a tettes, a következőket mondták:

János: Péter vagy Tamás volt.

Péter: Sem Gyuri, sem én nem voltam.

Tamás: Mindketten hazudtok.

István: Nem, az egyik közülük igazat mond, de a másik nem.

Gyuri: Nem, István, nincs igazad.

Anyjuk ehhez hozzátette: fiaim közül 3 valóban igazat mond, de abban, amit a másik kettő mondott, nem bízom.

Ki törte be az ablakot?

2.1.4. Feladat(Mego.)

Egy szigeten járunk, ahol lovagok és lókötők élnek. A lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők mindig hazudnak. Két embert egyforma típusúnak nevezünk, ha vagy mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők. A, B és C három szigeti lakos. A ezt mondja: B és C egyforma típusú.. Valaki megkérdezi C-től: Egyforma típusú A és B?. Mit válaszol?

2.1.5. Feladat(a) mego., b) mego.)

Egy szigeten lovagok és bolondok élnek. A lovagok mindig igazat mondanak, a bolondok kiszámíthatatlanok: mondanak igazat is, hazudnak is kedvük szerint. Vendégként érkeztünk a szigetre. Szeretnénk eldönteni ki milyen ember. Bárkitől megkérdezhetjük bárki másra rámutatva, hogy az milyen ember. Hány kérdés kell ahhoz, hogy mindenkiről megtudjuk miféle,

a) ha 5-5 bolond és lovag van a szigeten?

b) ha 1 bolond és n lovag van a szigeten?

2.1.6. Feladat ( a) mego.,b) mego.)

a) Anyu és Apu külön-külön Béla fülébe súgta kedvenc számát. Béla Cili fülébe súgta a hallott számok szorzatát és Dezsőébe az összegüket. Ezután az alábbi beszélgetés hangzott el:

Cili: Nem tudom melyik ez a két szám.

Dezső: Én sem tudom melyik ez a két szám.

Cili: Akkor én már tudom melyik ez a két szám.

Dezső:

Melyik ez e két szám? Mit mondott Dezső? Cili, Dezső (és Béla) okosak, tudják is ezt egymásról, de egyikük sem hallotta milyen számot mondott másikuknak Béla, és a fentieken kívül nem beszéltek egymással.

b) És ha a beszélgetés kissé hosszabb volt? Pl. mi lehetett a két szám, az alábbi beszélgetés esetén?

Cili: Nem tudom; Dezső: Én sem tudom; Cili: még most sem tudom;

Dezső: Akkor én már tudom!

2.1.7. Feladat A csivambák közt esetleg vannak börösznyegek és lehetnek pöndörgő csivambák is. Keressük meg a rájuk vonatkozó alábbi logikai állítások halmazábrás megfelelőit!

I. Minden börösznyeg pöndörgő.

II. Ha egy csivamba börösznyeg, akkor pöndörgő.

III. Ha egy csivamba pöndörgő, akkor börösznyeg.

IV. Nincs olyan börösznyeg, aki nem lenne pöndörgő.

V. Ha A pöndörgő, akkor biztosan nem börösznyeg.

VI. Ha A börösznyeg, akkor biztosan nem pöndörgő.

VII. Van olyan börösznyeg, aki nem pöndörgő.

VIII. B ugyan pöndörgő, mégsem börösznyeg.

IX. Ha egy csivamba nem pöndörgő, akkor biztosan börösznyeg.

X. Ha egy csivamba nem börösznyeg, akkor biztosan pöndörgő.

XI. Egy csivamba vagy pöndörgő vagy legalábbis börösznyeg.

XII.* Egy csivamba vagy pöndörgő vagy börösznyeg.

1. ábra

2.1.8. Feladat A csivambák közt vannak börösznyegek, vannak, akik pöndörgők és a csivambák között egyesek szeretnek kongutálni. Ábrázoljuk ezek halmazait, ha tudjuk, hogy (minden alpont külön-külön feladat)

I. Ha egy pöndörgő börösznyeg, akkor biztosan szeret kongutálni.

II. Minden olyan börösznyeg, aki pöndörgő, az szeret kongutálni.

III. Ha egy csivamba szeret kongutálni, akkor pöndörgő börösznyeg.

IV. Nincsen olyan pöndörgő börösznyeg, aki ne szeretne kongutálni.

V. A nem pöndörgő börösznyegek kongutálni se szeretnek, míg azok a pöndörgők, akik nem börösznyegek mind imádnak kongutálni.

VI. Akkor és csakis akkor szeret kongutálni egy csivamba, ha olyan pöndörgő, aki nem börösznyeg.

VII. Pontosan akkor pöndörgő egy nem börösznyeg, ha szeret kongutálni.

2.1.9. Feladat Rajzoljuk le az

a) 2-vel, a 3-mal, a 4-gyel;

b) 4-vel, a 6-mal, a 12-vel;

c) 3-mal, 4-vel, a 6-tal;

d) 30-cal, a 42-vel, a 70-nel, és a 105-tel;

e) 12-vel, a 10-zel, a 15-tel, 20-szal;

osztható számok halmazait optimális Venn diagramon, tehát a diagramon ne legyen olyan tartomány, ahová nem írható egész szám, de minden egész számot be lehessen írni egy és csakis egy tartományba.

2.1.10. Feladat (Mego.)

Az a, b valós számokkal kapcsolatban megadunk két állítást. Melyikből melyik következik?

a) I. a=b, II. a2=b2.

b) I. a=b, II. a3=b3.

c) I. ab=0, II. a=b=0.

2.1.11. Feladat(Mego.)

Az alábbi állítások a p(x)=ax2+bx+c másodfokú polinomra vonatkoznak. Milyen logikai kapcsolat van közöttük?

A : a+b+c=1.

B : a polinomnak gyöke az 1.

C : van egy olyan d valós szám, amelyre p(x)=a(x-1)(x+d).

2.1.12. Feladat(Szimmetrikus négyszögek)(Mego.)

Az alábbiak közül melyek az igaz állítások?

I. Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye akkor deltoid vagy trapéz.

II. Ha egy négyszög deltoid vagy trapéz, akkor van szimmetriatengelye.

III. Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye akkor konvex.

IV. Egy négyszög pontosan akkor téglalap vagy rombusz, ha van két szimmetriatengelye.

V. A téglalapnak és a rombusznak is pontosan két szimmetriatengelye van.

2.1.13. Feladat(Szimmetrikus sokszögek)(Mego.)

Az alábbiak közül melyek az igaz állítások?

I. Ha egy négyszögnek van két szimmetriatengelye, akkor középpontosan is szimmetrikus.

II. Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor van két szimmetriatengelye.

III. Ha van egy olyan nemtriviális (0-tól különböző) forgatás, amely egy hatszöget önmagára képez, akkor az a hatszög szabályos.

IV. Ha egy hatszögnek van két szimmetriatengelye, akkor középpontosan is szimmetrikus.

V. Ha egy hatszög középpontosan szimmetrikus, akkor van két szimmetriatengelye.

VI. A szabályos ötszögnek pontosan két szimmetriatengelye van.

VII. Egy ötszög pontosan akkor szabályos, ha van két szimmetriatengelye.

2.1.14. Feladat(Mego.)

Az alábbi négy állítás pozitív egészekre vonatkozik.

1. táblázat

A négy állítás melyikéből melyik másik következik?

2.1.15. Feladat[](Mego.)

Az alábbi állítások egy háromszögre vonatkoznak. Milyen logikai kapcsolat van közöttük?

I. A háromszög derékszögű.

II. A háromszög két belső szögének összege egyenlő a harmadik szöggel.

III. A háromszög egyik oldala kétszer akkora, mint a hozzá tartozó súlyvonal.

IV. Ha a háromszög leghosszabb oldala c, a másik kettő a és b, a félkerület s, akkor s(s-c)=(s-a)(s-b).

V. Az előbbi jelölések mellett még β a b-vel szemközti belső szög, akkor tgβ2=ba+c.

2.1.16. Feladat(Mego)

A négyszögek alaphalmazán belül jelölje 2D, H és T az alábbi halmazokat:

2 D : olyan négyszögek, amelyeknek van két derékszöge;

H : húrnégyszögek[1]

T : trapézok.

Ábrázoljuk a három halmazt Venn diagramon, minden olyan részbe ahová lehet, rajzoljuk be egy-egy négyszöget! Fogalmazzunk meg állítást!

2.1.17. Feladat(Mego.)

Az alábbi két állítás egy olyan háromszögre vonatkozik, amelynek oldalai a, b és c. Tudjuk, hogy b a leghosszabb oldal. Az alábbi A) állításból következik-e a B) állítás? És a B) állításból következik-e az A) állítás?

a) A háromszög derékszögű; b) a4+b2c2=c4+a2b2.

2.1.18. FeladatOrosz Gyula javaslata(Mego.)

Az alábbi állítások egy háromszöggel kapcsolatosak, melynek oldalai a, b, c, szögeik a szokásos rendben α, β és γ, területe T. Milyen logikai kapcsolat van az állítások között?

I. γ=60;

II. T=3ab4;

III. c2=a3+b3+c3a+b+c.

2.1.19. Feladat(Mego.)

Az alábbi állítások egy háromszögre vonatkoznak. Milyen logikai kapcsolat van közöttük?

I. A háromszög egyenlő szárú.

II. A háromszögnek van két egyenlő magassága.

III. A háromszögnek van két egyenlő súlyvonala.

IV. A szögek megfelelő választásával cos2γ2=sinαsinβ;

V. A szögek megfelelő választásával sinαsinβ=cosβcosα

2.1.20. Feladat (Ekvivalens összefüggések?)(Mego.)

Alább a és b valós számokat jelölnek. Igaz-e, hogy

a) a+b=0a2+b2=-2ab?

b) a+b+c=0a3+b3+c3=-3abc?

2.1.0.1 Ajánló

A geometriában előforduló logikai problémákkal kapcsolatban lásd még a 2.3.9, 2.3.10, 2.3.11 feladatokat.

Rábai Imre Megfordítható? (Pontosan akkor akkor és csakis akkor szükséges feltétel)[], 11-16.. oldal az alábbi linken:

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_1.pdf ;

Rábai Imre Néhány megfordítható tétel[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_5.pdf .

Itt javasoljuk még Bizám György és Herczeg János két örökbecsű művét[], [] és Bailiff[] valamint Perelman[] klasszikusát.

További logikai feladatok a feladatgyűjteményünkben a Logikai fejtörők fejezetben találhatók és annak végén további könyveket is ajánlunk.

2.2 Geometria és algebra

2.2.1. Feladat(Mego.)

Egy tollkészlet és egy radír együtt 240 Ft, egy radír és egy ceruza együtt 100 Ft, a tollkészlet és a ceruza együtt 280 Ft. Mennyibe kerül a tollkészlet, a radír és a ceruza különkülön?

2.2.2. Feladat(Mego.)

Adottak egy háromszög oldalai (cm-ben): a=240, b=100, c=280. Milyen hosszú részekre bontják az oldalakat a háromszögbe beírt kör érintési pontjai?

2.2.3. Feladat(Mego.)

Adott az x1, x2, x3, x4 változók közül mindegyik háromnak az összege. Határozzuk meg a változók értékeit!

2.2.4. Feladat(I. mego., II. mego.)

Az x1, x2, x3, x4 számok közül ciklikusan kettő-kettő összege adott:

x 1 + x 2 = 240 = a x 2 + x 3 = 100 = b x 3 + x 4 = 280 = c x 4 + x 1 = 70 = d } ,

Határozzuk meg a négy számot!

2.2.5. Feladat( Mego.)

Egy négyszög három oldala rendre 5, 6 és 8 egység hosszú. Határozzuk meg a 6 egységnyi oldallal szemközti ismeretlen oldal hosszát, ha tudjuk, hogy a négyszögbe kör írható. (Tehát olyan kör, amely érinti mind a négy oldalt.)

2.2.6. Feladat(Mego.)

Oldjuk meg az

x 1 + x 2 = 240 = a x 2 + x 3 = 100 = b x 3 + x 4 = 280 = c x 4 + x 1 = 320 = d } ,

egyenletrendszert!

2.2.7. Feladat(Mego.)

Öt szám páronként vett összege a következő eredményeket adja:

a) -7, -4, -1, -1, 1, 5, 5, 8, 11;

b) -7, -4, -1, -1, 1, 3, 5, 5, 8, 11;

c) -7, -4, -1, -1, 2, 2, 5, 5, 8, 11.

Lehet-e tudni, mi volt az 5 szám?

2.2.8. Feladat(Mego.)

Egy ötszög oldalainak hossza (ebben a sorrendben): 6, 5, 3, 3, 4 egység. Az ötszögbe kör írható (lásd a 2. ábrát). Mekkora részekre osztja a beírt kör érintési pontja a 6 egység hosszúságú oldalt?

2. ábra

2.2.9. Feladat Bizonyítsuk be, hogy két kör közös külső érintőszakaszának hossza megegyezik a közös belső érintő egyenesüknek a közös külső érintők közé eső darabjának hosszával (a 3. ábrán AB=CC)!

3. ábra

2.2.10. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

A 4. ábrán látható ABCD és EFGH téglalapok oldalai páronként merőlegesek egymásra. Melyik nagyobb: az AGCE vagy az BHDF négyszög területe?

4. ábra

2.2.11. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego., IV. mego.)

Az ABCD négyzet oldala 4 cm. E az AD oldalnak az a pontja, melyre AE=1 cm. Milyen messze van a B pont az EC egyenestől?

2.2.12. Feladat(Mego.)

Adott az ABCD négyzet. Ismert a P távolsága a négyzet három csúcsától:

P A = 1 , P B = 5 , P C = 7 .

Határozzuk meg a P pont távolságát a négyzet negyedik csúcsától!

2.2.13. Feladat(Mego.)

Egy kör két merőleges húrja egymást a és b, illetve c és d hosszúságú részekre osztja. Fejezzük ki a kör sugarát a-, b-, c-, d-vel.

2.2.0.1 Ajánló

Kubatov Antal Azok a csodálatos érinténégyszögek"[],

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Kubatov_Antal/erinto/erintof.html .

2.3 Geometria

2.3.1. FeladatHáromszög két derékszöggel(Mego.)

Dr Agy megrajzolta a k, l körök P metszéspontján át (lásd a 5. ábrát) a körök PK, PL átmérőit. Vázlatán az e=KL egyenes k-t még Ek pontban, l-t még El-ben metszette.

5. ábra

a) Igazoljuk, hogy az ábrán PEkK=PElL=90!

b) A PEkEl háromszögnek két derékszöge is van. Lehetséges ez?

2.3.2. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.,IV. mego.,V. mego.)

A koordináta rendszerben felvettük az A(0;0), B(4;0), C(3;1) és D(4;3) pontokat. Bizonyítsuk be, hogy az AC egyenes felezi a BAD szöget!

2.3.3. FeladatSzögfelező-tétel

Mutassuk meg, hogy ha az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezője a szemköztes oldalt a D pontban metszi, akkor BDDC=BAAC.

2.3.4. FeladatStewart-tétel(Mego.)

Az ABC háromszög BC oldalán vettük fel a D pontot. Fejezzük ki az AD szakasz hosszát az AB, AC oldalak és az BD, DC szakaszok hosszának segítségével!

2.3.5. Feladat(Mego.)

Alább négyszögekre vonatkozó állításokat soroltunk föl:

a) A négyszög oldalfelezőpontjai egy körön vannak;

b) A négyszög átlói merőlegesek egymásra;

c) A négyszög két szemközti oldala négyzetének összege egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével;

d) A négyszög deltoid.

A négy állítás közül melyikből melyik másik következik?

2.3.6. Feladat(Mego.)

Az ABCD konvex négyszöggel foglalkozunk, melyben az átlók metszéspontja P. Milyen logikai kapcsolat van az alábbi három állítás között?

I.: A négyszög átlói merőlegesek egymásra;

II.: A négyszög egyik átlója felezi a másik átlót;

III.: AB2+BC2+CD2+DA2=2(PA2+PB2+PC2+PD2).

2.3.7. Feladat(Segít., Mego.)

Az ABC háromszög BC oldalán vettük fel a D pontot. Milyen logikai kapcsolat van az alábbi állítások között?

I.: AB=AC.

II.: BAD=DAC.

III.: AD2=ABAC-DBDC.

2.3.8. Feladat(Mego.)

Adott egy háromszög, egy egyenes és három rájuk vonatkozó állítás:

2. táblázat

a) Következik-e a három állítás valamelyikéből valamelyik másik?

b) Igazoljuk, hogy az állítások közül bármelyik kettőből következik a harmadik!

2.3.9. Feladat(Mego.)

Egyenlő szárú-e minden olyan háromszög, melyben a beírt kör középpontja egyenlő távolságra van

a) két csúcstól?

b) két oldal felezőpontjától?

2.3.10. Feladat(Mego.)

Az ABC háromszögben az BNB, CNC szögfelezőkön (NB az AC oldal, NC a BA oldal megfelelő pontja) a beírt kör I középpontja és az oldalak közti INB, INC szakaszok hossza egyenlő egymással. Következik-e ebből, hogy az ABC háromszög egyenlő szárú?

2.3.11. FeladatMinden háromszög szabályos(El. megj.,Mego.)

Dr Agy megszerkesztette az ABC háromszög BC oldalának e felezőmerőlegesét valamint a háromszög A-nál fekvő szögének f szögfelezőjét. Ezek metszéspontját ábráján P jelöli, míg P-ből az AC, AB oldalakra állított merőlegesek talppontját TB illetve TC (lásd a 6. ábrát).

6. ábra

Dr Agy így gondolkodik:

1. A P pont a BC szakasz felezőmerőlegesén van, így BP=CP.

2. A P pont a BAC szög szögfelezőjén van, és a szögfelező pontjai a száraktól egyforma távolságra vannak, így PTC=PTB.

3. Ha két derékszögű háromszögben egyenlők az átfogók és az egyik befogó is, akkor a két háromszög másik befogója is egyenlő egymással.

4. A PTCB, PTBC háromszögek TC-ben illetve TB-ben derékszögűek, így az előbbi 1., 2. és 3. állítások miatt BTC=CTB.

5. A PTCA, PTBA háromszögek TC-ben illetve TB-ben derékszögűek, PA oldaluk közös, így az előbbi 2. és 3. állítások miatt ATC=ATB.

6. A 4., 5. állításokból következik, hogy AB=AC. Valóban AB=ATC+TCB, AC=ATB+TBC és ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, akkor egyenlőket kapunk.

7. Ehhez hasonlóan bármely háromszög bármelyik két oldaláról igazolható, hogy egyenlő hosszúságúak, tehát minden háromszög szabályos.

Tehát minden háromszög szabályos? Van-e hiba Dr Agy gondolatmenetében? Ha igen, hol?

2.3.0.1 Ajánló

Varga Tamás 1 milliméter=1000 kilométer (Hibás bizonyítások) a [] kötetben.

Alexander Bogomolny Cut the knot[] matematikai portálján számos érdekes anyag között 98 bizonyítás található Pitagorasz tételére: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/.

Horvay Katalin és Reiman István kiváló könyve[] alapvető és megkerülhetetlen a geometria oktatásában.

A 7-8-os tagozatosok számára az előző kötet kiegészítéseként született a Matkönyv[] megfelelő fejezete: http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_g_i.pdf

Coxeter és Greitzer Az újra felfedezett geometria"[] kis könyve remek olvasmány sok feladattal.

Folytatás a gyűjteményben a Geometria fejezetben.

2.4 Algebra

2.4.1. Feladat[](Mego.)

Helyezzük el az 1, 2, 3, 4, 5 feliratú kártyákat a kijelölt : helyekre úgy, hogy a hányados

a) a lehető legkisebb legyen,

b) a lehető legnagyobb legyen,

c) a lehető legközelebb legyen a 30-hoz,

d) a lehető legkisebb kétjegyű szám legyen,

e) az osztásnak ne legyen maradéka.

2.4.2. Feladat[](Mego.)

A 2693 szorzat különleges. Ha a szorzótényezőkön belül a számjegyeket felcseréljük, akkor a 6239 szorzatot kapjuk, amelynek értéke meglepő módon megegyezik az eredetiével, 2693=6239. Mi a titka ezeknek a számoknak? Keress más ilyen szorzatokat!

2.4.3. Feladat[](Mego.)

Ezekben a műveletsorokban valaki kiradírozta a zárójeleket, ezért majdnem mindegyiknek rossz az eredménye. Írjuk vissza a zárójeleket ahol szükséges úgy, hogy igazak legyenek az egyenlőségek!

5 + 6 3 : 11 + 7 = 10 5 + 6 3 : 11 + 7 = 6

27 + 18 : 9 + 36 2 = 77 27 + 18 : 9 + 36 2 = 101

27 + 18 : 9 + 36 2 = 2 27 + 18 : 9 + 36 2 = 130

39 - 27 : 3 : 3 + 1 = 1

A feladathoz kapcsolódó egyéb kérdések:

Hány különböző végeredményt kaphatunk zárójelek felhasználásával az első műveletsorból?

Ezek közül mennyi a legkisebb, és mennyi a legnagyobb végeredmény?

2.4.4. Feladat(Mego.)

Egy asszony a piacon az első vevőnek eladta a tojásai felét meg egy fél tojást, a másodiknak a megmaradt tojások harmadát meg egy harmad tojást, a harmadiknak az ezután megmaradt tojások negyedét meg egy negyed tojást. Miközben egyetlen tojást sem kellett feltörnie a megmaradt tojásokkal hazaballagott.

Hány tojást vihetett haza?

Hány tojással indulhatott el?

Általánosítsuk a feladatot!

2.4.5. Feladat(El. megj., Mego.)

A 137-es cézium felezési ideje kb. 30 év.

a) Aduk meg a bomlási képletet N(t)=N(0)e-λt alakban!

b) Mikorra fog a csernobili baleset okozta cézium szennyeződés a maximális érték 10%-ára csökkenni?

2.4.6. Feladat[](Mego.)

Egy felderítő repülőgép szélcsendes időben óránként 220 mérföldet repül. Üzemanyaga 4 órányi repüléshez elegendő. Milyen messze repülhet, hogy kockázat nélkül vissza is térhessen,

a) ha óránként 20 mérföld sebességű ellenszélben indul?

b) ha óránként 20 mérföld sebességű hátszélben indul?

c) ha óránként 20 mérföld sebességű, a haladási irányra merőleges szélben indul?

d*) ha óránként 20 mérföld sebességű, tetszőleges irányú, szélben indul? Melyik esetben jut legmesszebb?

2.4.7. Feladat[] (I. mego., II. mego.)

Amikor Mr. és Mrs. Smith repülőre szálltak, csomagjaik összsúlya 94 font volt. A férj 1,50 $-t, a feleség 2 $-t fizetett a túlsúlyért. Ha Mr. Smith egyedül repült volna kettőjük csomagjával, akkor 13,50 $-t kellett volna fizetnie. Hány font súlyú csomagot vihetett ezen a járaton egy személy magával ráfizetés nélkül?

2.4.8. Feladat[] (Mego.)

Egy apa számos gyermeket hagyott hátra, és így végrendelkezett a vagyonáról: Az elsőé legyen 100 korona és a maradék tizede, a másodiké legyen 200 korona és a maradék tizede, a harmadiké legyen 300 korona és a maradék tizede, a negyediké legyen 400 korona és a maradék tizede, és így tovább. A végén kiderült, hogy mindegyik gyermekének ugyanannyi jutott. Mekkora volt a vagyon, hány gyermeke volt, és mindegyiknek mennyi jutott?

Általánosítsuk a feladatot!

2.4.9. Feladat[](Mego.)

Két motorkerékpáros egy időben indult el kirándulni. Egyenlő távolságot tettek meg, és egy időben is érkeztek haza. Az úton mindketten megpihentek. Annyit tudunk, hogy az egyik kétszer annyi ideig volt úton, mint amennyit a másik pihent, a másik pedig háromszor annyit volt úton, mint amennyit az első pihent. Melyik haladt gyorsabban?

2.4.10. Feladat Egy tartályba egy kék, egy piros és egy zöld csapon át engedhetünk vizet. A piros csap egyedül 3 ára alatt tölti meg a tartályt. A piros és a kék csap együtt 2 óra alatt, a három csap együttesen 1 óra alatt tölti meg a tartályt. Hány óra alatt töltik meg ezek a csapok külön-külön a tartályt?

2.4.11. Feladat[](Mego.)

Színezzük be a koordinátasík azon pontjait, amelyek koordinátáira:

3. táblázat

2.4.12. Feladat[] (Szeml., Eredm.)

Oldjuk meg és diszkutáljuk az

| x - | x - 1 | | = m x + 1

egyenletet!

2.4.13. Feladat(Mego.)

Határozzuk meg Pithagorasz táblázatának azaz a a szorzótáblának fordított L-alakú részeiben (lásd a 7 ábrát) a számok összegét!

7. ábra

2.4.0.1 Ajánló

Perelman: Szórakoztató algebra [] és Matematikai történetek és rejtvények [] (5. fejezet: Fejtörő számokkal).

Varga Tamás Találja ki melyik számra gondoltam és Surányi János Tud-e ön fejben ötödik gyököt vonni írásai a [] kötetben;

Lukács-Scharnitzky Érdekes matematikai gyakorló feladatok[] (benne: Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek);

Ambrus Gabriella Valóságközeli matematika, munkafüzet 512. o.[];

Rábai Imre Készítsünk egymásra épülő feladatokat!"[], 85-87. oldalak az alábbi linken:

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Rabai_Imre/Rabai_1_5.pdf

Lásd még a 7-8-os és a 9-10 matematika tagozatos gyűjtemény[]

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_i.pdf

http://matek.fazekas.hu/mathdisplay/cache/pdf/volume_a_ii.pdf

megfelelő fejezetének feladatait.

Folytatás a gyűjteményben a Algebra fejezetben.

2.5 Statisztika

2.5.1. Feladat(a) mego.,b) mego.)

Adott a számegyenesen három szám: az 1, az 5, és a 12. Melyik az a valós szám, melynek ettől a három számtól való távolságai

a) négyzeteinek, b) abszolútértékeinek,

összege minimális?

2.5.2. Feladat(Mego.)

Egy H számsokaság átlaga x¯=3, szórása D=5. Meghatározható-e ezekből az adatokból az y=11 számnak a H sokaságtól való átlagos négyzetes eltérése?

2.5.3. Feladat(a) mego., b) mego., c) mego.)

a) Adottak a síkon az A(1;5), B(7;10), C(4;12) pontok. Határozzuk meg a sík azon P pontjának koordinátáit, amelyre a PA2+PB2+PC2 kifejezés értéke minimális!

b) Oldjuk meg a feladatot az A(a1;a2), B(b1;b2), C(c1;c2) általános ponthármassal is!

c) Hol helyezkednek el azok a P pontok, amelyekre a PA2+PB2+PC2 kifejezés értéke egy előre adott konstanssal egyezik meg?

2.5.4. Feladat A Buchera cégnél két vezető dolgozik és hét alkalmazott. A vezetők havi fizetése 20 és 18 peták, a hét alkalmazott keresete rendre 7, 7, 8, 8, 11, 13 és 16 peták.

A legnagyobb keresetű alkalmazottat fizetésének változtatása nélkül vezető beosztásba helyezik át.

a) Hogyan változott az alkalmazottak fizetésének átlaga? Mennyi volt eredetileg, mennyi lett az áthelyezés után?

b) Hogyan változott a vezetők fizetésének átlaga? Mennyi volt eredetileg, mennyi lett az áthelyezés után?

c) Hogyan változott a vállalat összes dolgozójának fizetése? Mi történt az átlaggal?

d) Készítsünk hasonló példát, ahol az áthelyezett személy fizetése nő, de az alkalmazottak átlagfizetése és a vezetőké is csökken és minden fizetés, mindegyik átlag (mind a hat) egész szám!

2.5.5. Feladat(I. mego., II. mego.)

Három háromfős sakkcsapat egymással mérkőzött. Mindegyik csapat játszott mindegyikkel, és két csapat küzdelme során az egyik csapat minden játékosa egyszer-egyszer mérkőzött az ellenfél minden játékosával.

A bajnokságban nem történt meglepetés. Előre lehetett sejteni, hogy mi a 9 játékos erősorrendje, és az egyes játszmák ennek megfelelően alakultak: a jobbik mindig megverte a kevésbé jobbat, döntetlen nem is volt.

Lehetséges-e mégis, hogy a csapatok körbeverték egymást?

2.5.0.1 Ajánló

Számadó László A statisztika alapjai"[]; Magyar Zsolt Valószínűségszámítás és statisztika[] (benne I. Leíró statisztika); Nemetz Tibor és Wintsche Gergely Valószínűségszámítás és statisztika mindenkinek[].

2.6 Valószínűségszámítás

2.6.1. Feladat(I. mego., II. mego.)

Két kockával dobunk. Két dologra lehet fogadni.

A : Mindkét dobás páros lesz. B: Az egyik dobás 1-es.

Melyiknek nagyobb a valószínűsége?

2.6.2. Feladat(Mego.)

Két kockával dobunk. Két dologra lehet fogadni a két dobott számmal kapcsolatban. Melyikre fogadnál inkább?

a) A: Összegük legalább 10. B: Mindketten kisebbek 4-nél.

b) A: Mindketten párosak. B: Mindketten kisebbek 4-nél.

2.6.3. Feladat(Mego.)

Véletlenszerűen kiválasztunk egy hatjegyű számot. Minek nagyobb a valószínűsége, annak, hogy a szám előállítható két háromjegyű szám szorzataként, vagy annak, hogy nem állítható elő?

2.6.4. Feladat(Mego.)

Hány dobókocka esetén a legnagyobb a valószínűsége annak, hogy azokkal egyszerre dobva pontosan egy hatost dobunk?

2.6.5. Feladat(Mego.)

Egy fiút akkor engednek el játszani, ha három egymás utáni sakkparti közül legalább két egymás utánit megnyer. Partnerei: Apa és Papa, mégpedig vagy Apa-Papa-Apa, vagy Papa-Apa-Papa sorrendben. Apa jobban játszik, mint Papa. Melyik sorrend kedvezőbb a fiú számára?

a) Legyen pld. Apa nyerési esélye a fiú ellen 23, míg Papáé csak 12.

Először tippeljünk, utána álljunk neki a számolásnak!

b) Oldjuk meg a feladatot az általános esetben is!

2.6.6. Feladat(I. mego., II. mego.,III. mego.)

A Skandináv lottón 7 számot húznak ki 35-ből és egy héten (tehát egy szelvényre vonatkozólag) két húzás is van (egy kézi és egy gépi). Mi az esélye, hogy a 8-as nyerő szám lesz egy adott héten (tehát az egyik vagy a másik vagy mindkét húzásnál)?

2.6.7. Feladat(Segít.)

Legalább hány pénzdarab kell ahhoz, hogy 90%-nál nagyobb esélye legyen annak, hogy feldobva van köztük fej?

2.6.8. Feladat(Eredm.)

A könyvespolc alsó polcáról a kétéves Pisti leszedte a könyveket, majd saját ízlése szerint visszarakta mind a 25-öt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a köztük levő három idegen nyelvű könyv egymás mellé került?

2.6.9. Feladat Egy halálraítéltnek némi esélyt kívánnak adni az életben maradásra. Adnak neki 50 fehér és 50 fekete golyót és két urnát. A golyókat eloszthatja a két urnába. A hóhér másnap reggel találomra kiválaszt egyet a két urna közül, majd a kiválasztottból kihúz egy golyót. Ha az fekete, akkor kivégzik az elítéltet, ha fehér, akkor szabadon engedik. Hogyan célszerű elosztani golyókat, hogy a legnagyobb valószínűséggel életben maradjon?

2.6.10. Feladat(I. mego., II. mego.)

Egy 5×5-ös (25 szögpontból álló) négyzetrács alakú labirintus két átellenes csúcsában a kijáratoknál egy egér és egy macska van. Mindketten adott jelre, ugyanakkora sebességgel elindulnak a szemköztes kijárat felé úgy, hogy minden lépésben közelednek céljukhoz (lásd a 8. ábrát). Egymást nem látják, útválasztásuk az elágazásokban véletlenszerű. (Ez azt jelenti, hogy amikor elágazáshoz érnek, a lehetséges két irány közül egyforma valószínűséggel választanak.)

8. ábra

a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy találkoznak?

b) Általánosítsuk a feladatot!

2.6.11. Feladat(I. mego., II. mego., III. mego.)

Egy futballklub edzésének megkezdése előtt az edzésen résztvevő 22 játékost két csoportba osztják. Mi a valószínűsége annak, hogy ha találomra történik a szétosztás két 11-es csoportba, a két legjobb játékos egymás ellen játszik?

2.6.12. FeladatBejut-e a második a döntőbe?[] (Mego.)

A nyolc résztvevős kieséses teniszbajnokságot a 9. ábrán látható rendszerben bonyolítják le. Ehhez a játékosok között véletlenszerűen osztják ki az 1, 2, , 8 sorszámokat.

9. ábra

Tegyük fel, hogy a játékosok képességük szerint egyértelműen rakhatók sorrendbe és a jobb mindig legyőzi a kevésbé jót!

a) Mennyi az esélye a második legjobb játékosnak, hogy bejusson a döntőbe?

b) Mennyi annak az esélye, hogy a második és a harmadik legjobb játékos összeméri tudását ezen a versenyen?

c) Válaszoljunk az előző kérdésekre a 2n résztvevős fenti rendszerű kieséses bajnokság esetén is!

2.6.0.1 Ajánló

Valószínűségszámítás feladatok kezdőknek [];

Urbán János Matek+ 15 éveseknek[];

Warren Waewer Szerencse kisasszony"[];

Orosz Gyula Valószínűségszámítási érdekességek [].

Folytatás a feladatgyűjtemény 7 fejezetében.

2.7 Játékok

2.7.1. Feladat(Mego.)

A 10. ábrán látható tábla megjelölt mezőjén áll egy farkas, a másik jelölt mezőn egy nyuszi. A két bábuval felváltva léphetünk egy mezőről egy másik vele szomszédos mezőre egy él mentén. A Farkas kezd. El tudja-e kapni a nyuszit?

10. ábra

2.7.2. Feladat(Segít.)

Egy asztalra kilenc tízforintost tettünk egymás mellé. Balról jobbra haladva fölső oldaluk rendre fej, fej, fej, írás, fej, írás, írás, fej, írás. Ketten játszanak, felváltva lépnek. Egy játékos egy lépésben kiválasztja az egyik olyan érmét, amelyen fej van fölül, és azt, valamint az összes tőle jobbra levő érmét az ellenkező oldalára fordítja. Az nyer, aki eléri, hogy minden érmén írás legyen felül.

Kezdeni érdemes, vagy inkább másodikként játszani? Van-e nyerő stratégiája bármelyik játékosnak?

2.7.3. Feladat(Mego.)

Ketten játszanak. Felváltva írnak be egy-egy előjelet minden szám elé (az 1-es elé is tehetnek) az alábbi sorban:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kezdő" azt szeretné, hogy a legvégül kapott előjeles összeg páros legyen, míg Második" azt szeretné, hogy páratlan. Hogyan érdemes játszani? Kinek kedvező a játék?

2.7.4. Feladat(Segít.)

Két ember a következőképpen játszik. Előttük van az asztalon egy kupac összesen 103 db gyufa. Felváltva vesznek el a kupacból, minden lépésben legalább 1 és legfeljebb 10 darab gyufát. Amikor minden gyufa elfogyott összehasonlítják, hogy melyikük hány gyufát vett el összesen. Ha ennek a két számnak van (1-nél nagyobb) közös osztója, akkor a Kezdő játékos nyer, egyébként a Második.

Van-e a Kezdőnek nyerő stratégiája?

2.7.5. Feladat(Eredm.)

Egy játék táblája 100000 egymás mellé rajzolt négyzetből áll. A négyzetek kezdetben üresek. Ketten játszanak, felváltva lépnek. Kezdő kiválaszt két tetszőleges üres négyzetet és egy-egy ×-et rajzol rájuk. Második akárhány, egymás melletti ×-et kiradírozhat (de üres négyzeten nem ugorhat át). A 11. ábrán egy játék első néhány lépése látható.

11. ábra

Kezdő nyer, ha valamelyik lépése után 13 szomszédos négyzetben is × van. Tud-e nyerni Kezdő, ha Második ügyesen játszik?

2.7.0.1 Ajánló

Dr. Mosonyi Kálmán Matematikai játékok[];

V. N. Kazatkin, L. I. Vladükina Algoritmusok és játékok[].

Játékokkal kapcsolatos további javaslatok a 8.4 fejezet végén találhatók.



[1] van olyan kör, amelyre mind a négy csúcs illeszkedik, azaz mind a négy oldal húr