Ugrás a tartalomhoz

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Hraskó András (2013)

ELTE-TTK

Elemi matematika feladatgyűjtemény

Elemi matematika feladatgyűjtemény


Tartalom

1 Előszó
1.1 A gyűjtemény célja
1.2 A kötet használata
1.3 Köszönetnyilvánítás
1.4 Irodalom
1.5 Animációk jegyzéke
2 Bevezető feladatok
2.0.0.1 Ajánló
2.1 Logika
2.2 Geometria és algebra
2.3 Geometria
2.4 Algebra
2.5 Statisztika
2.6 Valószínűségszámítás
2.7 Játékok
3 Algebra
3.0.0.1 Ajánló
3.1 Másodfokú kifejezések
3.2 Lineáris rekurziók
3.3 Harmadfokon
3.4 Polinomok
3.5 Egyenlőtlenségek
3.6 Egyenletrendszerek
3.7 Számhalmazok
3.8 A konjugált
4 Számelmélet
4.0.0.1 Ajánló
4.1 Osztók és többszörösök
4.2 Oszthatósági szabályok
4.3 Számrendszerek
4.4 Maradékok
4.5 Egy kis algebrával
4.6 Diofantikus egyenletek
4.7 Számhalmazok
4.8 Számsorozatok
4.9 A harmonikus sor
4.10 Hatványozás moduláris aritmetikában
5 Kombinatorika
5.0.0.1 Ajánló
5.1 A szita módszer
5.2 Feladatok a sakktáblán
5.3 Egyszerűbb leszámolási feladatok
5.4 A Pascal háromszög
5.5 Összetett leszámolási feladatok
5.6 Dimenzió
5.7 Gráfok
5.8 Kombinatorikus geometria
6 Analízis
6.0.0.1 Ajánló
6.1 Szabályjátékok, gépek
6.2 Gépek egymás után
6.3 Különböző sorozatok
6.4 Sorozatok tulajdonságai
6.5 Egyenlőtlenségek
6.6 Sorok, sorozatok határértéke
6.7 Szélsőérték, értékkészlet
6.8 Függvények tulajdonságai
6.9 Szám és ponthalmazok
7 Valószínűségszámítás
7.0.0.1 Ajánló
7.1 Bevezető statisztikai példák
7.2 Esélyek
7.3 Várható érték
7.4 Feltételes valószínűség
7.5 Markov láncok
7.6 Normális eloszlás
7.7 Megismerés Bayes módján
8 Gondolkodási módszerek
8.0.0.1 Ajánló
8.1 Józan ész
8.2 Logikai fejtörők
8.3 A szimmetria felismerése
8.4 Gondolkodjunk visszafelé!
8.5 Skatulyaelv
8.6 Invariancia-elv
8.7 Indirekten
8.8 Újra és újra
8.9 Az információ mennyisége
8.10 Mi a példa ebben a példatárban?
9 Geometria
9.0.0.1 Ajánló
9.1 Kutyageometria
9.2 A térgeometria elemei
9.3 Egyszerűbb számítási feladatok
9.4 Összetett számítási feladatok
9.5 A sík egybevágóságai feladatok
9.6 Körök, kerületi szögek
9.7 Hasonlóságok és affinitások
9.8 A projektív geometria elemei
9.9 Speciális görbék
10 Bevezető feladatok megoldása
10.1 Logika
10.2 Geometria és algebra feladatok megoldása
10.3 Geometria feladatok megoldása
10.4 Algebra feladatok megoldása
10.5 Statisztika feladatok megoldása
10.6 Valószínűségszámítási feladatok megoldása
10.7 Játékok feladatok megoldása
11 Algebra feladatok megoldása
11.1 Másodfokú kifejezések feladatok megoldása
11.2 Lineáris rekurziók feladatok megoldása
11.3 Harmadfokon feladatok megoldása
11.4 Polinomok feladatok megoldása
11.5 Egyenlőtlenségek feladatok megoldása
11.6 Egyenletrendszerek feladatok megoldása
11.7 Számhalmazok feladatok megoldása
11.8 A konjugált feladatok megoldása
12 Számelmélet feladatok megoldása
12.1 Osztók és többszörösök feladatok megoldása
12.2 Oszthatósági szabályok
12.3 Közös osztók, legnagyobb közös osztó feladatok megoldása
12.4 Számrendszerek feladatok megoldása
12.5 Maradékok feladatok megoldása
12.6 Egy kis algebrával feladatok megoldása
12.7 Diofantikus egyenletek feladatok megoldása
12.8 Számhalmazok feladatok megoldása
12.9 Számsorozatok feladatok megoldása
12.10 A harmonikus sor feladatok megoldása
12.11 Hatványozás moduláris aritmetikában feladatok megoldása
13 Kombinatorika feladatok megoldása
13.1 A szita módszer feladatok megoldása
13.2 Feladatok a sakktáblán
13.3 Egyszerűbb leszámolási feladatok megoldása
13.4 A Pascal háromszög feladatok megoldása
13.5 Összetett leszámolási feladatok megoldása
13.6 Dimenzió a feladatok megoldásai
13.7 Gráfok feladatok megoldása
13.8 Kombinatorikus geometria feladatok megoldása
14 Analízis feladatok megoldása
14.1 Szabályjátékok, gépek feladatok megoldása
14.2 Gépek egymás után feladatok megoldása
14.3 Különböző sorozatok feladatok megoldása
14.4 Sorozatok tulajdonságai feladatok megoldása
14.5 Egyenlőtlenségek feladatok megoldása
14.6 Sorok, sorozatok határértéke feladatok megoldása
14.7 Szélsőérték, értékkészlet feladatok megoldása
14.8 Függvények tulajdonságai feladatok megoldása
14.9 Szám és ponthalmazok feladatok megoldása
15 Valószínűségszámítási feladatok megoldása
15.1 Bevezető statisztikai példák
15.2 Esélyek feladatok megoldása
15.3 Várható érték feladatok
15.4 Feltételes valószínűség feladatok megoldása
15.5 Markov láncok feladatok megoldása
15.6 Normális eloszlás feladatok megoldása
15.7 Megismerés Bayes módján feladatok megoldása
16 Gondolkodási módszerek feladatok megoldása
16.1 Józan ész feladatok megoldása
16.2 Logikai fejtörők
16.3 A szimmetria felismerése feladatok megoldása
16.4 Gondolkodjunk visszafelé! feladatok megoldása
16.5 Skatulyaelv feladatok megoldása
16.6 Invariancia-elv feladatok megoldása
16.7 Indirekten feladatok megoldása
16.8 Újra és újra feladatok megoldása
16.9 Az információ mennyisége feladatok megoldása
17 Geometria feladatok megoldása
17.1 Kutyageometria megoldások
17.2 A térgeometria elemei megoldások
17.3 Egyszerűbb számítási feladatok megoldások
17.4 Összetett számítási feladatok megoldások
17.5 A sík egybevágóságai megoldások
17.6 Körök, kerületi szögek megoldások
17.7 Hasonlóságok és affinitások megoldások
17.8 A projektív geometria elemei megoldások
17.9 Speciális görbék megoldások

1 Előszó

1.1 A gyűjtemény célja

Az egyetemi elemi matematika tantárgy alapvető célja a problémamegoldó készség és a matematikai gondolkodásmód fejlesztése. A kötet ehhez kíván segítséget adni struktúrált feladatanyagával többszintű megoldásaival.

Az elemi matematika tárgy lehetőséget ad a leendő tanároknak rutin szerzésre a középiskolai ismeretekre épülő problémamegoldásban. Az egyéni feladatmegoldó készség fejlesztése mellett azonban különösen nagy hangsúlyt kap, hogy a hallgatók a feladatmegoldás során egy-egy feladathoz több korosztály szintjének megfelelően is tudjanak közeledni.

Az elemi matematika tárgy a híd szerepét tölti be a középiskolai matematika és az egyetemi tanulmányok között. Inspirációt ad a modern, elvont fogalmakhoz, megközelíthetővé tesz nehéz gondolatokat, összefüggéseket. Megfordítva, az elemi matematika művelése hozzásegíthet ahhoz is, hogy az egyetemen tanult matematikai eszközök működését ismerős környezetben vizsgáljuk, gyakoroljuk, értelmezzük.

Elemi matematika témájú egyetemi példatárat legutoljára 1970-ben adtak ki. Az egységes tanárképzés (10-18 éves) szükségessé tette az matematikatanításhoz elengedhetetlen elemi feladatok átstrukturálását új szempontok szerint, valamint a mai technikai feltételeknek is megfelelő formában való feldolgozását.

1.2 A kötet használata

Az Elemi matematika feladatgyűjtemény egyszerre könyv és digitális segédanyag. Két fő részből áll: az első fele tartalmazza a példasorokat tematikus összeállításban, a második felében találhatók a megoldások, megjegyzések, javaslatok. A digitális verzióban pirosan megjelenő hiperlinkek segítik a közlekedést feladatok és megoldásaik között. A rózsaszín linkek külső az esetleg kinyomtatott változatban nem megjelenő anyagra, a digitális változathoz készült animációkra vagy egyéb weboldalra mutatnak. A világoszölden megjelenő kódok az irodalomjegyzékhez tartoznak.

A gondolkodást és a megértést helyenként Segítségek, Előzetes megjegyzések, több mint 200 ábra és 20 animáció segíti. Majdnem minden feladathoz tartozik legalább egy kidolgozott megoldás, de helyenként több is.

A digitális világba belépve az ember hajlamos becsapni önmagát: az képzeli, hogy a klikkelgetéstől megokosodik. Javasoljuk ezt a szabályt: gondolkodj, mielőtt linkelsz". Azért készítettük a gyűjteményt, hogy a hallgatók lássanak ötleteket, sokféle megközelítési módot, bizonyításokat, de az igazi látás belül történik. Ennek fejlesztéséhez elmélyülés, a példákon való önálló töprengés szükséges. A második, harmadik megoldások is érdekesebbek, ha az ember önállóan is megoldotta egyféleképpen a példát vagy legalábbis eljutott benne valameddig.

A kötethez tartozó animációk is olyanok, hogy kis gyakorlással a diákok is el tudják készíteni azokat vagy azokhoz hasonlókat. Bátorítjuk a nebulókat, hogy használjanak matematikai szoftvereket, például interaktív geometriai programokat és azzal gyűjtsenek maguknak inspirációt, ötleteket, ha elakadnak egy problémával vagy éppen többet szeretnének megérteni egy feladattal kapcsolatban.

A kötetet úgy terveztük, hogy első fele a megoldások nélküli feladatgyűjtemény kényelmesen leválasztható, kinyomtatható legyen. A diákoknak azt javasoljuk, hogy használjanak egy ilyen papír alapú változatot és alkalmanként üljenek a géphez ellenőrizni saját ötleteiket, megnézni más megközelítési módokat. Aki igazán igényes megpróbálkozhat maga is többféle módon eljutni a megoldáshoz.

1.3 Köszönetnyilvánítás

A kötet számos példáját a szerzők kollégái, az ELTE TTK Matematikai Intézet Matematikatanítási és Módszertani Központjának oktatói illetve a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium tanárai javasolták, inspirálták. A szerzők köszönik nekik a gyümölcsöző együttműködést. Olyan sok feladat és megközelítési mód származik Pósa Lajostól és tanítványaitól, hogy a szerzők ezeket nem tudják számba venni, de hálásak mindazokért a gondolatokért, amelyek tőle közvetlenül vagy másokon keresztül hozzájuk jutottak. Számos ötlet, megoldás, sőt feladat a diákoktól származik, egyetemistáktól, gimnazistáktól, vagy általános iskolásoktól. A szerzők csak felfigyeltek arra az értékre, amely a fiataloktól jött és most köszönettel visszaforgatják mindezeket az újabb generációknak, hátha inspirálja őket.

A pályázat elkészítésében, a szöveg- és ábrakonverziókban nagyon sokat segített Fried Katalin, nélküle ez a kötet nem jöhetett volna létre. Rózsahegyi Márta alapos munkát végzett a feladatsor és a megoldások széttagolásával és a hiperlinkek ellenőrzésével, a gyűjteményt sokkal használhatóbbá tette. A szerzők hálásak Pálfalvi Józsefné lektori munkájáért, ő rendkívül sok hibát észrevett és javaslatot is tett korrigálásukra. Köszönjük tanszékvezetőnknek Vásárhelyi Évának a tanácsokat, konzultációkat és a megnyugtató szavakat a nehéz pillanatokban.

Végül köszönetet mondunk mindazoknak a programozóknak, akik a LaTeX, a GeoGebra és a PSTricks szabad szoftverek fejlesztésével lehetővé tették számunkra a feladatgyűjtemény önálló létrehozását.

Örülünk a feladatokkal, megoldásokkal kapcsolatos észrevételeknek, kérjük ezeket küldjék a hraskoa@fazekas.hu vagy a vasarely@cs.elte.hu címre.

Hegyvári Norbert, Hraskó András, Korándi József, Török Judit

1.4 Irodalom

Nem mindig utalunk külön rá, de magunk is sokszor használtuk és az általános iskolától mindenkinek ajánljuk a Fejtörő feladatok felsősöknek[] kötetet, a Varga Tamás matematikaverseny és a Kalmár verseny példáit és megoldásait ([], [], []), [] valamint a Bergengóc példatárakat ([], []).

Több ismeretet igénylő kiválóan kidolgozott gyűjtemények a Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből sorozat ([],[]), valamint a Matematikai Versenytételek ([], [], []) kötetei. Végül minden gimnazistának és egyetemistának ajánljuk több mint 100 éve a matematikatanítás szolgálatában álló Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokat ([], []) és szovjet-orosz testvérét a Kvantot ([], []).

A további javasolt olvasmányokra, feladatgyűjteményekre és weboldalakra a fejezetek végére írt Ajánlók-ban hivatkozunk.

1.5 Animációk jegyzéke

Animációk:

Interaktív animációk: